立体几何复习讲义
空间立体几何讲义全
①规定长度为0的向量为零向量，记作0；②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a的相反向量记为-a.5.共线与共面向量（1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∕∕b.（2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．（3）定理共线向量定理：对于空间任意两个向量b(b≠、的充要条件是存在实数λ，使得.b),0a//ab=aλ共面向量定理：如果两个向量b、a不共线，则向量p与向量b、a共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y),使得p.b y=a x+6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．二、空间向量的运算1、加减法（1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．（2）加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．交换律：结合律：（3）推广*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算（1）实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，λa与a的方向相同；②当λ＜0时，λa与a的方向相反；③当λ=0时，λa=0．④|λa|=|λ|a•，λa的长度是a的长度的|λ|倍．（2）运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律分配律：b a b a λλλ+=+)( b a a μλμλ+=+)(结合律：a a )()(λμμλ=3．空间向量的数量积和坐标运算坐标运算三．直线的方向向量1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定． 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．注意：①一条直线l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l 的方向向量也是所有与l 平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l 上的任意两点的坐标写出直线l 的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0=n.•m④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n=),,(wu；v（2）列：根据,0na列出方程组；•nb,0=•=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量；（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n的坐标．四、用向量证明平行五、用向量证明垂直一．选择题（共11小题）1．已知直线l的一般方程式为x+y+1=0，则l的一个方向向量为（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（1，2）D．（1，﹣2）2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=11，S5=50，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（1，1）D．（1，﹣1）3．若直线l1，l2的方向向量分别为=（2，4，﹣4），=（﹣6，9，6），则（）A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确4．直线a，b的方向向量分别为=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，﹣3，2），则a 与b的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．夹角等于5．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4） B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：46．已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP ⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣157．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（）A．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）B．=（1，3，5），=（1，0，1）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1）D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）8．设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．111．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为二．填空题（共12小题）15．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P 在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．16．若，，则= ．17．已知A（1，2，﹣1）关于面xOz 的对称点为B，则= ．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=AD=2，BC=1，，则CD= ．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为．20．如图，为一个正方体截下的一角P﹣ABC，|PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标．21．下列关于空间向量的命题中，正确的有．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；②若非零向量，，满足⊥，⊥则有∥；③若，，是空间的一组基底，且=++，则A，B，C，D四点共面；④若向量+，+，+，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．22．由空间向量=（1，2，3），=（1，﹣1，1）构成的向量集合A={|=+k，k ∈Z}，则向量的模的最小值为．23．已知点A（1，2，1），B（﹣2，，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是．24．已知空间四点A（0，1，0），B（1，0，），C（0，0，1），D（1，1，），则异面直线AB，CD所成的角的余弦值为．25．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．26．已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是．三．解答题（共9小题）27．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．28．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．32．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E 分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．33．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．34．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．35．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．2017年12月02日空间立体几何参考答案一．选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．B；5．A；6．B；7．C；8．A；9．B；10．D；11．B；12．B；13．C；14．C；二．填空题（共12小题）15．；16．3；17．（0，﹣4，0）；18．；19．（0，1，1）；20．（）；21．①③④；22．；23．2；24．；25．；26．1；三．解答题（共9小题）27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；。
立体几何专题讲义
3．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5 ，那么它的体积为_______________.
4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 1 ，则它的体积是原来的______________. 2
5．已知圆锥的母线长为 8,底面周长为 6π,则它的体积是
.
6。平行六面体 AC1 的体积为 30，则四面体 AB1CD1 的体积等于
锥。
3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★② r R2 d 2 （其中，球心到截面的距离
d、球的半径为 R、截面的半径为 r)
球心
轴
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与
方体,球与正方体等的内接与外切。
O
D'
C'
A'
C'
A'
B'
O
O
A
R r
d O1
球面 为 半径
长
B
D
C
A
B
A
3
8
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27. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________。
考点四 平行与垂直的证明
1. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 ， AA1=2 ,E 为棱 CC1 的中点． （Ⅰ） 求证: B1D1 AE ； （Ⅱ） 求证： AC // 平面 B1DE ; （Ⅲ）求三棱锥 A-BDE 的体积．
c
注:球的有关问题转化为圆的问题解决。
1
球面积、体积公式：
S球
4
R2 ,V球
4 3
R3 （其中
R
为球的半径）
平行垂直基础知识网络★★★
高中数学立体几何讲义
高中数学立体几何讲义(一)(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面与空间直线(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。
点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法） AaA a ∈ 点A 在直线a 上。
AaA a ∉点A 不在直线a 上。
AαA α∈点A 在平面α内。
AαA α∉点A 不在平面α内。
b a Aa b A =直线a 、b 交于A 点。
aαa α直线a 在平面α内。
aαa α=∅直线a 与平面α无公共点。
aAαa A α=直线a 与平面α交于点A 。
l αβ=平面α、β相交于直线l 。
α⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a A α=。
2、平面的基本性质公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭。
如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。
BA α公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。
例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）．α D C B A EFHGA证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB CD＝M．又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α β．又∵α β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
立体几何复习讲义
立体几何复习讲义（1）知识点梳理： 1．四个公理公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是公理3：经过 的三点，有且只有一个平面． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 2．直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行，相交，异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.3．平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质4．垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质(2)面面垂直的判定与性质5．空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的叫做异面直线a，b所成的角．②范围：设两异面直线所成的角为θ，则(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．6．几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式达标检测：1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．13.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm．5.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为6.已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n 与α，β分别交于B，D，且P A＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为______________7.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：CF⊥B1E.。
高中数学讲义第七章立体几何初步(超级详细)
高中数学复习讲义 第七章 立体几何初步【方法点拨】立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图 形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置 关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。
在复习时我们要以下几点：1 .注意提高空间想象能力。
在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置 关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本 图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
2 .归纳总结，分门别类。
从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间 中角与距离的计算。
3 .抓主线，攻重点。
针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心 的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4 .复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。
立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化 成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空 间向量的运算。
【知识图解】 空间几何体 —►构成几何体 的基本元素直观认识线 囿平行与垂—►中心投影与 平行投影*---►柱、锥、台、 球的特征——►表面积与体 积直观图与三 视图的画法*点、线、面 之间的位置 关系第1课空间几何体【考点导读】1 .观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2 .能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3 .通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4 . 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
立体几何 讲义
立体几何总复习一、几何平面的基本性质1α=∅ A α=b A =l αβ= a α=∅（α）或a A α=公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平 推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个 推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l公理3 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂ 推论2 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂动手练习：1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 2．下列推断中，错误的是（ ）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,C ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A,B,C 不共线βα,⇒B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,, D ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分． 4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） 5．看图填空（1）AC ∩BD = （4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD = （2）平面AB 1∩平面A 1C 1= （5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C = （3）平面A 1C 1CA ∩平面AC = （6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）A 三角形B 菱形C 梯形D 四边相等的四边形（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A 1个B 4个C 6个D 8个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要1二、立体几何线面关系（一）、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明（二）、判定线面平行的方法6、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点7、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行8、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面9、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面10、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面（三）、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行（四）、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面（五）、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面（六）、判定两线垂直的方法1、 