1任意角学案
任意角导学案(1)
第一章三角函数1.1.1任意角——导学案班级: 姓名:一、学习目标1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法，区间角的表示。
3.体会运动变化观点，理解推广后的角的概念。
二、学习重难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法难点：终边相同的角的表示，区间角的表示。
三:学习过程活动：阅读教材P2-5，完成下列问题角的概念(1)角可以看作是: ；(2)正角: ；(3)负角: ；(4)零角: ；2．象限角(1)象限角: ；(2)轴线角: ；(3)象限角的集合: ；第一象限角的集合: ；第二象限角的集合: ；第三象限角的集合: ；第四象限角的集合: ；3．终边相同的角: 。
（一）课堂练习1、在下列说法中:（1）0°-90°的角是第一象限角;（2）第二象限角大于第一象限角;（3）钝角是第二象限角（4）小于90°都是锐角其中错误的说法是。
2、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)-75º，(3)855º，(4)-510º．3写出终边在x轴上角的集合（二）课堂小结本节课我们学了哪些知识和方法？你有哪些收获？还有什么疑惑？（三）作业布置必做题：1.与120º角终边相同的角是( )A.－600º＋k·360º，ｋ∈ＺB.－120º＋k·360º，ｋ∈ＺC.120º＋(2k＋1）·180º，ｋ∈ＺD.660º＋k·360º，ｋ∈Ｚ2.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180ºB.α＋β＝0ºC.α－β＝ｋ·360º，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360º，ｋ∈Z3.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360º (2)720º (3)1080º (4)1440º选做题：如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．。
5.1.1任意角导学案(原卷版)
导学案【学习目标】1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)【自主学习】一. 任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：，终边：，顶点.3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角零角一条射线做任何旋转形成的角这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）。
二．象限角1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限.象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°90°<α<k·360°,k∈Z}三．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.【当堂达标基础练】°~360°范围内，找出与950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.y轴上的角的集合.y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β≤720°的元素β有哪些？4.什么是锐角? 它是几象限角，反过来成立吗?钝角呢？直角呢？5.今天是星期三, 则7k(k∈Z)天后的那一天是星期几? 7k(k∈Z) 天前的那一天是星期几? 100天后的那一天是星期几?6.已知角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(1)420º, (2)－75º, (3)855º, (4) －510º【当堂达标提升练】一、单选题1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角二、多选题6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S时，扇面为“美观扇面”2.236）（ ）A ．122S S θπθ=-B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(20038.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）A ．1B ．4C ．2D ．3 9． sin 2（ ）A ．是正数B ．是负数C ．大于cos2D ．大于tan 2 三、填空题10．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.11．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.四、解答题13．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．14．已知集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α＜k ·180°＋60°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－55°＜β＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A ∩B . 【当堂达标素养练】一、单选题1．已知θ为第二象限角，那么θ3是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角2．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z二、填空题3．终边落在直线y ＝3x 上的角的集合为________．4．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.三、解答题5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．6．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min ，小轮的半径为10cm ，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？7．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.。
1.1.1任意角教案
