第二章有理数的相关概念
七年级上册第二章有理数知识点汇总
第二章有理数及其运算一、有理数的意义1.有理数的分类知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 5.2也可写作+3，+5.2；零既不是正数，也不是负数。
或2.数轴知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线； 数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数3. 相反数知识点:只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。
4. 绝对值知识点：数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a＞0，则∣a∣＝a. 若a＝0，则∣a∣＝0. 若a＜0，则∣a∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a与b之间的距离为：∣a－b∣。
二、有理数的运算1. 有理数的加法知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。
加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：a+b+c=a+（b+c）多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。
2024北师大版七年级数学上册第二章有理数的概念及加减运算培优专题训练
七年级数学上册第二章有理数一．知识点梳理：（一）有理数的相关概念1.正数和负数可以表示具有的量，既不是正数也不是负数。
2.有理数的分类：（1）有理数可以分为和；（2）有理数可以分为，和 .3.非负数是指；非正数是指 .（二）数轴绝对值相反数1.数轴：规定了的直线叫做数轴。
数轴是研究有理数的工具。
2.任何一个有理数都可以用数轴上的来表示。
3.任何一个数都有两部分组成： .4.相反数：只有的两个数互为相反数，0的相反数是 .一个数a的相反数是 .5. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，叫做这个数的绝对值.一个数a的绝对值可以表示为 .6.绝对值的性质：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。
7.有理数大小的比较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的；正数都与0；负数都 0；两个负数比较，绝对值大的反而（三）有理数的加减运算1.有理数的加法法则：同号两数相加，取的符号，并把绝对值；绝对值不等的异号两数相加，取的符号，并用较大数的绝对值较小数的绝对值;互为相反数的两数相加得；一个数同0相加得。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于这个数的相反数。
3.有理数的运算是先定符号，再定绝对值。
要分清“+”是正号还是加号.4.数轴上点A表示数a，点B表示数b,则点A,B之间的距离是 .5.非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值为 .（四）有理数的乘法运算有理数的乘除运算法则：1.两数相乘，同号得，异号得，并把相乘。
2.任何数与0相乘都得3.几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定。
当负因数有个数时，积为正；当负因数有个数时，积为负，并把绝对值相乘。
4.几个数相乘，有一个因数为0时，积为5.进行有理数乘法运算时，先确定积的符号，再确定积的绝对值 .6.进行乘除运算时，带分数要化为假分数 .（五）有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数（不为0））等于乘以这个数的倒数（六）乘方的意义及性质1.求n个相同因数a的的运算叫做乘方，记作a n,这里a叫，n叫做 .乘方的结果叫 .2.底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来。
七年级上册数学第二单元知识点
七年级上册数学第二单元知识点七年级上册数学第二单元知识点：第二章有理数解读有理数的有关概念一、正数与负数：1.正数：大于0的数叫正数。
像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：小于0的数叫负数。
像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等。
※而负数前面带“－”号，而且不能省略。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数。
二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包括三类：正整数、零、负整数。
分数包括两类：正分数和负分数。
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除p和与p有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：1一条水平的直线；2直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；3定向右为正方向，用箭头表示出来；4选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3。
四、相反数：代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数。
如-2和2.规定零的相反数是零。
几何意义：位于原点的两侧且与原点的距离相等的点所表示的两个数。
注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是-2，-2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。
苏科版七上第二章有理数知识点总结
苏科版七上第二章有理数知识点总结0的数叫做正数。
1.0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
一、正数和负数（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
有理数：整数和分数统称有理数。
概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数、百分数与无限循环小数都是有理数。
）零统称为非正整数。
⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数自然数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数任何有理数都可以表示成分数形式。
1.无限不循环小数叫无理数。
a ；人造无限不循环的，如0.1010010001……三、无理数 2.三种基本形式的无理数：带π的；221.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
三、数轴有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
3.应用求两点之间的距离：用右边的点的表示的数减去左边的点表示的数。
代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）1.概念几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
四、相反数两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
3.多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数，当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号；当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。
（倒数是它本身的数是±1；0没有倒数）五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。
第二章有理数及其运算知识总结+教师用