定义：成︒90角2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 （七）、判定面面垂直的方法1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 （八）、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为︒902、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面（九）、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0动手练习1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ） 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D 3 ,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，EA FB CMN D（1）求证四边形EFGH（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形； （3）若BD =2，AC =6，求22HF EG +；（4）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积；（5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.4 ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，EF = 求异面直线,AD BC5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角; (2)AC 与BD 1所成角.6．在长方体D C B A ABCD '''-中，已知AB=a ，BC=b ，A A '=c(a ＞b)，求异面直线B D '与AC7．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA = 求异面直线PA 与MN8．如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN =求证：//MN 平面CBE三、空间图形一、面积：1、ch s =直棱柱侧 ()为直截面周长斜棱柱侧``c l c s = rh cl s π2==圆柱侧 2、中截面面积：2`0ss s += 3、`21ch s =正棱锥侧 rl cl s π==21圆锥侧 4、()``21h c c s +=正棱台侧()()l r r l c c s ``21+=+=π圆台 5、预备定理ph s π2=锥球内接圆台，圆柱，圆①24r s π=球 ②rh s π2=球带 ③)(222h r rh s +==ππ球冠 6、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方7、圆锥轴截面的顶角α和侧面展开图的圆心角θ的关系为：2sin 22αππθ⋅=⋅=l r 8、圆台上、下底面半径为r`、r ，母线为l,圆台侧面展开后所得的扇环圆心角为θ，则：lc c l r r l r r `2`360`-=⋅-=︒⋅-=πθ 9、圆锥中，过两母线的截面面积为s当轴截面顶角(]︒︒∈90,0α时，αsin 212l s s ==轴截面截面最大 当轴截面顶角[)︒︒∈180,90α时，轴截面截面最大s l l s ≠=︒=222190sin 21 10、球面距离θ⋅=R l （θ用弧度表示,Rl =θ） 二、体积 1、l s sh V `==棱柱(s`为直截面面积) sh h r V =⋅=2π圆柱2、sh V 31=棱锥sh h r V 31312=⋅=π圆锥3、`)`(31s s s s h V +⋅+=棱台 =++=)``(3122r rr r h V π圆台`)`(31s s s s h +⋅+ 4、334R V π=球5、)3(31)3(61222h R h h r h V -=+=ππ球缺6、)(31体适用于有内切球的多面内切球半径表体r S V ⋅=1 n 面体共有8条棱，5个顶点，求n 2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是75．①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ．③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________． 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ． 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是1417． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．D'C'B'A'D CBAH OA'D'C'B'DCBA判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； （2）正四面体是四棱锥；（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥；（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．2 ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''3．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2 （1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '4．棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且(0)AE BF x x a ==≤≤，（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当BEF ∆的面积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．5． 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．求异面直线MN 与CBOCBA A GEP D CBA'CD 所成的角．6．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC -的体积．7． 斜三棱柱的底面的边长是4cm 的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱1AA 与底面相邻两边都成060角. (1)求证:侧面11CC B B 是矩形; (2)求这个棱柱的侧面积; (3)求棱柱的体积.。
高一数学立体几何讲义
I. 基础知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将空间分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线——共面有且仅有一个公共点；平行直线——共面没有公共点；异面直线——不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） 12方向相同12方向不相同③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P OA a P αβ推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥： [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 侧面积公式S 直棱柱侧＝ch ( c －底面周长，h －高 )S 正棱锥侧＝1/2 ch ( c －底面周长，h －斜高 )S 正棱台侧＝1/2 (c ＋c')h (c ，c'－上、下底面周长，h －斜高)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆锥侧＝1/2cl ＝πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆台侧＝1/2(c ＋c')l ＝π(r ＋r')l(c ，c' －上、下底面周长，r ，r －上、下底面半径)体积公式V 柱体＝Sh ( S －底面积，h －高 )V 椎体=1/3Sh ( S －底面积，h －高 )()h ss s s V '31'++=台体 (S ，S －上下底面积，h －高 ) 3R 34π=球V (R 为球的半径) 24R S π=球。
立体几何讲义
一、知识结构1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M 、N 、P 来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A ，B ，C ，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l—点A 在直线l 上；A ∉α—点A 不在平面α内；l ⊂α—直线l 在平面α内；a ⊄α—直线a 不在平面α内；l∩m=A—直线l 与直线m 相交于A 点；α∩l=A—平面α与直线l 交于A 点；α∩β=l —平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.证题方法4.空间线面的位置关系 平行—没有公共点 共面(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点相交—有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面证题方法 间接证法直接证法反证法 同一法平行—没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a β，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b⊂α)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB⊂α.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a⊂β.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则b⊂α.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.10.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.11.直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cos α其中S 为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S·h，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.14.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.15.平行平面的距离(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.16.异面直线的距离(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
