(完整版)一元二次方程能力拔高题

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一元二次方程的正整数解拔高题

训练专题三——一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_________个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_________个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=_________．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_________．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_________．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（）A．B．C．D．三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．15．（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0 至少有一个整数根，求a的值．16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。

人教版九年级数学上《一元二次方程》拔高练习

《一元二次方程》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，2，9B．3，﹣2，9C．﹣3，﹣2，﹣9D．3，﹣2，﹣9 2．（5分）关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜D．a＞3．（5分）方程x2+mx﹣3x＝0不含x的一次项，则m＝（）A．0B．1C．3D．﹣34．（5分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．（5分）已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019B．﹣2019C．4038D．﹣4038二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝．7．（5分）关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝．8．（5分）已知方程x2﹣2019x+1＝0的一个根为a，则a+的值为．9．（5分）已知4是关于x的方程x2﹣3mx+4m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为．10．（5分）已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．12．（10分）已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．13．（10分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．14．（10分）方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0（1）m为何值时，方程是一元二次方程；（2）m为何值时，方程是一元一次方程．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．（2）设BC＝a，AC＝4．①若AD＝EC，求a的值．②线段AD的长是方程x2+2ax﹣16＝0的一个根吗？说明理由．《一元二次方程》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，2，9B．3，﹣2，9C．﹣3，﹣2，﹣9D．3，﹣2，﹣9【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣2，﹣9，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c ＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．（5分）关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜D．a＞【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，可以得到△＜0，从而可以求得a 的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣a）＜0，解得，a＜0，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，知道方程无实数根时△＜0．3．（5分）方程x2+mx﹣3x＝0不含x的一次项，则m＝（）A．0B．1C．3D．﹣3【分析】根据结果不含x的一次项，确定出m的值即可．【解答】解：由方程不含x的一次项，得到m﹣3＝0，解得：m＝3，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．4．（5分）已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得：1+m﹣2＝0，解得：m＝1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．5．（5分）已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（）A．2019B．﹣2019C．4038D．﹣4038【分析】把x＝m代入方程求出m2﹣2m＝2019，把2m2﹣4m化成2（m2﹣2m）代入求出即可．【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣2019＝0，则m2﹣2m＝2019，∴2m2﹣4m＝2（m2﹣2m）＝2×2019＝4038，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2﹣2m当作一个整体来代入．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝2．【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，∴2+2k+1+[﹣（4k﹣1）]＝0，解得：k＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c ＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7．