九年级数学竞赛题：代数最值
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解
小升初时，初中数学竞赛开始流行起来。
学校里的比赛场面异常火爆，参赛者们竞争激烈，甚至出现了成绩大涨，但是也有一种比赛让学生们摸不着头脑，就是解决代数式求值的比赛。
许多学生都认为，解决代数式求值的比赛是最难的，因为代数式求值的计算方式比较复杂，还需要学生们掌握一定的数学常识。
他们很是头疼，参加了几次竞赛，但总是没有解决出一道代数式求值的题目。
这时，在一次竞赛中出现了一个学生，他完美地解决了这道题，使全班学生都被他的表现惊呆了，因为他与其他学生很明显的不同，他的解答正确率极高，他到底是怎么做到的？
原来，这位少年把他的注意力放在微积分和三角学领域，做了大量的训练，他在认真学习的同时，还把这些技能应用到了代数式求值中，他知道微积分和三角学的知识可以帮助他把复杂的计算分解，从而解决问题。
他可以将复杂的求值变为一系列简单的计算步骤，就像积木一样，一步一步搭建起一道题，慢慢解决起来。
然而，这种做法也并非轻而易举，而是要求学生具有数学常识和深厚的数学基础，只有这样才能把繁杂复杂的题目解决出来。
这位少年的表现给这些参赛的学生提供了一个很好的启发，他们也逐渐开始把注意力放在其他数学领域，并加强自身的数学素养，慢慢地，他们也开始取得优异成绩。
经过一段时间的努力，这些学生终于表现出色，他们不仅学会了解决代数式求值的答案，还学会了如何应用微积分和三角学的知识来解决更多复杂的问题，取得丰硕的成果。
可以说，这位少年以及他的同学们，他们通过解决代数式求值而对这个学科产生了更深的理解，实现了从无知到有知的进步，他们的努力让学校的数学水平达到了新的高度，而这位少年的英勇无畏，给了学生们更坚定的信心，让他们更加热爱数学。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]
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最值问题求法例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（）A．27 B、 18 C、15 D、 12例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、 1B、 2C、 3D、 4例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。
例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S= 2a－3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。
（二）、直接运用a 2＋b 2≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。
例题（6）、若X > 0，则函数Y =3X ＋31X＋21++XX 的最小值。
例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2 =316，求a 的最小值与最大值。
（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。
例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值 ；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。
例题（9）、求函数Y = 12156322++++X X X X 的最小值。
（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。
例题（10）、a b c d e是一个五位自然数，其中a ，b ，c ，d ，e 为阿拉伯数字，且a<b<c<d ,则│a-b │＋│b-c │＋│c －d │＋│d －e │的最大值是 ———。
人教版 九年级数学 竞赛专题：代数最值问题(含答案)
人教版 九年级数学 竞赛专题：代数最值问题（含答案）【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2019，求k 的最大可能值．（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ． 4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( ) 5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E.27．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）A. 0B. 4C. 8D. 105．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）A. 5B.423 C. 427 D. 4356．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．参考答案例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当x =43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2019，即120192k(k )+≤ k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故cA 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b+1，从而a +c ，则211,12>≥，于是a >4，即a ≥5，故b≥b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3． 提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB ，C (2125,24k k k -++-），ABC S =k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0.75（万元），3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1． 故 当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。
