第七章静态测试数据处理
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残差分析法 分布检验法
残差分析法
测量列的残差为：
vi'
Li
L
vi
(i
1 n
n i 1
i )
（7-22）
在随机误差小于系统误差的情况下，vi' 的正负号将主要取
决于变化的系统误差 i 。因此，根据残差 vi' 的符号，可以发
现变化的系统误差的存在。将测定值的残差 vi' 按测量顺序列
表或作图以观察系统误差的变化规律。
1、随机误差
实践表明，测试结果 的随机误差大多服从正态分布如
图7-1所示。正态分布的概率密度函数为：
f ( )
1
2
exp(
2 2 2
)
（7-4）
式中： ——为测量误差；
——均方根误差。
从图可以看出， 值愈小，正态分布密度曲线愈陡峭， 幅值愈大，测量误差小；反之， 值愈大，曲线愈趋平坦， 测量误差大。
而在一般测量工作中，测量次数远小于370次，因此，如果
出现绝对值大于3 的误差，就可以认为，这个误差属于过失 误差。因此，可以把3 作为区分随机误差和过失误差的一种
界限。
图7-3是标准差 与测量次数n的关系曲线，从图中可以
看出，当测量次数较少时，增加测量次数，可明显减小测量 误差；但当测量的次数超过15～20次时，再增加测量次数， 则测量误差几乎不变。
图7-3 与测量次数n的关系曲线
2、系统误差
1）系统误差的分类 根据系统误差特性的不同，可将系统误差分为如下两大类。 定值系统误差 在整个测量过程中，误差的大小和方向始 终保持不变。 变值系统误差 误差的大小和方向按一定的规律变化。变 值系统误差的种类较多，有的还比较复杂，常见的系统误差 有：
①线性变化的系统误差：误差的大小随时间线性递增或
图7-1正态分布密度曲线
1）算术平均值
设 l1 ，l2 ，…，ln 为n次等精度测量所得的值，其算术平均
值 L 为：
n
L l1
l2
ln
li
i 1
（7-6）
n
n
由于被测参数的真实值无法知道，因此在直接测量中常
将测量列的算术平均值作为真值的估计值。如此测量列的残
差为：
vi li L
式中：vi ——表残差；
分布检验法
因为随机误差服从正态分布，所以只包含随机 误差的测定值也服从正态分布。如果发现测定值不 服从正态分布，就有理由怀疑测定值中包含变化的 系统误差，这就是分布检验法的基本思想。显然， 分布检验法只适用于重复测量次数足够多的情况。
3）系统误差的消除
由于产生系统误差的原因非常复杂，消除系统误 差不可能有统一的方法,因此需根据具体情况，采取 适当的措施。消除系统误差可从以下两方面着手。
1）过失误差与异常数据 过失误差是由于在测量过程中某些突然发生的不 正常因素（外界干扰、测量条件意外改变，测量者 疏忽大意）所造成的、与其它大多数误差相比明显 偏大的误差。
在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测 定值，这种包含巨大误差的测定wk.baidu.com，通常称为异常 数据。异常数据往往是由过失误差引起的，也可能 是由巨大的随机误差引起的。
防止系统误差的产生
采用完善的测量方法，正确地安装、调整和使用测 量仪器、设备，保持稳定的测量条件，防止外界的 干扰等。
对测定值引入修正值
在测量工作之前，对测量仪器和设备进行校正， 取得仪器示值与准确值之间的关系，确定各种修正 公式、修正表或修正曲线，用修正的方法消除系统 误差。
3. 过失误差与异常数据的取舍
测试误差按其性质的不同分为三类，即： 系统误差 随机误差 过失误差（粗大误差 ）
系统误差 保持一定数值或按一定规律变化的误 差，称为系统误差。如：由于仪器标度尺刻划的不 准确；测量者观察仪器指针时习惯于斜视等原因引 起的误差，就具有系统误差的特性。
随机误差 即使在相同的条件下，对同一参数重 复的进行多次测量，所得到的测定值也不可能完全 相同。其测量误差具有各不相同数值与符号，这种 误差称为随机误差。
li ——第i个测量值，i=1，2，…，n
（7-7）
2）标准差
在一个等精密度测量列中，当测量次数趋于无穷大时，
测量列的标准差 为：
1 n
(v12
v22
vn2 )
1 n
n i 1
vi2
(n ) （7-8）