（5分）关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝3．【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1＝2，再解即可．【解答】解：∵关于x的方程x a﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，∴a﹣1＝2，解得：a＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．8．（5分）已知方程x2﹣2019x+1＝0的一个根为a，则a+的值为2019．【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，再利用整体代入的方法变形原式得到结论．【解答】解：∵a是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，∴a2﹣2019a+1＝0，∴a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，∴a+＝a+＝a+＝＝＝2019，故答案为：2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．（5分）已知4是关于x的方程x2﹣3mx+4m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为10．【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x＝4代入方程求出m得到原方程为x2﹣6x+8＝0，再解此方程得到得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为4，底边为2，再计算三角形的周长．【解答】解：把x＝4代入方程得x2﹣3mx+4m＝0，解得m＝2，则原方程为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为2，则△ABC的周长为4+4+2＝10；②当△ABC的腰为2，底边为4时，不能构成三角形．综上所述，该三角形的周长的10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键．10．（5分）已知m为一元二次方程x2﹣3x+5＝0的一根，则代数式2m2﹣6m+2029的值为2019．【分析】把x＝m代入已知方程可以求得m2﹣3m＝﹣5，然后将其整体代入所求的代数式并求值．【解答】解：∵实数m是关于x方程x2﹣3x+5＝0的一根，∴m2﹣3m+5＝0，∴m2﹣3m＝﹣5，∴2m2﹣6m+2029＝2（m2﹣3m）+2029＝2019．故答案为：2019．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知x＝﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2＝0的一个根，求a的值．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2＝0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入x2+2ax+a2＝0得1﹣2a+a2＝0，解得a1＝a2＝1，所以a的值为1【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型12．（10分）已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．【分析】把x＝1代入已知方程得到关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：把x＝1代入x2+ax﹣2＝0，得12+a﹣2＝0，解得a＝1．根据根与系数的关系得到方程的另一根为：＝﹣2．综上所述，a的值为1，该方程的另一根是﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．（10分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m＝1，即可求解．【解答】解：根据题意得：m2+3m﹣1＝0，∴m2+3m＝1，∴2m2+6m﹣3＝2（m2+3m）﹣3＝2﹣3＝﹣1．【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．14．（10分）方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0（1）m为何值时，方程是一元二次方程；（2）m为何值时，方程是一元一次方程．【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的值；（2）由一元一次方程的定义得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m 的值．【解答】解：（1）∵关于方程（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故m为﹣3时，方程是一元二次方程；（2）∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，解得m＝3或m＝±2或m＝±故m为3或±2或±时，方程是一元一次方程．【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．（2）设BC＝a，AC＝4．①若AD＝EC，求a的值．②线段AD的长是方程x2+2ax﹣16＝0的一个根吗？说明理由．【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，先求出∠BCD，再求∠ACD的度数；（2）①利用勾股定理得到关于a的方程，求解即可；②利用勾股定理用含a的代数式表示出AD，把AD代入方程验证是不是方程的根即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝90°﹣28°＝62°∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝＝59°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣59°＝31°（2）①∵AD＝EC，AD＝AE，AC＝4，∴AD＝EC＝AE＝2∵BC＝BD＝α，∴AB＝2+α∵AB2＝BC2+AC2，即（a+2）2＝a2+42，∴a＝3②∵BC＝α，AC＝4，∴AB＝∴AD＝﹣α∵当x＝AD＝﹣α时，x2+2ax﹣16＝（﹣α）2+2α（﹣α）﹣16＝16+a2﹣2a+a2+2a﹣2α2﹣16＝0∴AD的长是该方程的一个根．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质及勾股定理．。

