广东省广州市九年级(上)期末数学试卷
广东省广州市九年级上学期期末考试数学试题
第一学期期末调研测试九年级数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试时间12分钟，可以使用计算器•第一部分选择题（共30分）.选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分.下面每小题给出的四个选项中，只有个是正确的）1.下面图形中，是中心对称图形的是（）3.下列事件中是不可能事件的是（）R两实数之和为正25、把抛物线y=x向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（A、y=(x 1)2 2B、y=(x-1)22 C y=(x 1)2-2 D y = (x-1)2-26.如图，△ ABC为直角三角形，• C = 90 , AC = 6, BC = 8 ,以点C为圆心，以CA为半径作O C，贝△ ABC斜边的中点D与。
C的位置关系是（）A.点D在O C上2.在平面直角坐标系中，点P （- 3, 4）A.(3,4)B.(3,- 4)C.(4,- 3)关于原点对称的点的坐标是（）A.三角形内角和小于180°C.买体育彩票中奖D.抛一枚硬币2次都正面朝上4.如果两个相似正五边形的边长比为 1 : 10，则它们的面积比为（）A.1 : 2B.1:5C.1:100D.1:10B.点D在O C内C.点D在O C外D.不能确定7•点 M (-3 , y 1), N (- 2, y 2)是抛物线2y - -（x 1）2 3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x ,则根据题意可列方程为（）第二部分非选择题（共120分）11.在一个有15万人的小镇，随机调查了 1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类, 那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是.12.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-1, 2） , AB 丄X 轴于点B ，以原点 O 为位似中心，将△ OAB 放大为原来的2倍得到△ OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1的坐标为 _________A.y i v 丫2 v 3B.3v y 1 v y 2C.y 2v yiv3D.3v y 2 v y 18.今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰,第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为 A. 2.3 (1+x ) 2=1.22B 、1.2 (1+2) 2=2.3C. 1.22=2.3D 、1.2+1.2 ( 1+x ) 2+1.2 (1+x )=2.310.如图，抛物线 2y = ax bx c(a > 0)过点 （1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限,，则 P 的取值范围是（A. -1 V P V 0B.-D. - 4v P V 0.填空题（本题有6个小题，每小题3分,共18分）［来源学科网］A 1B 1C14.如图， 在 Rt A ABC 中，ZBAC = 90，将 Rt A ABC 绕点 C 按逆时针 方向旋转 48得 Rt A ABC ，且点A 恰好在边BC 上，贝【J的大小为 _______ .1 5.如图，△ ABC 的周长为 8 , O O 与BC 相切于点 D ,与AC 的延长线相切于点 E ，与AB 的延长线相切于点 F ,则AF 的长为 ___________ .16.如图，正方形 ABCD 的边长为2 ,点O 是边AB 上一动点（点O 不与点 A , B 重合），以O为圆心，2为半径作O O ,分别与AD , BC 相交于 M , N,则劣弧 MN 长度a 的取值范围是 _______________ .三•解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）［来源学科网ZXXK ］17.解方程（本大题 2小题，每小题5分，满分10分）2（1） x 4x-5=0(2) x-3 x 3=2x613.已知方程x 2 mx0的一个根是1, 则它的另一个根是V第】5题图第14題图18.（本题满分10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位.第18題图X 2。
广东省广州市九年级上学期期末数学试卷
广东省广州市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共6题；共12分)1. （2分）下列图案是轴对称图形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）方程的解是A .B .C . 或D .3. （2分） (2020九上·秀屿期末) 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A .B .C .D .4. （2分）下列命题，正确的是（）A . 如果｜a｜=｜b｜，那么a=bB . 等腰梯形的对角线互相垂直C . 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D . 相等的圆周角所对的弧相等5. （2分）已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A . 图象必经过点（﹣1，3）B . 若x＞1，则﹣3＜y＜0C . 图象在第二、四象限内D . y随x的增大而增大6. （2分） (2019九上·新蔡期中) 下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题： (共8题；共8分)7. （1分）(2015·台州) 有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是________．8. （1分）若 = = ，则 =________9. （1分）(2020·寻乌模拟) 当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为________．10. （1分） (2016九上·江夏期中) 函数y= 的图象与直线y=﹣x+n只有两个不同的公共点，则n的取值为________．11. （1分）(2017·奉贤模拟) 如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是________．12. （1分）(2018·鄂尔多斯模拟) 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线（x＞0）正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为：________．13. （1分）(2019·枣庄模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为________ ．14. （1分）(2020·吉林模拟) 如图，设A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)²+m上的三点，则y1 ， y2 ， y3的大小关系为________(用“>”连接)。
2023-2024学年广东省广州市番禺区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2+2x+1＝0C．x2+2x+3＝0D．x2+2x﹣3＝0 2．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A．y＝3x2﹣2B．y＝3x2C．y＝3（x+2）2D．y＝3x2+2 3．（3分）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A．120（1﹣x）2＝100B．100（1﹣x）2＝120C．100（1+x）2＝120D．120（1+x）2＝1005．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（3分）用配方法将方程x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣m）2＝17，则m的值是（）A．﹣2B．4C．﹣4D．87．（3分）平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）8．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷此骰子，朝上面的点数为奇数的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（）A．2r，90°﹣αB．0，90°﹣αC．2r，D．0，10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．在下列四个结论中：①a+b+c＞0；②4ac﹣b2≤4a；③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＜1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则，其正确结论的序号是（）A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的解是．12．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加m．13．（3分）关于x的方程5x2﹣mx﹣1＝0的一根为1，则另一根为．14．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于．15．（3分）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘2次，当转盘停止转动时，指针2次都落在灰色区域的概率是．16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝．（结果保留根号）三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演17．（4分）解方程：（x﹣3）（x+1）＝x﹣3．18．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，2），B（1，﹣3）两点．（1）求b和c的值；（2）自变量x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小？19．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系xOy内，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，且B（﹣2，1），O为AD边的中点．若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转180°，试解答下列问题：（1）画出四边形ABCD旋转后的图形；（2）设点B旋转后的对应点为B'，写出B'的坐标，并求B旋转过程中所经过的路径长（结果保留π）．20．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，垂足为E，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，分别求OE和CD的长．22．（10分）甲、乙两位同学相约打乒乓球．（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12cm，BC＝2AB，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，那么△BPQ的面积S随出发时间t而变化．（1）求出S关于t的函数解析式，写出t的取值范围；（2）当t取何值时，S最大？最大值是多少？24．（10分）MN是⊙O上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接AM，BM．（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，∠ABM＝30°，求∠CMO的度数；（2）如图2，连接OM，AB，过点O作OD∥AB交MN于点D，求证：∠MOD+2∠DMO ＝90°；（3）如图3，连接AN，BN，试猜想AM•MB+AN•NB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．25．（12分）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线的一部分AED构成（以下简记为“抛物线AED”），其中AB＝4m，BC＝6m，现取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，OE＝7m，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，其中L，R在抛物线AED上，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为BK，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线AED交于点P，求线段PK的长．2023-2024学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【解答】解：A、x2+1＝0中Δ＜0，没有实数根；B、x2+2x+1＝0中Δ＝0，有两个相等的实数根；C、x2+2x+3＝0中Δ＜0，没有实数根；D、x2+2x﹣3＝0中Δ＞0，有两个不相等的实数根．故选：D．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（0，2）．可设新抛物线的解析式为y＝3（x﹣h）2+k，代入得y＝3x2+2．故选：D．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．3．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【分析】易得第一次降价后的价格为：120×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为：120×（1﹣x）×（1﹣x），那么相应的等量关系为：原价×（1﹣降低的百分率）2＝第二次降价后的价格，把相关数值代入即可．【解答】解：∵某种商品原价是120元，平均每次降价的百分率为x，∴第一次降价后的价格为：120×（1﹣x），∴第二次降价后的价格为：120×（1﹣x）×（1﹣x）＝120×（1﹣x）2，∴可列方程为：120（1﹣x）2＝100，故选：A．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第二次降价后价格的等量关系是解决本题的关键．5．【分析】根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC＝90°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴所对的圆心角为90°，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°，是本题解题的关键．6．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m的值．【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝17，（x﹣4）2＝17，所以m＝4．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．7．【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据点的坐标知对应的线段长度，根据旋转的性质求相应线段的长度，结合点所在象限，确定其坐标．【解答】解：作AB⊥x轴于B点，A′B′⊥y轴于B′点．如图所示．∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3．∴OB′＝4，A′B′＝3．∵A′在第四象限，∴A′（3，﹣4）．故选：C．【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′坐标．8．【分析】骰子共有六个面，每个面朝上的机会是相等的，而奇数有1，3，5；根据概率公式即可计算．【解答】解：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P（向上一面为奇数）＝，故选：D．【点评】此题考查了概率公式，要明确：如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个，不构成事件A的事件有b个，则出现事件A的概率为：P（A）＝．9．【分析】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．【解答】解：如图，连接IF，IE．∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，∴∠EIF＝180°﹣α，∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．故选：D．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．10．【分析】①根据图象经过（1，1），得出a+b+c＝1，故可判断①；由c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a ＜0，再把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，得出b＜0，再得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）或右侧，得出≥1，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2≤4a，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出mn＝＝1，即n＝，根据n≥3，得出≥3，求出m的取值范围，即可判断④正确．【解答】解：①∵图象经过（1，1），∴a+b+c＝1＞0，故①正确；②∵c＜0，∴抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧，∵（n，0）中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＝1，即b＝1﹣a﹣c，∵a＜0，c＜0，∴b＞0，∴＞0，∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，即mn＞0，∵n≥3，∴m＞0，∴＞1.5，即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，∴≥1，∵4a＜0，∴4ac﹣b2≤4a，故②正确；③∵m＞0，∴当n＝3时，＞1.5，∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，∵a＜0，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，∴t＞1，故③错误；④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．∵把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，∴（a+c）2﹣4ac＝0，即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∵（m，0），（n，0）在抛物线上，∴m，n为方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴mn＝＝1，∴n＝∵n≥3，∴≥3，∴0＜m≤，故④正确．综上，正确的结论有：①②④．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分.）11．【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，解得：x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．12．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），得：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，故答案为：（2﹣4）．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．13．【分析】将x＝1代入方程5x2﹣mx﹣1＝0，求出m的值，再求方程的解即可．【解答】解：∵x＝1是方程5x2﹣mx﹣1＝0的根，∴5﹣m﹣1＝0，解得m＝4，∴方程为5x2﹣4x﹣1＝0，（5x+1）（x﹣1）＝0，5x+1＝0或x﹣1＝0，解得x＝﹣或x＝1，故答案为：x＝﹣．【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解与一元二次方程的关系是解题的关键．14．【分析】根据旋转的性质得到：BE′＝DE＝1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据旋转的性质得到：BE′＝DE＝1，在直角△EE′C中：EC＝DC﹣DE ＝2，CE′＝BC+BE′＝4．根据勾股定理得到：EE′＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要运用了勾股定理，能根据旋转的性质得到BE′的长度，是解决本题的关键．15．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次都落在灰色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中两次都落在灰色区域的结果有共4种，∴两次都落在灰色区域的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．16．【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝+1，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝+1，AB∥CD．∵AH⊥CD，垂足为H，AH＝，∴sin D＝＝，∴∠D＝60°，∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，∴DH＝AD＝1，∴CH＝CD﹣DH＝+1﹣1＝，∴CH＝AH，∵AH⊥CD，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠ACH＝∠CAH＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°，∴＝2πr1，解得r1＝，＝2πr2，解得r2＝，∴r1﹣r2＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC＝45°是解决本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演17．【分析】利用因式分解法解方程即可．【解答】解：原方程变形得：（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）＝0，因式分解得：（x﹣3）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣3）＝0，解得：x1＝0，x2＝3．【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．18．【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得b、c的值；（2）求出抛物线的解析式，再求出对称轴，根据开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小即可．．【解答】解：（1）把A（0，2），B（1，﹣3）两点代入二次函数y＝x2+bx+c得，解得b＝﹣6，c＝2；（2）由（1）得y＝x2﹣6x+2，则对称轴为：直线x＝3，∵a＝1＞0，∴开口向上，∴当x＜3时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．19．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可；（2）利用勾股定理求出OB的长，再利用圆的周长公式求解．【解答】解：（1）如图，四边形A′B′C′D′即为所求；（2）B′（2，﹣1），∵OB＝＝，∴B旋转过程中所经过的路径长＝×2π×＝π．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轨迹，圆周长公式等知识，解题的关键是理解题意，掌握中心对称变换的性质．20．【分析】（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．【解答】解：（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得，1+a+a﹣2＝0，解得，a＝；方程为x2+x﹣＝0，即2x2+x﹣3＝0，设另一根为x1，则1•x1＝﹣，x1＝﹣．∴a的值为，该方程的另一个根是﹣．（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．21．【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可；（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD．【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝3，由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，即点O到AC的距离为3，连接OC，在Rt△CDE中，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，∴CD＝＝＝2．【点评】本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．22．【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可；（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．