高三立体几何讲义
立体几何讲义一、空间几何体 球与正方体的组合体问题(1)正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； (2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
例1．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是().ABCD例2.（1） 在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.(2)正四棱锥S ABCD -，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________。
二、平行关系例3. 如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BA点M,N 分别为A'B 和B'C'的中点.图3图4图5证明:MN ∥平面A'ACC';三、垂直关系例4.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点证明：平面BDC 1⊥平面BDC（2）. 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.证明AB ⊥A 1C; 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.B 1CB A DC 1A 1（3）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值练习题1. 一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2.3. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)43 (B) 83(C) 4 (D) 8 4．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．65. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ；(2) )若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°,求面APD 与面BPC 所成二面角的余弦值。
立体几何复习讲义全解
圆梦教育1对1个性化辅导讲义学员姓名 学校 年级和科目教师课 题 空间点、直线、平面之间的位置关系授课时间教学目标掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系和等角定理．教学内容【基础知识回顾】 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，则这条直线在此平面内． 公理2：过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们过该点的公共直线． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数( )A．1 B．2C．3 D．47．若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分8．如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )9．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【考点探究】考点一平面的基本性质例1正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．考点二异面直线例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．考点三异面直线所成的角例3(2014·宁波调研)正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB ＝CGCD＝23，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．【作业】[知能演练]一、选择题1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b( )C.35 D.45二、填空题5．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB ＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．[高考·模拟·预测]1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为( ) A．2 B．3C．4 D．52．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )A.34B.54C.74 D.34。
必修二 立体几何复习讲义
必修二立体几何复习讲义一、基础知识梳理：1、柱、锥、台、球的结构特征2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线）chS=直棱柱侧面积rhSπ2=圆柱侧'21chS=正棱锥侧面积rlSπ=圆锥侧面积')(2121hccS+=正棱台侧面积lRrSπ)(+=圆台侧面积()lrrS+=π2圆柱表()lrrS+=π圆锥表()22RRlrlrS+++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱2V S h r hπ==圆柱13V S h=锥hrV231π=圆锥''1()3V S S S S h=++台（4）球体的表面积和体积公式：V球=343Rπ；S球面=24Rπ5、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面①平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。
立体几何复习讲义
立体几何复习讲义立体几何复习讲义一、考试大纲解读一知识梳理立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体。
在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。
因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。
1、加强几何直观立体几何问题以“直观图”“三视图”等形式呈现几何直观，注意空间想象能力的培养，尤其是认识图，理解图，应用图的能力，实现“空间图形”与其“直观图”“三视图”的相互转化。
在试题设计上，通常有1—2 道选择题或填空题，常见题型为（1）与三视图结合，考查几何体的表面积或体积等问题，（2）平行垂直关系的判定以及符号语言的理解和使用。
2、几何证明有所削弱，但平行与垂直关系仍是问题的主线线线，线面，面面平行和垂直关系是最重要的空间位置关系，仍然是高考考查的重点，在试题设计上，解答题常以多面体和旋转体为载体，考查平行垂直关系，以及角的计算，同时应适度关注有关位置关系的探索等探索性问题。
3、重视向量方法在立体几何计算问题中的应用由于平面几何和高中立体几何对平行垂直关系的证明要求有所削弱，有关线面角，二面角侧重于用向量方法，要求考生（1）会根据题目特点，建立适当的空间直角坐标系，求出所研究各点的坐标，进而求出相关几何量的坐标，（2）会用数量积研究两条直线的夹角和线段长度的计算问题，（3）会用向量的线性运算研究向量的共线问题，进而解决平行垂直关系以及空间中角的计算和两点间的距离问题。
二、知识点回顾1、空间平行与垂直的判定定理线面平行：____________________________________________________________ 线面垂直：_____________________________________________________________ 面面平行：_____________________________________________________________ 面面垂直：_____________________________________________________________ 2、空间角（观察下面图形）类型①线线角②线面角③面面角求角公式e e 1，e e 2 分别为直线l 1，l 2 的方向向量，直线l 1，设 e e 为直线l 的方向向量，n n 为平面的法向设n n 1，n n 2 分别为平面 1， 2 的法向量，平面 1，l 2 所成的角为，____________ 量，l 与平面所成的角为，_____________ 2 所成的二面角为，______________取值范围__________________________________________图形3、空间距离点面距离的向量公式：平面的法向量为，点P 是平面外一点，点M 为平面内任意一点，则点P 到平面的距离d = . [ [ 高考速递] ] ：在长方体ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB = BC =2, AA 1 =1,则BC 1 与平面BB 1 D 1 D 所成角的正弦值为（）A.B.cos sin | cos | n | || |MP nn632 65e 2e 1l 2l 1lne 2 1n 2n 1A B C D B 1 C 1D 1E A 1C.D.三、空间向量在立体几何解答题中的应用[ [ 典型例题] ] ：1、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是边长为2 的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为．2. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. （1）求证AB C CQ （2）求异面直线与所成角的大小；（3）求直线与面Q 所成角的正弦；（4）求二面角 A -CQ-B 的平面角的余弦。
