集合中元素的个数(学习课资)
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理解无限的关键——一一对应 （3）无限集中元素的个数——基数 与此相关的一个定义：
若在一个集合与全体正整数集合之间
存在一一对应，则称这个集合是可数的。
公开课资
9
（4）几个令人吃惊的例子 Z 1,2,3,4,5,...与2,3,4,5,...的基数相同吗？
全体正整数和全体整数一样多吗？
全体正整数和全体有理数一样多吗？
试分析 A∪B、 A、B、A∩B中元素个数的关系.
公开课资
2
解：设A={田径运动会参赛的学生}， B={球类运动会参赛的学生}，那么，
A∩B={两次运动会都参赛的学生}， A∪B={参赛的学生}。 ∴ card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） =8+12－3=17。 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。
人数 131 117 152 61 79 62
53
表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科 优秀者里也包括两科以上的优秀者。 有人说上面的统计表有误，你认为呢？
由统计表计算高三年级共有 131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以统计表有误.
公开课资
6
例4. 在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐 爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术 和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？
例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来
定义的集合是S的元素。”可以看到，S是包含它自身
为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集”。我们
考查“所有普通集组成的集”，称它为C。那么C本身
是普通集还是非普通集？如果C是普通集，由于C定义
为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。
这样的话，C必须是非普通集。这是一个矛盾。因此
是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？
公开课资
12
集合论危机重重：
“数学中的无穷无尽，其诱人之处在于 它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的 理论之花。”——E.Kasner and J.Newman
公开课资
13
2.罗素悖论
大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们
称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，
阅读材料 集合中元素的个数
公开课资
1
例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8
名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个
班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3
人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参
赛？
分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B
为球类运动会参赛的学生的集合。那么A∩B就
是两次运动会都参赛的学生的集合。
的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事 物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的共同分子所 组成的类，运算是逻辑乘法；x＋y表示x和y两类所合成的类， 运算是逻辑加法。
布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是 类而是命题，则x＝1表示的是命题 x为真，x＝0表示命题x 为假，1－x表示x的否定等等。显然布尔的演算构成一个代 数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。
即 25=2x+x-5
x=10
参加数学小组20人，参加物理小组10人.
公开课资
4
card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） 能否推广？试写出三个集合类似公式.
公开课资
5
例3. 某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的 人数及科目如下表;
科目数
单科
两科
三科
科目 语 数 外 语数 数外 语外 语数外
用图来求解 ：
A
AB B
(5)
(3) (9)
公开课资
3
例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加 物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外 小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组 的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的 人数各是多少？
card（A∪B）
= card（A）+ card（B）－card（A∩B）
现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出 一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这 正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这 样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为 符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此 影响不大。
公开课资
21
真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出 版了《逻辑的数学分析》，给出了现代所谓的“布尔代数”
C必须是非普通集，但这时C包含了一个非普通集
（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义
相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是C的存在，
就已经使我们陷入矛盾。
公开课资
14
罗素的理发师悖论
公开课资
15
其他一些悖论
（1）芝诺悖论 1）二分法悖论 2）阿基里斯和乌龟
公开课资
16
公开课资
17
公开课资
部分＝整体？！
公开课资
10
（5）问题的提出
是不是所有的无限集都有相同的基数呢？
康托在1973年11月29日给戴德金的信中提出： Z和R之间是否存在着一个一 一对应的关系？
11月29日－12月7日，康托给无限的理论奠定了 基础。他创造了一种适用于无限集的新数体 系——超限数，以解决无限集的基数比较问题。
最多63人，最少38人.
公开课资
7
问题的提出：
无限集中元素的个数？！
Z 1,2,3,4,5,...中元素有多少个？ 集合A 2,3,4,5,...中元素的个数？
R中元素有多少个？ 是不是所有的无限集都有相同的个数呢？
公开课资
8
1.无限 （1）初识无限 （2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？
18
代数源自文库论：
公开课资
19
数理逻辑诞生
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20
数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生， 在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算 变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解 析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少 数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科 学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同 时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并 没有系统地发展这种思想。
公开课资
11
Z 1,2,3,4,5,...的基数被称作超限数的 第一个数 0.
