1.3.1三角函数的诱导公式1PPT课件
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1.3-1三角函数的诱导公式(1)
x
计算：（1）sin1200
你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?
公 式 cos( ＋k· 3600) =cos cos(1800＋)=－cos 一
sin( ＋k· 3600) =sin
sin( 1800＋ )=－sin
公 式 二
tan( ＋k· 3600) =tan tan(1800＋) =tan
计算：（1）cos2100
（2）tan2400
二、－ 与 － 的终边与角 的终边有 何关系? sin = y sin(－ )=－y cos = x cos(－) =x y tan α x y tan( α ) x y
P(x,y) y
O
x
x
-y
P (x,-y)
0 π－ cos(180 －)=－cos 0 tan(180 π－ －) =－tan
tan(－) =－tan
公 式 四
应用 例1 求cos(-20400)的值： 解: cos(-20400)＝cos20400 =cos(5×3600+2400) =cos2400=cos(1800+600)
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 y 终边有何关系? 1800－ sin = y P(x,y) P (-x,y) sin( 1800－ )=y y y cos = x cos(1800－)=－x x y -x O x tan α y x 0 tan(180 －)
x
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 终边有何关系? sin = y sin( 1800－ )=y cos = x cos(1800－)=－x y tan α x y 0 tan(180 －) sin(1800－ )=sin cos(1800－ )=－cos tan(1800－ )=－tan （2）tan1500
《三角函数的诱导公式第1课时》人教版数学高一下册PPT课件
3 2.
命题方向2 ⇨三角函数式的化简问题
典例 2
化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； sin2 α＋π cos π＋α
(2)tan π－α cos3 －α－π tan －α－2π .
[思路分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关
系式求解．
[解析] (1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·csoinsαα＝sin2α.
3．诱导公式的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题 转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函 数． (3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函 数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打
对诱导公式理解不透致错
[错解]
典例 4 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝_________.
因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－ cosθ，故填－cosθ.
[错因分析]
上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－ θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解]
cosθ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.
第一章 三角函数
〔跟踪练习
4〕如果
cosα＝13，且
α
是第四象限角，则
22 sin(α＋π)＝__3____.
[解析] 由诱导公式二知，
三角函数的诱导公式精品PPT课件
(1)对应角终边之间的对称关系
在平面直角坐标系中，π－α的终边与角α的终边关于___y_轴___对称．
(2)诱导公式四
公式四：sin(π－α)＝___s_i_n_α____；cos(π－α)＝__－__c_o_s_α___； tan(π－α)＝__－__ta_n__α___．
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(3)公式一～四可以概括为：
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2．诱导公式三
(1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中，－α 的终边与角 α 的终边关于__x_轴__对称．
(2)诱导公式三 sin(－α)＝__－__s_in__α___；cos(－α)＝__co_s__α__；tan(－α)＝___－__t_a_n_α___．
3．诱导公式四
(4)在△ABC 中，sin(A＋B)＝sin C．( )
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【解析】 (1)由公式三可知该结论成立． (2)诱导公式中的角 α 是任意角，不一定是锐角． (3)由公式三知 cos[－(α－β)]＝cos(α－β)， 故 cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． (4)因为 A＋B＋C＝π，所以 A＋B＝π－C，
∴cos α＝－13，
sinπ2 ＋α＝cos α＝－13.