数学竞赛中的代数式求值经典问题
数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.假设1,那么111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值是( ) A ．1． B ．0． C ．-1． D ．-2．解析：1，那么a ，b ，c 均不为0．选A ．2．假设x 33=1000，且x 22496，那么(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)． 解析：由于x 33=1000，且x 22496，因此要把(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)分组、凑项表示为含x 33及x 22的形式，以便代入求值，为此有(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=19923．假设m ＋n －p ＝0，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m p p m n p n m 111111－－－＋－的值等于．解析：3-，4．假设2，x 22=4，那么x 19921992的值是 ( )A ．4B ．19922C ．21992D ．41992解析：由2 ①平方得x 2-22=4 ②又x 22=4 ③所以x ，y 中至少有一个为0，但x 22=4．因此，x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x 19921992=01992+(±2)1992=21992，选C ．5．在等式2中,当1时2,当1时20,那么9b 2．解析：以12代入2得2 ①以120代入2得20 ②①-②,222，所以11．因此9．于是9b 2()+9b 2=(-11)×(9)+9×112=990．6．a ＋b ＝－3，a 2b ＋2＝－30，那么a 2－＋b 2＋11＝50．7．a a 1+2，那么441a a += 2 ； 441a a -= 0 . 8．如果m －m 1＝－3，那么m 3－31m ＝． 解析：36-，提示：32232211111()(1)()[()3] (3)[(3)3]36m m m m m m m m m m-=-++=--+=-⨯-+= 9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为0b a, 的形式,那么a 19921993.解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是1．于是1．所以，a19921993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．10．如图6，D点在△的直角边上上，且2，3，假设，，那么解析:勾股定理：m222=522n222=322 可得：m2 - n2 =16 11．7，22=49，33=133，44=406，试求1995()+617( )的值.2分析：7，22=49，33=133，44=406．形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49，…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同．事实上，平方后必出现a2x2及b2y2，而22中，a，b都不是平方，这一特点已经说明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最根本的方式去做．解：显然2=492，2=4923=492，3=492y相加得13333=49()()即49()-71337()19 ①同理3=1333，3=1333 4=1333，4=1333y相加得40644=133()(22)即133()-4940619()-758 ②由①、②联立，设，得71919758,解得，即，由7，7得2=7，2=7相加得4922=7()()所以 1.5()=49-7×∴21此时即可求得-9-178.5=4800说明：此题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力及观察综合能力，并且计算也要很细心，因此此题属于对学生数学素质综合检查的题目．此题改编自下面的问题“8，22=22，33=62，44=178，试求1995()+6之值〞．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a及b两数之与等于多少？你能独立地求出之值吗？(答3)题型二、多项式的带余除法1．设m2＋m－1＝0，那么m3＋2m2＋1997＝．解析：原式＝m3＋m2－m＋m2＋m－1＋1998＝m〔m2＋m－1〕＋〔m2＋m－1〕＋1998＝〔m2＋m－1〕〔m＋1〕＋1998由于m2＋m－1＝0，∴原式＝1998．2.如果x2－1=0，那么x3+2x2+3= 4 ．3.假设=+++=-+1855,013232x x x x x 则204．如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=18。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
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的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
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4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
初中数学竞赛中的最值问题
当 一１ ≤ ＜１ 时，
＝
从而， ｕ＋ ＝ ０ ， 故选 Ｃ ．
３ 消 元法
１一 ＋ ＋１＋ ＋５ ＝ ＋７；
当 ≥１时 ，
Ｙ＝ 一１＋ ＋１＋ ＋５ ＝３ ｘ＋５ ．
对于含有条件等式的多元 函数的最值问 题， 可先通过消元法把多个变量的函数转化 为以某一变量 为主元的一元 函数 ， 再利用该 函数 的性 质求 解． 例 ４ 设实数 ａ 、 ｂ 满足
解决含有绝对值的代数式或函数的最值
问题 时 ， 通 常用 分类 讨论 的方 法． 例 ５ 设 是 实数． 则
一１ ｌ ｌ＋ Ｉ ＋１ Ｉ＋ ｌ ＋５ Ｉ
的最 小值 为 解
． ［ ］
（ ）＝一 （ 一 ２ ｂ ） ＋ ２ ａ＋ ４ ｂ ≤２ 口＋ ４ ｂ ．
（ ）＝一 ＋ ２ ｂ ｘ＋ ４ 口
贝 ０ ＝ ９ ａ ＋ ７ ２ ｂ ＋ ２＝１ ６ ｂ ＋３ ２ ｂ＋ ２ ７
＝
１ ６ （ ６＋１ ） ＋１ １ ．
与
（ ）＝一 ＋ ４ ｂ ｘ＋ ２ 口 ） ． （ Ａ） 必 为正 数 （ Ｃ ） 必为 ０ 解 注意 到 ， （ Ｂ） 必 为负数 （ Ｄ） 符 号不 能确 定 ［ ３ ］
于是 ， 当 ｂ＝ 一１时 ， “的最 小值 为 １ ｌ 综上 ， ｕ的最小 值为 一３ ４ ．
４ 分 类讨论 法
有相 同 的最大 值 ． 则 “＋ 的值 （
．
（ ２ ０ １ ０ ， 全国初中数学联赛江西省初赛 ）
（ ）＝（ ＋口 ） ＋ ４ ｂ一 ０ ＞４ Ｉ ｂ一口 ， （ ）＝（ ＋ ２ 口 ） ＋ ２ ６— ４ ａ ＞２ Ｉ ｂ 一 ４ ａ ， （ ）＝ 一（ —ｂ ） ＋ ４ ａ＋ｂ ≤４ ０＋６ ，
初中竞赛数学29.最值问题(含答案)
29.最值问题知识纵横求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，是数学问题中的一种常见类型，又在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题,如投入最少、路程最短、材料最省等，这些问题我们称之为最值问题，•在现阶段，解这类问题的基本知识与基本方法有：1.穷举获取;2.运用非负数的性质;3.利用不等分析逼近求解;4.使用几何公理、定理、性质等.解这类问题时,既要说明最值可以达到,又要证明不可能比所求的值更大(•或更小),前者需构造一个恰当的例子,后者需要详细说理.例题求解【例1】设自然数x,y,m,n满足条件58x y my m n===,则x+y+m+n的最小值是_____.(湖北省黄冈市竞赛题) 思路点拨把连等式拆开用,用一个字母的代数式表示另一个字母,利用隐含整除条件,分别求出x,y,m,n的最小值.解:1157 提示:x=58y,m=85y,n=85m=6425y,因25│y,8│y,故y有最小值200.【例2】设a、b、c满足a2+b2+c2=9,那么代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是( • ).A.27B.18C.15D.12 (全国初中数学联赛题)思路点拨利用乘法公式,把代数式变形成与已知条件关联的式子,进而求出最大值.解:选A 提示:原式=3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2≤27【例3】已知n、k均为自然数,且满足不等式761311nn k<<+,若对于某一给定的自然数n,只有惟一的一个自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨解关于k的不等式组,利用已知条件的约束,通过穷举求出n的最大数与最小数.解:提示:由761311nn k<<+,得111367n kn+<<5667kn<<, ①5667n nk<<②因k 为自然数,且对于给定的n 来说,k 的值只有一个. 故6576n n ≤2 ,得n ≤84 当n=84时,代入②有 70<k<72,惟一的k 值为71,又由①得 n>7当n=8,n=9,n=10,…,n=12时,有623<k<667,712<k<757,813<k<847,916<k<937,10<k<1027,• 没有符合条件的整数k当n=13时,有1056<k<1117,得k=11 综上知n 的最大值为84,n 的最小值为13.【例4】某人租用一辆汽车从A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示,若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元? (2003年全国初中数学竞赛题)思路点拨 即要求出此人从A 城出发到B 城的最短时间,而从A 城到B•城有多条线路,故只需一一列举,比较就可得出结论.解:从A 城出发到B 城的路线有如下两类:(1)从A 城出发到达B 城,经过O 城,因从A 城到O 城所需最短时间为26小时,从O 城到B 城所需最短时间为22小时,故此类路线所需最短时间为26+22=48小时. (2)从A 城出发到达B 城,不经过O 城,这时从A 城到B 城,必定经过C 、D 、E 城或F 、G 、H 城,所需时间至少为49小时,综上,从A 城到达B 城所需的最短时间为48小时,所走的路线为A →F →O →E →B,所需的费用最少为80×48×1.2=4608(元)【例5】某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品方案,•准备每周(•按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,•已知生产这些家问:(以千元为单位)? (2003年河南省竞赛题)思路点拨 设每周生产空调器、彩电、冰箱各x 台、y 台、z 台，产值为s ，可得关于x 、y 、z 的混合方程组，通过消元，建立一元不等式组，通过解不等式组，•确定相应字母取值范围，进而求出s 的最大值。
初中数学竞赛代数讲义函数的最大值、最小值