一元二次方程能力拔高题

1.当k 为何值时，关于x 的方程 ()()021122=-++-x k x k 有实数根2.已知方程02=---+ab x xb a b a 是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值3设01033=-+-x xa 和0843=++-bx xb 都是关于x 的一元二次方程，求：()()20132012.b a b a -+的值。

4解下列方程：（1）05222+--x x（2）022162132=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x（3）()()5553+=+x x x （4）022=--x x5已知方程()m m x m x 214222+=-- 求证：不论m 为何值，次方程均有两个不相等的实根。

6已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 02=++a cx bx 02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，求abc ac b bc a 222++的值。

7 已知0122=-+a a 01224=--b b 试求2012221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b ab 的值。

8关于x 的方程02)1(2=-+-x k x 和方程0)1(22=+--k k x x 只有一个相同的实根，求k 的值及公共根。

9已知 a.b.c 分别是三角形ABC 的三边长。

当m>0时，关于x 的一元二次方程()()0222=--++ax m m x b m x c 有两个不相等的实根，试判断三角形ABC 的形状。

10已知方程0652=++x x 与方程0222=++m x x 的公共根和方程02432=-+x x 与方程021212=++n x x 的公共根相同，求m ，n 的值。

11 m ，n 是方程0122=--x x 的两个根，且()()1276314722=--+-n n a m m 求a 的值。

12 甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和5 。

乙把常数项看错了得两根为62+和62-，求原一元二次方程。

一元二次方程拔高练习题

一元二次方程检测题802姓名分数一、选择填空题（20*2=40分）1.解下列方程x 2-6x-7=0, 2x 2-50=0, 3(4x-1)2=(1-4x), 3x 2-5x-6=0，较简便的方法依次是（）A ．因式分解法、公式法、配方法、公式法B ．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法C ．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法D ．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法2.下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（）A.-1或-2B.-1或2C.1或-2D.1或24.已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（） A.3 B.3 C.6 D.65.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0）的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是（）A.3b 2＝8acB.a c a b 2325922=C.6b 2＝25acD.不能确定 6.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20097.若一元二次方程的两根x 1、x 2满足下列关系：x 1x 2+x 1+x 2+2=0,x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0. 则这个一元二次方程是（）A.x 2+x+3=0B.x 2-x-3=0C.x 2-x+3=0D.x 2+x-3=08.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为9.若=•=-+y x 则y x 324,035210.()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a11.已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为12.已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为13.若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为14.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积为 15.若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为16.已知方程012=++mx x 与02=--m x x 有一个公共实根，则字母系数m=17.已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_______18.已知3-=+b a ，1=ab ，则=+b a 8319.已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n 则=+mn n m 20.若p 、q 是方程01)2(2=+-+x m x 的两个实根，则=++++)1)(1(22mq q mp p二、解答题（110）21.已知x=2是关于x 的方程2x 2+mx-4=0的一个根，求m 的值及另一个根。

一元二次方程拔高训练

一元二次方程拔高训练知识能力提升一、一元二次方程的定义的理解：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调：2、将一元二次方程化为一般形式时要注意：二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =，则2x =_____，1x =______，2x =_______。

2、配方法：解法步骤：①化二次项系数为______,即方程两边都_______二次项系数；②移项：把________项移到方程的_______边；③配方：方程两边都加上________________,把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程; 若方程右边是负数，则_____.3、公式法：如果方程()200ax bx c a ++=≠满足_________，则方程的求根公式为:4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生_________的形式，则可将原方程化为两个__________方程，即_________、__________,从而得方程的两根.三、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的情况由__________决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号________表示.①当_______时，方程有两个不等的实数根②当________时，方程看两个相等的实数根③当________时，方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根分别为12x x 、,则12x x += ，12x x = 。

五、一元二次方程的应用：常见题型：增长率问题：连续两次增长或降低的百分数相同时方程可列为：利润问题：单件利润= × 或单件利润=总利润= × 或总利润= —几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要____,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件解题能力提升方程有两个实数跟，则考点一：一元二次方程的解例1：若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b += ．考点二：一元二次方程的解法例2：配方法解方程：（1）2x 6x 40--=．（2）x 2-8x-1=0例3选用合适解法解方程：（1）2x 2x 3+=． (2)2x 3x 20-+=．考点三：一元二次方程根与系数的关系例4. 、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22=4，则m 的值为．考点四：根的判别式的运用例5. 如果关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x ﹣1=0有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是____________.训练1、已知关于x 的一元二次方程22(23)20x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为12x x 、，且满足221212x x 31|x x |+=+，求实数m 的值．考点五：一元二次方程的应用--增长率问题：-例6. 某楼盘2014年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2016年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为_______________________．考点六：一元二次方程的应用—销售问题例7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【过关训练】一、选择题1．如果20x x 1x 1--=+（），那么x 的值为（） A ．2或-1 B ．0或1 C ．2 D ．-12．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x 13x 360-+=的两根，则该三角形的周长为（）A ．13B ．15C ．18D ．13或183．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A ．-2B ．2C ．4D ．-34．已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2-7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2+7x-12=0D ．x 2-7x-12=05．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两根，则x 12+x 22=（）A ．6B ．8C ．10D ．126．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（）7．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3，则原铁皮的边长为（）A ．10cmB ．13cmC ．14cmD ．16cm二、填空题8．一元二次方程2x 30+-=的解是_________________．9．已知一元二次方程x 2-4x-3=0的两根为m ，n ，则m 2-mn+n 2=________．10．已知关于x 的一元二次方程2x k 0--=有两个相等的实数根，则k 值为______．11．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程2220x x m m ++-=有一个实数根为-1，求m 的值及方程的另一实根．13．关于x 的一元二次方程22x 2k 1x k 10++++=（）有两个不等实根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根x 1，x 2满足1212|x x |x x += ，求k 的值．14.如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m 2，求小路的宽．15．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？。

