复变函数论第四版第四五章练习

复变函数 第四、五章 练习

一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别

1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。

（1）2ln n n i n ∞

=∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑

2.如果级数1n n c

∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞

=∑绝对收敛.

二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式

3. 证明级数11n

n n z z ∞

=-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞

==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。

5.求下列幂级数的收敛半径：

（1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n

n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞

+=-∑ 6.设0n n n a z ∞

=∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n

n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c

在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。

8.设函数z e z

cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0

n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z

-=

在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达

式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理

11. ∞为3

1sin z 的 阶零点；求函数()sin tan f z z z =-的零点0z =的阶数。 12.设()f z 在一个包含圆周γ及其内部的区域内解析，而()f z 在γ的内部有一个一阶零点0z ，证明01()2()

zf z z dz i f z γπ'=⎰。 13.问在点0z =解析且满足条件3

111()()f f n n n =-=

(1,2,),n =的函数()f z 是否存在？ 14.求||z ze 在闭圆{:||1}z z i +≤上的最大值。 15.设()cos f z z =，证明：在任何圆周||z r =上，都有点z ，使得，|cos |1z >。

四、掌握解析函数的洛朗展式，能求一些初等函数的洛朗展式

16.求函数2

1z z e -在01z <-<+∞内洛朗展开式；求函数)

(1i z z -在+∞<-

17. 若()f z 在||R z <<+∞内解析且有界，证明0(),||.n n n c f z z R z ∞

==>∑ 六、掌握孤立奇点（含无穷远点）的各种类型判别以及利用孤立奇点的特征得到解析函数的性态；掌握整函数和亚纯函数

18. 求函数2()sin z

e f z z

=的奇点及其类型（包括无穷远点）（要求说明理由）。 19. 设()f z 在z 平面上解析，且当z →∞时，() 1.f z z

→证明：()f z 必有一个零点。 20.试证：在扩充复平面上只有一个一阶极点的解析函数()f z 必有如下形式：

(),0.az b f z ad bc cz d

+=-≠+ 21. 判别下列函数是（超越）整函数还是（超越）亚纯函数:

2213sin ,tan ,sin ,,1z

e z z z z z z +-.