而在实际测量过程中，测量次数是有限的，由数理统计
学可知，标准差的无偏估计可用贝塞尔法进行计算，即：
第七章 静态测试数据处理
本章的主要内容有测量误差、测量 列的处理步骤与测量结果的表达、一元 线性回归和多元线性回归方法等。
7.1 测量误差
一、测试精度与误差 测试精度：又称为精确度，用来描述测量结果与真值的接近 程度。 测试误差：在任何测量中，由于各种因素的影响，测量所 得到的数值与被测参数的真值不可能完全相同，而总会有差 别，这个差别称为测试误差。
递减的系统误差，称为线性变化的系统误差。
②周期性变化的系统误差：误差的大小随时间周期性交
替变化的系统误差，称为周期性变化的系统误差。
③复杂的系统误差：误差按比较复杂规律变化的系统误
差。
2）系统误差的发现
系统误差的数值往往比较大，而且会直接 影响测量的准确度。因此必须消除或减小系统 误差。有时系统误差不易查明，下面介绍两种 发现系统误差的方法，即：
过失误差 由测量工作中的错误、疏忽大意等原 因引起的误差，称为随机误差。
二、测量误差的分析与处理
测量误差的分析就是研究误差的性质与规律。 即：研究和确定过失误差与随机误差之间的界限， 以便舍弃那些含有过失误差的测定值；研究系统误 差的规律，寻找将系统误差从随机误差中分离出来 的方法，并设法消除其影响；研究随机误差的规律， 分析和确定测量的精密度；从一系列测定值中求出 最接近于被测参数真实值的测量结果。
若系统误差的数值不超过随机误差,可采用下述的方法：
a. 将残差 vi' 按测量的先后顺序排列,如前一半残差和与后 一半残差和之差显著地不等于零,则该测量列包含累进系统误 差。
b. 在一个测量列中，如条件改变前测定值的残差与条件 改变后测定值的残差和之差显著地不等于零，则该测量列包 含随测量条件的改变而出现的固定的系统误差。
根据积ˆ 分概n 1率1 (v表12 可v22 知， v绝n2 ) 对值n 1小1 in1于vi2
（7-9）
的随机误差出现的概
率约为0.68，而绝对值小于2 和3 的随机误差，出现的概 率分别为0.95和0.997。由此可知，绝对值大于3 的随机误
差出现的概率仅为0.027，即在370次测量中才可能出现一次。
残差分析法
测量列的残差为：
vi'
Li
L
vi
(i
1 n
n i 1
i )
（7-22）
在随机误差小于系统误差的情况下，vi' 的正负号将主要取
决于变化的系统误差 i 。因此，根据残差 vi' 的符号，可以发
现变化的系统误差的存在。将测定值的残差 vi' 按测量顺序列
表或作图以观察系统误差的变化规律。
1、随机误差
实践表明，测试结果 的随机误差大多服从正态分布如
图7-1所示。正态分布的概率密度函数为：
f ( )
1
2
exp(
2 2 2
)
（7-4）
式中： ——为测量误差；
——均方根误差。
从图可以看出， 值愈小，正态分布密度曲线愈陡峭， 幅值愈大，测量误差小；反之， 值愈大，曲线愈趋平坦， 测量误差大。
而在一般测量工作中，测量次数远小于370次，因此，如果
出现绝对值大于3 的误差，就可以认为，这个误差属于过失 误差。因此，可以把3 作为区分随机误差和过失误差的一种
界限。
图7-3是标准差 与测量次数n的关系曲线，从图中可以
看出，当测量次数较少时，增加测量次数，可明显减小测量 误差；但当测量的次数超过15～20次时，再增加测量次数， 则测量误差几乎不变。
图7-3 与测量次数n的关系曲线
2、系统误差
1）系统误差的分类 根据系统误差特性的不同，可将系统误差分为如下两大类。 定值系统误差 在整个测量过程中，误差的大小和方向始 终保持不变。 变值系统误差 误差的大小和方向按一定的规律变化。变 值系统误差的种类较多，有的还比较复杂，常见的系统误差 有：
①线性变化的系统误差：误差的大小随时间线性递增或
图7-1正态分布密度曲线
1）算术平均值
设 l1 ，l2 ，…，ln 为n次等精度测量所得的值，其算术平均
值 L 为：
n
L l1
l2
ln
li
i 1
（7-6）
n
n
由于被测参数的真实值无法知道，因此在直接测量中常
将测量列的算术平均值作为真值的估计值。如此测量列的残
差为：
vi li L
式中：vi ——表残差；
分布检验法