人教版九年级数学上《实际问题与一元二次方程》拔高练习

《实际问题与一元二次方程》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“”带，鲜花带一边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长xm，可列方程为（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x+1）（x+2）＝18D．x2+3x+16＝02．（5分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%3．（5分）某校的羽毛球队有若干名队员，任意两名队员间进行一场友谊赛，共比赛了36场，如果全队有x名队员，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．＝36D．＝36 4．（5分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）25．（5分）在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A．9B．10C．12D．15二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为．7．（5分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．8．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为．9．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意，可列方程为．10．（5分）某大型超市连锁集团元月份销售额为300万元，三月份达到了720万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为x，则根据题意列出方程是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）12．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3cm/s．（1）如果P、Q分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21cm2？（2）如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51cm2？说明理由．13．（10分）“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了a%，求a的值．14．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了40米木栏，所围成的矩形菜园的面积为150平方米，求矩形菜园的边长BC和AB．15．（10分）【知识链接】一年分为四个季度，一至三月为第一季度，四至六月为第二季度，七至九月为第三季度，十至十二月为第四季度．【百姓生活】庆庆公司2018年一至四月每月有a万元产值，由于受国际贸易市场传导影响，五月、六月产值出现下滑现象（每月仍有一定数量产值），第三季度得益于优惠政策，产值迅速反弹，创造了363万元产值新高．已知一至三季度产值的平均增长百分数与第二季度中的月产值平均降低百分数相同，按上述月产值之间增长率统计的第二季度产值比按季度产值之间增长率统计的第二季度产值少0.59a万元．【问题解决】（1）试用a代数式表示第一季度产值；（2）①求一至三季度产值的平均增长百分数；②求a的值．《实际问题与一元二次方程》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“”带，鲜花带一边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长xm，可列方程为（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x+1）（x+2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．2．（5分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%【分析】本题主要考查了一元二次方程，因为求的是平均每次下调的百分率，所以设一个未知数就可以，列出方程，解出即可．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x则：1500•（1﹣x）•（1﹣x）＝12150∴（1﹣x）2＝0.81∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9解得：x＝0.1或x＝1.9∵x＜1∴x＝1.9（舍）∴x＝0.1答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．【点评】本题关键是列一元二次方程，以及解一元二次方程，本题采用的是开平方法解一元二次方程．3．（5分）某校的羽毛球队有若干名队员，任意两名队员间进行一场友谊赛，共比赛了36场，如果全队有x名队员，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．＝36D．＝36【分析】两名队员间进行一场比赛，x名同学比赛总场数＝x（x﹣1），即可列方程求解．【解答】解：设有x名同学，每个队员都要赛（x﹣1）场，但两人之间只有一场比赛，故x（x﹣1）＝36．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系为：比赛场数＝人数×（人数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．4．（5分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，∴商品现在的价格为：100（1+x）2，∴100（1+40%）（1+10%）＝100（1+x）2，整理得：（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．5．（5分）在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A．9B．10C．12D．15【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）＝90，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．即参加此次活动的人数是10人．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为6+3．【分析】设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），由矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），由题意得：x（3×4﹣x）＝2×3×3，整理得：x2﹣12x+18＝0，解得：x1＝6+3，x2＝6﹣3（不合题意，舍去）．故答案为：6+3．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（5分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是100（1+x）2＝144．【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2＝144．故答案为：100（1+x）2＝144．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．8．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为2．【分析】利用勾股定理可求出BC的长，当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，利用三角形的面积公式结合四边形APQB的面积是16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，∴BC＝＝6cm．当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，根据题意得：×6×8﹣（8﹣2t）（6﹣t）＝16，整理得：t2﹣10t+16＝0，解得：t1＝2，t2＝8．