立体几何复习 讲义
立体几何专题一．平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭（线线平行⇒线面平行）③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（线面平行⇒线线平行）④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：//l l αα=∅⇒（用于判断）；（ii ）判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭“线线平行⇒面面平行”（用于证明）；（iii ）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭“面面平行⇒线面平行”（用于证明）； （4）//b a b a a ααα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊄⎭（用于判断）；2.线面斜交：lA α=①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
【如图】 P O α⊥于O ，则AO 是PA 在平面α内的射影， 则P A O ∠就是直线PA 与平面α所成的角。
范围：[]0,90θ∈︒︒，注：若//l l αα⊂或，则直线与平面α所成的角为0︒；若l α⊥，则直线与平面α所成的角为90︒。
3.面面平行： ①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ⊂=⇒θαA PO【如下图①】O baβαa'b'O O b aβα图① 图② 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：,,,',',//',//'//a b a b O a b a a b b αβαβ⊂=⊂⇒ 【如上图②】 判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.【如右图】 ③判定与证明面面平行的依据： （1）定义法；（2）判定定理及推论（常用） （3）判定2④面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭（面面平行⇒线面平行）； （2）（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭；（面面平行⇒线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
立体几何复习讲义
期末复习讲义（一）立体几何．基础知识．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达;3.8,请同学们自己梳理一下问题(还会吗?)(结合以前做过的题目)(1)和几何体的展开图及展开图还原的相关问题;(2)什么叫截面?如何找几何体的截面及和截面相关的问题;(3)如何利用等积法求三棱锥的体积及点到平面的距离?(4)探索性问题及折叠问题.综合例题讲解(一)类型一：平行垂直的证明例：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1,D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.工(1)求证：PA1±BC；(2)求证：PB1〃平面AC1D；(3)求证：B1D，平面ADC1.(二)类型二：求空间中的角/PAB=60。
AB=BC=CA平面例：如图在三棱锥P—ABC中/APB=90。
PAB1平面ABC(I)求直线PC与平面ABC所成角的正切值(II)求二面角B—AP—C的正切值(求异面直线与的夹角的余弦值。
(三)类型三：有关求体积或求距离的综合问题例3:如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD，底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.(2)求异面直线PB与CD所成角的正切值的大小;(3)线段AD上是否存在点。
，使得它到'平面PCD的总若不存在,请说明理由．PA(1)求证：PO，平面ABCD；C 0,,,3离为2? 存在，求出QD的值;(四)类型四:有关折叠的综合性问题(探索性问题等)例：如图Z ACB=45。
BC=3过动点作AD1BC垂足在线段上且异于点连接沿AD将^ABD折起使Z BDC=90。
(如图所示)(I)当BD的长为多少时三棱锥A-BCD的体积最大(II)当三棱锥A-BCD的体积最大时设点EM分别为棱BCAC的中点试在棱CD上确定一点N使得EN1BM。
AAMD・.CBE图1图2作业：如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BB1C1C，底中面ABC.⑴若D是BC的中点，求证：AD±CC/⑵过侧面BB1C1C的对角线BC1的平山上侧面BB1c1C.C.2.如图，正方体的棱长为1,B'C n BC=0,求:(1)A0与A，C'所成角的度数；(2)A0与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面A0B与平面A0C所成角的度数.3..如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,,DB的中点.(1)求证：EF〃平面ABC1D1；(2)求证：EF±B1C；(3)求三棱锥B1-EFC的体积.AB1如图直三棱柱ABC—ABC中AC=BC=—AAD是棱AA1的中点DC11BD11121证明DC1BC1求二面角A—BD—C的大小11。
立体几何讲义(前7讲)
新高中讲义01.平面性质及两直线的位置关系1.平面性质(1.1)平面概念,平面的表示法将水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,如图(1),平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮住,为了增强它的立体感,常把被遮挡部分用虚线画出来,如图(2).注.立体几何中的虚线总表示被遮住的线条而不是辅助线.若添加的辅助线是未被遮住的,则要画成实线.把希腊字母,,αβγ等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面α,平面β;也可以用代表平四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,图(1)的平面α,也可以记为:平面ABCD ,平面AC 或者平面BD .面内有无数个点,平面可以看成点的集合.如图(3),点A 在平面α内,记作A α∈;点B 在平面α外,记作B α∉.(1.2)平面公理及推论公理1.若一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内.点P 在直线l 上,记作P l ∈;点P 在直线l 外,记作P l ∉.若直线l 上的所有点都在平面α内,就说直线l 在平面α内,或者说平面α经过直线l ,记作l α⊂;否则就说直线l 在平面α外,记作l α⊄.公理1也可以用符号表示:,A l ∈B l ∈且,A α∈B α∈l α⇒⊂.公理2.若两个平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线.公理2表明,如果两个平面有一个公共点,则它们有无限多个公共点,所有公共点构成一条直线,称为两个平面相交,这条由公共点组成的直线称为这两个平面的交线.若已知两个平面有两个公共点,A B ,则它们的 其他公共点都在直线AB 上.这一结论可用于证明三点共线.平面,αβ的交线是l ,记为l αβ⋂=.注.本讲义中的“两点”,“两条直线”,“两个平面”等,如无特别申明,均指不同两点,不同两直线及不同两平面.例1.用α表示平面,l 表示直线,,A B 表示点,以下关系式中正确的是A.A αβ⋂=B.l α∈C.AB α⊂D.A α⊂公理3. 过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.公理3简述:不在同一直线上的三点确定一个平面.不在同一直线上的三点,,A B C 所确定的平面,可以记成“平面ABC ”.推论1.过一条直线及直线外一点的平面有且只有一个.推论2.过两条相交直线的平面有且只有一个.推论3.过两条平行直线的平面有且只有一个.例2.(1)证明两两相交而不共点的4条直线在同一平面内.(2)空间4条线段首尾相连,这4条线段在同一平面内吗?例3.正方体1111ABCD A B C D -中,1,O O 分别是上下底面的中心,判断下列命题是否正确,说明理由.(1)直线1AC ⊂平面11CC B B .(2)直线1OO 是平面11AAC C 与平面11BB D D 的交线.(3)由,,A O C 可确定一个平面.(4)由11,,A C B 确定的平面是11ADC B .(5)直线l ⊂平面AC ,直线m ⊂平面1D C 且,l m 交于P ,则P ∈直线CD .(6)由11,,A C B 确定的平面与由1,,A C D 确定的平面是同一平面.例4.三个平面两两相交,若其中两条交线有公共点,证明第三条交线也过此点.例5.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,O 为面ABCD 的中心,直线1AC 与面1C BD 交于M ,求证:(1)1,,C M O 共线.(2)M 为1C BD ∆的重心.2.空间两直线的位置关系(2.1)空间两直线的位置关系分类既不相交也不平行的两条直线称为异面直线.(2.2)空间两直线平行公理4.平行于同一直线的两直线互相平行.定理.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.空间图形F 作一次平移是指F 的所有点都沿同一方向平移相同距离.顺次连接不共面4点得到的四边形称为空间四边形.