【答案】 －13
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ห้องสมุดไป่ตู้
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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给角求值问题
[小组合作型]
(1)求下列各三角函数值． ①sin－103π；②cos 269π； (2)求 sin2nπ＋2π 3 ·cosnπ＋4π 3 (n∈Z)的值． 【精彩点拨】 (1)先化负角为正角，再将大于 360°的角化为 0°到 360 °内的角，进而利用诱导公式求得结果．(2)分 n 为奇数、偶数两种情况讨论．
三角函数的诱导公式ppt课件
这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
1.3.1三角函数诱导公式1
个把 看成锐角时原函数值的符号。
的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值
y
O
P( x, y) A(1,0)
小结
2、你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗？
圆的对称性 角的终边 的对称性 角之间的 数量关系 诱导公式
对称点的 数量关系
“对称是美的基本形式”
A(1,0)
p2 ( x , y )
sin sin
公式 四
cos cos tan tan
sin( k 2 ) sin 公 sin( ) sin 公 cos( k 2 ) cos 式 cos( ) cos 式 tan( k 2 ) tan 一 二 tan( ) tan (其中k Z )
sin( ) sin 公 cos( ) cos 式 tan( ) tan 三
sin( ) sin 公 cos( ) cos 式 四 tan( ) tan
记忆方法：函数名不变，符号看象限
k 2 , , 的三角函数值，等于的同名函数值 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。
问：如何计算sin210o
探究一：给定一个角，
角 的终边与角的终边有什么关系？ 它们的三角函数之间有什么关系？
公式 二 y
O
sin sin cos cos tan tan
p1 ( x , y )
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值
y
O
P( x, y) A(1,0)
小结
2、你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗？
圆的对称性 角的终边 的对称性 角之间的 数量关系 诱导公式
对称点的 数量关系
“对称是美的基本形式”
A(1,0)
p2 ( x , y )
sin sin
公式 四
cos cos tan tan
sin( k 2 ) sin 公 sin( ) sin 公 cos( k 2 ) cos 式 cos( ) cos 式 tan( k 2 ) tan 一 二 tan( ) tan (其中k Z )
sin( ) sin 公 cos( ) cos 式 tan( ) tan 三
sin( ) sin 公 cos( ) cos 式 四 tan( ) tan
记忆方法：函数名不变，符号看象限
k 2 , , 的三角函数值，等于的同名函数值 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。
问：如何计算sin210o
探究一：给定一个角，
角 的终边与角的终边有什么关系？ 它们的三角函数之间有什么关系？
公式 二 y
O
sin sin cos cos tan tan
p1 ( x , y )
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
《三角函数的诱导公式》ppt课件
sin y cos x y tan x
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
y
α的终边
P1 (x, y)
公式三：
α
O
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
作业：
P29 习题1.3 A组 2、3、4
思考：已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证（ ： 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan( A B) tan(3 C )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
三角函数的诱导公式
1.利用单位圆表示任意角α的三角函数值 y α的终边 由定义有： ． P(x,y) sin y ． (1,0) x o cos x y tan x 2.诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z
x A(1,0)
P3 (x,-y)
－的终边
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
sin y cos x y tan x
－的终边
P4 (-x, y)
y α的终边
1.3第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四 课件(共25张PPT)删减版文库素材
∴当 α 是第一象限角时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos
α＝－ 1－sin2α＝－2 3 2；当 α 是第二象限角时，cos(5π
＋α)＝－cos α＝
1－sin2α＝2
3
2 .
(2)cos(76π＋α)＝cos(π＋π6＋α)
＝－cos(π6＋α)＝－
3 3.
栏目 导引
第一章 三角函数
第一章 三角函数
1．3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
诱导公式二～四 的推导方法
―理―解→
诱导公式一～ 四的作用
―掌―握→
诱导公式并 能运用公式
重点难点 重点：初步运用诱导公式二、三、四求三角函 数值． 难点：利用诱导公式进行一般的三角关系式的化简和证明．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)法一：cos(－361π)＝cos316π
＝cos(4π＋76π)＝cos(π＋π6)＝－cosπ6＝－
3 2.
法二：cos(－316π)＝cos(－6π＋56π)
＝cos(π－π6)＝－cosπ6＝－
3 2.
(3)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝2
3
2 .
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 解决条件求值问题的策略： (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间 的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行 变形向已知式转化．
三角函数的诱导公式 课件
给值(或式)求值问题
[典例] 已知cosπ6－α＝ 33，求cos56π＋α的值．
[解] 因为 cos56π＋α＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－
3 3.
1．诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α .
2．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于 x 轴对称． 如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝ －sin α . cos(－α)＝ cos α . tan(－α)＝ －tan α .
sin1 440°＋α·cosα－1 080° (2)cos－180°－α·sin－α－180°.
[解]
(1)
cos－αtan7π＋α sinπ－α
＝
cos αtanπ＋α sin α
＝
cos α·tan sin α
α＝ssiinn
αα＝1.
(2)
原
式
＝
sin4×360°＋α·cos3×360°－α cos180°＋α·[－sin180°＋α]
(2)tan 945° ＝ tan(2×360° ＋ 225°) ＝ tan 225° ＝
tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用] 求下列各式的值： (1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°；
给角求值问题
[典例] 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos1169π. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－s80°－60°)＝－sin
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sin( k 2 ) sin
o
x cos( k 2 ) cos
tan( k 2 ) tan
(k z)
利用诱导公式一，我们可以把任意角三角
函数的求值问题转化为0. 0～3600的求值问题. 6
观察与思考
思考1：210°角与30°角的有何关系？
思考２：210°角与30°角的终边有何 关系？
由这几个例子你能归纳利用诱导公式把任
意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般
步骤吗？
.
12
归纳总结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
用公式三或一 任意正角的 三角函数
用公式一
0 o到360o的角 用公式
的三角函数 二或四
锐角三 角函数
.
13
学以致用
.