∵8﹣2t≥0，∴t≤4，∴t＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为（x+1）尺，根据题意，可列方程为（x+1）2＝x2+52．【分析】直接根据题意表示出各线段长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为：（x+1）尺，根据题意，可列方程为：（x+1）2＝x2+52．故答案为：（x+1）；（x+1）2＝x2+52．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确应用勾股定理是解题关键．10．（5分）某大型超市连锁集团元月份销售额为300万元，三月份达到了720万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为x，则根据题意列出方程是300（1+x）2＝720．【分析】为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果二，三月份平均每月的增长率为x，根据“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，根据题意可得出300（1+x）2＝720．【解答】解：设二，三月份平均每月的增长率为x，已知“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，根据题意可得出：300（1+x）2＝720．故答案为：300（1+x）2＝720．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2＝c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1﹣x）2＝12150，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1﹣0.98）＝24300，方案②可优惠：250×100＝25000，25000﹣24300＝700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．12．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3cm/s．（1）如果P、Q分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21cm2？（2）如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51cm2？说明理由．【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和路程＝速度×时间进行求解即可．（2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答．【解答】解：由已知得，12÷3＝4，16÷2＝8∴点P从点B移动到点A需要4秒，然后再返回到B点，仍需要4秒；点Q从点B移动到点C，需要8秒．设时间为t，则△PBQ的面积S△PBQ与时间t的关系如下：当0﹣4秒时，当4﹣8秒时，（1）如果面积为21cm2当0﹣4秒时，3t2＝21，，所以，．当4﹣8秒时，﹣3t2+24t＝21，所以t＝7，t＝1（舍去）．∴如果P、Q分别从点B同时出发，那么秒和7秒后△PBQ的面积都等于21cm2．（2）如果面积为51cm2当0﹣4秒时，3t2＝51，，所以，．当4﹣8秒时，﹣3t2+24t＝51，整理，得t2﹣8t+17＝0，由b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×17＝﹣4＜0，可知这个方程无解；∴如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积不能等于51cm2．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．（10分）“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了a%，求a的值．【分析】题目明确给出了工作总量为10×10个饺子，工作时间10分钟，再设一个工作速度即能列得等量关系．（1）题干中明确给出妈妈和小侨包饺子的速度关系，设一个未知数即可表示两人的速度．问题出现“至少”说明应列不等式解题，即若小侨速度加快的话，包的饺子总量有可能大于100个．（2）明确了小侨的速度，妈妈速度提升的是一个百分数，所用是原来速度再乘以（1+a%），所用时间减少的也是一个百分数，应是10×（1﹣a%）．小侨速度×时间+妈妈速度×时间＝100个．计算时先把含a%的式子化简，能帮助准确计算．【解答】解：（1）设小侨每分钟包x个饺子，则妈妈每分钟包（2x﹣2）个饺子，得：10x+10（2x﹣2）≥10×10解得：x≥4（2）依题意得：小侨每分钟包4个饺子，妈妈每分钟包饺子数量为6×（1+a%）＝6+a，包饺子总时间为10×（1﹣a%）＝10﹣a，列得方程：（6+a）（10﹣a）+4（10﹣a﹣a）＝100解得：a1＝0（舍去），a2＝40答：（1）小侨每分钟包至少包4个饺子；（2）a的值为40．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用，解题关键是（1）找准是等量关系还是不等量关系；（2）提升或减少的是一个百分数，带a%式子的准确计算．14．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了40米木栏，所围成的矩形菜园的面积为150平方米，求矩形菜园的边长BC和AB．【分析】设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形菜园的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入40﹣2x中可求出BC的长，取其小于20的值即可．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，依题意，得：x（40﹣2x）＝150，整理，得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15．当x＝5时，40﹣2x＝30＞20，不合题意，舍去；当x＝15时，40﹣2x＝10．答：矩形菜园的边长BC为10米，AB为15．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（10分）【知识链接】一年分为四个季度，一至三月为第一季度，四至六月为第二季度，七至九月为第三季度，十至十二月为第四季度．【百姓生活】庆庆公司2018年一至四月每月有a万元产值，由于受国际贸易市场传导影响，五月、六月产值出现下滑现象（每月仍有一定数量产值），第三季度得益于优惠政策，产值迅速反弹，创造了363万元产值新高．已知一至三季度产值的平均增长百分数与第二季度中的月产值平均降低百分数相同，按上述月产值之间增长率统计的第二季度产值比按季度产值之间增长率统计的第二季度产值少0.59a万元．【问题解决】（1）试用a代数式表示第一季度产值；（2）①求一至三季度产值的平均增长百分数；②求a的值．【分析】（1）将一至三月的产值相加即可得出结论；（2）①设一至三季度产值的平均增长率为x，由按月产值计算出的第二季度产值比按季度产值计算出的第二季度产值少0.59a万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；②根据第一、三季度的产值及一至三季度产值的平均增长率，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【解答】解：（1）第一季度的产值为3a万元．（2）①设一至三季度产值的平均增长率为x，依题意，得：3a（1+x）﹣0.59a＝a+a（1﹣x）+a（1﹣x）2，整理，得：x2﹣6x+0.59＝0，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝5.9（不合题意，舍去）．答：一至三季度产值的平均增长率为10%．②依题意，得：3a（1+10%）2＝363，解得：a＝100．答：a的值为100．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）用含a的代数式表示出第一季度的产值；（2）①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．。