有理数及其运算知识总结一、本章知识概述本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分：主要内容是有理数的有关概念.首先是理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．其次是认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.第二部分：学习有理数的加减法运算，通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．第三部分：主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力 .根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，运用乘法运算律简化计算；根据有理数除法法则进行有理数的除法运算，求有理数的倒数；根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算，通过实例感受当底数大于1时，乘方运算结果的快速增长．根据有理数混合运算顺序的规定，进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，在运算过程中，合理使用运算律简化运算；使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，使用计算器进行实际问题的复杂运算．二、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数．到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义.一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.7、有理数大小的比较法则在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小 .8、有理数加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 .异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0相加，仍得这个数.9、有理数加法运算律加法交换律： a＋b=b＋a加法结合律： (a＋b)＋c=a＋(b＋c)10、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： a－b=a＋(－b).11、代数和的意义几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算.12、有理数加减混合运算步骤（1）把加减混合运算统一成加法；（2）写成省略加号、括号的代数和；（3）利用加法法则及运算律进行计算.13、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得0．14、多个非零因数相乘，积的符号规律n个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．n个数相乘，有一个因数为0，积就为0．15、有理数乘法的运算律(1)交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变．即a·b＝b·a；(2)结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a·b)·c＝a·(b·c)；(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把所得的积相加．即a(b ＋c)＝ab＋ac．16、倒数的概念乘积为1的两个有理数互为倒数.即当a·b＝1时，a与b互为倒数．由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数.倒数还可以说成是：1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数，如a≠0，a的倒数为1a．17、有理数的除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0．18、利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式，例如：6÷3可以写成63，还可写成6∶3.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.19、乘方的概念求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即在n a中，a叫做底数，n叫做指数，n a叫做幂．na的读法有两种：(1)读作a的n次幂．(2)读作a的n次方．20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．21、科学记数法a 的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记把一个大于10的数记成10n数法．22、有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数、负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数 .正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .2、数集的概念把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .3、多重符号的化简规律单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 .括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 .在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .4、两个负有理数的大小比较两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 .两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .5、有关绝对值的计算及化简灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .6、积的符号的确定方法有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数有偶数个数，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积为0，根据积的符号法则，在有理数乘法中，不管有多少个不为0的数相乘，都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号，这样做的好处是既简练又准确.7、几个非0的有理数相除，商的符号的确定几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．如： (－12)÷(－2)÷(－3)——三个负数：负＝－(12÷2÷3)＝－2(－12)÷2÷(－3)——两个负数：正＝＋(12÷2÷3)＝28、有理数混合运算中应注意的问题（1）要注意运算顺序；（2）要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；（3）要灵活进行小数、分数的互化；（4）互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.典型例题例1：一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走 6km，走－4.5km，走0km的意义各是什么？分析：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动 .0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.解：走 6km表示物体向南走6km；走－ 4.5km表示物体向北走4.5km；走 0km表示物体原地不动.例2：某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋ 10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为＋ 10的学生实际成绩为100，然后再求平均成绩.