例6.空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别在边,,,AB BC CD DA 上,AE AH EB HD =且CF CG FB GD=,证明:(1)//EH FG .(2)三直线,,AC EF GH 平行或共点.注.顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形.(2.3)异面直线定义.设,a b 是两直线,若不存在平面π满足,a b ππ⊂⊂,则称,a b 为一对异面直线. 直观描述:永远不在同一平面内的两直线称为一对异面直线.定理.过平面内一点和平面外一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.异面直线的另一种画图法.例7.正方体的12条棱所在的直线中有多少异面直线对?例8.设,,,m a b a m A αβαβ⋂=⊂⊂⋂=.(1)若//b m ,证明,a b 异面.(2)若b m ⋂ B =,则,a b 能否异面?两条异面直线所成的角.设直线,a b 异面,任取空间一点O ,过O 作两直线//,//a a b b '',称,a b ''所夹的(不超过直角的)角为异面直线,a b 所成的角.异面直线,a b 所成角θ的范围是(0,]2π.若2πθ=,则称,a b 互相垂直,记为a b ⊥.空间两直线垂直有两种可能:共面垂直(有垂足)和异面垂直(无公共点).求异面直线所成角,一般可平移直线构造三角形,再用余弦定理解出.注意该三角形的内角可能恰为两异面直线所成角,也可能是其补角.例9.空间四边形ABCD 中,AB BC CD DA AC BD =====,,M N 分别是BC 和DA 的中点,直线,AM CN 所成的角是θ,求cos θ的值.例10.正方体1111ABCD A B C D -中,,M N 分别是11A B 和1BB 的中点,求直线AM 与1C N 所成角的余弦值.例11.正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,求异面直线1,AC DE 所成角的正切值.例12.设异面直线,a b 成080,过点P 且与,a b 都成050角的直线有条?将050改成060呢?两条异面直线的距离.设,a b 是一对异面直线,与,a b 都垂直的直线有无限多条,但与,a b 都垂直且都相交的直线有且仅有一条,两垂足间的线段称为,a b 的公垂线段,公垂线段的长称为两异面直线,a b 的距离.例13.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则异面直线11,AC A B 的距离为1,异面直线1,AB CC 的距离为1,异面直线1,AC BD 的距离是多少?练习题1.有如下命题:①三个平面两两相交,则这三条交线共面.②一条直线与两平行线都相交,则这三直线共面;③四边形内角和为0360;④空间四点中有三点共线,则这四点共面;⑤若,a b ππ⊂⊄,则,a b 异面.其中正确命题的序号是__________.2.直线,a b 交于平面π内一点P 用符号表示,不正确的是A.,,a b P a b ππ⋂=⊂⊂B.a b P ππ⋂=⋂=C.,a b P P π⋂=∈D.,a P P B π⋂=∈3.下列各图都是正方体或正四面体,,,,P Q R S 分别是所在棱的中点,则,,,P Q R S 不共面的是4.若直线,a b 与直线c 所成的角相等,则,a b 的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.不能确定5.已知,,c a b αβαβ=⋂⊂⊂且,a b 异面,则直线c A.与直线,a b 都相交 B.可与直线,a b 都不相交C.至少与,a b 之一相交D.至多与,a b 之一相交6.三个平面可将空间划分成m 个互和重叠的部分,则m 的值的集合为___________.7.正方体1111ABCD A B C D -中,与1AB 成060角的面对角线的条数是_______.8.空间四边形ABCD 中,,M N 分别是,BD AC 的中点,2,AB CD MN ===求,AB CD 所成角的大小.9.空间四边形ABCD 中,32,22AB BD AD BC CD AC ======,延长BC 到E ,使得CE BC =,F 是BD 的中点,求,AF DE 所成角的大小.新高中讲义02.线面平行与面面平行1.直线与平面平行(1.1)直线和平面的位置关系分类直线在平面内(无限多个公共点);直线与平面相交(唯一公共点);直线与平面平行(无公共点).(1.2)直线与平面平行定理1.若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线,则这条直线与该平面平行.符号表示(注意是三个条件,缺一不可): ,,////j l j l j ααα⊄⊂⇒.定理2.若直线l 与平面α平行,过l 的平面β与平面α相交,则l 与两平面的交线平行.例 1.(1)证明:过平面内一点且平行于平面的一条平行线的直线在该平面内.(2)若直线a 平行于平面π的一条平行线,判断a 与π的位置关系.例2.如图,两个全等的正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,,M AC N FB ∈∈且AM FN =,求证://MN 平面BCE .a kj例3.已知,AB CD 都是平面α的平行线且分居α两侧,,AC E BD F αα⋂=⋂=.(1)求证AE BF EC FD=.*(2)若,AB CD AB CD EF ⊥===,求(1)中的比值.例4.证明:过两异面直线中的一条,有且仅有一个平面平行于另一条.例5.证明:若两相交平面平行于同一直线,则它们的交线平行于该直线.2.平行平面(2.1)两平面的位置关系:平行(无公共点);相交(有公共点).(2.2)两平面平行的性质和判定定理1.若两平面平行,则其中一平面内的任何直线平行于另一平面.定理2.若两个平行平面都与第三个平面相交,则两条交线平行.例6.求证:夹在两平行平面间的平行线段的长相等.定理3.若一平面内有两条相交直线平行于另一平面,则这两个平面平行.推论1.若一平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线,则这两平面平行.推论2.平行于同一平面的两平面互相平行.例7.如图,,AB CD 是异面直线,//,AB CD αα⊂,,M N 分别是,AC BD 的中点,求证://MN α.例8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,1,M A B N AC ∈∈且1A M AN =,求证: //MN 平面11BB C C .例9.正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是11,AA CC 的中点,(1)求证:平面//BDF 平面11B D E .(2)求证:1DFB E 是平行四边形.例10.设,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的线段,,M N 分别是,AB CD 的中点,求证://MN α.(2.3)斜二测画法平面图形的斜二测画法:在原图F 上建立平面直角坐标系xOy ,任取点O ',作仿射坐标系x O y ''',使得045x O y '''∠=;作F 上点(,)A x y 在新图形F '上的对应点1(,)2A x y ';连接相应线段并擦去坐标系x O y ''',就得到F 的按斜二测画法作出的直观图F '. 例11.用斜二测画法画出正6边形的直观图. 注.由画法直接得到:若F '是平面图形F 由斜二测画法画出的直观图,则F '的面积与F 的面积的比为4. 空间图形的斜二测画法:在原图F 上取水平平面及互相垂直的轴,Ox Oy ,再取轴Oz 使之与,Ox Oy 都互相垂直;作平面仿射坐标系x O y '''如前,作出F 的水平平面上图形的直观图;再取O z ''使之垂直于面x O y ''',将F 中与Oz 平行的线段画成与O z ''平行的线段并保持长度不变例12.用斜二测画法画出正方体的直观图.练习题1.设,a b 为直线,π为平面,下列说法正确的是A.若a 平行于π内的无数条直线,则//a πB.若a π⊄,则//a πC.若//,a b b π⊂,则a 平行于π内的无数条直线D.若//,a b b π⊂,则//a π2.过两异面直线外一点且与这两直线都平行的平面A.可能不存在B.有且仅有一个C.有无限个D.至少一个3.设,a b 为异面直线,a π⊂,则过b 且与平面π平行的平面A.不存在B.至多一个C.恰有一个D.有无数个4.正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F G 分别是,,AD DC1CC 的中点,则平面EFG 截正方体表面所得图形为A.等腰三角形B.等腰梯形C.正五边形D.正六边形5.平面//αβ,直线,,//,//a b a b αββα⊂⊂,则直线,a b 的位置关系是____________.6.设,m n 是平面α外的两条直线,给出:①//m n ;②//m α;③//n α,以其中两个为条件另一个为结论的正确命题是______________.7.设平面//αβ,,,,A C B D αβ∈∈,AB CD S ⋂=,若5,8,21AS BS CD ===,且060ASB ∠=,则CS 的长为_________.8.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,1111,,M AB N AC A N AM ∈∈=.(1)求证//MN 平面11BB C C .(2)求MN 长的最小值.9.设平面l αβ⋂=,直线,,//a b a b αβ⊂⊂,求证//a l .新高中讲义03.线面垂直与线面角1.线面垂直与线面角(1.1)直线与平面垂直定义:若一条直线垂直于一个平面内的所有直线,则称这条直线与这个平面垂直. 直线l 与平面α垂直,记为l α⊥.例 1.(1)证明过一点且垂直于已知平面的直线有且只有一条.(2)证明过一点且垂直于已知直线的平面有且只有一个.定理1.若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于这个平面.推论1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面.若一直线垂直于两个平行平面中的一个,则必垂直于另一个.推论2.垂直于同一平面的两条直线互相平行.垂直于同一直线的两个平面互相平行. 例2.四面体ABCD 中,,AB CD AC BD ⊥⊥,求证:AD BC ⊥.例 3.(1)设直线l ⊥平面α,垂足A ,证明过A 且垂直于l 的直线必在平面α内.