函数的最大、最小值一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作min 0()y f x =；如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作max 0()y f x =。
一、专题知识1.基本公式（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠当0a >时，当2b x a =-时，2min 44ac b y a-=；当0a <时，当2b x a =-时，2max 44ac b y a-=。
（2）若0,0a b >>，则2a b +≥（当且仅当a b =时，等号成立）当a b +为定值时，2max()2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭；当ab 为定值时，min ()a b +=2.基本结论一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤当0k >时，min 1max 2()(),()()f x f x f x f x ==；当0k <时，min 2max 1()(),()()f x f x f x f x ==。
二、经典例题例题1若0x >，求函数21y x x x=-+的最小值。
【解】将21y x x x =-+配方得，2221(1)1(1)1y x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭=-++由于2(1)0x -≥（当且仅当1x =时，等号成立），20≥（当且仅当1x =时，等号成立）所以当1x =时，函数21y x x x=-+的最小值为1例题2已知函数()1515f x x p x x p =-+-+--（其中15,015p x p ≤≤<<），求函数()f x 的最小值。
【解】由于015p x <≤≤，所以,1515,1515x p x p x x x p p x -=--=---=+-，于是()151530f x x p x x p x=-+-+--=-所以min ()(15)15f x f ==。
初三数学奥赛 代数最值问题
初三数学奥赛代数最值问题
姓名：
求最值问题的方法归纳起来有如下几点：
1、运用配方法求最值
例1、实数x、y满足2- 6x+=0，则++2x的最大值是
例2、m=的最小值为（简单分式函数求最值的基本方法）练习：1、若实数x、y满足++3xy=35，则xy的最大值是
2、（1）求函数y=在3≦x≦5时的最值；
（2）求y=的最大值；
3、设、是关于x的一元二次方程+ax+a=2的两个实数根，则（- 2）（- 2）的最大值为
例3、求y=+的最大值和最小值；（与二次根式相关的最值问题）练习：已知y=+，那么y的最大值与最小值的差为；
2、构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值
例1、实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，求z的最大值；
例2、设a、b为实数，求代数式+ab+-a-2b的最小值；
练习：1、已知实数a、b、c满足a+b+c=0，++=6, 则a的最大值是
2、已知实数a、b满足+ab+=1,且t=ab - -，则t的最大值是，最小值是
3、建立函数模型求最值（略）
4、利用基本不等式求最值
例、设x、y、z为正数，且xyz（x+y+z）=4，则（x+y）（y+z）的最小值为；
练习：函数y=-x- +18（x﹥0）的最大值为；
5、利用不等分析法求最值
例、已知x、y、z为三个非负实数，且满足3x+2y+z=5，x+y –z=2，若s=2x+y –z，则s的最大值与最小值的和为；
练习：1、已知a﹤3，b﹥3,且a+b=k -1，ab=3，则k的最小整数值为；
2、若、都满足条件︱2x-1︱+︱2x+3︱=4，且﹤，则-的取值范围
是。
初中数学代数最值问题常用解决方法
初中数学代数最值问题常用解决方法最值问题，也就是最大值和最小值问题。
它是初中数学竞赛中的常见问题。
这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。
一. 配方法例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）可取得的最小值为_________。
解：原式由此可知，当时，有最小值。
二. 设参数法例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。
则的最大值为________。
解：设，易知由，得从而，由此可知，是关于t的方程的两个实根。
于是，有解得。
故的最大值为2。
例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）A. 3B.C.D. 6解：设，则从而可知，当时，取得最小值。
故选（B）。
三. 选主元法例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足。
则z的最大值是________。
解：由得。
代入消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。
即，整理得解得。
所以，z的最大值是。
四. 夹逼法例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。
设，记为m的最小值，y为m的最大值。
则__________。
解：由得解得由是非负实数，得从而，解得。
又，故于是，因此，五. 构造方程法例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。
解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。
从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则因为，所以，解得所以k的最小值是四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且。
若，则的最大值为_________。