一元二次方程的正整数解拔高题

中考一元二次方程及其应用--拔高题

中考一元二次方程一选择题1. （2011甘肃兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．2210x x+= B ． 20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --=2．（10巴中）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根 3.关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、无实数根D 、不能确定 4.方程2x (x －3)=5（x －3）的根是（）A. 52x =B.3C. 1253,2x x ==D. 125,32x x =-=-5. （2011哈尔滨）若x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．则m 的值是（） A.6 B.5 C.2 D.﹣66.已知ac ＜0，则方程ax 2－bx +c =0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根7.（2011张家界）已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（） A 、1 B 、﹣1 C 、0 D 、无法确定8. （2011乌鲁木齐）关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为（）A 、－1 B 、0 C 、1 D 、－1或19. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-10.若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A.k ＜－1 B.k ＞－1，且k ≠0 C. k ＜1 D. k ＜1，且k ≠011.若代数式x 2+8x +m 是一个完全平方式，则m 的值为（）A.4B.－4C.16D.－16 12．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（）Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-13. （2011兰州）关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .14.（2010年，2分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ． 23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++= 15.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A.24 B.24或 C.48 D.16.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A 、3 C 、6 D 、917. （2011•台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为421平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（）A 、11B 、12C 、13D 、1418. （2011甘肃兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（）A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -=19. （2011贵州毕节）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元，下列所列方程正确的是( )A ．128%)1(1602=+aB ．128%)1(1602=-aC ．128%)21(160=-aD ．128%)1(160=-a 20.（2011湖北黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n 个点最多可确定21条直线．则n 的值为（）A ．5 B ．6 C ．7 D ．821. （2011云南保山）据调查，某市2011年的房价为4000元/m 2，预计2013年将达到4840元/m 2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（）A ．4000(1+x )=4840B ．4000(1+x )2=4840C ．4000(1-x )=4840D ．4000(1-x )2=4840 二填空题1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3. （2011梧州）一元二次方程x 2+5x+6=0的根是．4.x 2+6x + =(x +3)2.5.（2010年，3分）已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为．6. （2011江苏镇江常州）已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是．7. （2011山东滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______.8. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 9．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 10．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝时，两根互为倒数；当m ＝时，两根互为相反数.11.已知方程mx 2－mx +2=0有两个相等的实数根，则m 的值为 . 12.若x =1是一元二次方程x 2+x +c +=0的一个解，则c 2= .13．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）14.当x= 时，分式2231x x x +--的值为0.15．若x1=23-是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2= .16．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________，1211x x+＝__________，(x1－x2)2＝_______.17. （2011•宁夏）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为．18. （2011山西）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力． 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．19. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长是．20. （2011•山西）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，21. （2011•江苏宿迁）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．22. （2011天水）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．三、解答题1.解方程 4x2－8x＋1＝0（用配方法）；2.当m为何值时，关于x的一元二次方程21402x x m-+-=有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？3.已知关于x的一元二次方程x2+(m－2)x－m－1=0，试说明无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根.4.（2011湖北黄石6分）解方程：0)10553(|4|222=--+--yxyx．5.已知a ，b ，c 2410b c ++-=（），求方程ax 2+bx +c =0的解.6. （2011山东淄博）已知：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14=0的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？7. （2011山东日照8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．8. （2011年广西桂林8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？9. （2011新疆建设兵团10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P （个）与每个书包销售价x （元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？10. （2011湖北十堰6分）请阅读下列材料：问题：已知方程x 2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。