解：依题意知，五位同学在实际成绩分别为：100、85、90、98、87，其平均成绩为：1(10085909887)92().5++++=分例3：如图所示的数轴上， A、B、C、D、E各点分别表示什么数？分析：根据各点在原点的左侧，右侧还是在原点上，来确定数是负数，正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值.解：点A表示数132；点B表示数12；点C表示数0；点D表示－3；点E 表示数142-. 例4：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；分析：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.解：这些数在数轴上的表示如图所示.它们从小到大的排列为：111132101242242<-<-<<<< 例5：利用绝对值比较下列有理数的大小 .（1）－0.6，－60234(2) ,,345--- 分析：比较负数的大小，先求出各数的绝对值，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，比较分数大小，一般要化成同分母的分数来比较 .解：（1）|－0.6|=0.6, |－60|=60∵ 0.6<60，∴ －0.6>－60.224033454448(2) ||||||336044605560404548 ,606060234 .345---<<∴->->-＝＝，＝＝，＝＝， 例6：已知 |a ＋2|＋|b －3|=0，求a 和b 的值.分析：由绝对值的非负性可知， |a ＋2|≥0，|b －3|≥0，而且只有当|a ＋2|和|b －3|都等于0时，|a ＋2|＋|b －3|=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=－2，b=3.解：∵ |a ＋2|＋|b －3|=0，又 ∵ |a＋2|≥0，|b －3|≥0，∴ |a ＋2|=0，|b －3|=0．∴ a ＋2=0，b －3=0．∴ a=－2，b=3．例7：计算分析：进行有理数加减混合运算时，应先把加减运算统一成加法运算，再写成省略加号和括号的代数和，最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算，能够简化运算的尽量简化运算 .解：（1）原式=（－5）＋（－3）＋（－9）＋（＋7）=－5－3－9＋7=（－5－3－9）＋7=－17＋7=－1034210(2)()()()()10757++++-+-原式＝例8：计算题：2322232183(1)(1)(1)(0.51);362141(2)(3)12(2).3(2)÷-+⨯------÷--- 268491(1)()()3721168471 76834922 (2)29(8)1⨯-+⨯---++-⨯-----解：原式＝＝121＝1684-6原式＝＝＝＝-1 注：（1）要按运算顺序进行计算.（2）乘方时要看清楚底数与指数，先确定幂的符号.例9：计算题：242112518(1){[(2)]()(2)}();23639131(2)0.25()(1)(12 3.75)24.283--÷---÷--÷-⨯-++-⨯112518(1){[2)]()2)}()23639251 []631 3 3131 (2)16(1)124224 3.7521683+÷-+÷-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯-⨯解：原式＝169＝（-）+2（-）589＝（-5+2）（-）889＝（-）（-）38＝原式＝4 1+33+56-900＝＝ 注：第（1）小题先由里及外逐层去掉括号，同时把除法转化为乘法进行运算，第（2）小题应用乘法分配律使运算得以简化.例10：用科学记数法表示下列各数．(1)270．3； (2)3870000；(3)光的速度约为300 000 000米/秒；(4)0．5×9×1000000； (5)10．解：(1)270．3＝2．703×100＝2．703×102．(2)3870000＝3．87×1000000＝3．87×106．(3)300000000＝3×100000000＝3×108．(4)0．5×9×1000000＝4．5×106．(5)10＝1×10．说明：科学记数法a ×10n 中，a 是小于10且大于等于1的数，n 比原数位的整数位数少1，比如：3870000000是10位数，指数n 就是9．这就是说n 等于原数的整数位数减1，而不是比所有的数位和少1．如179．4＝1．794×102，而不是179．4＝1．794×103．例11：某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃，若该地地面温度为21 ℃，高空某处温度为－39 ℃，求此处的高度是多少千米？解： 1×｛［21－（－39）］÷6｝=1×（60÷6）=10（千米）因此：此处的高度是10千米．。
北师大版初一上册第二章有理数运算的基本概念及运用知识点总结
北师大版初一上册第二章有理数运算的基本概念及运用知识点总结有理数运算是数学中的基础知识，对于初一学生来说尤为重要。
本文总结了北师大版初一上册第二章有理数运算的基本概念及运用的知识点。
1. 有理数的概念有理数是可以表示为分数形式的数，包括正数、负数和零。
有理数的表示形式可以是整数、分数或小数。
2. 有理数的运算法则有理数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
- 加法：有理数相加时，符号相同则相加；符号不同则求差，结果的符号取绝对值较大的数的符号。
- 减法：有理数相减时，可以转化为加法运算，将减数取相反数再相加。
- 乘法：有理数相乘时，符号相同则结果为正，符号不同则结果为负。
- 除法：有理数相除时，可以转化为乘法运算，将除数取倒数再相乘。
3. 有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到原点的距离，表示为正数。
有理数的绝对值可以通过去掉符号得到。
4. 有理数的比较有理数的比较可以通过将两个数的分数形式转化为相同的分母后进行比较，也可以通过比较两个数的绝对值来判断大小关系。
5. 有理数的乘方和开方有理数的乘方是将该数连乘若干次，有理数的开方是该数的平方根。
乘方和开方的结果仍然是有理数或者无理数。
6. 有理数的运算性质有理数的运算具有交换律、结合律和分配律等性质。
根据这些性质，可以简化有理数的运算过程。
7. 实际问题中的有理数运算有理数的运算在实际问题中也有广泛应用，例如温度计的读数、海拔的计算等都涉及有理数的运算。
以上是北师大版初一上册第二章有理数运算的基本概念及运用的知识点总结。
希望对同学们理解和掌握有理数运算有所帮助。
参考资料：- 北师大版初一数学上册教材。
七年级数学上册第二章 有理数及其运算知识点
第二章有理数及其运算一、有理数1.用正、负数表示具有相反意义的量2.有理数的分类(1)按定义分类(2)按符号分类二、数轴1.数轴的概念规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.2.用数轴上的点表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.3.比较有理数的大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．(2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数．三、绝对值1.相反数的概念及性质（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等2.绝对值的概念及性质（1）一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值（2）一个正数的绝对值是它本身.（3）一个负数的绝对值是它的相反数.（4）0的绝对值是0.3.比较两个负数的大小两个负数，绝对值大的反而小．三、有理数的运算1.有理数的加法(1)加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数。