解：由得，代入得。
而由和可知的整数。
所以，当时，取得最大值，为。
七. 借助几何图形法例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数的最小值是________。
代数最值问题
代数最值问题代数最值问题是数学中常见的一类问题，涉及到寻找一个函数的最大值或最小值。
在代数最值问题中，我们通常需要利用一些数学方法和技巧来求解。
本文将介绍一些常见的代数最值问题，并给出相应的解决方法。
一、一元二次函数的最值问题考虑一元二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$为常数。
我们希望求解该函数的最大值或最小值。
首先，我们可以通过求导的方法来找到函数的极值点。
将函数$f(x)$求导，得到$f'(x) = 2ax + b$。
令$f'(x) = 0$，解方程可得$x = -\frac{b}{2a}$。
将$x$代入函数$f(x)$，即可得到最值点的纵坐标。
二、绝对值函数的最值问题考虑绝对值函数$f(x) = |ax + b|$，其中$a, b$为常数。
我们希望求解该函数的最大值或最小值。
绝对值函数的最值问题可以转化为两个线性函数的最值问题。
当$x \geq -\frac{b}{a}$时，$f(x) = (ax + b)$；当$x < -\frac{b}{a}$时，$f(x) = -(ax + b)$。
因此，我们可以分别求解这两个线性函数的最值，然后比较得出绝对值函数的最值。
三、分式函数的最值问题考虑分式函数$f(x) = \frac{a}{x}$，其中$a$为常数。
我们希望求解该函数的最大值或最小值。
由于分式函数在定义域上是连续的，因此可以通过求导的方法来找到函数的极值点。
将函数$f(x)$求导，得到$f'(x) = -\frac{a}{x^2}$。
令$f'(x) = 0$，解方程可得$x = 0$。
由于分式函数在$x = 0$处没有定义，因此我们需要进一步分析$x$趋于无穷大时的极限值来确定最值。
四、指数函数的最值问题考虑指数函数$f(x) = a^x$，其中$a > 0$且$a \neq 1$。
我们希望求解该函数的最大值或最小值。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
代数求最值题讲解
代数求最值题讲解
代数求最值题是数学中的一个重要的考点，它主要考察学生的代数运算能力和解决实际问题的能力。
本文将为大家详细讲解代数求最值题的解题方法和技巧。
首先，解决代数求最值题的关键在于确定最值出现的条件。
通常，最值出现的条件是函数取极值或者约束条件限制了自变量的取值范围。
因此，在解决代数求最值题时，首先需要求出函数的导数，并将导数等于0的点作为可能的最值点。
然后，对每个可能的最值点进行判断，确定最值。
其次，另一种常见的代数求最值的方法是利用平均值不等式或者柯西不等式。
这种方法通常适用于含有多个变量的复杂函数。
例如，对于函数f(x,y)，如果可以将其表示为g(x)+h(y)的形式，那么可以利用平均值不等式或者柯西不等式求解最值。
平均值不等式和柯西不等式的具体使用方法，需要根据实际情况进行灵活运用。
最后，解决代数求最值题的关键在于熟练掌握代数运算及其应用，学会判断最值出现的条件，并掌握平均值不等式和柯西不等式的使用方法。
通过不断练习和巩固，相信大家一定能够顺利解决代数求最值题。
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数学初中竞赛函数最值专题训练(含答案)
数学初中竞赛函数最值专题训练一．选择题1．当三个非负实数x、y、z满足关系式x+3y+2z＝3与3x+3y+z＝4时，M＝3x﹣2y+4z的最小值和最大值分别是（）A．B．C．D．2．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p＝+++，则（）A．p＞5 B．p＝5C．p＜5 D．p与5的大小关系不确定3．已知y＝+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣24．设x≥0，y≥0，2x+y＝6，则u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最小值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．代数式的最小值是（）A．0 B．C．D．6．设x是实数，y＝|x﹣1|+|x+1|．下列四个结论：Ⅰ．y没有最小值；Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；Ⅲ．有有限多个x（不止一个）使y取到最大值；Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ7．方程|x﹣1|+|y﹣1|＝1确定的曲线所围成的图形面积为（）A．4 B．3 C．2 D．18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）A．64 B．8C．8 D．二．填空题9．代数式的最小值为．10．a，b是正数，并且抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是．11．当|x|≤4时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是：．12．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，则a+b+c+d的最大值是．13．函数f（x）＝λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是．14．代数式的最小值是．15．函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|，当x在实数范围内取值时，y的最小值是．16．a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1．