【解答】解：（1）画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，∴P（乙选中球拍C）＝；（2）公平．理由如下：画树状图如下：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，∴P（甲先发球）＝，P（乙先发球）＝，∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），∴这个约定公平．【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．23．【分析】（1）根据点P和点Q的运动方式，用含t的代数式表示出BP和BQ即可解决问题．（2）由（1）中所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，∵AB＝12cm，BC＝2AB，∴BC＝24cm．又∵动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC 向点C以4cm/s的速度移动，∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，∴，∵点P和点Q分别在AB和BC上运动，∴0≤t≤6．（2）∵S＝﹣4t2+24t，∴当t＝时，S有最大值，且0≤3≤6，∴．故当t＝3时，S有最大值为36．【点评】本题考查二次函数的最值，能根据题意得出S与t之间的函数关系式是解题的关键．24．【分析】（1）如图1，根据圆周角定理得到：∠AMB＝90°；由圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质推知∠AMN＝∠BMN＝45°，∠OMB＝∠OBM＝30°，易得∠CMO 的度数；（2）如图2，连接OA，OB，ON．利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知：∠DON＝90°；根据等腰△MON的性质知∠OMN＝∠ONM；结合△OMN的内角和定理得到：∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°，即∠MOD+2∠DMO＝90°；（3）设AM＝a，BM＝b．如图3，延长MB至点M′，使BM′＝AM，连接NM′，作NE⊥MM′于点E．构造全等三角形：△AMN≌△BM′N（SAS），则该全等三角形的对应边相等MN＝NM′，BM′＝AM＝a．由勾股定理知，ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2，代入化简即可得到该结论．【解答】解：（1）如图1，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°．∵，∴∠AMN＝∠BMN＝45°．∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM＝30°，∴∠CMO＝45°﹣30°＝15°；（2）如图2，连接OA，OB，ON．∵，∴∠AON＝∠BON．又∵OA＝OB，∴ON⊥AB．∵OD∥AB，∴∠DON＝90°．∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM．∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°，∴∠MOD+2∠DMO＝90°；（3）如图3，延长MB至点M′，使BM′＝AM，连接NM′，作NE⊥MM′于点E．设AM＝a，BM＝b．∵四边形AMBN是圆内接四边形，∴∠A+∠MBN＝180°．∵∠NBM′+∠MBN＝180°，∴∠A＝∠NBM′．∵，∴AN＝BN，∴△AMN≌△BM′N（SAS），∴MN＝NM′，BM′＝AM＝a．∵NE⊥MM′于点E．∴．∵ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2，∴．化简得ab+NB2＝16，∴AM•MB+AN•NB＝16．【点评】此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．25．【分析】（1）由题意得A（﹣3，4），D（3，4），E（0，7），设函数解析式为y＝ax2+bx+c，再利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出y＝4.75时对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线AC的解析式，进而设出过点K的光线解析式为y＝﹣x+t，利用光线与抛物线相切，求出t的值，进而求出点K，点P坐标，即可得出PK的长【解答】解：（1）由题意可知四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，∴AD＝BC＝6m，则OB＝3m，∵AB＝4m，OE＝7m，∴A（﹣3，4），D（3，4），E（0，7），设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+7；（2）∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL＝NR＝0.75m，∴MN＝FG＝FL＝NR＝0.75m，延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形，∴FH＝AB＝4m，FN＝HL，∴HL＝HF+FL＝4.75m，∵y＝﹣x2+7，当y＝4.75时，4.75＝﹣x2+7，解得x＝±，∴H（﹣，0），J（，0），∴FN＝HJ＝3m，∴GM＝FN﹣FG﹣MN＝（3﹣）m；（3）∵BC＝6m，OE垂直平分BC，∴OB＝OC＝3m，∴B（﹣3，0），C（3，0），∵A（﹣3，4），∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+2，∵太阳光为平行光，设过点K平行于AC的光线的解析式为：y＝﹣x+t，由题意可得，y＝﹣x+t与抛物线相切，令﹣x+t＝﹣x2+7，整理得，x2﹣2x+3t﹣21＝0，则Δ＝（﹣2）2﹣4（3t﹣21）＝0，解得t＝；∴y＝﹣x+，x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，∴P（1，），当y＝0时，x＝11，即K（11，0），∴PK＝＝m．【点评】本题考查二次函数的实际应用，矩形的性质．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键。
广州市九年级数学上册期末试卷答案
广州市九年级数学上册期末试卷答案一、选择题本大题共8个小题，每小题3分，共24分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D B A B D C D二、填空题本大题共6个小题，每小题3分，共18分.9. a<3且a≠-1 10. .0.3 , 011. 6 12. 50+501+x+501+x2=17513. 14. 8三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.本题12分，每题6分1 解：.......................................................................... ...............................3分.... ..................................................................... ... .............................................6分2解：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC;∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6;∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60 °，∴△ABD∽△DCE， .............................................4分则 = ，即 = ，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7........ ......................................6分 16.本题12分，每题6分1解：依题意，可建立的函数关系式为：;即每个函数解析式各2分2 解：1A-6，-2，B4，3;∵一次函数y=kx+b的图像经过点A-6，-2，B4，3，∴-6k+b=-2，4k+b=3，解得k=12，b=1.∴一次函数的表达式为y=12x+1..............................2分∵反比例函数y=mxm≠0的图像经过点A-6，-2，∴-2=m-6，解得m=12.∴反比例函数的表达式为y =12x.. ............................4分2当-64时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.................6分 17本题14分，每题7分1解：设做成盒子的高是x厘米，由题意得：70-2x50-2x=1500……………3分整理得; x2 -60x+500=0x=10或50 ……………6分显然x<50，故只取x=10即做成盒子的高是10厘米。
2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内3．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B．掷一次骰子，向上一面的点数是6C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝60°，∠APD＝80°，则∠B 等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（3分）如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC＝26°，则∠A的度数为（）A．32°B．52°C．64°D．72°6．（3分）将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x+1）2+27．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（）A．2B．﹣2C．﹣1D．108．（3分）若点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b9．（3分）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（）A．2021B．2022C．2023D．不能确定10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜⑤b＞c．；其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P1的坐标为．12．（3分）一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式为：．13．（3分）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是．14．（3分）圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积是．15．（3分）点A是反比例函数y＝（k＞0）上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况为．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为cm．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2﹣4x＝5．18．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．19．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是；（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．20．（6分）如图，在▱OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过定C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式；（2）试探究此反比例函数的图象是否经过▱OABC的中心．21．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是．22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）23．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？24．（12分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．25．（12分）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．（1）如图1，若BC＝PB，∠CBP＝30°，求∠APC的度数；（2）如图2，当∠APC＝135°时，求证：CD＝PB；（3）如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，CQ＝2，连接AQ，PQ，求△APQ面积的最大值．2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．2．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点A到圆心O的距离为10cm，∴d＝r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3．【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件．D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C．【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再根据对顶角相等得出∠BPC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠C＝∠A＝60°，∵∠APD＝80°，∴∠BPC＝80°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质，熟练掌握定理及性质是解题的关键．5．【分析】先根据切线长定理和切线的性质得到AB＝AC，∠OBA＝90°，则可计算出∠ABC ＝64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．【解答】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，∴AB＝AC，OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵∠OBC＝26°，∴∠ABC＝90°﹣26°＝64°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝64°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝52°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．6．【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y＝a（x ﹣k）2+h，其中对称轴为直线x＝k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y＝a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．7．【分析】利用根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，对所求的代数式进行整理变形，最后整体代入进行计算即可．【解答】解：根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2×（﹣3）＝10．故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会利用根的判别式的值，判断一元二次方程的根的情况．8．【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）所在的象限，确定a、b、c大小关系．【解答】解：∵k2+3＞0，∴反比例函数y＝（k为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∴点A（﹣1，a）在第三象限，B（1，b），C（2，c）在第一象限，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b，故选：D．【点评】考查反比例函数的图象和性质，考查当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．9．【分析】观察规律可知每4个一循环，可以判断P2023在505次还要再翻三次，即完成从P到P3的过程，以此可以求出P2023的横坐标．【解答】解：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，∵2023÷4＝505……3，∴505×4﹣1＝2019，还要再翻三次，即完成从P到P3的过程，横坐标加3，则P2023的横坐标x2023＝2022．故选：B．【点评】本题考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力．10．【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，∵对称轴为直线x＝1∴＝1，即b＝﹣2a，∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，∴4ac﹣b2＝4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．12．【分析】根据一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c＝0，经过移项、合并同类项将一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式即可．【解答】解：x2+6x＝3x+2，移项，得x2+6x﹣3x﹣2＝0，合并同类项，得x2+3x﹣2＝0，即把一元二次方程x2＝4x﹣6化成一般式是：x2+3x﹣2＝0，故答案为：x2+3x﹣2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．13．【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可．【解答】解：根据题意，袋子中白球的个数约是8×0.25＝2（个），故答案为：2个．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．【分析】根据勾股定理求出母线长，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，∴圆锥的母线长＝＝13（cm），∴圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2），故答案为：65πcm2．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长以及扇形面积公式是解题的关键．15．【分析】根据反比例函数y＝（k＞0）系数k的几何意义得到S△AOB＝|k|＝8，求得到k的值，再根据一元二次方程根的判别式的正负得出根的情况．＝|k|＝8，【解答】解：根据题意得S△AOB∵k＞0，∴k＝16，∴一元二次方程x2﹣4x+k＝0为：一元二次方程x2﹣4x+16＝0，∵Δ＝16﹣64＜0，∴方程x2﹣4x+k＝0无实数根，故答案为：无实数根．【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，一次二次方程的根的情况，根据反比例函数比例系数的几何意义求得k的值是解题的关键．16．【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【解答】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，∴MA＝，MG＝OB＝，AG≥AM﹣MG＝，当A，M，G三点共线时，AG最小＝（）cm，故答案为：（）．【点评】本题主要考查了正方形的性质，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】先将原方程化为一般式，然后运用二次三项式的因式分解法进行求解．【解答】解：∵x2﹣4x＝5∴x2﹣4x﹣5＝0∴（x﹣5）（x+1）＝0∴x﹣5＝0，x+1＝0∴原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18．【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE＝45°，易知∠ACD ＝90°﹣20°＝70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC＝∠B，则可求．【解答】解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根据旋转的性质可得∠BCD＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段．19．【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，故答案为；（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．【点评】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解．20．【分析】（1）将C点代入反比例函数解析式即可求出k，根据平行四边形的性质可求出B点坐标，再用待定系数法求直线OB的解析式即可；（2）先根据中点坐标公式求出平行四边形的中心坐标，然后代入反比例函数解析式即可确定．【解答】解：（1）将点C（1，2）代入反比例函数y＝，得k＝2，∵A（3，0），∴OA＝3，在▱OABC中，OA∥BC，且OA＝BC，∴点B坐标是（4，2），设直线OB的解析式：y＝kx，代入B（4，2），得4k＝2，解得k＝，∴直线OB解析式是：y＝x；（2）∵▱OABC的中心就是OB中点，且OB的中点坐标（2，1），∴将x＝2代入，可得y＝1，∴反比例函数的图象经过▱OABC的中心．【点评】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式以及平行四边形的性质是解题的关键．21．【分析】（1）令x＝0，即可求出函数与y轴的交点坐标，令y＝0，即可求出与x轴的交点坐标，配方之后即可求出函数的顶点坐标；（2）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标，即可画出函数图象；（3）根据函数图象直接得到答案．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）；（2）列表：描点、连线，如图，（3）由（2）中的函数图象知，当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与二次函数的画法，要对二次函数有一个明确的认识方可正确解答．22．【分析】（1）由OD＝OB得∠1＝∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC＝∠1+∠ODB ＝2∠1，而∠A＝2∠1，所以∠DOC＝∠A，由于∠A+∠C＝90°，所以∠DOC+∠C＝90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）由∠A＝60°得到∠C＝30°，∠DOC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关﹣S扇形DOE 系得CD＝OD＝2，然后利用阴影部分的面积＝S△COD和扇形的面积公式求解．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1+∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠A+∠C＝90°，∴∠DOC+∠C＝90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝60°，∴∠C＝30°，∠DOC＝60°，在Rt△DOC中，OD＝2，∴CD＝OD＝2，﹣S扇形DOE∴阴影部分的面积＝S△COD＝×2×2﹣＝2﹣．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．23．【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格＝原价×（1+这两次价格上调的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝16.9，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．答：这两次价格上调的平均增长率为30%．（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3．答：每包应该降价3元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．【分析】（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；（2）分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可；（3）分两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），3m+n＝12﹣3＝9；（2）①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，故此时Q点坐标为（2，﹣7）；②当CP＝PQ时，可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；③当CQ＝PQ时，可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；（3）图象翻折后的点P对应点P′的坐标为（2，﹣1），①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．即：b＝﹣3或﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难点在于（3），关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．25．【分析】（1）分别求出∠APB和∠BPC，即可求∠APC的大小；（2）以B为圆心，AB为半径作圆，根据优弧AC所对的圆周角是135°，可知点P在圆B上，由此可得BP＝CD；（3）当BP⊥AQ时，△APQ面积有最大值，设BP与AQ的交点为K，用等积法求出BK的长，在求出PK＝，则可求△APQ面积的最大值为16．【解答】（1）解：∵∠CBP＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＝60°，∵BC＝PB，∴AB＝PB，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∵∠BPC＝∠BCP＝75°，∴∠APC＝135°；（2）证明：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，以B为圆心，AB为半径作圆，∵劣弧AC所对的圆心角是270°，∴优弧AC所对的圆周角是135°，∵∠APC＝135°，∴P点在圆B上，∴BP＝BC，∵BC＝CD，∴BP＝CD；（3）解：∵CQ＝2，AB＝8，∴BQ＝6，∴AQ＝10，当BP⊥AQ时，△APQ面积有最大值，设BP与AQ的交点为K，∵AB•BQ＝AQ•BK，∴BK＝，∵AB＝BP，∴PK＝8﹣＝，∴△APQ面积的最大值为10×＝16．【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，圆周角与圆心角的关系是解题的关键。