10
归纳总结
诱导公式小结
公式一~四可用下面的话来概括：
2k(kZ),,的三角函数值， 等于角的同名函数值，前面加上一个把
看成锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限” ．
.
11
学以致用
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
思考３：210°角与30°角的三角函数 值 有何关系？
.
7
归纳总结
诱导公式（二）：
sin ( ) sin
c o s( ) c o s
ta n ( )ta n
.
8
猜一猜，证一证
（３）．角的终边在坐标系中还有哪 些对称关系？你还有什么发现吗？
y
α的终 边
π-α 的终边
y
α的终边
o
x
-α的终边
角度a 0°
弧度a
6
sina
45°
180° 270°
2
2π
cosa
tana
观察0°与360°它们的三角函数值你有什么发现？还能
举出这样的例子吗?能解释其.中的理由吗？
4
观察与思考
2.你能求sin390°的值吗？
终边相同的角同一三角函数值相等.
.
5
归纳总结
α的终边 y
诱导公式（一）：
． P(x,y)
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π－α）=－sinα，
sin（3π－α）=s２７
２，３，６
再见！
.
17
1.3.1三角函数的诱导公式(1)
青岛国开中学城阳分校 艾洪伟
.
1
回忆与整理
前几节我们学习了哪些知识和方法？
.
2
温故知新
任意角三角函数的定义
定义 单位圆中
一般地
图
象
sin
cos
tan
y
P(x,y) 。
α
O
A(1,0) x
y
x
y
x
.
。P(x,y) y
O
x
|OP|r(r0)
y
r
x r
y
x
3
想一想，记一记 2. 填写下表：
化简：
1、 sin(1800)cos( )sin(1800) 2、 sin3()cos2( )tan()
.
14
例2 已知cos(π＋x)＝ 1 ，求下列
各式的值：
3
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
练一练：
.
15
课堂小结
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立.
“函数名不变，符号看象限” ．
.
o
x
9
归纳总结
公式一：
公式四：
sin(2k) sin
sin( ) sin
cos(2k)cos (kZ) cos( ) cos
tan(2k) tan
tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
o
x cos( k 2 ) cos
tan( k 2 ) tan
(k z)
利用诱导公式一，我们可以把任意角三角
函数的求值问题转化为0. 0～3600的求值问题. 6
观察与思考
思考1：210°角与30°角的有何关系？
思考２：210°角与30°角的终边有何 关系？
由这几个例子你能归纳利用诱导公式把任
意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般
步骤吗？
.
12
归纳总结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
用公式三或一 任意正角的 三角函数
用公式一
0 o到360o的角 用公式
的三角函数 二或四
锐角三 角函数
.
13
学以致用
.
10
归纳总结
诱导公式小结
公式一~四可用下面的话来概括：
2k(kZ),,的三角函数值， 等于角的同名函数值，前面加上一个把
看成锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限” ．
.
11
学以致用
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
思考３：210°角与30°角的三角函数 值 有何关系？
.
7
归纳总结
诱导公式（二）：
sin ( ) sin
c o s( ) c o s
ta n ( )ta n
.
8
猜一猜，证一证
（３）．角的终边在坐标系中还有哪 些对称关系？你还有什么发现吗？
y
α的终 边
π-α 的终边
y
α的终边
o
x
-α的终边
角度a 0°
弧度a
6
sina
45°
180° 270°
2
2π
cosa
tana
观察0°与360°它们的三角函数值你有什么发现？还能
举出这样的例子吗?能解释其.中的理由吗？
4
观察与思考
2.你能求sin390°的值吗？
终边相同的角同一三角函数值相等.
.
5
归纳总结
α的终边 y
诱导公式（一）：
． P(x,y)
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π－α）=－sinα，
sin（3π－α）=s２７
２，３，６
再见！
.
17
1.3.1三角函数的诱导公式(1)
青岛国开中学城阳分校 艾洪伟
.
1
回忆与整理
前几节我们学习了哪些知识和方法？
.
2
温故知新
任意角三角函数的定义
定义 单位圆中
一般地
图
象
sin
cos
tan
y
P(x,y) 。
α
O
A(1,0) x
y
x
y
x
.
。P(x,y) y
O
x
|OP|r(r0)
y
r
x r
y
x
3
想一想，记一记 2. 填写下表：
化简：
1、 sin(1800)cos( )sin(1800) 2、 sin3()cos2( )tan()
.
14
例2 已知cos(π＋x)＝ 1 ，求下列
各式的值：
3
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
练一练：
.
15
课堂小结
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立.
“函数名不变，符号看象限” ．
.
o
x
9
归纳总结
公式一：
公式四：
sin(2k) sin
sin( ) sin
cos(2k)cos (kZ) cos( ) cos
tan(2k) tan
tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan