八年级第二学期数学期末压轴题

26．（本题满分10分）

已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在

矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.

（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）

（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5分）

26．解：（1）如图①，过点G 作

于M . …………………………………………（1分）

在正方形EFGH 中，

. …………………………………………………………（1分）

又∵，

∴⊿AH E ≌⊿BEF …………………………………………………………（1分）同理可证：

⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………（1分） ∴GM=BF=AE =2.

∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………（1分） （2）如图②，过点G 作于M .连接HF . …………………………………………（1分）

…………………………………………………（1分）

又

∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………（1分）

D C (第26题图1)

H G

D

C

A B

E

(第26题图2)

F

H

G

∴GM=AE=2.……………………………………………………………（1分）

…………………………………………（1分）

如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.

(1) 求点的坐标.

(2) 请判断△的形状并说明理由.

(3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、

重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.

解：（1）解得：………………………1′

∴点P的坐标为（2，）………………………1′

（2）当时，∴点A的坐标为（4，0）………………………1′

∵……………1′

∴

∴是等边三角形………………………1′

（3）当0＜≤4时，………………………1′

………………………1′

当4＜＜8时，………………………1′

………………………1′

25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A，P是函数图像上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q（如图）.

（1）试证明：AP=PQ；

x y y=x A Q P O （2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当

时，求点P 的坐标.

证：（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，

∵点P 在函数的图像上，

∴PH =PT ，PH ⊥PT ，---------------------------------------------------（1分） 又∵AP ⊥PQ ，

∴∠APH =∠QPT ，又∠PHA =∠PTQ ，

∴⊿PHA ≌⊿PTQ , ------------------------------------------------------（1分）

∴AP =PQ . ---------------------------------------------------------------（1分） (2). -------------------------------------------------------------（2分）

（3）由（1）、（2）知，

，

，------------（1分）

∴，

解得

，--------------------------------------------------------（1分）

所以点P 的坐标是

与

.---（1分）

]

26．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）

已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ， （1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；

（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．

26．（1）解：AF =

，…………………………………………………………………（1 分）

证明如下：联结BD 交AC 于点O ，…………………………………………………（1 分）

∵四边形ABCD 是正方形，∴BO =DO ，

∵BF =EF ，∴OF =

DE ，OF //DE ．………………………………………（1 分）

∵BD ⊥AC ，∴∠DEO =∠AOB =90º，…………………………………（1 分） ∵∠ODA =∠OAD =

，EA =ED ，

∴∠EAD =∠EDA =45º，∴∠OAD =∠OED =∠AOD =90º，

∴四边形AODE 是正方形．………………………………………………（1 分）

（第26题） A B E F A B F 图1 图2

∴OA=DE，∴OF=AO，∴AF=．………………………（1 分）

（2）解：AF+BF=EF、AF+EF=2BF等（只要其中一个，BF=AF、EF=AF、BF=（

EF也认为正确）．…………………………（1 分）

AF+BF=EF的证明方法一：

联结BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，联结DG．

与第（1）同理可证∠GDA=45º，……………………………………………（1 分）

∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴∠GDE=60º–45º=15º．

∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAC+∠DAE=90º+60º=150º，

∴∠ABE=∠AEB=，∴∠ABF=∠GDE．

又∵∠DEG=∠DEA–∠AEB=60º–15º=45º=∠BAC，DE=AD=AB，

∴△ABF≌△EDG，……………………………………………………………（1 分）

∴EG=AF，∴AF+BF=EG+FG=EF．……………………………………………（1 分）

AF+BF=EF的证明方法二（简略）：

在FE上截取FG=AF，联结AG．证得△AFG为等边三角形．………………（1 分）

证得△ABF≌△AEG．……………………………………………………………（1 分）

证得AF+BF=EF．………………………………………………………………（1 分）

AF+EF=2BF的证明方法（简略）：

作BG⊥BF，且使BG=BF，联结CG、FG，证得△BGC≌△BF A．…………（1 分）

证得FC=FE，FG=，……………………………………………………（1 分）

利用Rt△FCG中，得出AF+EF=2BF．……………………………………（1 分）

27．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分, 第（3）小题4分）

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC的面积；

（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；

（3）当∆OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）