1.1.1任意角一、学习目标：1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；二、教学重点、难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.难点：终边相同的角的表示.三、教学方法：讲授法、讨论法、媒体课件演示四、内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.五、教学过程：（一）创设情境思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？（提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性）学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。
学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。
教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时之间，这就是我们本节转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0~360课所要学习的主要内容——任意角。
（二）新概念产生1.角概念的推广在初中，我们对角的定义是从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
这种概念的，优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是0~360内，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”。
导学案1：任意角
任意角学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．自学导引：1．回忆：初中是任何定义角的？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念4.象限角；坐标轴上的角5.终边相同的角的表示法课堂互动：1.初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念：注：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α．4.象限角；坐标轴上的角思考：1.定义中说：角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果改为与x 轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.终边相同的角的表示法例1 在 ～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角:（1）；（2）0150-；（3）0'99015-．例2 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：（1）；（2）；（3）．例3 用集合表示：（1）第三象限角的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．课堂练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上， B．轴正半轴上，C．轴或轴上， D．轴正半轴或轴正半轴上（3）请用集合表示下列各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（4）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．课堂小结：。
课时1任意角(教学案)
课时1任意角(教学案)
【教学目标】
1. 了解任意角的定义，了解其范围。
2. 掌握任意角的转角。
3. 掌握任意角的度量单位及其互换。
4. 用三角函数表示任意角的方法。
一、导入（5分钟）
1、出示“任意角”的定义：角度大于 0 度和小于 360 度的角称为任意角。
2、通过提问学生介绍一些角度范围（如锐角、直角、钝角等）。
二、新课展现（15分钟）
1、任意角的转角
1）正向旋转：将起始边沿逆时针转到终止边上的转角。
1）圆的一周为 360 度。
2）180 度是一条直线的角度。
3）度与弧度的转换：
① 角度制到弧度制的转换公式：弧度 = 度数× π / 180。
1）辐角和三角函数：由极角为辐角的点所对应的单位圆上矢量，其横坐标和纵坐标分别是该点所对应的余弦和正弦。
2）任一点的三角函数值：此点的坐标让一个半径为 1 的圆统治着。
此点与圆心O所形成的角，其三角函数值就是该点的横坐标和纵坐标。
三角函数的定义域为角度。
四、操练（10分钟）
完成以下题目
1、已知辐角α∈[0，π]，D（cosα，sinα）, 求tanα 的值。
A. 3/5
B. 4/5
C. 5/3
D. 5/4
3、已知辐角α 单位为弧度，则 2 sinα + 2 cos2α =（）。
2、任意角的转角。
转角分为逆向旋转和正向旋转。
4、用三角函数表示任意角的方法。
任意角的三角函数值可以写成其所对应的点的半径为1的单位圆上坐标的横纵坐标。
1.1.1任意角 学案
1.1.1任意角学案2.角的概念的推广：3．正角、负角、零角概念4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.终边相同的角的表示三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法； 学习重难点： 重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
二、学习过程例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<） 例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤ 720︒<的元素β写出来.（三）【回顾小结】1.尝试练习 （1）教材6P 第3、4、5题. （2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.2.学习小结(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?(四)当堂检测1．设第一象限的角｝90{=E，{o=F＝G锐角｝，小于{的角｝ ，那么有（）．A．B．C．（）D．2．用集合表示：（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．3．在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．3.解：（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．。
1.1.1任意角教案(可编辑修改word版)
1.1.1 任意角教案一、教材分析1、本节教材的地位和作用：本课是数学必修 4 第一章三角函数中第一节的第一课时。
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。
这一节中包括任意角、终边相同的角的表示方法和象限角三个内容。
角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。
为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。