(2)加法的运算律加法的交换律加法的结合律2.有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.3.有理数的乘法(1)乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.(2)乘法的运算律乘法的交换律乘法的结合律乘法对加法的分配律4.有理数的除法除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数.5.有理数的乘方乘方运算规律：(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(3)0的任何正整数次幂都是0．(4)a的偶次幂是正数，即a n≥0(其中n为偶数)．6.有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．四、科学记数法1.科学记数法的概念一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．2.a与n的取法在a×10n形式中，n的值是原数整数位数减1，a 则是将原数保留一位整数得来的．。
青岛版初一数学第二章《有理数》知识点梳理
有理数知识点回顾：知识点一：正数与负数1.正数：像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做。
2.负数：像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做。
3.0既不是也不是。
0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。
4.在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有的意义。
5.对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a，当a＝0时，－a＝，当a表示负数时－a是，只有当a是正数时－a才是。
同步测试：1.判断：（1）前面带有“－”的数是负数（）（2）在有理数中‘0’的意义仅仅表示没有（）（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数( )知识点二：有理数认识1.、、统称为整数。
如：101，0，－10.正分数和负分数统称为，如：0.3，25-，－3.1。
整数和分数统称有理数。
有理数也可以分为正有理数、零、负有理数，正数又分为、。
2.有理数的分类同步测试：1． -4.5， 3.14， -2， +43，.0.6-， 0.618，722，0，-0.212，418-负数：个；分数：个；正分数：个；负整数：个；非正整数：个；非负整数：个；2．（1）如果节约20千瓦·时记作＋20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？（2）如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？（3）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？知识点三：数轴1.概念：规定了、、的直线；2.画法：画直线、取原点、定方向、选长度、表数据；3.数轴上的点与有理数的关系：有理数都能用表示，但数轴上的点不都表示有理数；4.用数轴比较有理数大小：数轴上的点所表示的数，边的总比边的大。
同步测试：1．点A、B、C在同一数轴上，其中点A，B表示的数分别为-3,1，若B C=2，则AC等于（）A.3B.2C.3或5D.2或6知识点四：相反数与绝对值、倒数1.相反数（1）定义：只有的两个数叫做互为相反数，其中一个数叫做另一个数的。
七年级上第二章有理数知识要点
（一）有理数一、基本概念正数和负数：1、可用数和数表示具有相反意义的量。
例如：收入200元记为+200，则支出可表示为；水位线降低300米记为-300米，则水位线下降150米记为。
2、负数：在正数前加“—”号的数。
判断：带负号的数是负数。
（）3、正数总0，前面可加也可不加；负数总0，前面必须加；正数、负数和0的大小关系。
4、最大的负整数，最小的正整数。
有理数：1、分类：(1)按定义分：有理数(2)按符号分：有理数其中，既不是正数也不是负数。
有限小数和无限循环小数可看作＿＿＿；无限不循环小数称为＿＿＿。
数轴：1、三要素：、和。
2、在数轴上，边的数总是大于边的数；正数位于原点边，负数位于原点边。
3、数轴是一条线，有方向，通常规定向或向为正方向，向或向为负方向。
4、任何一个有理数都可以在数轴上表示。
判断：有理数都在数轴上；（）数轴上的点都是有理数。
（）相反数：1、相反数的代数意义：；几何意义：在数轴上，。
2、互为相反数的两个数的和= ，即若a与b互为相反数，则。
3、正数的相反数 0；负数的相反数 0；0的相反数 0。
例：a 表示有理数，-a 为其相反数，则a>0时，-a 0；a=0时，-a 0；a<0时，-a 0；判断：对于有理数a 一定有a>-a ( )4、 计算：-(-5)= ; -{-[-(+5)]}= 。
规律：(1)在一个数前添“+”号，与原数 ； +(5) =(2)在一个数前添“-”号，为原数的 ； -(-3.2)=(3)对于一个数前有奇数个负号，化简后符号为 ；-{-[-(+2.5)]}=对于一个数前有偶数个负号，化简后符号为 ；-[+(-7)]= 绝对值：1、定义：一个数a 的绝对值就是 ，记为 ；2、正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 。
若a =a ， 则a 0；若a =0， 则a 0； 若a =-a ，则a 0。
3、对于两个负数而言，绝对值大的 。
在数轴上与原点距离是3的点的个数为 ，是 ；绝对值是本身的数是 ；绝对值最小的有理数 。
第二章有理数知识点
一．知识要点回顾（请同学们完成一下填空）。
1.大于零的数是正数，在正数前面加上“一”的数叫做负数，既不是正数也不是负数。
2.正整数，0，负整数统称，正分数和负分数统称，和统称有理数。
3.规定了、和的直线叫做数轴。
所有的有理数都可以用上的点来表示。
4.只有不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，a和互为相反数，特别地0的相反数仍是。
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的的距离是a的点有个，它们分别在原点的两侧，表示正数和负数，我们说这两个点关于对称。
5.一般地，数轴上表示数a的点与的距离叫做数a的绝对值。
记作a，绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它，一个负数的绝对值是它的，0的绝对值是。
6.有理数大小的比较①正数 0，0 负数，正数一切负数。
②两个负数，绝对值大的反而③异号两数比较大小，要考虑它们的，同号两数比较大小，要考虑它们的。
7.有理数的加法法则①同号两数相加，取的符号，并把绝对值②绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得③一个数同0相加，仍得。
8.有理数的加法运算律①加法交换律：（用字母表示：）②加法结合律（用字母表示：）9.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的 .10.有理数的乘法法则①两数相乘同号得，异号得，并把相乘，任何数同0相乘都得②有理数相乘，先确定积的，再确定积。
③几个不等于0的有理数相乘，积的符号由的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为，当负因数的个数是偶数时，积为，几个有理数相乘，如果其中有因数为0，积等于。
11.有理数乘法的运箅律①乘法交换律（用字母表示：）②乘法结合律（用字母表示：）③乘法分配律（用字母表示：）12.有理数的除法法则①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的②两数相除，同号得，异号得，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得。
13.有理数的混合运算①乘除混合运算往往先将除法化成，然后确定积，最后求出值。
七年级上册数学第二章知识点
千里之行，始于足下。
七年级上册数学第二章知识点
第二章：有理数
1. 正数和负数：了解正数和负数的概念及其表示方法，掌握在数轴上表示正数和负数的方法。
2. 有理数：了解有理数的概念，即可以表示成两个整数比的数，包括整数、分数和小数。
3. 绝对值：掌握求一个有理数的绝对值的方法，并了解绝对值的意义。
4. 比较大小：掌握比较两个有理数大小的方法，可以利用数轴进行比较。
5. 加法和减法：掌握有理数的加法和减法运算规则，包括同号相加、异号相减等。
6. 乘法和除法：掌握有理数的乘法和除法运算规则，包括同号相乘得正、异号相乘得负等。
7. 有理数的混合运算：掌握有理数的混合运算方法，能够灵活运用加减乘除进行计算。
8. 有理数的运算性质：掌握有理数的运算性质，包括交换律、结合律、分配律等。
9. 有理数的应用：了解有理数在现实生活中的应用，例如温度计、海拔等。