一元二次方程综合提高精选题含答案

一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。

②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。

∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。

令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。

综上所述，正确的结论有2个：②③。

故选C。

2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。

∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3。

一元二次方程综合提高题

一元二次方程根的综合提高一、一元二次方程根的符号或根的分布例1 实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ，（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；（3）一根大于3，一根小于3．变式训练1.已知二次方程2(23)100x k x k --+-=的两根都是负数，求k 的取值范围？2.关于x 的二次方程)0(04)1(22≠=---m x m mx 的两根一个比1大，另一个比1小，求m 的取值范围？3. 已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长．（1）求k 的取值范围；（2）当矩形的对角线长为5时，求k 的值．二、求根公式法分解因式分解因式⑴21664x x -+ ⑵ 2215x x -- ⑶2673x x -- ⑷ 221x x +-韦达定理：如果一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠有两根12,x x ，那么两根之和12_____x x +=，两根之积：12____x x ⋅=由此可将多项式2axbx c ++分解因式：222121212()()()()b c ax bx c a x x a x x x x x x a aa x x x x ⎡⎤++=++=-++⎣⎦=--这种方法就叫求根公式法分解因式。

例2 分解因式： ⑴ 244x x +- ⑵ 2241x x +-变式训练：分解因式：⑴221x x -- ⑵ 2234x x -- ⑶ 2361x x --三、一元二次方程与三角形综合问题例3．已知关于x 的方程x 2－（2m －1）x +2(m －1)＝0。

（1）求证：无论m 为何值，这个方程总有实数根。

（2）如果等腰三角形的一边a ＝8，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求这个三角形的周长。

变式训练1. 已知等腰△ABC 的一边a ＝8，另两边b 和c 恰好是方程：2120x kx -+=的两根，求△ABC 的周长。

一元二次方程拔高.docx

一元二次方程拔高知识点 ---- 元二次方程的定义例1关于工的方程（i 珈宀-卄3 = 0 是一元二次方程，那么m=例2若5X 2=6X -8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是例3若方程十灰応一1 = °是关于工的—元二次方程，则m 的取值范围是（）B. m>— I J=L m/1C. m>- 1D. m>—1 丄L n#l2例4关于x 的方程G+1）x a "2a_1+x-5=0是一元二次方程，则&=例5若关于x 的一元二次方程-lii+2-O 的常数项是o,则加的值是例6方程（«-2）^'3 +（3-2 = 0 一元二次方程，则曲例8已知关于x 的方程（/ +»-l-tf 3-1=0（1）当。

为何值时，方程是一元一次方程；（2）当。

为何值吋，方程是一元二次方程；（3）当该方程冇两个实根，其中一根为0时，求a 的值. A. m=±3 B. m=3 C. m=—3 D> m=9A 、5, 6, —8 5, —6, —8 C 、5, -6, 8 D 、6, 5, -8A ・ mH±l A- 1 B- 2 C. 1 或2 D- 0例7已知x 是一元二次方程x 1 +3K - I = 0的实数根，求代数式：的值.例9已知曲是方程^+2^-5 = 0的一个根，求M^+2M?-5IM-9的值.例10若二为方^ + «-S=O的解，则＜^+a+l的值为（）A.12B.6C.9D.16. a /_2007”^^a例11设a是方程x a-2006x+l=0的一个根，求代数式2006的值. 例12若x=l是方程mx2+3x+n=0的根，求（m—n）2+4mn的值。

