直线的参数方程教案

直线的参数方程

教学目标：

1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研

的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间教学难点：通过向量法，建立参数y,x的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论.

教学手段：多媒体课件．

教学过程：

一、回忆旧知，做好铺垫

教师提出问题：

1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．

2.直线的方向向量的概念．

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

5.如何建立直线的参数方程？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．

【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究

1．回顾数轴，引出向量

数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？

教师提问后，让学生思考并回答问题．

t，那的坐标为，数轴上点所对应的点为，数教师引导学生明确：如果数轴原点为O1AM 么：

OAOMOM?tOAOAOA方②当与方向与数轴的正方向一致，且①为数轴的单位方向向量，；0t?OM的方向与数轴正方向一致时），；向一致时（即0t?OMOMOA 的方向与数轴正方向相反时），与方向相反时（即当；0t? M与O重合时，；当．教师用几何画板软件演示上述过程．③t|OM|?【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．

2.类比分析，异曲同工

任意一条平面直角坐标系中的）类比数轴概念，问题：（1 直线能否定义成数轴？就有两种）把直线当成数轴后，直线上任意一点（2两种坐标坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这之间的关系？选取结论：教师提出问题后，引导学生思考并得出以下lll的(向上M平行且方向上的定点直线为原点，与直线0llle 的正方向，同时在直线确定直线时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量倾斜角不为0ll（一于是，直线上确定进行度量的单位长度，这时直线上的点就有了

两种坐标就变成了数轴．维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．正方单位长度、【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．选好参数，柳暗花明3.

l MM在直线满足怎样的几何条件？上运动时，点1问题（）：当点ll运动就上点当成数轴后，直线M让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线

te?MMMMt决M变化，但无论向量怎样变化，都有在数轴上的坐标等价于向量．因

【设此点00lt M的位置，从而可以选择的参数方程．作为参数来获取直线定了点．

计意图】明确参数

le的单位方向向量？如何确定直线）（问题2：那么终教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，以把起点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可就是一点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合．

个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．??l的从而明确直线教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出，),sine?(cos?来确定．方向向量可以由倾斜角

???0sin??0?le时，当的单位方向向量，所以直线的方向总是向上．综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思【设计意图】

想．等价转化，深入探究4.

t的坐标分别为,M表示？问题：如果点，怎样用参数M、))(x,y(x,y yx,000教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：????),y?yy)?(x?xxMM?(x,y)?(, ），，（因

为，),sin(cose?)?[0,00000Rt?teMM//eMM?又，使得，所以存在实数，即

00??．),sin?t(cos?(x?x,yy)00

??sinty?y?xx??tcos，，于是00??siny?y?x?x?tcost．，即00?)(x,yM，倾斜角为的直线的参数方程为因此，经过定点00?costx?x??0t为参数）．（??sin?ty?y?0教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？t②参数的取值范围是什么？t的几何意义是什么？③参数?t,x,y y,x是常量，总结如下：①，是变量；00R?t ②；tteMM?tM?M表示直线上的动点M③由于，得到，且，因此到定点1?|e|00t?0MMMM M的方向与数轴（直的方向与数轴（直线）正方向相同时，；当的距离．当

000

t?0t?0M；当与点线）正方向相反时，时，点M重合．0

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

三、运用知识，培养能力

2交于A,B两点，求线段AB的长度和点到例1.已知直线与抛物线

xy?01?l:x?y?1,2)(?M A,B两点的距离之积．

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：

x?y?1?0?2．解法一：由，得(*)?0x?x?1?2y?x?设，,由韦达定理得：．1x????1，

B(x,y)x?x?x,A(xy)2121221122

?4xx?2?5?AB?1?k10(x?x)?．211251??1?5?）解得*由（，x??，x1222

5?3?53．?，y??y21225?5?1?53??1?53所以．((,)A,)，B

2222?1?53?5?1?53?5

则2222)?)(2??(?1?MAMB?(?1??)?)(2?2222．2?4?5?3?5?3?3?ll，所以它的参数方程是解法二、因为直线的倾斜角为过定点M，且4?32??cost1?x??x??1?t????42tt 为参数）．（为参数），即（??32???sinty?2?t?y?2???4?22?2t?t2?0，把它代入抛物线的方程，得

?2?10?2?10，．解得?t?t1222t的几何意义得：，由参数10??t?tAB

21MA?MB?tt?2．21在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

?cost?x?x?0t为参数）与曲线交于（两点，对应的参数分探究：直线

M,M)y?f(x?21?sint?y?y?0别为．tt,21（1）曲线的弦的长是多少？MM21t的值是多少？M对应的参数（2）线段的中点MM21先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：t?t（）1MM?t?t，21?t（2）21212【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．

22yx l??1，交椭圆作直线的中例2、经过点于A,B两点．如果点M恰好为线段

AB(2,1)M164l的方程．点，求直线

l上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，M作为直线分析：引导学生以l0t?tt?t,的斜率．教师板书，过程如下：，则由求出直线A,B设两点对应的参数分别为2121?cost?2?x?lt为参数），的参数方程为（解：设过点的直线