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锲而不舍，金石可镂。
10. 小数运算：掌握小数的加减乘除运算方法，包括小数点的对齐和补零等。
以上是七年级上册数学第二章的主要知识点。
在学习过程中，注意理解概念，掌握运算方法，并能够将所学知识与实际生活应用结合起来。
第二章-有理数
第2章有理数本章导读第2章 有理数2.1 正数与负数预习书本P12-P13，完成下面问题：1、正数都是比 大的数，负数都是比 小的数， 既不是正数，也不是负数. 2.___________、___________、_______统称为整数；_________、_________统称为分数。
3、你能举出一些具有相反意义量的例子吗？如何来表示这些具有相反意义的量呢？ 1． 指出下列各数中的正数、负数： +7；－9；－13；－4.5；998；910；0.2． 填一填（1）小明在某路口，规定向东为正，向西为负.如果他向东走了100米，则可表示为_______米，如果他向西走了150米，则可表示为_______米，如果他走了-50米，则表示他向_______走了_____米，如果他走了+200米，则表示他向______走了_____米. （2）运进了-72 吨货物的意思是________________.3． 把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54， -2, 9.3 正整数集合{ …}负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …}拓展提升1.在小学我们学习了偶数0 , 2 , 4 , 6 , 8，……，以及奇数1 , 3 ，5 , 7 , 9，……，现在我们学过了负数后，我们同时也知道了负偶数与负奇数，如负偶数－2，－4，－6，－8，……，负奇数－1，－3，－5，－7，……，下面我们将这此负偶数与负奇数排列如下：在上述的这些数中，观察它们的规律，回答数－101将在哪一列？达标测试1．（2011南通）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）A．－20m B．－40m C．20m D．40m2．（2010连云港）下面四个数中比－2小的数是（）A．1 B．0 C．－1 D．－33．（2011宿迁）下列各数中，比0小的数是（）A．－1 B．1 C．12D．π4．数学测验班级平均分82分，小明85分，高出平均分3分记作+3，小强78分，记作___________．5．中午12时气温为5℃，傍晚6时气温比中午12时降低了4℃，此时气温是_______℃；凌晨4时比中午12时气温降低了7℃，这时气温是______℃.6．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的时间记为正，迟到的时间记为负，结果最早到的同学记为＋3小时，最迟到的同学记为－1.5小时，你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早到多少小时？2.2 有理数与无理数学习目标问题导学预习书本P15-P16，完成下面问题：1、把能够写成________________________________的数叫做有理数. 2. ________________________________叫做无理数. 3．下列各数722，0.3333…，-6,9.3，π，0.1， 010010001.0-，其中无理数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.有理数分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或者⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 典例训练1．把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54，π，2.12112…, -2, 9.3，..0.12正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …} 非负数集合{ …} 有理数集合{ …}学习目标了解 理解 掌握 应用 1.掌握有理数和无理数的概念 √ 2.会对有理数进行分类 √ 3.了解分类思想√1. 如图，将两个边长为1的小正方形，沿图中斜线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2，如果设大正方形边长为a ，请问，a 是有理数吗？1.判断题：(1)整数就是正整数和负整数 ( ) (2)零是整数但不是正数 ( )(3)正数、负数统称为有理数 ( ) (4)非负有理数是指正有理数和0 ( )2.（2010温州）在下列各数中，0，π，12-，0.3中，最小的是 （ ） A ．0 B ．π C ．12-D ．0.3 3.下列说法正确的是 （ ）A 、一个有理数不是整数就是分数B 、正整数和负整数统称为整数C 、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D 、0不是有理数 4.将下列各数分别填入相应的集合中：9417,9,,,,31.25, 2.626626662, 3.5,1,010272π---+--正数集合：｛ … ｝ 负数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝111111无理数集合{ … }2.3 数轴(第一课时)学习目标问题导学1.下列说法正确的是（）A、一个有理数不是整数就是分数B、正整数和负整数统称为整数C、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D、0不是有理数2.将下列各数分别填入相应的集合中：211,2004,5.3,25.31,274,301,109,9,7-+---正数集合：｛…｝负数集合：｛…｝整数集合：｛…｝分数集合：｛…｝3、规定了、和的直线叫做数轴。
初中一年级数学知识点总结第二章 有理数及其运算
初中一年级数学知识点总结第二章有理数及其运算1、有理数的分类正有理数有理数零负有理数或整数有理数分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方（2）有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配律第三章字母表示数1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
5、整式的运算：整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
第四章平面图形及其位置关系1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。
线段有两个端点。
2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线有一个端点。
《第二章有理数及其运算》归纳总结
若a、b互为相反数，则a+b= 0 ③与0相加 a是任一个有理数，则a+0= a
2)有理数减法法则
减去一个数， 等于加上这个数的相反数.
即 a-b=a+(-b)
课后作业
完成练习册本课时的习题
例：分别求出数轴上两点间的距离： ①表示2的点与表示-7的点； ②表示-3的点与表示-1的点.
解：①︱2-（-7）︱=︱2+7︱=︱9︱=9 ②︱-3-（-1）︱=︱-3+1︱=︱-2︱=2
3）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正.
2.运算顺序
1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的
运算，应从左往右运算.
3.有理数的运算律
1)加法交换律 a+b=b+a
2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
3)乘法交换律
ab=ba
4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) 5)分 配 律 a(b+c)=ab+ac
一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7பைடு நூலகம்有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字
初一数学第二章知识点总结
初一数学第二章知识点总结一、有理数的基本概念1. 有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数的比的数，形式为a/b，其中a和b 是整数，且b≠0。
2. 有理数的分类：- 正有理数：大于0的有理数。
- 负有理数：小于0的有理数。
- 零：既不是正数也不是负数的有理数。
3. 有理数的性质：- 封闭性：加法、减法、乘法和除法（除数不为零）在有理数集内封闭。
- 加法和乘法的交换律、结合律。
- 减法和除法的逆元存在性。
二、有理数的运算1. 加法运算：- 同号相加：取相同的符号，绝对值相加。
- 异号相加：取绝对值较大的数的符号，绝对值相减。
- 任何数与零相加等于原数。
2. 减法运算：- 减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 乘法运算：- 同号得正，异号得负，绝对值相乘。
- 任何数与零相乘等于零。
4. 除法运算：- 除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数。
- 零除以任何非零数等于零。
5. 混合运算：- 先乘除后加减。
- 同级运算从左到右进行。
三、绝对值与有理数比较1. 绝对值：- 绝对值表示一个数距离零的距离，用符号“| |”表示。
- 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
2. 有理数的比较：- 正数大于零，负数小于零。
- 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
四、有理数的简化1. 简化的概念：- 简化是有理数分数形式的最简表示，即分子和分母没有公因数。
2. 简化的方法：- 找出分子和分母的最大公因数，然后分子分母都除以这个数。
五、分数的加减乘除1. 分数的加法：- 需要找到公共分母，然后按照同分母分数的加法规则进行计算。
2. 分数的减法：- 同样需要找到公共分母，然后按照同分母分数的减法规则进行计算。
3. 分数的乘法：- 分子乘分子，分母乘分母。
4. 分数的除法：- 分子乘分母的倒数。
六、小数与有理数的互化1. 小数转化为有理数：- 根据小数点后的位数，将小数乘以10的相应次方，转化为分数形式。
第二章《有理数及其运算》知识梳理
第二章《有理数及其运算》知识梳理正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
如：有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
第二章有理数的意义与运算
第二章 有理数的意义与运算1、有理数的意义：（1）有理数：整数和分数统称为有理数（2）有理数的分类。
注意①0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，是正数和负数的分界点。
②自然数：自然数是指0和正整数，既0、1、2、3、4、…2、几个概念：（1）数轴:①原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。
②数轴的用途：用数轴表示数：所有的实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任一点都表示一个实数，实数和数轴上的点是一一对应的。
用数轴可以表示两个数大小。
（2）相反数:①定义：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
②特点：相反数是两个数之间的一种相互关系，是成对出现的，缺一不可。
③性质：㈠ 任何一个数都有一个相反数，并且只有一个相反数。
㈡正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
㈢互为相反数的两个数之和为0，和为0的两个数互为相反数。
④求法：求一个数的相反数只需在这个数前面加上一个负号就可以了。
（3）绝对值:①几可意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a 。
②代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
③数a 的绝对的表示：a = ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()(0)0(a a a a a （4）有效数字：①精确度：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
②定义：在近似数中，从左边第一个不是零的数字起，到由四舍五入到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字，一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数。
③用法：在对一个数取近似数时，近似程度经常用保留几个有效数字来表示。
（5）科学记数法：把一个数写成±a ×10n 形式（其中1≤a ＜10，n 是整数），这种记数法叫科学记数法，具体记数的方法为：①a 是只有一位整数的数。
②当原数≥1时，n是正整数，n 等于原数的整数位数减1，如31400=3.14×104；当原数＜1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零），如0.000035=3.5×10－5。
北师大版七年级上册第二章《有理数》综合复习：考点总结(无答案)
倒数：乘积为1的两个、数互为倒数． ， 互为倒数，则 ；反之亦然．
负倒数：乘积为 的两个数互为负倒数．若 ， 互为负倒数，则 ．反之亦然．
例如： ，3与 互为倒数.
若 ,则 与 互为负倒数.Байду номын сангаас
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；
互为倒数的两个数的乘积一定是 ；0没有倒数；
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.
一般地，数 的相反数是 ；这里以 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意 不一定是负数．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
例如：3的相反数为
的相反数为
0的相反数为0
互为相反数的两个数的和为零，即若 与 互为相反数，则 ；
反之，若 ，则 与 互为相反数．
一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
注意：数轴上的点不都代表有理数，如 ．
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
例1：⑴画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“ ”连接．
⑵ 和 的大小关系是： ____
⑶数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．
正数前面的“ ”可以省略，注意 与 表示是同一个正数．
用正、负数表示相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量．
譬如：用正数表示向南，那么向北 可以用负数表示为 ．
有理数：整数与分数统称有理数．
第二章：有理数概念
第二章：有理数知识点：（1）负数、正数：（1）0既不是正数,也不是负数；（2）+x 不一定表示正数；-x 不一定表示负数；（2）正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数；（3）有理数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数（1）π是常数，是无理数；（2）非负数：正数和零，表达式：x ≥0；非正数：负数和零，表达式：x ≤0；非正整数：负整数和零；非负整数：正整数和零；（3）最小的正整数是1；最小的非负数是0；最小的自然数是0；绝对值最小的有理数是0；最小的正数是没有；最大的负整数是-1；最大的非正数是0；最大的负数是没有；（4）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（1）数轴的一个作用：体现数形结合；（2）比较两数的大小：①利用数轴：右边的数大于左边的数；正数>0>负数；②两个负数比较大小：绝对值大的反而小；③作差法。
（5）相反数：代数定义：只有符号不同的两个数称互为相反数；几何定义：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。
（1）0的相反数等于本身；表达式：若x=-x ，则x=0； （2）a+b 的相反数为-（a+b ）；a-b 的相反数为-（a-b ）=b-a ；（3）若a 与b 互为相反数，则a+b=0；a=-b ；b=-a ；a 2=b 2；b a =；)0(1≠-=a b a；（4）负数的相反数大于本身；表达式：若-x>x ，则x<0； （5）正数的相反数小于本身；表达式：若-x<x ，则x>0； （6）互为相反数的两数相除等于-1；（不等于0）（6）绝对值：在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值；记作|a|（1）|a|≥0；若0)2(22=++-y x ，则x=2，y=-2；（2）0的绝对值是0；（3）一个正数的绝对值是它本身；表达式：若x x =，则x ≥0；（5）若1=xx ，则x>0；若1-=xx ，则x<0；若x =2，则x=±2；若2+x =4，则x=2或-6；（6）数轴上两点a ，b 间的距离=⎩⎨⎧-⇒<-⇒≥=-=-ab b a b a b a a b b a（7）有理数的加法：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；表达式：若a>0，b>0，则a+b=b a +；若a<0，b<0，则a+b=)(b a +-；（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；表达式：若a>0，b<0，且b a >，则a+b=b a -；若a>0，b<0，且b a <，则a+b=)(a b --；（3）互为相反数的两个数相加得0；表达式：a+(-a)=0； （4）一个数同0相加，仍得这个数；表达式：a+0=a ； （5）加法交换律：a+b=b+a ；（6）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)=b+（a+c ）； （8）有理数的减法：（1）减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数；表达式：a-b=a+（-b ）； （2）读法：“-8 + 10 - 6 - 4 ”看作和式，读作“求负8、正10、负6、负4的和”；按运算意义读作“负8加10 减6减4”；（9）有理数的加减混合运算：（1）去括号法则：同号得正；异号得负； （2）看作代数和：（3）加法的交换律：连同前面的符号一起交换；（4）加法的结合律：4个原则：①正负分别相结合；②和为整数的两数相结合； ③同分母的两数相结合；④相反数的两数相结合；（10）有理数乘法：（1）法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0； （3）任何数同1相乘，都得本身；（4）任何数同-1相乘，都得这个数的相反数；（5）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，再把绝对值相乘； （6）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0； （7）乘法的交换律：ab ＝ba ；（8）乘法的结合律：(ab)c ＝a(bc)=（ac ）b ；（9）乘法的分配律：a(b+c)＝ab ＋ac ；a （b-c ）=ab-ac ；-a （b-c ）=-ab+ac ；（10）乘法分配律的逆用：ab+ac+ad=a （b+c+d ）；-ab+ac-ad=a （-b+c-d ）； （11）若ab=0，则a=0或b=0；（12）若ab>0，则a>0，b>0，或a<0，b<0；等价于0>b a ；或>a b ；（13）若ab<0，则a<0，b>0，或a>0，b<0；等价于0<b a ；或0<ab ；（11）倒数、负倒数：（1）如果两数的乘积为1，则称两数互为倒数；表达式：若a 、b 互为倒数，则ab=1；a=b1，b=a1；（2）如果两数的乘积为-1，则称两数互为负倒数；表达式：若a 、b 互为负倒数，则ab=-1；a=b1-，b=a1-；（3）一个数的倒数等于本身，则这个数是±1；表达式：若xx 1=，则x=1±；（4）零没有倒数； （12）有理数除法：（1）除以一个数等于乘上这个数的倒数；表达式：ba b a 1⨯=÷；（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0；表达式：)0(00≠=÷a a ； （4）一个数除以-1等于这个数的相反数；a a -=-÷)1(； （5）若21-x ，当2≠x 时有意义；当x=2时没有意义；（13）有理数的乘方：（1）定义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
初一上册第二章-有理数及其计算
有理数及其运算§2.1有理数【教学目标】1．有理数的概念和意义。
2．把给出的有理数按要求分类。
3．说出数0在有理数分类中的作用。
【教学重难点】重点：有理数包括哪些数。
难点：有理数的分类。
【教学过程】最近我遇到了一个麻烦事儿，有个同学问我有理数是啥子，我想了半天，不知道怎么回答，这就把我难到了的嘛，哎，你们知道吗？有理数的概念：整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
那那些数是有理数呢？ 有理数的分类：1） 按正数、负数与0的关系分类：2） 按整数、分数的关系分类：例题：把下列各数分别填入下列括号里： 5，-21，-0.3,0.21,-3.14,28,-100,131,-87,0,-8,102.正整数集合{ }负分数集合{ } 正有理数集合{ } 负整数集合{ }找练习题做【探究提高】例：某大米加工厂加工了10批大米，没批质量统计如下（单位：吨）：198,201,199,204,196,197,200,201,198,203.请问：这10批大米总共多少吨？平均每批大米多少吨？观察这10个数据最接近的数是200，重新统计为-2，+1，-1，+4，-4，-3,0，+1，-2，+3.【课后练习】1整数和分数统称为_______________；整数包括___________________、_________________和零，分数包括________________和__________________。
2把下列各数填入相应集合的持号内：－3，4，－0.5，0，8.6，－7整数集合{}ΛΛ，分数集合{}ΛΛ正有理数集合{}ΛΛ，负分数集合{}ΛΛ3选择题：－100不是（）A．有理数；B．自然数；C．整数；D．负有理数。
4 如果正午记作0时，上午8时记作-4时，那么午后3时可用正数记作_________。
5 如果水位下降3m记作-3m，那么水位上升4m记作___________。
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有理数的相关概念
教学目标：
掌握有理数的基本性质及相关概念并能实现灵活应用；
教学重难点分析：
重点：1、有理数中的知识与概念；
难点：1、绝对值、有理数知识的灵活应用；
知识点梳理：
1、正数与负数；
3、数轴；
4、相反数；
5、绝对值；
6、有理数比较大小；
知识点1、正数与负数
【例1】在8.5，-2.1，+4,0.6，，0中，是负数的是_________。
【例2】水位上升20m记作+20m，则-30m表示______________，水位不升不降记为__________。
【例3】某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在____℃至_____℃范围内保存才合适。
【例4】某图纸上说明：一种零件的直径是mm，下列尺寸合格的是【】
A.30.05mm
B.29.08mm
C.29.97mm
D.30.01mm
【例5】七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均分数为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作-15分，-4分，0分，4分，15分，则这五名同学的实际成绩分别是多少分？
【随堂练习】
1、把下列各数分别填入相应的集合里．
()88.1,5,2006,14.3,722,0,34,4++----- 正数集合：｛ …｝；
负数集合：｛ …｝；
整数集合：｛ …｝；
分数集合：｛ …｝。
2、上升3.5米记作_________米；下降5.3米记作__________米。
3、某冷库的温度是16-℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是__________。
4、某食品包装上标有“净含量385±5克”，这袋食品的合格率含量范围是 克至 克.