广州市九年级(上)期末数学试卷含答案
九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在1，0，2，-3这四个数中，最大的数是（）A. 1B. 0C. 2D. -32.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A. 2.5×106B. 0.25×10-5C. 25×10-7D. 2.5×10-63.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )A. 正六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形4.一元二次方程2x2+x-3=0的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定5.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD=130°，那么∠B的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A. k＜2B. k≤2C. k＞2D. k≥28.如果从-1，2，3三个数中任取一个数记作m，又从0，1，-2三个数中任取一个数记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为（）A. B. C. D.9.若△ABC与△DEF相似，且对应边的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为（）A. 2：5B. 2：3C. 4：9D. 4：2510.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.分解因式：a2-a=______．12.如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为______．13.把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（8，4），将矩形OABC绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上的点B′处，得到矩形OA′B′C′，OA′与BC相交于点D，则经过点D的反比例函数解析式是______ ．15.如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于______ ．16.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2019个图共有______枚棋子．三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）17.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．18.商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是______；（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．19.已知x2-2x-7=0，求（x-2）2+（x+3）（x-3）的值．20.如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG．延长CB与EF交于点H．（1）求证：BH=EH；（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．（1）利用尺规作图作∠BAC的平分线，交⊙O于点D（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CD，若AC=CD，求∠B的度数．22.如图，已知直线y=x与双曲线y=交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为第一象限内双曲线y=上一点，且点C在直线y=x的上方．（1）求双曲线的函数解析式；（2）若△AOC的面积为6，求点C的坐标．23.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为B（1，0）和C，与y轴的交点坐标为（0，-1.5）且此抛物线过点A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标．24.如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若=，求证：AE=AO；（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长．25.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：-3＜0＜1＜2，故选：C．根据正数大于0，0大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2.【答案】D【解析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C【解析】解：360÷36=10．故选：C．利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．4.【答案】B【解析】解：在方程2x2+x-3=0中，△=12-4×2×（-3）=25＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．根据方程的系数结合根的判别式△=b2-4ac，找出△的正负，由此即可得出结论．本题考查了根的判别式，找出根的判别式△=b2-4ac=25＞0是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.【答案】B【解析】解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC∥OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°-50°=40°．故选：B．先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A=40°，再由圆周角定理和直角三角形的性质求出∠B的度数即可．本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解题关键．7.【答案】C【解析】解：∵反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k-2＞0，解得k＞2．故选C．先根据当x＞0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2，所以点P（m，n）恰在第四象限的概率=．故选：A．画树状图展示所有9种等可能的结果数，再根据第四象限内点的坐标特征找出点P（m，n）恰在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．9.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的周长之比为2：3．故选：B．由△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．10.【答案】B【解析】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y=×2×2-（2-x）×（2-x）=-x2+2x．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y=×[2-（x-2）]×[2-（x-2）]=x2-4x+8，∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：B．此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．11.【答案】a（a-1）【解析】解：a2-a=a（a-1）．这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．12.【答案】9：16【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故答案为：9：16．13.【答案】y=-（x+1）2+3【解析】解：根据题意，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，3），∴平移后抛物线解析式为：y=-（x+1）2+3．故答案为：y=-（x+1）2+3．抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式．14.【答案】y=【解析】解：∵B（8，4），∴OA=8，AB=OC=4，∴A′O=OA=8，A′B′=AB=4，tan∠COD==，即=，解得CD=2，∴点D的坐标为（2，4），设经过点D的反比例函数解析式为y=（k≠0），则=4，解得k=8，所以，经过点D的反比例函数解析式为y=．故答案为：y=．利用∠COD的正切值列式求出CD的长度，然后写出点D的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用三角函数求出CD的长度，从而得到点D的坐标是解题的关键，还考查了坐标与图形-旋转．15.【答案】【解析】解：连接CO，DO，∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，∴∠COD=60°，∵△PCD的面积等于△OCD的面积，∴都加上CD之间弓形的面积得出S阴影=S扇形OCD==，故答案为：．连接CO，DO，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影=S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算．根据图形推知图中阴影部分面积=扇形OCD的面积是解题的关键．16.【答案】6058【解析】解：观察图形知：第1个图形有3+1=4个棋子，第2个图形有3×2+1=7个棋子，第3个图形有3×3+1=10个棋子，第4个图形有3×4+1=13个棋子，…第n个图形有3n+1个棋子，当n=2019时，3×2019+1=6058个，故答案为：6058根据图形中点的个数得到有关棋子个数的通项公式，然后代入数值计算即可．本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形得到通项公式是解决本题的关键．17.【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1-x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．【解析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1-x）2，据此列出方程求解即可．此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．18.【答案】（1);（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：=．【解析】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；故答案为：；（2）见答案．（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：原式=x2-4x+4+x2-9=2x2-4x-5，∵x2-2x-7=0∴x2-2x=7．∴原式=2（x2-2x）-5=9．【解析】本题应先将原式去括号、合并同类项，将原式化为2x2-4x-5，再将已知x2-2x-7=0化为x2-2x=7，再整体代入即可．本题考查了整式的化简和整体代换的思想．20.【答案】（1）证明：如图1中，连接AH，由旋转可得AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，又∵AH=AH，∴Rt△ABH≌Rt△AEH，∴BH=EH．（2）解：由旋转可得AG=AD=4，AE=AB，∠EAG=∠BAD=90°，在Rt△ABG中，AG=4，AB=2，∴cos∠BAG==，∴∠BAG=30°，∴∠EAB=60°，∴弧BE的长为=π，即B点经过的路径长为．【解析】（1）欲证明BH=EH，只要证明Rt△ABH≌Rt△AEH即可；（2）想办法求出旋转角∠EAB即可解决问题；本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）如图1所示，AD即为所求的∠CAB的平分线；（2）如图2所示：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，又∵∠ADC=∠B，∴∠CAD=∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB=∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．【解析】（1）由角平分线的基本作图即可得出结果；（2）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CAD=∠B，再由角平分线得出∠CAD=∠DAB=∠B，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，即可求出∠B的度数．本题考查了作图-基本作图，圆周角定理、等腰三角形的性质、本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）∵点B（-4，-2）在双曲线y=上，∴=-2，∴k=8，∴双曲线的函数解析式为y=．（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，∴A（4，2），∴OE=4，AE=2，设点C的坐标为（a，），则OF=a，CF=，则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE-S△AOE，=×+（2+）（4-a）-×4×2=，∵△AOC的面积为6，∴=6，整理得a2+6a-16=0，解得a=2或-8（舍弃），∴点C的坐标为（2，4）．【解析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE-S△AOE=6，列出方程即可解决．本题考查反比例函数与一次函数交点、解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）根据题意得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x-；（2）y=x2+x-=（x2+2x+1-1）-=（x+1）2-2，∴P点坐标为（-1，-2）；当y=0时，x2+x-=0，解得x1=1，x2=-3，则C点坐标为（-3，0），设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（3，6），C（-3，0）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3，当x=-1时，y=x+3=2，∴Q点坐标为（-1，2）．【解析】（1）把三个已知点的坐标代入y=ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式配成顶点式，从而得到P点坐标为（-1，-2）；再解方程x2+x-=0得C点坐标为（-3，0），接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，然后求出自变量为-1对应的一次函数值得到Q点的坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴=，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图1，∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴==，∴==，∵OA=OB，∴AE=OA；（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=∠EBD=30°，∵CD=2，∴BD=6，DE=6，BE=12，∴AE=BE=4，∴AH=2，∴EH=2，∴DH=4，在Rt△DAH中，AD==2．【解析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到==，==，即可得到结论；（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6，BE=12，在Rt△DAH中，AD=，求出答案即可．本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∠A=∠C=90°，在Rt△ABD中，BD=10，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD，EF=AD=4，BF=DF=5，∴∠BEF=∠A=90°=∠C，EF∥BC，∴∠BFE=∠DBC，∴△BEF∽△DCB；（2）如图1，过点Q作QM⊥EF于M，∴QM∥BE，∴△QMF∽△BEF，∴，∴，∴QM=（5-2t），∴S△PFQ=PF×QM=（4-t）×（5-2t）=0.6=，∴t=（舍）或t=2秒；（3）如图，∵△BGD∽△BAD，∴，∴，∵四边形EPQG是矩形，∴QG=PE=t，∴∴t=（4）当点Q在DF上时，如图2，PF=QF，∴4-t=5-2t，∴t=1当点Q在BF上时，PF=QF，如图3，∴4-t=2t-5，∴t=3PQ=FQ时，如图4，∴，∴t=，PQ=PF时，如图5，∴，∴t=，综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形．【解析】（1）先判断出EF∥AD，进而判断出∠EFB=∠CBD，即可得出结论；（2）先判断出△QMF∽△BEF，进而得出QM=（5-2t），再利用面积公式建立方程求解即可；（3）由△BGD∽△BAD，得出QG．再用矩形的对边相等即可得出结论；（4）分点Q在DF和BF上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解．。
广东省广州市九年级(上)期末数学试卷
【解析】
解：A．13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确； B.“抛一枚硬币正面朝上概率是 0.5”表示每抛硬币 2 次可能有 1 次出现正面 朝上，此选项错误； C.如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它发生的可能性小，此选项 错误； D.从 1、2、3、4、5、6 中任取一个数是奇数的可能性等于偶数的可能性，此选 项错误； 故选：A． 直接利用随机事件的意义以及概率的意义分别分析得出答案． 此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
3. 将二次函数 y=2x2 的图象向左平移 1 个单位，则平移后的函数解析式为（ ）
A. y=2x2−1
B. y=2x2+1
C. y=2(x−1)2
D. y=2(x+1)2
4. 下列说法正确的是（ ）
A.13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 B.“抛一枚硬币正面朝上概率是 0.5”表示每抛硬币 2 次有 1 次出现正面朝上 C.如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生 D.从 1、2、3、4、5、6 中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性
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25. 如图，直线y=x-3 与 x 轴、y 轴分别交于点B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线y=-x2+mx+n 与 x 轴的另一个交点 为 A，顶点为 P． 1 求 3m+n 的值； 2在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C P，， Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出 有 符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 ． 3将该抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴向下翻折 ，图 象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图 象 x 轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线 y=x+b 与该“M”形状的图象部 分 恰好有三个公共点，求 b 的值．
2022-2023学年广东省广州市天河区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 下列事件中，属于不可能事件的是( )A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯B. 射击运动员射击一次，命中靶心C. 班里的两名同学的生日是同一天D. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球3. 在平面直角坐标系中，点(−5,1)关于原点对称的点的坐标是( )A. (5,−1)B. (5,1)C. (1,−5)D. (−5,−1)4. 用配方法解方程x2+2x=2时，配方后正确的是( )A. (x+1)2=3B. (x+1)2=6C. (x−1)2=3D. (x−1)2=65. 关于x的一元二次方程x2−4x−k=0没有实数根，则k的取值范围是( )A. k>4B. k<4C. k>−4D. k<−46.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°7.如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP=10，∠OPT=30°，则PT的长为( )A. 33B. 53C. 5D. 88. 一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为( )A. 6B. 36C. 12D. 1449. 点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在抛物线y=x2上.若y1<y2，则m的取值范围为( )A. m>4B. m<4C. m<12D. m>1210. 用12米长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 方案1或方案2第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 抛物线y=−3(x−2)2+2的顶点坐标为______ ．12. 一个布袋里放有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______ ．13. 关于x的方程x2−3x+m=0有两根，其中一根为x=1，则两根之积为______ ．14. 右表是某球员在罚球线上投篮的结果.则估计该球员投篮一次投中的概率约为______ (结果保留小数点后一位)投篮次数20401002004001000投中次数15337815832180115. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，若P为AB的中点，则OP=______ ．16. 一副三角板按图1放置，O是边BC(DF)的中点，BC=20cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
广东省广州市九年级上学期数学期末试题附答案