2、教学目标：知识与技能目标：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角 a 终边相同的角（包括角 a）的表示方法；过程与方法目标：（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力；（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；情感态度与价值观目标：（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；（2）学会运用运动变化的观点认识事物.3、教学重点、难点：重点：理解任意角中正角、负角和零角和象限角的定义。
难点: 终边相同的角的表示方法。
二、学生情况分析学生在初中就已经学过角的定义。
从学生学过的东西出发，结合实际生活中的例子，将任意角的范围扩展到大于 360 度，可以引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，为这节课的顺利进行提供了有利的条件。
三、教法学法教法分析：探索与发现新知识是教学的重点。
所以在教学中主要采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。
学法指导：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。
在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
四、教学过程五、教学反思1.学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于 0--360 。
1.1.任意角-人教A版必修四教案
1.1 任意角-人教A版必修四教案一、教学目标1.了解角的概念、度数、弧度制。
2.学会用角度和弧度来表示任意角，并能够在不同单位之间进行转换。
3.掌握圆周角的性质和计算方法。
二、教学重点1.角的概念、度数、弧度制。
2.圆周角的定义和计算方法。
三、教学难点1.角度和弧度的相互转换。
2.圆周角和弧角的关系。
四、教学方法讲授法、示范法、探究法五、教学过程1. 角的概念及度数1.引入概念：什么是角？角有哪些特点？2.教师讲解角的度数概念及符号。
3.通过掌握正、负角的概念，进一步了解角的度数。
4.练习：求解几组角的度数。
2. 角的弧度制1.引入概念：什么是弧度制？2.讲解弧度制概念及与角度的换算公式。
3.探究：用弧度制表示任意角。
4.练习：进行角度和弧度的相互转换。
3. 圆周角的定义1.引入概念：什么是圆周角？2.讲解圆周角的定义。
3.通过练习探究：圆周角的性质。
4. 圆周角的计算方法1.讲解圆周角的计算方法。
2.讲解圆周角的补角和余角。
3.练习：利用公式计算圆周角。
5. 任意角的计算1.引入概念：什么是任意角？2.讲解任意角的概念。
3.通过练习探究：任意角的性质和计算方法。
4.练习：利用公式计算任意角。
六、教学反思本节课我采用了讲授法、示范法和探究法相结合的方式进行教学，让学生通过解题和练习的方式来掌握角度和弧度的概念，并进行相互转换和计算。
在教学过程中，学生积极参与，上课气氛活跃，但也发现部分学生对弧度概念和圆周角的理解还不够深入，下一节课需要进一步加强复习和练习。
第一章第一节任意角导学案
谢谢观看
《太平记》是在纵横中文连载的架空历史奇幻络小说，作者是孔璋。 小说本质属于架空历史类型，帝姓与不死者的千年战争，太平天兵，不死者，神域，千年门阀， 一本集合了港漫元素的热血小说，背后却是古代中国的诸子百家思想的争鸣冲撞。
参考资料：分子动理论1 物体是由大量分子组成的
《分子动理论1物体是由大量分子组成的》是南宫一中提供的微课课程，主讲教师是刘卫京。
参考资料：人民警察临战防卫与控制技术
《人民警察临战防卫与控制技术》是2012年07月知识产权出版社出版的图书，作者是陈鑫编。
参考资料：美育与美学
《美育与美学》由王岗峰编著，于1999年2月由厦门大学出版社出版。 《美育与美学（第二版）》由王岗峰编著，于20料：太平记
第一章第一节任意角导学案
参考资料：壶关县教育志
《壶关县教育志》是壶关县教育志编写办公室编纂的地方志。
内容介绍
1.结合具体实例，认识角的概念推广的必要性； 2.了解任意角的概念，能区分各类角的概念； 3.初步学会在平面直角坐标系内讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合； 4.通过类比学习任意角的概念，渗透类比的思想，培养观察、分析、归纳的思维能力及数学交流 的能力。
方法/步骤
变式反馈
1．的终边是第象限的角；
2．在角终边相同的角是
；
3．第一象限角的范围____________;
4．已知
(1)把写成的形式；
(2)求，使与的终边相同，且。
5、若是第三象限角，则-，，2分别是第几象限角。
参考资料：会计基础
《会计基础》是2020年北京理工大学出版社出版的图书。
参考资农。
参考资料：马克思主义基本原理概论（2015年修订版）
学案1任意角和弧度制
∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,
∴ s in(cos) <0,∴ s in(cos) 的符号是负号.
cos (s in2)
cos (s in2)
【评析】 (1)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是 关键.
(2)判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. (3)对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,可 先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号,再判断 角所在象限.
【分析】 (1)由点P所在的象限,知道sinθ·cosθ,2cosθ 的符号,从而可求sinθ与cosθ的符号.
(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把 cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在u 的象限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定.
= π 弧度.
（5）弧长公式:
S扇形=
1 lr 2
=
l |a|r
1 a r2 2
.
,扇形的面积公式:
考点1 象限角、三角函数值符号的判断
(1)如果点P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限，试判断角θ 所在的象限； (2)若θ是第二象限角,则 sin(cos)的符号是什么?
cos(sin2)
做1弧度的角.
（2）规定:正角的弧度数是一个 正数 ,负角的弧度数
l
是一个 负数 ,零角的弧度数是 0 .|α|= r (l是以角α 作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径).
（3）用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
பைடு நூலகம்
比值lr与所取的r的大小无关 ,仅与角的大小 有关.