若在一个集合与全体正整数集合之间存在一 一对应，则称这个集合是可数的。
实数集是不可数的 1 。
1 —实数、一直线上的点、平面上的点 及高维空间的任一部分的点的基数。
实数集（0，1）是不可数的。 无理数集是不可数的（有理数集可数）。
若在一个集合与全体正整数集合之间
存在一一对应，则称这个集合是可数的。
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9
（4）几个令人吃惊的例子 Z 1,2,3,4,5,...与2,3,4,5,...的基数相同吗？
全体正整数和全体整数一样多吗？
全体正整数和全体有理数一样多吗？
试分析 A∪B、 A、B、A∩B中元素个数的关系.
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2
解：设A={田径运动会参赛的学生}， B={球类运动会参赛的学生}，那么，
A∩B={两次运动会都参赛的学生}， A∪B={参赛的学生}。 ∴ card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） =8+12－3=17。 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。
人数 131 117 152 61 79 62
53
表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科 优秀者里也包括两科以上的优秀者。 有人说上面的统计表有误，你认为呢？
由统计表计算高三年级共有 131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以统计表有误.
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例4. 在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐 爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术 和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？
例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来
定义的集合是S的元素。”可以看到，S是包含它自身
为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集”。我们
考查“所有普通集组成的集”，称它为C。那么C本身
是普通集还是非普通集？如果C是普通集，由于C定义
为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。
这样的话，C必须是非普通集。这是一个矛盾。因此
是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？
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12
集合论危机重重：
“数学中的无穷无尽，其诱人之处在于 它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的 理论之花。”——E.Kasner and J.Newman
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13
2.罗素悖论
大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们
称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，
阅读材料 集合中元素的个数
公开课资
1
例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8
名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个
班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3
人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参
赛？
分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B
为球类运动会参赛的学生的集合。那么A∩B就
是两次运动会都参赛的学生的集合。
的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事 物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的共同分子所 组成的类，运算是逻辑乘法；x＋y表示x和y两类所合成的类， 运算是逻辑加法。
布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是 类而是命题，则x＝1表示的是命题 x为真，x＝0表示命题x 为假，1－x表示x的否定等等。显然布尔的演算构成一个代 数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。
即 25=2x+x-5
x=10
参加数学小组20人，参加物理小组10人.
公开课资
4
card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） 能否推广？试写出三个集合类似公式.
公开课资
5
例3. 某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的 人数及科目如下表;
科目数
单科
两科
三科
科目 语 数 外 语数 数外 语外 语数外
用图来求解 ：
A
AB B
(5)
(3) (9)
公开课资
3
例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加 物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外 小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组 的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的 人数各是多少？
card（A∪B）
= card（A）+ card（B）－card（A∩B）
现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出 一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这 正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这 样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为 符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此 影响不大。
公开课资
21
真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出 版了《逻辑的数学分析》，给出了现代所谓的“布尔代数”
C必须是非普通集，但这时C包含了一个非普通集
（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义
相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是C的存在，
就已经使我们陷入矛盾。
公开课资
14
罗素的理发师悖论
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15
其他一些悖论
（1）芝诺悖论 1）二分法悖论 2）阿基里斯和乌龟
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16
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17
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部分＝整体？！
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10
（5）问题的提出
是不是所有的无限集都有相同的基数呢？
康托在1973年11月29日给戴德金的信中提出： Z和R之间是否存在着一个一 一对应的关系？
11月29日－12月7日，康托给无限的理论奠定了 基础。他创造了一种适用于无限集的新数体 系——超限数，以解决无限集的基数比较问题。
最多63人，最少38人.
公开课资
7
问题的提出：
无限集中元素的个数？！
Z 1,2,3,4,5,...中元素有多少个？ 集合A 2,3,4,5,...中元素的个数？
R中元素有多少个？ 是不是所有的无限集都有相同的个数呢？
公开课资
8
1.无限 （1）初识无限 （2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？
18
代数源自文库论：
公开课资
19
数理逻辑诞生
公开课资
20
数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生， 在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算 变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解 析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少 数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科 学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同 时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并 没有系统地发展这种思想。
公开课资
11
Z 1,2,3,4,5,...的基数被称作超限数的 第一个数 0.
若在一个集合与全体正整数集合之间存在一 一对应，则称这个集合是可数的。
实数集是不可数的 1 。
1 —实数、一直线上的点、平面上的点 及高维空间的任一部分的点的基数。
实数集（0，1）是不可数的。 无理数集是不可数的（有理数集可数）。