5、排球比赛所使用的排球质量是有严格规定的。
现检查4个排球的质量，超过规定质量的记做正数，不足规定质量的记做负数。
1—4号排球检查结果如下＋15，－10，＋30，－20，那么哪一号排球的质量好些【 】
A.1号
B.2号
C.3号
D.4号
6、某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“60030（ml ）”的字样，那么30ml 表示什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，588ml ，568ml ，628ml ，问抽查的产品是否合格？
7、光明牛奶再一次质量检测中，测得七袋牛奶的质量分别为498克、500克、503克、496克、497克、502克、504克。
这七袋牛奶质量的平均值是多少？
以平均值为标准（超出为正、低于为负），用正、负数分别表示出他们对应的数。
知识点2、有理数； ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数负整数正整数正有理数有理数0
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 非负数、非正数、非负整数、非正整数的概念；
【例1】下列说法错误的是【 】
A.-0.5是负分数
B.-6既是整数也是负数
B.整数与分数统称有理数 D.正有理数与负有理数组成全体有理数
【例2】把下列各数填入表示它所在的数集的圈内：
22-,3-,21,5.1,3.7-,2,1.0,0,300,7
1- 正数集： { …}
负数集： { …}
整数集： { …}
分数集： { …}
正整数集：{ …}
有理数集：{ …}
负有理数集：{ …}
负分数集：{ …}
【例3】将分数化成小数是
，则小数点后第2012位上的数是_________。
【随堂练习】
1、下面说法中，正确的有【 】
①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正数就是负数；④一个分数不是正数就是负数。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列说法正确的是【】
A.有最小的负整数，有最大的正整数
B.有最小的负数，没有最大的整数
C.有最大的负数，没有最小的正数
D.没有最大的有理数和最小的有理数
知识点3、数轴
【例1】下列各图中，是数轴的是【】
A. B.
-1 0 1 1
C. D.
-1 0 1 -1 0 1
【例2】在数轴上表示下列各数。
3.5， -3.5, 0, 2， -2，， 0.5
【例3】数轴上的A点与表示－3的点距离4个单位长度，则A点表示的数为。
【例4】填空：
（1）在数轴上，表示-1和2的两点间的距离是__________；
（2）在数轴负半轴上有一个点，距离原点2个单位长度，这个点表示的数是______；在数轴上与-1相距3个单位长度的点表示的数是___________。
【例5】点A在数轴上表示的数是-2，将A向右移动5个单位，那么A表示的新数是什么？
【随堂练习】
1、指出下图所示的数轴各点分别表示什么数。
2、在数轴上，原点及原点左边的点表示的数是【 】
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
3、有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示则下列结论正确的是【 】
A.a ＞b ＞0＞c
B.b ＞0＞a ＞c
C.b ＜a ＜0＜c
D.a ＜b ＜c ＜0
4、点C 在数轴上，将它向右一定4个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，那么点C 原来表示的数是什么？
5、已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是
_____________________。
（用“＞”连接）
6、在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来。
知识点4、相反数
【例1】写出下面各数的相反数。
-4， 2， 0， 5.5， -（+3）， -（-1）， +（-6）
【例2】列各对数中，互为相反数的是【 】
A.+（-1）与-3
B.-（+3）与-3
C.+3与-（-3）
D.-（-3）与-3
【例3】若x+1是-9的相反数，求x 的值。
【例4】已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a 、b （a ＜b ），并且A 、B 两点间的距离是
，求a 、b 两数。
b
a c 0
【例5】化简下列各数中的符号。
（1）；（2）-（+5）；（3）-（-0.25）；（4）-[-（+1）]；（5）-（-a）
【随堂练习】
1、一个数的相反数是非负数，则这个数一定是【】
A.正数
B.负数
C.正数或0
D.负数或0
2、一个数的相反数仍是它本身，这个数是___________。
3、a与b互为相反数，b与c互为相反数，那么【】
A.a=c
B.a=-c
C.a=b=c
D.以上答案都不对
4、数轴上表示互为相反数的两点间的距离为4，则这个数是__________。
5、-（-5）的相反数是_________；的相反数是__________。
6、已知3x-1是-8的相反数，求x的值。
知识点5、绝对值
【例1】求下列各数的绝对值。
，， -2.5， -（-3）， 0
【例2】已知|x|=2，|y|=3，且x＜y，求x，y。
【例3】已知|x-4|+|y-2|=0，求x与y的相反数。
【例4】计算：|-16|+|-24|-|-30|。
【随堂练习】
1、绝对值最小的有理数是__________，相反数等于它本身的数是，绝对值等于它本身的数是。
2、绝对值不大于3的整数有_________；绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为
______________。
3、已知a=-5，|a|=|b|，则b的值是【】
A、+5
B、-5
C、0
D、±5
4、已知|x-4|+|y|=0，求2x-|y|的值。
5、已知|a|=3，|b|=2，|c|=1，且a＜b＜c，求a、b、c各数的相反数。
6、计算：|+0.25|×|-8.8|×|-40|+|-1|。
知识点6、有理数比较大小
【例1】比较下列每组数的大小。
（1）-（-5）与-|-5|；（2）-（+3）与0；
（3）；（4）
【例2】用“﹤”将连接起来。
【随堂练习】
1、小于5的正整数是____________，大于-5的负整数是__________，大于-3而小于3的整数是_________________。
2、绝对值小于126而大于26的整数个数共有【】
A.100个
B.99个
C.200个
D.198个
3、在数轴上表示数7，-1, 0, 0.5，。
（1）比较这些数的大小，用“＜”连接；
（2）求这些数的相反数，并将这些相反数用“＜”连接；
（3）求这些数的绝对值，并将这些绝对值用“＜”连接。
4、如果a是小于1的正数，那么，用“＞”号连接起来，正确的是【】
A. B.
C. D.。