导数大题解题步骤

导数大题

一、知识准备

1、导数定义：x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0'

2、导数的计算：

（1）基本初等函数的导数公式：

①若C x f =)(（C 为常数），则0)('=x f ②若a x x f =)(，则1')(-⋅=a x

a x f ③若x x f sin )(=，则x x f cos )('= ④若x x f cos )(=，则x x f sin )('-=

⑤若x e x f =)(，则x e x f =)(' ⑥若x a x f =)(，则a a x f x ln )('= ⑦若x x f ln )(=，则x x f 1)('=

. ⑧若x x f a log )(=，则a

x x f ln 1)('= （2）导数的运算法则：

①[])()()()('''

x g x f x g x f ±=± ②[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f •+•=• ③)()()()()()()(2'''

x g x g x f x g x f x g x f •-•=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ （3）复合函数求导：[])())(())(('''x g x g f x g f •= 3、导数在研究函数中的应用

（1）函数单调性与导数的关系：

一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系

在某个区间[]b a ,内：①若0)('

＞x f ，那么函数)(x f y =在[]b a ,上单调递增 ②若0)('

＜x f ，那么函数)(x f y =在[]b a ,上单调递减 （2）函数极值（局部比较大小）与导数的关系：

求函数)(x f y =极值的方法：首先求出当0)(=x f 时的解0x ，若无解则无极值，若有解也不一定有极值，所以要进行以下判断

①若在0x 左侧0)('＜x f ，右侧0)('

＞x f ，那么)(0x f 是极小值

②若在0x 左侧0)('＞x f ，右侧0)('＜x f ，那么)(0x f 是极大值

②若在0x 左侧和右侧的)('x f 同号，那么)(0x f 不是)(x f 的极值

（3）函数最值（整体比较大小）与导数的关系：

求)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值与最小值的步骤：

①求)(x f y =在[]b a ,的极值：

②求出区间端点处的函数值)()(b f a f ，再与极值作比较，其中最大的就是)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值，最小的就是)(x f y =在区间[]b a ,上的最小值

二、导数大题解题思路（六步法）

1、求导通分定义域

2、分子有效分母弃

3、讨论参数来求根

4、导数图像记得画

5、用根分布来求参

6、综上扣题拿满分

例题：已知函数x a x

ax x f ln 1)(-+= （1）讨论)(x f 的单调性；

（2）若)(x f 在区间()+∞,4上单调递增，求a 的取值范围；

真题剖析

1、已知R a ∈，函数.3333)(2

3+-+-=a ax x x x f

（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；

（2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.

2、（本题满分14分）已知函数()).(33R a a x x x f ∈-+= （1）若()x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为)(),(a m a M ，求)()(a m a M -；

（2）设,R b ∈若()[]42

≤+b x f 对[]1,1-∈x 恒成立，求b a +3的取值范围.

3、设函数)1ln()(2x a x x f ++=有两个极值点21,x x ，且21x x ＜

（1）求a 的取值范围，并讨论)(x f y =的单调性

（2）证明：42ln 21)(2-＞

x f

4、已知函数),,11(12)(22R c a x c ax x x f ∈≤≤--++-=，记)(x f 在[]1,1-上的最大值为M ，求证：若a ＞1，则对于R c ∈∀，恒有M ＞2