例13如果a+b = 2石+4屈一5,求a+2b的值.知识点二解一元二次方程例1解方程：（畫47）（畫4》_仗一°（兀45）=42例2请用指定的方法解下列方程：©3x J+8x-3 = 0 （配方法）②2F-5x42 = 0（公式法）③（2*4呼=4（2"3）（因式分解法）例3解方程：1~八4H谒一卵一呼=0例 M-m 1例 6 解方程：(^+0(«-0 + 2(«+^-8.例7解方程：2/ + SX-3-0例 8 4X 2-4X +1=X 2+6X +9例9解方程：窝兴_。

一元二次方程综合提高训练卷(20大题)

一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元．（1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。

一元二次方程拔高专题(2019中考真题)(含答案)

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
26．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
A． B．且 C． D．且
13．（2018·宁夏中考真题）若2- 是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是（）
A．1B．3- C．1+ D．2+
14．（2018·内蒙古中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）
21．（2014·内蒙古中考真题）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________．
三、解答题
22．（2019·湖南中考真题）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
A．2019·四川中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限．
16．（2019·宁夏中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）

完整版)一元二次方程能力拔高题

完整版)一元二次方程能力拔高题一元二次方程培优专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

其中，一般表达式为ax²+bx+c=0（a≠0），难点在于理解“未知数的最高次数是2”，即该项系数不为0，未知数指数为2.若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A、3(x+1)=2(x+1)B、2x+11=2x²C、2x/x-2=-2/xD、x²+2x=x²+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程(m+2)x²=mx+1的一个根为x=1/2.针对练：1、方程8x=7的一次项系数是8，常数项是7.2、若方程(m-2)x²+22mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为-11/2.3、若方程(m-1)x+mn²/m·x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠0且m≠1.4、若方程nx²+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是m=2,n=1.考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

应用上，可以利用根的概念求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y²-3的值为2，则4y+2y²+1的值为3.例2、关于x的一元二次方程(a-2)x²+x+a-4=0的一个根为x=2，则a的值为5.例3、已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为x=1.例4、已知a,b是方程x²-4x+m=0的两个根，b,c是方程y²-8y+5m=0的两个根，则m的值为10.针对练：1、已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-2.2、已知关于x的方程x+kx-2=0的一个解与方程x²+3x-10=0的两个解之和相等，则k的值为-2.3、已知m是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式m²-m-1=0.4、已知a是方程x²-3x+1=0的根，则2a-6=0，a=3.5、方程(a-b)x+(b-c)x+c-a=0的一个根为x=1.22x+1=3x的解相同。

一元二次方程培优拔高题

一元二次方程
1、已知一元二次方程0432=++-a x ax 有两个整数根
（1）求证：这两个整数根一个是奇数根,一个是偶数根;
（2）求证：a 是负数;
（3）当方程的两个整数根同号时,求a 的取值及这两个根.
2、关于x 的方程
()()012132=+++-a x a ax 有两个不相等的实数根21x x 和,且有a x x x x -=+-12211,则a 的值是.
3、关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的实数解是21x x 和
（1）求k 的取值规模;
（2）假如1-2121＜x x x x -+且k 为整数,求k 的值.
4、已知m,n 是关于x 的一元二次方程024222=-+++a a ax x 的两个实数根,那么22n m +的最
小值是若干？
5、已知关于x 的一元二次方程
()01222=+++-k k x k x （1）求证：方程有两个不相等的实数根;
（2）若△ABC 的双方AB,AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5,当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.
6、关于x 的一元二次方程
()01212=++--m mx x m （1）求出方程的根;
（2）m 为何整数时,此方程的两个根都是正整数？
7、不雅察下列图形,它们是按照必定的纪律分列的,按照此纪律,第几个图形共有120个★？。