因为随机误差服从正态分布，所以只包含随机 误差的测定值也服从正态分布。如果发现测定值不 服从正态分布，就有理由怀疑测定值中包含变化的 系统误差，这就是分布检验法的基本思想。显然， 分布检验法只适用于重复测量次数足够多的情况。
3）系统误差的消除
由于产生系统误差的原因非常复杂，消除系统误 差不可能有统一的方法,因此需根据具体情况，采取 适当的措施。消除系统误差可从以下两方面着手。
1）过失误差与异常数据 过失误差是由于在测量过程中某些突然发生的不 正常因素（外界干扰、测量条件意外改变，测量者 疏忽大意）所造成的、与其它大多数误差相比明显 偏大的误差。
在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测 定值，这种包含巨大误差的测定wk.baidu.com，通常称为异常 数据。异常数据往往是由过失误差引起的，也可能 是由巨大的随机误差引起的。
防止系统误差的产生
采用完善的测量方法，正确地安装、调整和使用测 量仪器、设备，保持稳定的测量条件，防止外界的 干扰等。
对测定值引入修正值
在测量工作之前，对测量仪器和设备进行校正， 取得仪器示值与准确值之间的关系，确定各种修正 公式、修正表或修正曲线，用修正的方法消除系统 误差。
3. 过失误差与异常数据的取舍
测试误差按其性质的不同分为三类，即： 系统误差 随机误差 过失误差（粗大误差 ）
系统误差 保持一定数值或按一定规律变化的误 差，称为系统误差。如：由于仪器标度尺刻划的不 准确；测量者观察仪器指针时习惯于斜视等原因引 起的误差，就具有系统误差的特性。
随机误差 即使在相同的条件下，对同一参数重 复的进行多次测量，所得到的测定值也不可能完全 相同。其测量误差具有各不相同数值与符号，这种 误差称为随机误差。
li ——第i个测量值，i=1，2，…，n
（7-7）
2）标准差
在一个等精密度测量列中，当测量次数趋于无穷大时，
测量列的标准差 为：
1 n
(v12
v22
vn2 )
1 n
n i 1
vi2
(n ) （7-8）
而在实际测量过程中，测量次数是有限的，由数理统计
学可知，标准差的无偏估计可用贝塞尔法进行计算，即：
第七章 静态测试数据处理
本章的主要内容有测量误差、测量 列的处理步骤与测量结果的表达、一元 线性回归和多元线性回归方法等。
7.1 测量误差
一、测试精度与误差 测试精度：又称为精确度，用来描述测量结果与真值的接近 程度。 测试误差：在任何测量中，由于各种因素的影响，测量所 得到的数值与被测参数的真值不可能完全相同，而总会有差 别，这个差别称为测试误差。
递减的系统误差，称为线性变化的系统误差。
②周期性变化的系统误差：误差的大小随时间周期性交
替变化的系统误差，称为周期性变化的系统误差。
③复杂的系统误差：误差按比较复杂规律变化的系统误
差。
2）系统误差的发现
系统误差的数值往往比较大，而且会直接 影响测量的准确度。因此必须消除或减小系统 误差。有时系统误差不易查明，下面介绍两种 发现系统误差的方法，即：
过失误差 由测量工作中的错误、疏忽大意等原 因引起的误差，称为随机误差。
二、测量误差的分析与处理
测量误差的分析就是研究误差的性质与规律。 即：研究和确定过失误差与随机误差之间的界限， 以便舍弃那些含有过失误差的测定值；研究系统误 差的规律，寻找将系统误差从随机误差中分离出来 的方法，并设法消除其影响；研究随机误差的规律， 分析和确定测量的精密度；从一系列测定值中求出 最接近于被测参数真实值的测量结果。
若系统误差的数值不超过随机误差,可采用下述的方法：
a. 将残差 vi' 按测量的先后顺序排列,如前一半残差和与后 一半残差和之差显著地不等于零,则该测量列包含累进系统误 差。
b. 在一个测量列中，如条件改变前测定值的残差与条件 改变后测定值的残差和之差显著地不等于零，则该测量列包 含随测量条件的改变而出现的固定的系统误差。
根据积ˆ 分概n 1率1 (v表12 可v22 知， v绝n2 ) 对值n 1小1 in1于vi2
（7-9）
的随机误差出现的概
率约为0.68，而绝对值小于2 和3 的随机误差，出现的概 率分别为0.95和0.997。由此可知，绝对值大于3 的随机误
差出现的概率仅为0.027，即在370次测量中才可能出现一次。