九年级上学期数学期末试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（）A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣23.以下事件属于随机事件的是（）A. 小明买体育彩票中了一等奖B. 2019年是中华人民共和国建国70周年C. 正方体共有四个面D. 2比1大4.如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：95.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A. 60°B. 45°C. 35°D. 30°6.已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）A. 0＜y1＜y2B. 0＜y2＜y1C. y1＜y2＜0D. y2＜y1＜07.如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A.B.C.D.8.把二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象沿着x轴翻折后，得到的二次函数有（）A. 最大值y＝3B. 最大值y＝﹣3C. 最小值y＝3D. 最小值y＝﹣39.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则∠ABC'的度数是（）A. 45°B. 30°C. 20°D. 15°10.如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB 的面积为6，则k的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共6题；共7分）11.一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是________．12.二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c ＝0的根为________．13.如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是________cm2．14.已知一次函数y1＝x+m的图象如图所示，反比例函数y2＝，当x＞0时，y2随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．15.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．16.已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P是BC上的一点，若∠APD=90°，则AP=________．三、解答题（共9题；共86分）17.解方程：x2﹣2x﹣3=0．18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．19.为了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为________度；（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．20.如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．21.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．22.如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（3，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）点P在线段AB上，且S△APO：S△BOP＝1：3，求点P的坐标．23.如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；（2）证明：AF2＝FG×FE．24.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC= ，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d 有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．25.如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形.故答案为：D.【分析】根据定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
广东省广州市 九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程是x2+x=0的根的是（ ）A. x1=0，x2=1B. x1=1，x2=−1C. x1=0，x2=−1D. x1=x2=−12.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.在⊙O中，弦AB的长为23cm，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（ ）A. 2B. 3C. 3D. 24.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（ ）A. a>1B. a>−2C. a>1且a≠0D. a>−1且a≠05.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）A. (3,3)B. (4,3)C. (3,1)D. (4,1)6.某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（ ）A. 12%B. 9%C. 6%D. 5%7.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为5的概率是（ ）A. 16B. 29C. 13D. 128.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘9.如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（ ）A. 23B. 6C. 33D. 4210.如图，抛物线y=-x2+4x+k与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ）A. 3B. −3C. −4D. −5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程（x-5）2=4的解为______．12.点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．13.用配方法将x2-8x-1=0变形为（x-4）2=m，则m=______．14.将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是______．15.如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是______（填一个即可）16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为______．三、计算题（本大题共2小题，共21.0分）17.（1）解方程：x（x-2）+x-2=0；（2）用配方法解方程：x2-10x+22=018.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．四、解答题（本大题共7小题，共81.0分）19.如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（-2，4）、（0，-4）、（1，-1）．将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′（1）画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（3）以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1的面积．20.画出函数y=12（x-6）2+3的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．21.如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，AC=CB．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．22.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．23.如图1，⊙O的半径r=253，弦AB、CD交于点E，C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF=EF．（1）试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE=35AE，求CE的长．24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？为什么？②若AD=EC，求ab的值．25.如图，已知，抛物线y=ax2-2x过点A（-2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD．（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E．试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）设点P（h，k）．①求PC取最小值时k的值；②当0＜m≤5时，试探究h与m之间的关系．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2+x=0，∴x（x+1）=0，则x=0或x+1=0，解得：x1=0，x2=-1，故选：C．方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】A【解析】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AB=2cm，OD⊥AB，∴AD=AB=×2=cm，在Rt△AOD中，OA==2（cm），故选：A．过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键4.【答案】D【解析】解：∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选：D．由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．5.【答案】A【解析】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．6.【答案】D【解析】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1-x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（舍去）．故选：D．设每个月生产成本的下降率为x，根据该公司10月份及12月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有2种，∴两次摸出的小球标号的和为5的概率是，故选：B．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和5为的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】B【解析】解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°-∠OBC-∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选：B．在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．9.【答案】C【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠BAC=60°，∵BC=DC=3，∴AD⊥BC，∴AD==3∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∴∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD=3，故选：C．由等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得AD的长为3，又由将△ABD绕点A逆时针旋转得△ACE，易得△ADE是等边三角形，继而求得答案．此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADE是等边三角形．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线=-=2，而AB=2，∴A（1，0），B（3，0），把A（1，0）代入y=-x2+4x+k得-1+4+k=0，解得k=-3．故选：B．根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，再根据点A、B关于直线x=2对称得到A（1，0），B（3，0），然后把A点坐标代入y=-x2+4x+k得-1+4+k=0，最后解关于k的方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．11.【答案】x1=7，x2=3【解析】解：（x-5）2=4，开方得：x-5=±2，解得：x1=7，x2=3，故答案为x1=7，x2=3．方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．12.【答案】（-2，-3）【解析】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3），故答案为：（-2，-3）．根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．13.【答案】17【解析】解：x2-8x-1=0，移项得：x2-8x=1，配方得：x2-8x+16=17，即（x-4）2=17．所以m=17．故答案为17．将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．14.【答案】y=（x-2）2【解析】解：将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是：y=（x-1-1）2，即y=（x-2）2．故答案是：y=（x-2）2．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15.【答案】∠C=∠BAD【解析】解：∵∠B=∠B（公共角），∴可添加：∠C=∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C=∠BAD．根据相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，进行添加即可．本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．16.【答案】103【解析】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．过E作EG∥AB，交AC于G，易得AG=EG，EF=CF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF=3：4：5，故设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，根据AC=10，可得3k+5k+4k=10，即k=，进而得出EF=4k=．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及造等腰三角形．17.【答案】解：（1）∵x（x-2）+x-2=0，∴（x-2）（x+1）=0，则x-2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=-1；（2）∵x2-10x+22=0，∴x2-10x+25-3=0，则x2-10x+25=3，即（x-5）2=3，∴x-5=±3，∴x=5±3，即x1=5+3，x2=5-3．【解析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）利用配方法的步骤求解可得．此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键．18.【答案】解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，-1），（0，-2），（0，0），（1，-1），（1，-2），（1，0），（2，-1），（2，-2），（2，0）；（2）在直线y=-x+1的图象上的点有：（1，0），（2，-1），所以点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率=29；（3）在⊙O上的点有（0，-2），（2，0），在⊙O外的点有（1，-2），（2，-1），（2，-2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=59．【解析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质．19.【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A′（4，-2）、B′（4，0）、C′（1，1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）由勾股定理，可得A'O2=20，∴扇形OA′A1的面积=90×π×20360=5π．【解析】（1）依据△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′，进行画图即可；（2）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（3）依据扇形的面积计算公式进行计算即可．此题主要考查了旋转变换作图以及扇形的面积，正确得出三角形对应点的位置长是解题的关键．20.【答案】解：函数y=12（x-6）2+3的图象如图所示：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=6，顶点坐标为（6，3），当x＞6时，y随x的增大而增大．【解析】画出二次函数的图象，结合图象可得其函数性质．此题考查了二次函数的性质与图象，考查了根据函数解析式得出顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了增减性和数形结合思想的应用．21.【答案】（1）证明：连接OC，∵AC=CB，∴∠COA=∠COB，∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，∴OD=OE，在△COD和△COE中，OD=OE∠COD=∠COEOC=OC，∴△COD≌△COE（SAS）（2）解：连接AC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵点D是OA的中点，∴CD⊥OA，OD=12OA=12x，在Rt△COD中，CD=OD•tan∠COD=32x，∴四边形ODCE的面积为y=12×OD×CD×2=34x2．【解析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明；（2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．22.【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD=EG=x，∴AK=AD-DK=80-x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AKAD，即y120=80−x80，∴y=-32x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S=xy=-32x2+120x=-32（x-40）2+2400，当x=40时，S有最大值2400，此时y=-32×40+120=60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【解析】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到=，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S=xy=-x2+120x，则S=-（x-40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x=40时，S有最大值2400，由于y=60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．23.【答案】证明：（1）如图1，连接OC、OD；∵C为弧AB的中点，∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；∴∠FDE=∠FED=∠AEC；∵OA=OC，∴∠OCE=∠ODC，∴∠ODC+∠CDF=90°，即OD⊥DF，∴DF与⊙O相切．（2）如图2，连接OA、OC；由（1）知OC⊥AB，∴AH=BH；∵AC∥DF，∴∠ACD=∠CDF；而EF=DF，∴∠DEF=∠CDF=∠ACD，∴AC=AE；设AE=5λ，则BE=3λ，∴AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；∴由勾股定理得：CH=3λ；CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，∴CE=10λ；在直角△AOH中，由勾股定理得：AO2=AH2+OH2，即r2=（r-3λ）2+（4λ）2，解得：λ=625r=625×253=2，∴CE=210．【解析】（1）如图，作辅助线；证明∠ODC+∠CDF=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH=4λ，此为解题的关键性结论；证明CE=；列出方程r2=（r-3λ）2+（4λ）2，求出λ===2，即可解决问题．该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答．24.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°-∠BCD=31°；（2）①由勾股定理得，AB=AC2+BC2=a2+b2，∴AD=a2+b2−a，解方程x2+2ax-b2=0得，x=−2a±4a2+4b22=±a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=(12b+a)2，整理得，ab=34．【解析】即可；（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．25.【答案】（1）把点A（-2，5）代入抛物线y=ax2-2x，得5=4a+4，∴a=14，∴y=14x2-2x∴对称轴为x=4，C（10，5），当点P落在抛物线的对称轴上时，如图1，记作P'，∴OM=4，OP'=OQ=5，DP'=DQ=m，∴P'M=3，P'N=5-3=2，在Rt△DPN中，m2=22+（4-m）2，解得m=52，∴△OP'D的面积=△OQD的面积=12×5×52=254．（2）∵AC∥OE，∴当DC=OE时，四边形OECD为平行四边形，∵∠DOE=∠ODQ=∠ODP，∴DE=OE=CD=10-m，∴E（10-m，0），∵D（m，5），∴ED2=（10-2m）2+52=（10-m）2，解得m=53或m=5（舍去），∴m=53．（3）①∵OP=OQ=5，OC=55，∴当O，P，C在一条直线上时，PC最小，如图2，此时，点P记作P''此时PC=P''C=55-5，由△DPC''∽△EPO，得k5−k=555−5，解得k=5．②如图3，连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，∴∠HQP=90°-∠OQP=∠QOD，∵OQ=5，QD，∴OD边上的高为5mm2+25，∴QP=10mm2+25∴cos∠HQP=cos∠QOD，即h10mm2+25=5m2+25，∴h与m之间的关系为h=50mm2+25．【解析】（1）把点A（-2，5）代入抛物线y=ax2-2x求得表达式，由折叠可得OP=OQ=5，DP=DQ=m，然后在Rt△DPN中，利用勾股定理求得m，进而得出△OPD的面积；（2）当DC=OE时，四边形OECD为平行四边形，再证明OE=DE，求得点E的坐标，然后用两点之间距离公式建立方程，即可求得m的值；形对应高的比等于相似比建立关系，进而求得k的值；②连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，可证明∠HQP=∠QOD，即cos∠HQP=cos∠QOD，根据锐角三角函数的定义可得出h与m之间的关系．本题考查了待定系数法，平行四边形，相似三角形，锐角三角函数定义及方程思想，解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用方程，相似手段来解决问题．。