设m＝3a+b﹣7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．则xy＝．三．解答题17．当﹣1≤x≤2时，函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2有最小值2．求a所有可能取的值．18．已知非负实数x，y，z满足，记W＝3x+4y+5z．求W的最大值与最小值．19．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？20．阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．解：y＝2x+≥＝4．当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．21．设x1、x2、x3、x4、x5均为正整数，且x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．试求x5的最大值．22．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．23．已知：实数x，y，z满足：x+y+z＝0，xy+yz+zx＝﹣3，求z的最大值．参考答案一．选择题1．解：由得：，代入M的表达式中得，M＝3x﹣2y+4z＝3x﹣（1﹣x）+4（2x﹣1）＝﹣，又因x、y、z均为非负实数，所以，即≤x≤1，当x＝时，M有最小值为﹣，当x＝1时，M有最大值为7．故选：B．2．解：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，∴必有0＜a，b，c，d＜1∵p＝+++，事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x）＝的图象，显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y＝x+1，∴可以发现在（0，1）上恒有＞x+1，当然这样只是画图所得，未必准确，∴还要严格证明，证之如下：上式两边平方得：3x+1＞x2+2x+1，∴x2﹣x≤x（x﹣1）＜0，而此时x∈（0，1），可见上式显然成立．所以我们有：＞a+1，＞b+1，＞c+1，＞d+1，以上四式相加得p＝+++＞a+b+c+d+4＝5，即有P＞5．故选：A．3．解：∵y＝+，∴y2＝4+2＝4+2×，∵1≤x≤5，当x＝3时，y的最大值为2，当x＝1或5时，y的最小值为2，故当x＝1或5时，y取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值2，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选：D．4．解：由已知得：y＝6﹣2x，代入u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，整理得：u＝2x2﹣6x+18，而x≥0，y＝6﹣2x≥0，则0≤x≤3，u＝2（x﹣）2+，当x＝0或x＝3时，u取得最大值，u max＝18，当x＝时，u取得最小值，u min＝．故选：A．5．解：由题意得：，解得x≥0，又∵、、都是随x的增大而增大，∴当x＝0时，代数式取得最小值，＝+＝1+．此时式（）min故选：B．6．解：从数轴上可知，区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2．所以函数y＝|x﹣1|+|x+1|当﹣1≤x≤1时，取得最小值2．Ⅰ、y在区间[﹣1，1]上取得最小值2；故本选项错误；Ⅱ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；故本选项错误；Ⅲ、y在区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2，且无限大，所以y在区间[﹣1，1]之外的点没有最大值；故本选项错误；Ⅳ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为最小值2，所以有无穷多个x使y取到最小值．故本选项正确；故选：D．7．解：先考虑简单的情况：当|x|+|y|＝1时：当x＞0，y＞0时，x+y＝1，当x＞0，y＜0时，x﹣y＝1，当x＜0，y＞0时，y﹣x＝1，当x＜0，y＜0时，x+y＝﹣1，∴四条直线与坐标轴的交点分别为（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），∴正方形边长为：＝，∴正方形面积为：×＝2．∵|x﹣1|+|y﹣1|＝1的在坐标系内的图象只不过是将|x|+|y|＝1的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，∴其面积依然为2．故选：C．8．解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，∵m+n≥2，当且仅当m＝n时取得最小值，故可得①当a＝1时，a+1取得最小值2；②当b＝1时，b+1取得最小值2；③当c＝1时，c+1取得最小值2；又∵a＝1，b＝1，c＝1可能满足条件abc＝1，∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值＝2×2×2＝8．故选：C．二．填空题（共8小题）9．解：求代数式，即+的最小值，实际上就是求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，﹣2）到点（12，3）的距离即为所求，即＝13．故答案为：13．10．解：由题设知a2﹣8b≥0，4b2﹣4a≥0．则a4≥64b2≥64a，∵a，b是正数，∴a3≥64，∴a≥4，b2≥a≥4．∴a2+b2≥20．又∵当a＝4，b＝2时，抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x轴有公共点，∴a2+b2的最小值是20．故答案为：20．11．解：∵|x|≤4，∴﹣4≤x≤4，∴，∴当x＝﹣4时，y取最大值18，当x＝2时，y取最小值2．则最大值与最小值的差是18﹣2＝16．