（4）弧度与角度的换算:360°= 2π弧度; 180°
《任意角》学案
1 / 2o x y x o 导学案 科目 高一数学 设计者 张进峰 班级 学生姓名必修四 第一 章 课题： §1.1.1任意角一、课标要求：1.了解任意角的概念。
2.理解终边相同角的含义及其表示。
二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的概念是本节课的重点。
用集合来表示终边相同的角是本节课的难点。
三、学习过程:阅读课本1-3页尝试解决下列问题。
1、任意角（1）任意角的概念：角可以看成是平面内一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
（2）正角、负角与零角我们规定按 方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____ 旋转，我们称它形成了一个零角。
零角的 与 重合。
如果α是零角，那么α= 。
2、象限角为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标 重合；（2）使角的始边和x 轴 重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是 的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何一个象限。
思考：（1）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗?（2）你能说出在直角坐标系内讨论角的好处吗？练习1、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1）420o （2） -75o3、终边相同的角在下列坐标系中分别作出 690,750,30;150,210--角2 / 2思考：以上各角的终边有什么关系？把与30o 角终边相同的所有角表示为 ，所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成集合为 .。
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
练习 2、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：(1)420 º (2)—54 º18′ (3)—1190º 30′练习3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 360720<≤-β的元素写出来：（1）1303o 18， （2）-225o练习4、写出终边在y 轴上角的集合四、检测题1、如果x 是第一象内的角，那么（ ）（A ）x 一定是正角 （B ）x 一定是锐角（C ）-3600<x <-2700或00<x <900 （D ）x ∈{x ∣k ⋅3600<x <k ⋅3600+900 k ∈Z }2、若α为锐角，则180°＋α在第__________象限，－α在第______________象限.180°—α在第__________象限。
蒋王中学高一任意角导学案
1.1.1任意角（第1课时）
学习目标：1、了解任意角的概念；
2、学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；
3、了解终边相同角的意义
学习重点：1、任意角的概念；2、终边相同角的表示
学习过程：
问题情境
情境1：摩天轮转了一圈又一圈…
情境2：郭晶晶 “转体︒720”暂获雅典奥运金牌
知识探究
1、任意角
正角：
负角：
零角：
2、象限角、轴线角
练习1：分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角
（1）︒50-； （2）︒405； （3）︒012； （4）︒002-
练习2：分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角
（1）︒30； （2）︒390； （3）︒750 （4）︒330-；
3、终边相同的角
结论：一般地，与角α终边相同角的集合为{}Z ∈+︒⋅=k k ,360|αββ
例题剖析
例1、在︒<≤︒3600α范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角.
（1）︒650 （2）︒-150
练习3：在︒<≤︒3600α范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角
（1）︒55- （2）︒1263
例2、已知α与︒240角的终边相同，判断
2α是第几象限角
练习4：已知α与︒120角的终边相同，判断
2
α是第几象限角
回顾小结
任意角；象限角；终边相同的角 作业
必做题：习题1.1中1、2、5、7 选做题：习题1.1中11、12。
1.1.1任意角教案
1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。
它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点1．判断已知角所在象限；2．终边相同的角的书写。
四、学情分析五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成 一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
《任意角》学案
《任意角》学案一、学习目标1、理解任意角的概念，包括正角、负角和零角。
2、掌握象限角的概念，能判断给定角所在的象限。
3、理解终边相同角的概念，会用集合表示终边相同的角。
二、学习重难点1、重点（1）任意角的概念。
（2）象限角的判断。
（3）终边相同角的表示。
2、难点（1）对负角概念的理解。
（2）终边相同角的集合表示及应用。
三、知识梳理（一）角的概念的推广1、初中对角的定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
角的范围是 0°到 360°。
2、高中任意角的定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
3、正角、负角和零角（1）按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。
（2）按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。
（3）如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
（二）象限角1、定义：在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
2、如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为轴线角。
（三）终边相同的角1、所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z。
2、终边相同角的集合的表示：与α终边相同的角的集合可记为{β|β ＝ k·360°＋α，k∈Z}。
四、典型例题例 1：已知角α ＝－120°，判断它是第几象限角。
解：因为－120°＝ 360° 120°＝ 240°，所以角α的终边在第三象限，故α是第三象限角。
例 2：写出与 60°角终边相同的角的集合。
解：与 60°角终边相同的角的集合为{β|β ＝ k·360°＋ 60°，k∈Z}例 3：若角α是第二象限角，试判断180° α是第几象限角。
任意角学案
1.1.1任意角学案一、学习目标：1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.二、课前准备：思考：如果你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？旋转的方向一样吗？三、学习新课：1、角的定义：提问：初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，看书并回忆初中是怎样定义角的？ 定义1：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；(静态的定义)定义2：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.（动态的定义）2、角的概念的推广：1）角的概念推广的必要性：如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?可以看出，要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须要知道旋转量和旋转方向，这就需要对角的概念进行推广。
2)“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．注：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记成“α”。
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．角的大小比较与实数类似。
学案5：5.1.1 任意角