(2)若已知,l l m α⊥⊥,则,l α有何关系?例4.如图,PA ⊥平面ABC ,090ABC ∠=,AE PB ⊥于,E AF PC ⊥于F .(1)证明PB BC ⊥.(2)三棱锥P ABC -的4个面中有几个直角三角形?(3)证明PC ⊥面AEF .(1.2)正射影与三垂线定理自点P 向平面α作垂线,垂足P '叫做点P 在平面α内的正射影(简称射影).线段PP '的长叫做点P 到平面α的距离,是集合{}PQ Q α∈中长度最小者.若图形F 的点在平面α内的正射影构成图形F ',则称F '为F 在平面α内的射影. 与平面相交但不垂直的直线称为平面的斜线,交点叫斜足.任何直线在平面上的射影是一个点或一条直线.设点P 在平面α内的射影P ',又,A B α∈,则PA PB P A P B ''>⇔>.例5.设,,,P A B C αα∉∈.(1)PA PB PC ==⇔P 在α内的射影是ABC ∆的外心.(2),PA BC PB AC ⊥⊥⇔P 在α内的射影是ABC ∆的垂心.(3)P 到直线,,BC CA AB 的距离(垂线段的长)相等P ⇔在α内的射影是ABC ∆的内心或旁心.三垂线定理.设平面α的斜线l 在α内的射影是l ',m α⊂,则l m l m '⊥⇔⊥.例6.如图,梯形ABCD 中,090,,2DAB ABC AB BC a AD a ∠=∠====,PA ⊥平面,ABCD PA a =.(1)求证:PC CD ⊥.(2)求点B 到直线PC 的距离.例7.正方体1111ABCD A B C D -中,,,M N P 分别是1,,AB BC DD 的中点,证明PB ⊥ 平面1B MN .2.直线与平面所成的角定义.平面的斜线与它在平面内的射影所夹的角,称为斜线与平面所成的角.规定平面的垂线与平面所成角为直角;规定平面内的直线或平面的平行线与平面所成的角为零.直线与平面所成角的范围是[0,]2π;斜线与平面所成角的范围是(0,)2π. 直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角中的最小者.例8.(三余弦公式)直线l 在平面α内的射影是l ',直线m α⊂.若,l l '所成角为0θ,,l m 所成角为2θ,,l m '所成角为1θ,则201cos cos cos θθθ=.例9.COB ∠在平面α内,OA 是α的一条斜线,060AOB AOC ∠=∠=,OA OB =OC a ==,BC =,求OA 与α所成的角.例10.如图,平面α内线段AB 的长为3,CA α⊥,BD 与α所成角为030,,BD AB ⊥,C D 在α同侧,4CA BD ==.(1)求CD 长.(2)求直线CD 与α所成角的正切值.例11.四面体PABC 中,,,PA PB PC 两两互相垂直.(1)证明ABC ∆是锐角三角形.(2)设H 是P 在平面ABC 内的射影,证明22221111PH PA PB PC =++.(3)证明ABC ∆的面积的平方等于,,PBC PCA PAB ∆∆∆的面积的平方和.(4)证明,,PA PB PC 与平面ABC 所成的角的正弦的平方和为定值.例12.如图,已知AB ⊥平面BCD ,AB BC =且090BCD ∠=,又AD 与平面BCD 所成角为030.(1)求AD 与平面ABC 所成角的大小.(2)求AC 与平面ABD 所成角的正弦.练习题1.设直线l 交平面α于点P ,则平面α内A.存在平行于l 的直线B.存在两条相交直线都垂直于lC.有无数条直线垂直于lD.存在与l 成030角的直线2.若不共线三点到平面α的距离相等且大于0,则这三点确定的平面与α的关系是A.平行B.相交C.平行或相交D.前面答案都不对3.正方体1111ABCD A B C D -中,1O 是11AC 的中点,则与直线1CO 垂直的是A.ACB.BDC.1A DD.1A A4.,a b 是两条相交直线,直线,c d 与,a b都垂直,则直线,c d 的关系是________.5.设P 是正方体1111ABCD A B C D -的中心,则APC ∆在其表面的射影的可能图形的序号是___________.6.P 是边长为3的正ABC ∆所在平面α外一点,2PA PB PC ===,则PC 与平面α 所成角的度数是_________.7.Rt ABC ∆的斜边AB 在平面α内,,AC BC 与α所成角分别为0030,45,则AB 边上的高与α所成角的度数是__________.8.如图,已知ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交,SB ,SC SD 于,,E F G ,求证:,AE SB AG SD ⊥⊥.9.ABC ∆中,090,3,4,A AB AC PA ∠===是平面ABC 的斜线,PAB PAC ∠=∠ 060=.(1)求PA 与平面ABC 所成角的大小.(2)若P 在平面ABC 上的射影恰在BC 上,求PA 的长.新高中讲义04.二面角及两平面互相垂直1.二面角平面内一条直线将平面分成两部分,每部分都叫做一个半平面,这条直线称为半平面的端线.定义.有公共端线的两个半平面构成的空间图形叫做二面角,这两个半平面叫做二面角的面,公共端线叫做二面角的棱.棱为l ,两个半平面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.注.二面角也可看成是一个半平面(始面)绕其端线旋转到一定位置(终面)所形成的空间图形.二面角的度量.垂直于二面角l αβ--的棱的平面γ分别与面,αβ交于射线OA 和OB ,则AOB ∠称为二面角l αβ--的平面角,显然平面角的大小只与二面角l αβ--有关而与平面γ的选择(即点O l ∈的选择)无关.规定二面角的度数等于其平面角的度数.二面角的范围是00[0,180]:当终面与始面重合时,认为该二面角为00;当终面与始面互为反向延伸面(合成一平面)时,认为该二面角为0180.例1.如图,三棱锥S ABC -中,SA ⊥面ABC ,AB BC ⊥,,SA AB SB BC ==,又E 为SC 中点,D AC ∈且DE SC ⊥,求二面角C BD E --的大小.例2.如图,已知ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,且S BC D --和S CD B --都是045的二面角,求二面角B SC D --的大小.求二面角大小的一般方法第一步:先从其一个面内任一点P (一般选择现成的特殊点)向另一面所在平面作垂线,由垂足Q 的位置可判断该二面角是锐角还是钝角:若Q 在另一面上,则该二面角是锐二面角;若Q 在另一面的反向延伸面上,则该二面角为钝二面角.第二步:作QH l ⊥于H ,连PH ,由三垂线定理知PH l ⊥,故PHQ ∠为所论二面角的平面角(解题时这步要书写到位).第三步:在Rt PHQ ∆中由已知条件算出PHQ ∠的某三角函数值进而求出PHQ ∠. 例3.正方体1111ABCD A B C D -中,P 为AB 中点,求二面角1P AC B --的大小.例4.自二面角l αβ--的棱l 上一点A ,在平面β引射线AC ,与棱l 成045角,与面α成030角,求二面角l αβ--的大小.例5.空间一点P 到二面角l αβ--的两个面的距离分别为1到棱的距离为2,求此二面角的大小.例 6.如图,锐二面角l αβ--的大小为θ,,(,)AC BD A B l αβ∈∈∈都垂直于l .(1)求证,AC BD 所成的角等于θ.(2)若060θ=,4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.面积射影定理.设二面角l αβ--的大小为θ,平面α内一图形的面积为0S ,它在β内的射影的面积为1S ,则10cos S S θ=.立得:正四面体的所有二面角的余弦都是13. 2.平面与平面垂直定义.平面角是直角的二面角叫做直二面角,若两平面相交成直二面角,则称这两平面互相垂直.平面,αβ互相垂直,记为αβ⊥.注.研究直线与平面的位置关系时,是先定义直线与平面垂直,再利用射影定义直线与平面所成的角;研究平面与平面的位置关系时,是先定义二面角,再用直二面角定义两平面垂直.能先定义两平面垂直再定义二面角吗?定理.若一平面过另一平面的一条垂线,则这两平面互相垂直.推论.若一平面平行于另一平面的一条垂线,则这两平面互相垂直.定理2.若两平面互相垂直,则一平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面.推论.若l αβ--是直二面角,直线m β⊥,则m α⊂,或//m α.例7.求证:若一平面垂直于两相交平面,则此平面垂直于那两平面的交线.例8.如图,将菱形ABCD 平移得一个平行六面体1111ABCD A B C D -,已知1A AB ∠=1A AD ∠,求证平面11ACC A ⊥平面ABCD .例9.如图,A 是0120的二面角EF αβ--内一点,,AB AC αβ⊥⊥,垂足,B C .(1)求证:,αβ都垂直于平面ABC .(2)若4,6AB AC ==,求BC 长及A 到EF 的距离.例10.如图,ABC ∆是正三角形,,EC DB 都垂直于平面ABC ,2EC AB DB ==,M 为AE 中点.求证: (1)DE DA =.(2)平面BDM ⊥平面EAC .(3)平面DEA ⊥平面EAC .例11.平行四边形ABCD 中,02,60AB AD BAD =∠=,O 为对角线交点,沿BD 将其折成直二面角.(1)求证:CB ⊥平面BAD .(2)求证:平面ACD ⊥平面CBD .(3)求二面角C AO B --的大小.练习题1.设,a b 是直线,,αβ是平面,,a b αβ⊂⊂,则A.a b αβ⊥⇒⊥B.////a b αβ⇒C.a βαβ⊥⇒⊥D.a b αβ⊥⇒⊥2.设,a b 是异面直线,所成角为060,若,a b βα⊥⊥,则二面角l αβ--的大小为A.030B.060C.0120D.060或01203.设l αβ--是直二面角,直线,a b αβ⊂⊂,且,a b 都不垂直于l ,则A.,a b 可能垂直,但不可能平行B.,a b 既可能垂直,也可能平行C.,a b 不可能垂直,但可能平行D.,a b 既不可能垂直,也不可能平行4.设,m l 为直线,,,αβγ是平面,,//,,l l m m βγααγ=⋂⊂⊥,则A.αγ⊥且l m ⊥B.//αγ且//m βC.//m β且l m ⊥D.//αβ且αγ⊥5.设,m l 为直线,,αβ是平面,命题:①若l 垂直于α内的两条相交直线,则l α⊥;②若//l α,则l 平行于α内所有直线;③,m l αβ⊂⊂且m l ⊥,则m β⊥;④,m l αβ⊂⊂且m l ⊥,则l α⊥.其中正确命题的序号是________.6.设P 是二面角AB αβ--的棱AB 上一点,分别在,αβ上作射线,PM PN ,使得0045,60BPM BPN MPN ∠=∠=∠=,则二面角AB αβ--的大小是_______.7.