广东省广州市九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各点中在反比例函数y=−2x的图象上的点是（ ）A. (−1,−2)B. (1,−2)C. (1,2)D. (2,1)2.抛物线y=（x-2）2-1的对称轴是（ ）A. x=2B. x=−2C. x=−1D. x=13.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠CAB=70°，则∠COB的度数为（ ）A. 70∘B. 80∘C. 120∘D. 140∘4.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）A. 30∘B. 45∘C. 90∘D. 135∘5.若方程3x2+6x-4=0的两个根为x1，x2，则（ ）A. x1+x2=6B. x1+x2=−6C. x1+x2=2D. x1+x2=−26.“任意画一个三角形，其内角和是360°”，这一事件是（ ）A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 以上选项均不正确7.已知圆的直径为10cm，圆心到某直线的距离为4.5cm，则该直线与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都不对8.在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是（ ）A. 311B. 811C. 1114D. 3149.函数y=x2-x+12的最小值是（ ）A. 12B. −12C. 14D. −1410.一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=kx的图象交点的纵坐标为2，当-3＜x＜-1时，反比例函数y=kx中y的取值范围是（ ）A. −2<y<−23B. −1<y<−13C. 23<y<2D. −3<y<−1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.点P（-2，-3）关于原点对称的点的坐标是______．12.从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是______．13.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为______cm．14.一个矩形的长比宽多2，面积是100，若设矩形的宽为x，列出关于x的方程是______．15.如图，点A、B、C、D、都在⊙O上，AB是直径，弦AC=6，CD平分∠ACB，BD=52，则BC的长等于______．16.如图，正方形ABCD中，AB=3cm，以B为圆心，1cm为半径画圆，点P是⊙B上一个动点，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'，在点P移动的过程中，BP'长度的取值范围是______cm．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）17.解方程：x2+2x-3=0（公式法）四、解答题（本大题共8小题，共93.0分）18.在网格图中，作出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A′B′C′．19.如图，△ABC．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆⊙O；（2）点D在劣弧AC上，弧AB=弧DC，连接BD，CD，求证△ABC≌△DCB．20.二次函数y=ax2+2x+c的图象经过（-1，0）（3，0）两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与y轴交点的坐标．21.某公司25-30岁的员工共5人，其中25岁的只有两人，现从5人中任抽两人参加长跑活动，求下列事件的概率：（1）抽到的两人都是25岁；（2）抽到的两人至多1人是25岁的．22.已知反比例函数y=w+3x的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求w的取值范围；（2）点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称，若△ABC的面积为4，求w的值．23.已知关于x的一元二次方程（a+4）x2+（a2+2a+10）x-6（a+1）=0有一根为-1．（1）求a的值；（2）x1，x2是关于x的方程x2-（a+m+2）x+m2+m+2a+1=0的两个根，已知x1x2=1，求x12+x22的值．24.如图，在⊙O中，半径OC=6，D为半径OC上异于O，C的点，过点D作AB⊥OC，交⊙O于A，B，点E在线段AB上，AE=CE，点P在线段EC的延长线上，PB=PE．（1）若OD=2，求弦AB的长；（2）当点D在线段OC（不含端点）上移动时，直线PB与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（3）点Q是⊙O上的一个动点，若点D为OC中点时，线段PQ的最小值为多少？请说明理由．25.已知抛物线y=x2-2mx+m2-3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤3，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：反比例函数y=，中k=-2，四个答案中只有B的横纵坐标的积等于-2，故选：B．根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k．把各个点代入检验即可．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=（x-2）2-1，∴该抛物线的对称轴是直线x=2，故选：A．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【答案】D【解析】解：∵∠CAB=70°，∴∠COB=2∠CAB=140°．故选：D．根据圆周角定理即可得出∠COB的度数．本题考查了圆周角定理，解题的关键是利用同弧的圆心角是圆周角的2倍解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用圆周角定理解决问题是关键．4.【答案】C【解析】解：如图，设小方格的边长为1，得，OC==，AO==，AC=4，∵OC2+AO2=+=16，AC2=42=16，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC=90°．故选：C．△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答．本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．5.【答案】D【解析】解：∵方程3x2+6x-4=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-=-2，x1x2==-，故选：D．直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=．6.【答案】B【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是360°”，这一事件是不可能事件．故选：B．直接利用三角形内结合定理结合不可能事件的定义分析得出答案．此题主要考查了随机事件以及三角形内角和定理，正确各种事件的定义是解题关键．7.【答案】A【解析】解：∵圆的直径为10 cm，∴圆的半径为5 cm，∵圆心到直线的距离4.5cm，∴圆的半径＞圆心到直线的距离，∴直线于圆相交，故选：A．欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．8.【答案】D【解析】解：因为全部14个球，有3个黄球，所以搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是．故选：D．让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．此题主要考查概率的意义及求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.【答案】C【解析】解：∵y=x2-x+=x2-x++=（x-）2+，∴可得二次函数的最小值为．故选：C．将二次函数化成顶点式，即可直接求出二次函数的最小值．本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．10.【答案】C【解析】解：把一个交点的纵坐标是2代入y=-x+1求出横坐标为-1，把（-1，2）代入y=，解得：k=-2，故反比例函数为y=-，当x=-3时，代入y=-得y=，故x=-3时反比例函数的值为：，当x=-1时，代入y=-得y=2，又知反比例函数y=-在-3＜x＜-1时，y随x的增大而增大，即当-3＜x＜-1时反比例函数y的取值范围为：＜y＜2．故选：C．把一个交点的纵坐标是2代入y=-x+1求出横坐标为-1，把（-1，2）代入y=出k，令-3＜x＜-1，求出-的取值范围，即可求出y的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点及正比例函数与反比例函数的性质，难度不大，关键是掌握用待定系数法求解函数的解析式．11.【答案】（2，3）【解析】解：根据两个点关于原点对称，∴点P（-2，-3）关于原点对称的点的坐标是（2，3）；故答案为（2，3）．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（-2，-3）关于原点O的对称点是P′（2，3）；本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．12.【答案】③抽到梅花【解析】解：∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是=；Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是=；梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是；∴概率最大的是抽到梅花；故答案为：③抽到梅花．根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案．本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】2π【解析】解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π根据弧长公式可得结论．本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．14.【答案】x（x+2）=100【解析】解：设矩形的宽为x，则矩形的长为（x+2），根据题意得：x（x+2）=100．故答案为：x（x+2）=100．设矩形的宽为x，则矩形的长为（x+2），利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】8【解析】解：如图所示，连接AD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∵BD=5，∴AB=BD=10，∵AC=6，∴BC=8，故答案为：8．连接AD，由AB是直径知∠ACB=∠ADB=90°，由CD是∠ACB平分线得∠ACD=∠BCD=∠BAD=∠ABD=45°，根据BD的长度可得AB=10，再根据勾股定理可得答案．本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．16.【答案】（32-1）cm≤BP≤（32+1）【解析】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小；当P′在对角线BD的延长线上时，BP′最大．连接BP，①当P′在对角线BD上时，由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，∴∠PAB+∠BAP′=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAP′+∠DAP′=90°，∴∠PAB=∠DAP′，∴△PAB≌△P′AD，∴P′D=PB=1，在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，由勾股定理得：BD==3，∴BP′=BD-P′D=3-1，即BP′长度的最小值为（3-1）cm．②当P′在对角线BD的延长线上时，同理可得BD==3，∴BP′=BD+P′D=3+1，即BP′长度的最大值为（3+1）cm．∴BP'长度的取值范围是（3-1）cm≤BP≤（3+1）cm故答案为：（3-1）cm≤BP≤（3+1）．通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1cm为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小；当P′在对角线BD的延长线上时，BP′最大．先证明△PAB≌△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键．17.【答案】解：△=22-4×（-3）=16，x=−2±42×1，所以x1=1，x2=-3．【解析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．18.【答案】解：如图，△A′B′C′即为所求．【解析】根据图形旋转的性质画出△A′B′C′即可．本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．19.【答案】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．（2）∵AB=CD，∴AB=CD，∠ACB=∠DBC，又∵∠A=∠D，∴△ABC≌△DCB（AAS）．【解析】（1）分别作出BC和AC的中垂线，交于点O，以O为圆心、OB长为半径作圆即可得；（2）由=知AB=CD，∠ACB=∠DBC，结合∠A=∠D可得答案．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理及全等三角形的判定与性质，三角形外接圆的性质等知识点．20.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+2x+c的图象经过（-1，0）（3，0）两点．∴a−2+c=09a+6+c=0，解得：a=−1c=3，∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴该二次函数图象与y轴交点的坐标为（0，3）．【解析】（1）将已知A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；（2）令x=0，即可求得．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21.【答案】解：设其中25岁的只有两人为A，B，其余3人分别为C，D，E，画树状图，如图所示：所有等可能的情况有20种，（1）抽到的两人都是25岁的情况有2种，所以所抽到的两人都是25岁的概率=220=110；（2）抽到的两人至多1人是25岁的有18种，所以到的两人至多1人是25岁的概率=1820=910．【解析】画出树状图，根据概率公式即可得到结论．本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解题的关键．22.【答案】解：（1）∵反比例函数y=w+3x的图象的一支位于第一象限．∴该函数图象的另一支所在的象限是第三象限，w+3＞0，w＞-3，即w的取值范围是w＞-3；（2）设点A的坐标为（a，b），∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A 关于原点O对称，∴a＞0，b＞0，点B的坐标是（a，-b），点C的坐标是（-a，-b），∴BC=a-（-a）=2a，AB=b+b=2b，∵△ABC的面积为4，∴12×AB×BC=4，∴12×2a×2b=4，解得：ab=2，∵A点在反比例函数y=w+3x位于第一象限的图象上，∴w+3=2，解得：w=-1．【解析】（1）根据反比例函数的图象和性质得出即可；（2）求出B、C的坐标，求出AB和BC的长，根据三角形的面积求出ab=2，即可求出答案．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．23.【答案】解：（1）将x=-1代入方程，得：a+4-a2-2a-10-6a-6=0，整理，得：a2+7a+12=0，解得：a=-3或a=-4，又a+4≠0，即a≠-4，∴a=-3．（2）将a=-3代入方程，得：x2-（m-1）x+m2+m-5=0，由题意知x1+x2=m-1，x1x2=m2+m-5，∵x1x2=1，∴m2+m-5=1，即m2+m-6=0，解得m=2或m=-3，当m=2时，方程为x2-x+1=0，此方程无解；当m=3时，方程为x2-2x+1=0，此方程有解，且x1+x2=2，则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4-2=2．【解析】（1）将x=-1代入方程，求得a的值，再根据一元二次方程的定义取舍可得；（2）将a的值代入方程，根据x1x2=1可得m的值，再由方程有两根取舍可得m 的准确数值，从而还原方程得出x1+x2的值，由x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2可得答案．本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念，根与系数的关系等知识点．24.【答案】解：（1）如图1，连接OB，∵OB=OC=6，OD=2，∴BD=OB2−OD2=62−22=42，则AB=2BD=82；（2）如图2，连接OB，OA，OE，∵OB=OA=OC，∴∠OBA=∠OAB，又∵OE=OE，AE=CE，∴△AOE≌△COE（SSS），∴∠OAE=∠OCE，∴∠OCE=∠OBA，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∵AB⊥CD，∴∠OCE+∠PEB=90°，∴∠OBA+∠PBE=90°，即∠PBO=90°，∴OB⊥PB，又OB是⊙O的半径，∴PB与⊙O相切；（3）线段PQ的最小值为221-6，理由如下：∵D为OC的中点，∴OD=12OC=12OB，在Rt△OBD中，∠OBD=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=12∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°-30°=60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBD中，BD=62−32=33，∴AB=2BD=63，设AE=x，则CE=x，ED=33-x，Rt△CDE中，x2=32+（33-x）2，解得：x=23，∴BE=PB=63-23=43，Rt△OPB中，OP=PB2+OB2=(43)2+62=221，∴PQ=221-6，则线段PQ的最小值是221-6．【解析】（1）连接OB，由OB=OC=6，OD=2，利用勾股定理可得BD的长，根据垂径定理可得答案；（2）连接OB，OA，OE，先证△AOE≌△COE得∠OAE=∠OCE，结合∠OBA=∠OAB知∠OCE=∠OBA，根据PB=PE知∠PBE=∠PEB，根据∠OCE+∠PEB=90°得∠OBA+∠PBE=90°，由切线的判定可得答案；（3）先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．本题是圆的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，第三问有难度，确定PQ最小值时Q的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相结合，解决问题．25.【答案】（1）证明：令y=0，则有x2-2mx+m2-3=0．∵△=（-2m）2-4×1×（m2-3）=12＞0，∴关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-3=0有两个不相等的实数根，∴无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）解：∵y=x2-2mx+m2-3=（x-m）2-3，∴顶点A的坐标为（m，-3），设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点E的坐标为（m，0）；当x=0时，y=x2-2mx+m2-3=m2-3，∴点C的坐标为（0，m2-3）；当y=0时，x2-2mx+m2-3=0，即（x-m）2=3，解得：x1=m-3，x2=m+3，∴点D的坐标为（m-3，0），点B的坐标为（m+3，0）．①证明：在Rt△ABE中，AE=3，BE=m+3-m=3，∴AB=AE2+BE2=23=2BE，∴∠BAE=30°．同理，可得出：∠DAE=30°，∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=60°．又∵AB=AD，∴当m取不同值时，△ABD都是等边三角形．②分两种情况考虑：（i）当0＜m≤3时，如图2所示．S△ABC=S梯形OCAE+S△ABE-S△OCB，=12OE•（OC+AE）+12AE•BE-12OC•OB，=12m•（3-m2+3）+12×3×（m+3-m）-12（3-m2）（m+3），=32m2+32m=32（m+32）2-338，∵32＞0，∴当0＜m≤3时，S△ABC随m的增大而增大，∴当m=3时，S△ABC取得最大值，最大值为33；（ii）当-3≤m＜0时，如图3所示．S△ABC=S梯形EACO+S△OCB-S△ABE，=12OE•（OC+AE）+12OC•OB-12AE•BE，=-12m•（3-m2+3）+12（3-m2）（m+3）-12（m+3-m）（3-m2）=-32m，∵-32＜0，∴当-3≤m＜0时，S△ABC随m的增大而减小，∴当m=-3时，S△ABC取得最大值，最大值为332．∵33＞332，∴当m=3时，△ABC的面积取得最大值，最大值为33．【解析】（1）令y=0可得出关于x的一元二次方程，由该方程的根的判别式△=12＞0，可证出：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B，C，D 的坐标．①在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出AB=2BE可得出∠BAE=30°，同理，可得出∠DAE=30°及∠BAD=60°，再结合AB=AD即可证出：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②分0＜m≤及-≤m＜0两种情况找出S△ABC关于m的函数关系式，利用二次函数的性质或一次函数的性质求出S△ABC的最大值，比较后即可得出结论．本题考查了根的判别式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定、三角形的面积、梯形的面积、二次函数的最值以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点”；（2）①通过解直角三角形找出∠BAE=∠DAE=30°；②分0＜m≤及-≤m＜0两种情况找出S△ABC的最大值．。
广东省广州市九年级上学期数学期末考试试卷
广东省广州市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共7题；共17分)1. （2分）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程X2-10X+21=0的解，则第三边的长为（）A . 7B . 3C . 7或3D . 无法确定2. （2分）在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为（）A . 16mB . 18mC . 20mD . 22m3. （2分） (2020九上·临泉期末) 在中，，则的正切值为（）A . 3B .C .D .4. （2分）(2017·孝感模拟) 已知二次函数y=ax2﹣bx+c（a≠0），其图象经过A（3﹣m，2），B（m+1，2）两点，则的值为（）A . 2B . ﹣2C . 4D . ﹣45. （2分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（）A . 3＜r≤5B . r＞3C . 3≤r＜4D . 3＜r≤46. （2分） (2018九上·武汉期末) 如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D，E，F，则下列等式：①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF；④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，其中成立的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （5分） (2020九上·秦淮期末) 新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树苗CE 的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．二、填空题 (共10题；共11分)8. （1分） (2020八上·昌平期末) 六个正整数的中位数是4.5，众数是7，极差是6，这六个正整数的和为________．9. （1分）一个不透明的布袋中分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于4的概率为________ ．10. （1分）下列4个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数；③异号两数相除，商为负数；④异号两数相乘，积为正数．必然事件是________．（将事件的序号填上即可）11. （1分）在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有1个.12. （1分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=30°，则∠BAC的度数为________ 。
2023-2024学年广东省广州市增城区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列事件为随机事件的是()A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B.负数大于正数C.任意画一个三角形，其内角和是D.通常加热到时，水沸腾3.如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是()A. B.2 C.0 D.4.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，则的度数为()A.B.C.D.5.解方程“”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为()A.B.，C.，D.6.某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是()A. B.C. D.7.如图，正方形ABCD的边长为2，是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，则的长为()A.B.C.D.8.如图，AB是的直径，PA，PC分别与相切于点A，点C，若，，则AB的长为()A.1B.2C.D.9.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是()A. B. C.或 D.或10.如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则ac的值为()A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知的半径为5，点P在上，则OP的长为______.12.已知∽，其相似比为2：3，则它们的周长之比为______.13.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，这些球除颜色外都相同.小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则可估计红球的数量约为______个.14.若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值等于__________.15.已知点，在反比例函数的图象上，且，则______填“<”或“>”或“=”16.如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转后恰好落在x轴上，则点P的坐标是______.三、计算题：本大题共1小题，共4分。