5.1.1任意角【素养目标】1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．必备知识·探新知基础知识知识点1角的概念角可以看成一条绕着端点旋转所成的图形．思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？知识点2角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？(2)你能说出角的三要素吗？知识点3角的分类类型定义图示一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？知识点4象限角如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？知识点5终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考5：反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？基础自测1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是()A．1B．2C．3D．42．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为()A．120°B．－120°C．60°D．240°3．下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是()A．60°B．－60°C．30°D．－30°4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是.5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是、、.关键能力·攻重难题型探究题型一任意角的概念例1下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[归纳提升]关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【对点练习】❶如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝.题型二终边相同的角例2已知角α＝2 020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[归纳提升] 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：(2)轴线角：【对点练习】❷若将例题中“角α＝2 020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？题型三 象限角的确定例3 若α是第一象限角，则2α，α2分别是第几角限角？[归纳提升] 已知α角所在象限，判角nα，αn(n ∈Z )所在象限的方法(1)若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．【对点练习】❸ 若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角课堂检测·固双基1．与－457°角终边相同的角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }2．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．下列各组角中，终边相同的是() A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有() A．α＝β＋180°B．α＝β－180°C．α＝－βD．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．【参考答案】必备知识·探新知基础知识知识点1角的概念射线思考1：提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．知识点2角的表示思考2：提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．(2)角的三要素是顶点、始边、终边．知识点3角的分类正角负角零角思考3：提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．知识点4象限角思考4：提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．知识点5终边相同的角S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}思考5：提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．基础自测1．[答案]B[解析]正角有126°，99°共2个．2．[答案]A3．[答案]D[解析]－1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．4．[答案]690°[解析]因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.5．[答案]390°－150°60°[解析]题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.关键能力·攻重难题型探究题型一任意角的概念例1[答案]C[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．【对点练习】❶[答案]－75°[解析]由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°.题型二终边相同的角例2[解](1)由2 020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2 020°终边相同的角为k·360°＋2 020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 020°<720°(k∈Z)．解得－61118≤k <－31118(k ∈Z )．所以k ＝－6，－5，－4.将k 的值代入k ·360°＋2 020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°. 【对点练习】❷ [解] (1)∵α＝－360°＋45°，∴α是第一象限角． (2)与－315°终边相同的角为k ·360°－315°(k ∈Z )， 令－360°≤k ·360°－315°<720°(k ∈Z )， 解得－18≤k <238(k ∈Z )，所以k ＝0,1,2.将k 值代入k ·360°－315°中，得所求角为－315°，45°和405°. 题型三 象限角的确定 例3[解] 因为k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )， 所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )．所以2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角． 又k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )，所以当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α2<n ·360°＋45°.所以α2是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，所以α2是第三象限角．故α2是第一、三象限角．【对点练习】 ❸ [答案] B[解析] ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角，故选B ．课堂检测·固双基1．[答案] C[解析] －457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k ·360°＋263°角终边相同，∴应选C ．2．[答案]B[解析]由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．3．[答案]B4．[答案]D[解析]角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．5．[解](1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．。
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1.1.1 任意角
教学目标：
1.了解任意角，掌握终边相同的角的表示方法
2.理解象限角概念、意义及表示方法
3.会判断正角、负角、零角、象限角并体会坐标系的应用
教学重点：任意角的相关概念
教学难点：会用终边相同的角的特征解题
一、导学案
．角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型定义图示
正角按______________________形成的角
负角按________________形成的角
零角一条射线________________，称它形成了一个零角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．
4
终边所在的位置角的集合
x轴正半轴
x轴负半轴
x轴
y轴正半轴
y轴负半轴
y轴
二、探究案
在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
三、检测案。