四面体ABCD 中,C AB D --是直二面角,090,ACB AC BC ∠==,又ABD ∆是正三角形,则二面角C BD A --的正切值为_______.8.如图,已知ABCD 是矩形,SA ⊥平面ABCD ,1,SA AB AD ===求二面角 A SC B --的正弦值.9.正方体1111ABCD A B C D -中,,,,K L M N 分别是111111,,,A B BC C D B C 的中点.(1)求证平面MNL ⊥平面KNL .(2)求二面角K ML N --的正切值.新高中讲义05.简单多面体和球1.多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,两条棱的公共点叫做多面体的顶点,连接不在同一面上两顶点的线段叫多面体的对角线.将一个多面体的任一面延展成平面,若多面体其余面都在这个平面的同一侧,这样的多面体叫凸多面体.一个多面体有几个面就称为几面体,如四面体,五面体,六面体等.多面体的Euler 公式:2v e f -+=,其中,,v e f 分别是多面体的顶点数,棱数和面数. 正多面体:每个面都是有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点都有相同的棱数的凸多面体叫正多面体.由多面体的Euler 公式可推得正多面体只有5种:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体及正二十面体.2.棱柱有两个面互相平行,其余每相邻两面的交线互相平行的多面体叫棱柱,两个互相平行的面叫棱柱的底面,简称底,其余各面叫棱柱的侧面,两侧面的公共边叫棱柱的侧棱,两个底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.棱柱的底面是几边形就被称为几棱柱,如三棱柱,四棱柱,五棱柱等.棱柱用代表底面各顶点的字母来表示,如三棱柱111ABC A B C -等.棱柱的体积等于底面积乘以高.棱柱性质:(1)棱柱的各侧面都是平行四边形,所有侧棱都相等;直棱柱的各侧面都是矩形,正棱柱的各侧面是全等的矩形.(2)棱柱的两底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形.(3)过棱柱不相邻的两侧棱的截面是平行四边形.例1.下列各几何体中,哪些是棱柱?若是棱柱,指出其底面.例2.如图,正三棱柱111ABC A B C -中,11AB BC ⊥,求证11BC CA ⊥.例3.如图,正三棱柱111ABC A B C -中,D 是AC 中点.(1)求证:1//AB 平面1DBC .(2)若还有11AB BC ⊥,求二面角1D BC C --的大小.平行六面体与长方体:底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体叫长方体,棱长都相等的长方体叫正方体.换个说法:底面是矩形的直四棱柱叫长方体.定理1.平行六面体的四条对角线共点且互相平分.定理2.(1)长方体的对角线长的平方等于同一顶点处三棱长的平方和.(2)长方体的对角线与同一顶点处三棱所成角的余弦的平方和等于1,与同一顶点处三面所成角的余弦的平方和等于2.例 4.长方体1111ABCD A B C D -中,15,4,3AB AC AA ===,沿长方体表面从A 到1C 的最小路径长是多少?例5.如图是三个几何体的侧面展开图,它们的原图各是什么几何体?3.棱锥和棱台一个面是多边形,其余各面是有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥,这些有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面,两个相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱,各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点,顶点对面的多边形叫棱锥的底面,顶点到底面所在平面的垂线段叫棱锥的高.底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.(也可说成:底面是正多边形,各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫正棱锥.)棱锥性质:棱锥被平行于底面的平面所截的截面与底面相似.正棱锥性质:正棱锥的高,斜高(锥顶到底面边的距离),斜高在底面的射影(底面正多边形边心距)构成一个直角三角形;正棱锥的高,侧棱,侧棱在底面的射影(底面正多边形半径)也构成一个直角三角形.棱锥的体积等于等底等高的棱柱体积的三分之一.例6.如图所示的长方体中,以,,,,O A B C D 为顶点的几何体是A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥例7.正三棱锥S ABC -中,O 是底面中心,SO =且SA ,BC 的公垂线段的长是3,求ASB ∠的大小.例7.如图,正四棱锥P ABCD -,过AC 且平行于PB 的截面交PD 于点E ,求截面EAC 与底面所成较小二面角的大小.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分叫棱台.棱台有两个平行的面,称为棱台的底面,是两个相似而不全等的多边形,其余各面都是梯形,称为棱台的侧面,梯形的腰称为棱台的侧棱.棱台的所有侧棱延长相交于同一点.设棱台的两底面积分别为12,S S ,高为h ,则棱台的体积为12()3h V S S =.两底是对应边分别平行的相似多边形,且两底中心连线垂直于底面的棱台叫正棱台.正棱台的各侧棱长相等,各侧面是全等的等腰梯形.例8.下列命题中错误的是________.①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两面互相平行,其余四面都是等腰梯形的六面体是棱台;④仅有两个面互相平行的五面体是棱台.例9.对右图有描述:①是六面体;②是四棱台;③是四棱柱;④可由三棱柱截去一个小三棱柱而得;⑤可由四棱柱截去一个小三棱柱而得.其中描述正确的是___________.4.圆柱,圆锥,圆台以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转所生成的面围成的旋转体叫圆柱,旋转轴叫圆柱的轴,垂直于轴的边旋转生成的面叫圆柱的底面,平行于轴的边旋转生成的面叫圆柱的侧面,平行于轴的边的任何位置都叫圆柱的母线.以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转生成的面所包围的旋转体叫圆锥,相仿地可定义圆锥的轴,侧面及母线.相仿地可定义圆台及相关概念.计算圆柱,圆锥和圆台的侧面积可用曲面展开法:圆柱的侧面可展开为一个矩形,其一边等于圆柱的母线长,另一边等于圆柱的底面周长;圆锥的侧面可展开为一个扇形,其半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥的底面周长;圆台的侧面展开图是一个扇环(如上最后一图).5.球到定点的距离等于定长的点的集合叫球面,到定点的距离不大于定长的点的集合叫球体(简称球),其中定点叫球心,定长叫半径.一个球或球面用表示其球心的字母表示,如球O等.另一表述:半圆绕其直径旋转一周所形成的曲面叫球面,球面所包围的几何体叫球体.用一个平面去截一个球面,截面是一个圆.若此平面过球心,则得到的截面称为大圆;若此平面不过球心,则截面称为小圆.。
高中数学复习讲义09立体几何
第01讲 空间几何体高考《考试大纲》的要求：① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③ 会用平行投影及中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图及直观图，了解空间图形的不同表示形式.④ 会画某些建筑物的视图及直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（一）例题选讲：例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π例2.如果圆台的母线及底面成60°角,那么这个圆台的侧面积及轴截面面积的比为( )A ．π2B ．π23 C ． D ．π21例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1及侧面ACC 1A 1所成的角是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 及PF 所成角的余弦值 （二）基础训练：1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥CA ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（）（A (B)6R π(C)56Rπ(D) 3的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．4. 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为___________，球心到平面ABC 的距离为________5．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且及底面所成二角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.（三）巩固练习：1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（ ）（A ）π3 （B ）π33 （C ）π6 （D ）π92、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π3.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好及半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( )A.34B.45C.35D.－354．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）（A ）31 （B ）33 （C ）32 （D）365.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（ ）A ．B ．13π C ．23π D．6.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为成的二面角等于________7．请您设计一个帐篷。