2022-2023学年广东省广州中学九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）1．（3分）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“广州中学”四个字的篆书，其中能看作既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2x2﹣1B．y＝2x2+1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2 3．（3分）二次函数y＝2（x+3）2+6，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴为直线x＝3C．顶点坐标为（3，6）D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小4．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．若a是实数，则|a|≥0D．六边形的一个内角为120°5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（）A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k＜4C．k＜﹣4D．k＞17．（3分）圆锥的高h＝3，母线l＝5，则圆锥的侧面积是（）A．15πB．20πC．24πD．36π8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，若以点D为圆心，12为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，将△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，当CD⊥AB时，连接AE，则∠CAE的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，下列结论：①a＞0；②c＜0；③4a＝b；④b2﹣4ac＜0；⑤a﹣b+c＞0．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若2是关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0的一个根，则常数k的值为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点A（2，1）顺时针旋转90°得到点B（x，y），则x+y的值为．13．（3分）在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为，则n为．14．（3分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h＝﹣5t2+20t，则小球运动中的最大高度是m．15．（3分）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧上一点，若∠ACB＝130°，则∠P＝．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+x＝n有两个不相等的实数根，则抛物线y＝x2+x﹣n 的顶点在第象限．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．（4分）解方程：x2+4x＝0．18．（4分）如图，⊙O中，弧AB＝弧AC，∠C＝70°，求∠A的度数．19．（6分）2022世界杯8强决赛部分赛程安排如下：时间比赛队伍记号12月10日03：00荷兰VS阿根廷比赛A12月10日23：00摩洛哥VS葡萄牙比赛B12月11日03：00法国VS英格兰比赛C 甲、乙两位同学各自从这3场比赛中随机抽取一场观看直播，请用列表法或画树状图求两位同学恰好观看同一场比赛的概率．20．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．画出将△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1，并求旋转过程中点B经过的路线长．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，y＜0．22．（10分）某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为x米，落地窗的面积为y平方米．落地窗的高不小于2米．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）能否使窗的面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，且AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）连接BC，若BC＝6，AC＝8，求AE的长．24．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC 延长线上的动点，始终保持CE＝CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；（2）当时，求∠AEC的度数；（3）如图2，连接EF，G为EF中点，，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．25．（12分）已知抛物线G：y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A、B（点A在B的左侧），交y轴于点C（0，3），A点坐标为（﹣1，0）．（1）求b和c的值；（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，第一象限内的点P在抛物线G上运动，连接PD，以P为圆心，PD为半径作⊙P，记⊙P的面积为S，试求S的最小值；（3）F（m，n）是抛物线G上一点，且F不与点C重合，将抛物线的顶点先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，得到点E，记T＝|FC﹣FE|，是否存在点F，满足：（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，同时使得T取得最大值？如存在，请求出点F的坐标；如不存在，请说明理由．2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2．【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可．【解答】解：∵把抛物线y＝2x2向下平移1个单位，∴所得抛物线的函数表达式是：y＝2x2﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．3．【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解．【解答】解：y＝2（x+3）2+6＝2x2+12x+24，a＝2，b＝12，c＝24，∴A选项，开口向上，故A选项错误；B选项，对称轴为，故B选项错误；C选项，顶点坐标的横坐标为x＝﹣3，纵坐标为6，即顶点坐标为（﹣3，6），故C选项错误；D选项，开口向上，对称轴为x＝﹣3，在对称轴坐标x＜﹣3时，y随x 的增大而减小，故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键．4．【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可．【解答】解：A、打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛，是随机事件，不符合题意；B、从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王，是随机事件，不符合题意；C、若a是实数，则|a|≥0，是必然事件，符合题意；D、六边形的一个内角为120°，是随机事件，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．5．【分析】根据垂径定理即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，∴＝，＝，CE＝DE，但OE不一定等于BE，故选项A、B、D正确，选项C不正确，故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．6．【分析】根据一元二次方程判别式得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，解得：k＞4，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．7．【分析】先利用勾股定理计算出底面圆的半径为4，再根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的底面圆的半径＝＝4，所以圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，从而判断出点B在圆外．【解答】解：连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝13，∵13＞12，∴点B在⊙D外，故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．9．【分析】根据旋转得出∠ECA＝30°，CE＝AC，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∵△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，∴∠ECA＝∠BCD＝30°，CE＝AC，∴△ACE是等腰三角形，∴∠CAE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．10．【分析】利用二次函数的性质，结合函数的特性，利用数形结合的方法对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∴①的结论正确；令x＝0，则y＝c，∴抛物线与y轴交与点（0，c）．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴②的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴b＝4a．∴③的结论正确；由图象知：抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴④的结论不正确；由图象知：当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴⑤的结论不正确．综上，正确的结论有：①②③，故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11．【分析】把x＝2代入方程x2+kx+2＝0得4+2k+2＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+kx+2＝0得4+2k+2＝0，解得k＝﹣3，即常数k的值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．【分析】根据题意作出图形，利用旋转的性质即可得出点B的坐标，最后相加即可求解．【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A（2，1），∴OC＝2，AC＝1，∵点A（2，1）顺时针旋转90°得到点B，∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，即x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝1+﹣2＝﹣1．【点评】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．13．【分析】根据概率公式列式求得n的值即可．【解答】解：根据题意得：＝，解得：n＝15，经检验：n＝15是原方程的解，故答案为：15．【点评】本题考查了概率公式，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．14．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：20．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．【分析】由切线的性质得出∠PBO＝∠P AO＝90°，由∠ACB＝130°，得出∠AOB＝100°，再由四边形内角和等于360°，即可得出答案．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵P A，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵∠ACB＝130°，∴∠AOB＝100°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．16．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+x＝n有两个不相等的实数根，由此可以得到此方程的判别式是正数，这样可以得到关于n的不等式，解不等式求出n的取值范围，代入抛物线y＝﹣x2+x﹣n的顶点坐标公式中，就可以判断顶点所在象限．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x＝n即x2+x﹣n＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝1﹣4（﹣n）＞0，∴n＞﹣，∵抛物线y＝x2+x﹣n的对称轴为x＝﹣，y最小值＝＝﹣n﹣，∵n＞﹣，则﹣n﹣＜﹣＝0，∴顶点在第三象限．故答案为：三．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，要熟悉二次函数的性质．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．【分析】提公因式分解因式，得出两个一元一次方程求解即可．【解答】解：方程x2+4x＝0，分解因式得：x（x+4）＝0，所以x＝0或x+4＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣4．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．【分析】由圆周角定理得∠B＝∠C＝70°，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵弧AB＝弧AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，即∠A的度数为40°．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．19．【分析】先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及两位同学恰好观看同一场比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两位同学恰好观看同一场比赛的情况有3种结果，∴两位同学恰好观看同一场比赛的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】直接利用旋转的性质得出对应点位置，再利用弧长公式得出答案．【解答】解：如图所示：△A1B1C1即为所求，旋转过程中点B经过的路线长为：＝3π．【点评】此题主要考查了旋转变换以及弧长公式，正确得出对应点位置是解题关键．21．【分析】（1）根据图象特点，可设解析式为交点式或一般式求解；（2）利用图象在x轴下方的图象y小于0得解．【解答】解：（1）设解析式为y＝ax2+bx+c．∵图象过点（1，1），（2，0），（0，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2bx；（2）根据图象知，当x＜0或x＞2时，y＜0．【点评】此题考查了运用待定系数法求函数解析式、运用图象得出函数与不等式的关系等知识点．利用数形结合得出是解题关键．22．【分析】（1）设窗框的宽度为x米，则高为（6﹣3x）米，根据矩形面积得出函数解析式，并根据落地窗的高不小于2米，求出自变量的取值范围；（2）令y＝2，代入函数关系式，则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可．【解答】解：（1）设窗框的宽度为x米，则高为（6﹣3x）米，窗户的透光面积为：y＝x•（6﹣3x）＝﹣x2+3x，∵落地窗的高不小于2米，∴（6﹣3x）≥2，解得x≤，∴自变量x的取值范围为0＜x≤，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+3x（0＜x≤）；（2）不能，理由：令y＝2，则﹣x2+3x＝2，整理得：3x2﹣6x+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×3×4＝﹣12＜0，∴此方程无解，∴不能使窗的透光面积达到2平方米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式是解题关键．23．【分析】（1）连接OC，证明OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥CD，根据切线的判定定理证明；（2）连接BC、CE，过点O作OF⊥AE于F，根据垂径定理得到AF＝EF，根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理列式计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC、CE，过点O作OF⊥AE于F，则AF＝EF，四边形CDFO为矩形，∴DF＝OC，OF＝CD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AC平分∠DAB，∴＝，∴CE＝BC＝6，设AF＝EF＝x，则DE＝5﹣x，∵CE2﹣DE2＝CD2，OA2﹣AF2＝OF2，∴CE2﹣DE2＝OA2﹣AF2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得：x＝，∴AE＝．【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．24．【分析】（1）延长BD交AE于点H，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，由旋转的性质和全等三角形的性质可得BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∠EAF＝90°，由余角的性质可得∠AHB＝90°＝∠F AE，可得AF∥BD，可得结论；（2）由三角形的面积公式可得AH＝BD＝AE，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性质可求解；（3）先求出点G在∠ACE的角平分线上运动，即可求解．【解答】解：（1）结论：BD∥AF．理由：如图1，延长BD交AE于点H，∵E绕A点逆时针旋转90°到AF，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∵∠E+∠CAE＝90°，∴∠E+∠CBD＝90°，∴∠AHB＝90°＝∠F AE，∴AF∥BD；（2）（2）∵S△ABD＝BD2，∴BD•AH＝BD2，∴AH＝BD＝AE，∴BH垂直平分AE，∴BA＝BE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABE＝45°，又∵BA＝BE，∴∠AEC＝67.5°；（3）如图2，连接AG、CG，过点G作GM⊥CE交CE延长线于M，GN⊥AC于N，∵GM⊥CE，GN⊥AC，∠ACM＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∵AF＝AE，∠EAF＝90°，G是EF中点，∴AG＝GE，AG⊥EF，∵∠CAG+∠ACM+∠CEG+∠AGE＝360°，∴∠CAG+∠CEG＝180°，∵∠CEG+∠GEM＝180°，∴∠CAG＝∠GEM，又∵∠ANG＝∠GME＝90°，∴△ANG≌△EMG（AAS），∴NG＝GM，∴四边形CMGN是正方形，∴CG平分∠ACE，∴点G在∠ACE的角平分线上运动，∴当D从C运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半，即为×AC＝＝AB＝2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）将点A，C坐标代入抛物线解析式中，即可求出b，c的值，（2）先求出点D坐标，设出点P坐标，进而得出S与点P横坐标的函数关系式，即可求出答案；（3）先求出直线CE的解析式为y＝﹣2x+3，再判断出点C，E，F在同一直线上，进而得出n＝﹣2m+3①，再判断出n＝﹣m2+2m+3②，即可求出点F坐标，最后将m，n的值代入（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）判断，即可得出答案．【解答】解：（1）∵点C（0，3）在抛物线G：y＝﹣x2+bx+c上，∴c＝3，∴抛物线G的解析式为y＝﹣x2+bx+3，∵点A（﹣1，0）在抛物线G的解析式为y＝﹣x2+bx+3上，∴﹣1﹣b+3＝0，∴b＝2，即b＝2，c＝3；（2）如图1，由（1）知，b＝2，c＝3，∴抛物线G的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线G的对称轴为直线x＝1，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∵C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴D（1，2），设点P（a，﹣a2+2a+3）（0＜a＜3），∴S＝πDP2＝π[（1﹣a）2+（2+a2﹣2a﹣3）2]＝π[（a﹣1）2﹣]2+π，当（a﹣1）2﹣＝0，即a＝1﹣（不符合题意）或a＝1+时，S最小，其最小值为π；（3）存在，由（2）知，抛物线G的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴此抛物线的顶点坐标为（1，4），由平移知，E（﹣1，5），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+3，∵T＝|FC﹣FE|，要T最大，则点C，E，F在同一直线上，∴点F（m，n）在直线CE上，∴n＝﹣2m+3①，∵点F（m，n）抛物线G上，∴n＝﹣m2+2m+3②，联立①②解得，或，∵点F（m，n）不与点C（0，3）重合，∴点F（4，﹣5），∴（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）＝（16﹣32+18）（25﹣50+28）＝6，即（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，∴存在点F（4，﹣5），满足：（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，同时使得T取得最大值．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的面积公式，确定出点F 在直线CE上是解（3）的关键．。
广东省广州市 九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用长分别为3cm，4cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是（）A. 随机事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 以上都不是3.已知点A（2，-3）在双曲线y=kx上，则下列哪个点也在此双曲线上（）A. (1,6)B. (−1,6)C. (2,3)D. (−2,−3)4.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（）A. 112B. 13C. 512D. 125.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘6.下列关于抛物线y=3（x-1）2+1的说法，正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=−1C. 顶点坐标是(−1,1)D. 有最小值y=17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=90°，则∠BCD的度数是（）A. 45∘B. 90∘C. 135∘D. 150∘8.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=ax在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.9.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则扇形BOC的面积为（）A. π3B. 2π3C. πD. 4π310.如图，一段抛物线y=-x2+4（-2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A. 6<t≤8B. 6≤t≤8C. 10<t≤12D. 10≤t≤12二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.在平面直角坐标系中，A（2，-3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是______．12.小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______．13.若二次函数y=ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点，则a的取值范围是______．14.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=-2x的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则y1______y2．（填“＞”或“＜”或“=”）15.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB=3cm，PB=4cm，则BC=______cm．16.将半径为12cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为______．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=5．（1）以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，请画出变换后的图形；（2）求点A和点A′之间的距离．18.2①抛物线与x轴的交点坐标是______和______；②抛物线经过点（-3，______），对称轴为______；（2）求该抛物线y=ax2+bx+c的解析式．19.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．20.如图，已知一次函数y=-x+2与反比例函数y=kx与的图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是-2，B点的横坐标是4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOM的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．