故答案为：16．12．解：∵a+b＝c，①b+c＝d，②c+d＝a，③由①+③，得（a+b）+（c+d）＝a+c，∴b+d＝0，④b+c＝d；⑤由④+⑤，得∴2b+c＝b+d＝0，∴c＝﹣2b；⑥由①⑥，得∴a＝c﹣b＝﹣3b，⑦由④⑥⑦，得∴a+b+c+d＝（a+c）+（b+d）＝a+c＝﹣5b；∵b是正整数，∴b≥1，∴﹣b≤﹣1，∴a+b+c+d≤﹣5，∴a+b+c+d的最大值是﹣5．故答案为：﹣5．13．解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，又∵f（x）＝λ（x+）2+1﹣，∴f（x）的最大值为1﹣，又∵f（x）≤f（λ），∴f（λ）＝λ3+（λ﹣3）λ+1＝1﹣，解得：λ＝1（舍去）或λ＝﹣，将λ＝﹣，代入可得f（x）的最大值为．故答案为：．14．解：若代数式有意义，则，解得：x ≥2， ∵，，是增函数，∴当x ＝2时，代数式的值最小，即＝2+1+0＝3．故答案为3．15．解：设y 1＝|x ﹣1|+|x ﹣10|，则y 1可以看作数轴上点x 到点1与10的距离和，即可得当x ＝＝5.5时，y 1取最小值，同理：设y 2＝|x ﹣2|+|x ﹣9|，y 3＝|x ﹣3|+|x ﹣8|，y 4＝|x ﹣4|+|x ﹣7|，y 5＝|x ﹣5|+|x ﹣6|，∴当x ＝5.5时，y 2，y 3，y 4，y 5取最小值，∴当x ＝5.5时，函数y ＝|x ﹣1|+|x ﹣2|+…+|x ﹣10|取最小值，最小值为：y ＝|5.5﹣1|+|5.5﹣2|+…+|5.5﹣10|＝4.5+3.5+2.5+1.5+…+0.5+0.5+1.5+2.5+3.5+4.5＝25． 故答案为：25．16．解：由3a +2b +c ＝5，2a +b ﹣3c ＝1得⇒，∴可得a ＝7c ﹣3，b ＝7﹣11c ， 由a 、b 、c 是非负数得： ⇒≤c ≤， 又m ＝3a +b ﹣7c ＝3c ﹣2， 故﹣≤m ≤﹣，于是可得x ＝﹣，y ＝﹣， 故xy ＝﹣×（﹣）＝．三．解答题（共7小题）17．解：y ＝2x 2﹣4ax +a 2+2a +2图象的对称轴为：x ＝a ， ①当﹣1≤a ≤2时，函数在x ＝a 处取得最小值2， 故﹣a 2+2a +2＝2，即a 2﹣2a ＝0， 解得：a ＝0或2，②当a ＜﹣1时，函数在x ＝﹣1处取得最小值2，代入函数式得2+4a +a 2+2a +2＝2， 即：a 2﹣6a +2＝0， 解得：a ＝﹣3±，取a ＝﹣3﹣，③当a ＞2时，函数在x ＝2处取得最小值2，代入函数式得： 8﹣8a +a 2+2a +2＝2， 即a 2﹣6a +8＝0， 解得：a ＝2或4， 取a ＝4．故a 所有可能的值为：﹣3﹣，0，2，4．18．解：设＝k ，则x ＝2k +1，y ＝﹣3k +2，z ＝4k +3， ∵x ，y ，z 均为非负实数， ∴，解得﹣≤k ≤，于是W ＝3x +4y +5z ＝3（2k +1）﹣4（3k ﹣2）+5（4k +3）＝14k +26， ∴﹣×14+26≤14k +26≤×14+26，即19≤W ≤．∴W 的最大值是35，最小值是19．19．解：如图，用A 、B 、C 、D 、E 分别表示这五所小学的位置，并设A 向B 调x 1台电脑，B 向C 调x 2台电脑，…，E 向A 调x 5台电脑，依题意有：7+x 1﹣x 2＝11+x 2﹣x 3＝3+x 3﹣x 4＝14+x 4﹣x 5＝15+x 5﹣x 1＝50÷5＝10， 所以，x 2＝x 1﹣3，x 3＝x 1﹣2，x 4＝x 1﹣9，x 5＝x 1﹣5，设调动的电脑的总台数为y ，则y ＝|x 1|+|x 1﹣3|+|x 1﹣2|+|x 1﹣9|+|x 1﹣5|， 这样，这个实际问题就转化为求y 的最小值问题，并由上面所得结论知：当x 1＝＝3时，y 的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|＝12，即调动的总台数为12．因为x 1＝3时，x 2＝0，x 3＝1，x 4＝﹣6，x 5＝﹣2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．20．解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升． ∴y ＝x ×（+）＝（70≤x ≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值， 解得：x ＝90∴该汽车的经济时速为90千米/小时； 当x ＝90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．21．解：由于x 1、x 2、x 3、x 4、x 5在式中对称，故不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5，并令S ＝x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≤x 1x 2x 3x 4x 5．则S ≤5x 5，即t ＝x 1x 2x 3x 4≤5；那么t 为1或2或3或4或5，而a ，b ，c ，d 则为t 的约数．①当t ＝5时，由于t ＝1×5，故令x 1＝x 2＝x 3＝1，x 4＝5，代入S 可得x 5＝2，与x 4≤x 5相矛盾，故x 5＝2不合题意；②同理，当t ＝1或4时均不合题意．当t ＝3时，x 5＝3，符合题意；③当t ＝2时，由于t ＝1×2，令x 1＝x 2＝x 3＝1，x 4＝2，代入S 可得x 5＝5，符合题意； 综上所述，故x 5的最大值为5．22．解：设A 1中学调给A 2彩电x 1台（若x 1＜0，则认为是A 2，向A 1调出|x 1|台），A 2中学调给A 3彩电x 2台，A 3调给A 4x 3台，A 4调给A 1x 4台．∵共有40台彩电，平均每校10台，∴15﹣x 1+x 4＝10，8﹣x 2+x 1＝10，5﹣x 3+x 2＝10，12﹣x 4+x 3＝10，∴x 4＝x 1﹣5，x 1＝x 2+2，x 2＝x 3+5，x 3＝x 4﹣2，x 3＝（x 1﹣5）﹣2＝x 1﹣7，x 2＝（x 1﹣7）+5＝x 1﹣2．