21.如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=4，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．22.制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x 成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？23.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）求证：EF=MF；（2）当AE=1时，求EF的长．24.如图①，已知AB是⊙O的直径，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，当直线DF绕点D逆时针旋转时，与⊙O交于点C，且运动过程中，保持CD=OA（1）当直线DF与⊙O相切于点C时，求旋转角的度数；（2）当直线DF与半圆O相交于点C时（如图②），设另一交点为E，连接AE，OC，若AE∥OC．①AE与OD的大小有什么关系？说明理由．②求此时旋转角的度数．25.已知直线y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx-4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（-4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：∵3+4=7，∴用长分别为3cm，4cm，7cm的三条线段无法围成三角形，∴用长分别为3cm，4cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是不可能事件．故选：C．直接利用三角形三边关系进而结合事件的确定方法得出答案．此题主要考查了随机事件以及三角形的三边关系，正确把握事件的确定方法是解题关键．3.【答案】B【解析】解：解：∵A（2，-3）在双曲线y=上，∴k=xy=（-2）×3=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上．A、因为1×6=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故A选项错误；B、因为-1×6=-6=k，所以该点在双曲线y=上．故B选项正确；C、因为2×3=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故C选项错误；D、因为-2×（-3）=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故D选项错误．故选：B．求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是-6的，就在此函数图象上．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．4.【答案】C【解析】解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是．故选：C．让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5.【答案】B【解析】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，故选：B．根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．6.【答案】D【解析】解：抛物线y=3（x-1）2+1中a=3＞0，开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，1）；当x=1时取得最小值y=1；故选：D．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵=，∴∠A=∠DOB=×90°=45°，∵∠A+∠C=180°，∴∠C=180°-45°=135°，故选：C．根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】A【解析】解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=在一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=在二、四象限；故选：A．分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．9.【答案】B【解析】解：连接AC，∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，∴CE=DE，∵AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠CAB=∠DAB=30°，∴∠COB=60°，∴扇形BOC的面积==，故选：B．连接AC，由垂径定理的CE=DE，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，由等腰三角形的性质得到∠CAB=∠DAB=30°，由圆周角定理得到∠COB=60°，根据扇形面积的计算公式即可得到结论．本题考查的是扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x-4）2-4=x2-8x+12，∵设x1，x2，x3均为正数，∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8，∵2≤x3≤4，∴10≤x1+x2+x3≤12即10≤t≤12，故选：D．首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题；本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】（-2，3）【解析】解：A（2，-3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（-2，3），故答案为：（-2，3）．根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点的对称点：横、纵坐标都变成相反数．12.【答案】14【解析】解：根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，根据平行线的性质可得S1=S2，则阴影部分的面积占，则飞镖落在阴影区域的概率是．故答案为：．先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．此题主要考查了几何概率，以及中心对称图形，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．13.【答案】a＜1且a≠0【解析】解：∵二次函数y=ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点，∴a≠0，22-4×a×1＞0，解得，a＜1且a≠0，故答案为：a＜1且a≠0．根据二次函数的定义，b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点列出不等式，解不等式即可．本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点是解题的关键．14.【答案】＞【解析】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=-的图象上的两点，∴y1=-，y2=-，而x1＜0＜x2，∴y1＞y2．故答案为＞．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=-，y2=-，然后利用x1与x2的大小关系比较y1与y2的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．15.【答案】125【解析】解：∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，∵AB=3cm，PB=4cm，∴AP===5；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC为△ABP的高；∵×AB×BP=×AP×BC，即×3×4=×5×BC，∴BC=．根据切线的性质可知∠ABP=90°，又AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，故根据勾股定理可将斜边AP求出；再根据三角形面积的求法，从而将斜边的高求出．本题综合考查了切线和圆周角的求法及性质．16.【答案】60°【解析】解：∵扇形的半径为12，弧长为12π，∴圆锥的底面半径r=12π÷2π=6，∵圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，∴圆锥的高为：=6，∴圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是=，∴圆锥的母线与圆锥高的夹角为60°，故答案为：60°．利用扇形的弧长和母线长求得扇形的弧长，并利用圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，在根据圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，利用勾股定理求得高，用高除以母线长即可得到正弦值，即可得到结论．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17.【答案】解：（1）如图，△A′BC′为所作；（2）∵∠ABC=90°，BC=1，AC=5，∴AB=(5)2−12=2，∵△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=2AB=22．【解析】（1）在BA上截取BC′=BC，延长CB到A′使BA′=BA，然后连结A′C′，则△A′BC′满足条件；（2）先利用勾股定理计算出AB=2，再利用旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，然后根据等腰直角三角形的性质计算AA′的长即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18.【答案】解：（1）①（-2，0）；（1，0）；②8 ；直线x=-12；（2）抛物线y=a（x+2）（x-1），把（0，-4）代入得a•2•（-1）=-4，解得a=2，所以抛物线解析式为y=2（x+2）（x-1），即y=2x2+2x-4．【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．（1）①根据抛物线与x轴的交点问题，在表中找出函数值为0对应的函数值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；②利用抛物线的对称性确定下班了为-3对应的函数值和抛物线的对称轴方程；（2）利用待定系数法求抛物线解析式．【解答】解：（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（-2，0）和（1，0）；故答案为（-2，0）；（1，0）；②抛物线经过点（-3，8），对称轴为直线x=-；故答案为8；直线x=-；（2）见答案.19.【答案】解：（1）设袋中黄球的个数为x个，∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，∴1x+2+1=14，解得：x=1，∴袋中黄球的个数为1个；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，∴两次摸到不同颜色球的概率为：P=1012=56．【解析】（1）首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，利用概率公式即可得方程：=，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：（1）∵点A的横坐标是-2，B点的横坐标是4，∴当x=-2时，y=-（-2）+2=4，当x=4时，y=-4+2=-2，∴A（-2，4），B（4，-2），∵反比例函数y=kx的图象经过A，B两点，∴k=-2×4=-8，∴反比例函数的解析式为y=-8x；（2）一次函数y=-x+2中，令y=0，则x=2，∴M（2，0），即MO=2，∴△AOM的面积=12×OM×|y A|=12×2×4=4；（3）∵A（-2，4），B（4，-2），∴由图象可得，反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．【解析】（1）依据点A的横坐标是-2，B点的横坐标是4，即可得到A（-2，4），B（4，-2），再根据待定系数法求出反比例函数的解析式；（2）求出直线AB与x轴的交点M的坐标，根据三角形的面积公式求出△AOM 的面积即可；（3）利用函数图象求出使反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围．本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．21.【答案】（1）解：连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴弧BC与弧AC的度数为：60°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC=4；（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．【解析】（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=4，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．22.【答案】解：（1）当0≤x≤5时，设一次函数解析式为y=kx+b，把（0，15），（5，60）代入得b=155k+b=60，解得k=9b=15，所以一次函数解析式为y=9x+15；当x＞5时，设反比例函数解析式为y=mx，把（5，60）代入得m=5×60=300，所以反比例函数解析式为y=300x；（2）当y=15时，300x=15，解得x=20，所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．【解析】（1）当0≤x≤5时，设一次函数解析式为y=kx+b，把（0，15），（5，60）代入，然后解关于k、b的方程组即可；当x＞5时，设反比例函数解析式为y=，把（5，60）代入求出m即可得到反比例函数解析式；（2）计算y=15时所对应的反比例函数值即可．本题考查了反比例函数的应用：正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．23.【答案】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°，∴∠EDF=∠FDM．又∵DF=DF，DE=DM，∴△DEF≌△DMF，∴EF=MF；（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，AB=BC=3，∴EB=AB-AE=3-1=2，BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM-MF=4-x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4-x）2=x2，解得：x=52，则EF的长为52．【解析】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．（1）由旋转的性质可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF=45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）易知AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，得到x的值，即为EF的长．24.【答案】解：（1）如图①，连接OC．∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；∴旋转角∠CDF=90°-45°=45°．（2）如图②，连接OE．∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AE∥OC，∴∠2=∠3．设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．①结论：AE=OD．理由如下：在△AOE与△OCD中，OA=OC∠AOE=∠OCDOE=CD，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE=OD．②∵∠6=∠1+∠2=2x．OE=OC，∴∠5=∠6=2x．∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°．∴∠ODC=36°，∴旋转角∠CDF=54°．【解析】（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD=45°即可解决问题；（2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；②利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数，即可解决问题；本题属于圆综合题，考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：（1）把y=0代入y=x+4得：0=x+4，解得：x=-4，∴A（-4，0）．把点A的坐标代入y=x2+mx-4得：m=3，∴抛物线的解析式为y=x2+3x-4；（2）设D（n，n2+3n-4），∴S△ABD=S四边形ADOB-S△BDO=12×4×4+12×4[-（n2+3n-4）]-12×4n=-2n2-8n+16=-2（n+2）2+24，∴当n=-2时，△ABD面积的最大，最大值为24；（3）把y=0代入y=x2+3x-4，得：x2+3x-4=0，解得：x=1或x=-4，∴C（1，0），设直线CQ的解析式为y=ax-a，CP的解析式为y=bx-b．∴y=ax−ay=x2+3x−4，解得：x=-1或x=4-a，∴x Q=4-a同理：x P=4-b，设直线PQ的解析式为y=kx+b，把M（-4，1）代入得：y=kx+4k+1．∴y=kx+4k+1y=x2+3x−4，∴x2+（3-k）x-4k-5=0，∴x Q+x P=4-a+4-b=3-k，x Q•x P=（4-a）（4-b）=-4k-5，解得：ab=-1．又∵OE=-b，OF=a，∴OE•OF=-ab=1．【解析】（1）先求得点A的坐标，然后将点A的坐标代入抛物线的解析式求得m的值即可；（2）设D（n，n2+3n-4），根据图形的面积公式得到S△ABD=-2（n+2）2+24，当n=-2时，求得△ABD最大值为24；（3）先求得点C的坐标，然后设直线CQ的解析式为y=ax-a，CP的解析式为y=bx-b，接下来求得点Q和点P的横坐标，然后设直线PQ的解析式为y=x+d，把M（-4，1）代入得：y=kx+4k+1，将PQ的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得ab=1，最后，由ab的值可得到OE•OF的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a、b的方程组求得ab的值是解题的关键．。
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析(共六套)
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4） D．（2，4）2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15 3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞16．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42 7．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+39．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y 轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理即可得．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB所对的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=x2﹣2x+3中的对称轴是直线x=1，开口向上，x＞1时，y随x 的增大而增大．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＞1时，函数图象在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，2），向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=65°．∵由旋转的性质可知；AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°．∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°．∴∠BAB′=50°．故选D．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，得到∠C′CA=65°以及AC=AC′是解题的关键．10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，∴OC=CD=2，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=×π×（2）2﹣×22=π﹣2．故选：A．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是x1=﹣4，x2=4 ．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2=16，开方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案为：x1=﹣4，x2=4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是（﹣1，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】把a、b、c的值直接代入顶点的公式中计算即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=1，∴﹣=﹣=﹣1，==0，故答案是（﹣1，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的计算公式．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是16 cm2．【考点】二次函数的应用．【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（8﹣x）cm，其面积为s=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2．故答案为：16．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法．常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5 ．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C=1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F 2C=F2B+BC=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，解得a=﹣，所以这个函数的关系式为y=﹣（x+2）2+2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．【考点】作图—应用与设计作图；等腰直角三角形；扇形面积的计算；圆锥的计算．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2根据勾股定理得到AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，∴AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD=，设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr=，∴r=，答：所制作圆锥底面的半径长为．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系即可得出关于m、x1的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（m﹣2）=12﹣4m＞0，解得：m＜3．∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，∴m的值为﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于m、x1的二元一次方程组．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x ﹣80）元，根据题意得=，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．【考点】切线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y 轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n 的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=Dy ﹣Py列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右边，∴A （3，0），B（1，0）设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入上式得，，解得：，∴y=﹣x+3．∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=∴当时，l取得最大值为．（3）分两种情况：①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，由（2）可知B（1，0），∴P（1，0）．②当点A为直角顶点时，如图2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD=45°，当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，∴AO平分∠DAP，又∵PD∥y轴，∴PD⊥AO，∴P与D关于x轴对称，∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，整理得x2﹣5x+6=0，∴x1=2，x2=3（舍去），当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，∴P的坐标为P（2，﹣1）．∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质、依据l=Dy ﹣Py列出l与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，证得点D与P关于x轴对称，利用关于x轴对称点的特点列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（二）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=02．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）A． B．C．D．3．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）4．反比例函数y=经过（）象限．A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=236．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（）A． B．C．D．7．成语“水中捞月”所描述的事件是（）事件．A．必然B．随机C．不可能D．无法确定8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度数（）A．100°B．70°C．40°D．30°9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜310．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．二次函数y=x2﹣2x﹣3的开口方向是向．12．方程x2﹣9=0的解是．13．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．14．已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A= 度．16．如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为米．。