本题即求y ＝|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|＝|x 1|+|x 1﹣2|+|x 1﹣7|+|x 1﹣5|的最小值，其中x 1是满足﹣8≤x 1≤15的整数．设x 1＝x ，并考虑定义在﹣8≤x ≤15上的函数：y ＝|x |+|x ﹣2|+|x ﹣7|+|x ﹣5|， 当2≤x ≤5时，y 取最小值10，即当x 1＝2，3，4，5时，|x 1|+|x 1﹣2|+|x 1﹣7|+|x 1﹣5|取到最小值10． 从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：23．解：∵x +y +z ＝0，∴x +y ＝﹣z ，①∵xy +yz +zx ＝﹣3，∴xy ＝﹣3﹣（yz +zx ）＝﹣3﹣z （x +y ）＝﹣3﹣z （﹣z ），即xy ＝﹣3+z 2，②由①②及韦达定理知：xy 是一元二次方程w 2+zw +（﹣3+z 2）＝0的两实根， 则判别式△＝z 2﹣4（﹣3+z 2）≥0，化简得：z 2≤4，∴﹣2≤z ≤2，∴z 的最大值是2．。
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九年级数学竞赛题：代数最值
数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：
1．利用配方法求最值；
2．运用不等式或不等分析法求最值；
3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
4．构造二次函数模型求最值；
5．构造图形求最值．
例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？
（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．
例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 、
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．
例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a
（1） 求a 、b 、c 中最大者的最小值；
（2） 求||||||c b a ++的最小值．
例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书
包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？
（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？
（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．
例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线64
12+-=x y 交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为2
3321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为
94
米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．
2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,12
22222的最小值为__________．
3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：
（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；
（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？
4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
5．某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．
6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．
7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．
8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．
9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22
都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．
10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．
11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．
12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．
（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？
（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？
（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？
13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．
（1）若抛物线c bx x y ++=23
1经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；
（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。