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九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列标志，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.四边形ABCD是圆的内接四边形，若∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（）A. 70∘B. 90∘C. 110∘D. 120∘3.已知关于x的方程x2+ax-6=0的一个根是2，则a的值是（）A. −1B. 0C. 1D. 24.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. y=−2x2+1B. y=−2x2−1C. y=−2(x+1)2D. y=−2(x−1)25.如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1=30°，则∠BAE=（）A. 10∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘6.在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A. 9B. 10C. 12D. 157.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B、过圆上点C作⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，若PA=4，则△PEF的周长是（）A. 4B. 8C. 10D. 128.关于抛物线y=-（x+1）2+2，下列说法错误的是（）A. 图象的开口向下B. 当x>−1时，y随x的增大而减少C. 图象的顶点坐标是(−1,2)D. 图象与y轴的交点坐标为(0,2)9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE，则下列结论中不成立的是（）A. △ABC∽△ADEB. DE//BCC. DE：BC=1：2D. S△ABC=9S△ADE10.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=4，那么b的值为（）A. 5B. −5C. 4D. −4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.点A（-6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是______．12.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．13.已知圆锥的侧面积为16πcm2，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为______cm．14.如图已知二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图象如图所示，则当y1＜y2时x的取值范围______．15.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=12x2-2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______．16.二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，则t的取值范围是______．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.解方程（1）x2+5x=0（2）x（x-2）=3x-618.已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（1）求证：△ABC∽△DAE；（2）若AB=8，AD=，6，AE=3，求BC的长．19.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB2C2；直接写出点C2的坐标为______；（3）求在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C所经过的路径长．20.已知抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点是点A（-3，0），且经过点B（-2，6）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点（-12，y1）与点（2，y2）都在该抛物线上，直接写出y1与y2的大小关系．21.某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．（1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的长为______米（请用含x的代数式表示）；（2）若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．22.如图，已知：AB为⊙O直径，PQ与⊙O交于点C，AD⊥PQ于点D，且AC为∠DAB的平分线，BE⊥PQ于点E．（1）求证：PQ与⊙O相切；（2）求证：点C是DE的中点．23.已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠ABC=90°时，AB=8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；（3）如图1，当PQ=2，求AB⋅CDAB+CD的值．24.如图，AB为⊙O的直径，且AB=m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则DA+DBDC=______；（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当PDAC=9220时，求DEOA的值．25.如图，抛物线y=a（x-m-1）2+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相交于点A（0，m）连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点C、B的对应点分别是点B′和C′．（1）当m=1时，该抛物线的解析式为：______．（2）求证：∠BCA=∠CAO；（3）试问：BB′+BC-BC′是否存在最小值？若存在，求此时实数m的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠ABC=70°，∴∠ADC=180°-70°=110°．故选：C．直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：将x=2代入x2+ax-6=0，得22+2a-6=0．解得a=1．故选：C．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x=2代入方程式即可求解．本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．4.【答案】A【解析】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y=-2x2+1．故选：A．根据“上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意可知旋转角∠CAE=40°，所以∠BAE=30°+40°=70°．故选：D．先找到旋转角，根据∠BAE=∠1+∠CAE进行计算．本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．6.【答案】B【解析】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x（x-1）=90，解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去）．即参加此次活动的人数是10人．故选：B．每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数-1）=90，把相关数值代入计算即可．本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=4，∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=8．故选：B．由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长=PA+PB．8.【答案】D【解析】解：A．y=-（x+1）2+2，∵a=-1＜0，∴图象的开口向下，故本选项正确，不符合题意；B．∵y=-（x+1）2+2，∴开口向下，对称轴为x=-1，∴当x＞-1时，y随x的增大而减少，故本选项正确，不符合题意；C．顶点坐标为（-1，2），故本选项正确，不符合题意；D．∵当x=0时，y=1，∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故本选项错误，符合题意；故选：D．利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】C【解析】解：∵BD=2AD，CE=2AE，∴，∴DE∥BC，故B正确；∴△ABC∽△ADE，故A正确；∴，故C错误；∴S△ABC=9S△ADE，故D正确；故选：C．由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明DE∥BC是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，∴x1+x2=-b，x1x2=-3，∵x1+x2-3x1x2=4，∴-b+9=4，解得：b=5，故选：A．由韦达定理得出x1+x2=-b，x1x2=-3，将其代入x1+x2-3x1x2=4列出关于b的方程，解之可得答案．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．11.【答案】（6，-3）【解析】解：点A（-6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是（6，-3），故答案为：（6，-3）．根据关于原点的对称点，横坐标、纵坐标都互为相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12.【答案】m＜1【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，解得m＜1．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得×2π×r×8=16π，解得r=2，所以圆锥的底面圆的半径为2cm．故答案为2．圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到×2π×r×8=16π，解得r=2，然后解关于r的方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】0＜x＜1【解析】解：由题意可得：x2+c=x+c，解得：x1=0，x2=1，则当y1＜y2时x的取值范围：0＜x＜1．首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当y1＜y2时x的取值范围．此题主要考查了二次函数与不等式（组），正确得出两函数的交点横坐标是解题关键．15.【答案】（22，2）或（-22，2）或（0，-2）【解析】解：∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2-2上运动，∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，∴PA=2，∴|x2-2|=2即x2-2=2，或x2-2=-2，解得x=±2，或x=0，∴P点的坐标为：（2，2）或（-2，2）或（0，-2）．故答案为：（2，2）或（-2，2）或（0，-2）．根据⊙P的半径为2，以及⊙P与x轴相切，即可得出y=±2，求出x的值即可得出答案．此题主要考查了图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出y=2，求出x 的值是解决问题的关键．16.【答案】-5≤t≤4【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，解得m=4，∴抛物线解析式为y=-x2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x=1时，y=-x2+4x=-1+4=3；当x=5时，y=-x2+4x=-25+20=-5，当直线y=t与抛物线y=-x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，-5≤t≤4，如图．所以关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t 的取值范围为-5≤t≤4．故答案为-5≤t≤4．先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y=-x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y=t与抛物线y=-x2+4x 在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了数形结合的思想．17.【答案】解：（1）x（x+5）=0，x=0或x+5=0，所以x1=0，x2=-5；（2）x（x-2）-3（x-2）=0，（x-2）（x-3）=0，x-2=0或x-3=0，所以x1=2，x2=3．【解析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x（x-2）-3（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDA=∠CAB，∵∠B=∠EAD，∴△ABC∽△DAE，（2）解：∵△ABC∽△DAE，∴ABDA=BCAE，∴86=BC3，∴BC=4．【解析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可判断．（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】（-2，2）【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△AB2C2即为所求，其中点C2的坐标为（-2，2），故答案为：（-2，2）．（3）∵∠CAC2=90°，AC==，∴点C所经过的路径长为=π．（1）由中心对称的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）由旋转变换的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）利用弧长公式计算可得．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点是点A（-3，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），（2）∵点（-12，y1）到直线x=-1的距离比点（2，y2）到直线x=-1的距离要小，而抛物线的开口向下，∴y1＞y2．【解析】（1）先利用对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为（1，0），则可设交点式为y=a（x+3）（x-1），然后把B点坐标代入求出a即可；（2）根据二次函数的性质，通过比较点（-，y1）和点（2，y2）到直线x=-1的距离大小确定y1与y2的大小关系．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21.【答案】24-2x【解析】解：（1）由题意得，AD=23+1-2x=24-2x，故答案为：24-2x；（2）根据题意得，y=x（24-2x）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72，∴y的最大值为72米2．（1）根据题意列代数式即可得到结论；（2）根据题意列出函数关系式，然后，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】证明：（1）连接OC，∵AC平分∠DAB∴∠OAC=∠OCA∴∠DAC=∠ACO∴AD∥OC，且AD⊥PQ∴OC⊥PQ，且OC为半径∴PQ与⊙O相切（2）∵OC⊥PQ，AD⊥PQ，BE⊥PQ∴OC∥AD∥BE∴DCCE=OAOB=1∴DC=CE∴点C是DE的中点．【解析】（1）连接OC，由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAC=∠ACO，可得AD∥OC，由平行线的性质可得OC⊥PQ，可得结论；（2）由平行线分线段成比例可得DC=CE，即点C是DE的中点．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用切线的判定和性质是本题的关键．23.【答案】解：（1）∵∠A的度数为α，∴∠COB=2∠A=2α，（2）当∠ABC=90°时，AC为⊙O的直径，∵CD∥AB，∴∠DCB=180°-90°=90，∴BD为⊙O的直径，∴P与圆心O重合，∵PQ∥AB交于Q，∴OQ⊥BC，∴CQ=BQ，∵AB=8，∴OQ=12AB=4，设⊙O的半径为r，∵△OBC的周长为16，∴CQ=8-r，∴（8-r）2+42=r2，解得r=5，CB=6，∴阴影部分面积=2απ×52360−12×6×4=5πα36−12；（3）∵CD∥AB∥PQ，∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，∴PQAB=CQCB，PQCD=BQCB，∴PQAB+PQCD=CQCB+BQCB=CBCB=1，∵PQ=2，∴2AB+2CD=1，（1）根据圆周角定理可得∠COB=2∠A=2α；（2）当∠ABC=90°时，可得点P与圆心O重合，根据△OBC的周长为16以及AB=8，可求得⊙O的半径为5，可得出扇形COB的面积以及△OBC的面积，进而得出阴影部分面积；（3）由CD∥AB∥PQ，可得△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，即，两式子相加可得，即可得出的值．本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，弓形你的计算．构造相似三角形得出PQ，AB，CD之间的关系是解决（3）问的关键．24.【答案】2【解析】解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC=∠BDC=45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∴∠DAE=∠DBE=45°，∴AE=BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC=AB，在等腰直角三角形DAB中，DA=DB=AB，∴DA+DB=AB=CD，∴=；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC=BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠BNC=∠CMA=90°，∴∠NBC+∠BCN=90°，∠BCN+∠MCA=90°，∴∠NBC=∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN=AM，由（1）知∠DAE=∠DBE=45°，AM=DA，DN=DB，∴DC=DN+NC=DB+DA=（DB+DA），即DA+DB=DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2=AB2=m2，∵（DA+DB）2=DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB=DC=t，∴（t）2=m2+2DA•DB，∴DA•DB=t2-m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S=t2-m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE=ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC=BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=AC，∵，设PD=9，则AC=20，AB=20，∵∠DBA=∠DBA，∠PAB=∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB=16，∴AD==12，设NE=ME=x，∵S△ABD=AD•BD=AD•NE+BD•ME，∴×12×16=×12•x+×16•x，∴x=，∴DE=HE=x=，又∵AO=AB=10，∴=×=．即可求出结果；（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB）2=DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB=m代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．25.【答案】y=-14x2+x+1【解析】解：（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m=a（-m-1）2+2m，解得：a=-，则二次函数的表达式为：y=-（x-m-1）2+2m…①，则点P的坐标为（m+1，2m），点A的坐标为（0，m），把m=1代入①式，整理得：y=-x2+x+1，故：答案为：y=-x2+x+1；（2）把点P、A的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：，解得：，则直线PA的表达式为：y=x+m，令y=0，解得：x=-m-1，即点B坐标为（-m-1，0），同理直线OP的表达式为：y=x…②，该方程的常数项为：a（m+1）2+2m，由韦达定理得：x1x2=x C•x P===-（m+1）2，其中x P=m+1，则x C=-m-1=x B，∴BC∥y轴，∴∠BCA=∠CAO；（3）如图当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC-BC′存在最小值，设：直线l与x轴的交点为D点，连接BB′、CC′，∵点C关于l的对称点为C′，∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD=∠PCC′，∵∠PB′C′+∠PB′B=180°，△PB′C′由△PBC旋转而得，∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′，∴∠PBC+∠PB′B=180°，∵BC∥AO，∴∠ABC+∠BAO=180°，∴∠PB′B=∠BAO，∵PB=PB′，PC=PC′，∴∠PB′B=∠PBB′=，∴∠PCC′=∠PC′C=，∴∠PB′B=∠PCC′，∴∠BAO=∠PCC′，而∠POD=∠PCC′，∴∠BAO=∠POD，而∠POD=∠BAO=90°，∴△BAO∽△POD，∴=，将BO=m+1，PD=2m，AO=m，OD=m+1代入上式并解得：m=1+（负值已舍去）．（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m=a（-m-1）2+2m，解得：a=-，把m=1代入上式，即可求解；（2）求出点B、C的坐标，即可求解；（3）当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC-BC′存在最小值，证△BAO∽△POD，即可求解．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、韦达定理的运用，其中用韦达定理求解数据是本题的难点．。