任意角 导学案
任意角 学案 导学案 课件
任意角学习目标：（1）结合具体实例，认识角的概念推广的必要性；（2）初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合．学习重点、难点：重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角．难点：角的概念推广；终边相同的角的表示．学习过程：一、设计问题、创设情境问题1．回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围什么？问题2．在体操、花样游泳、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”这样的解说。
这里的1080°、1260°，怎么刻画？问题3、如果要对主动轮和从动轮的旋转角进行描述，旋转方向相反，该如何刻画呢？问题4、你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1．25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？二、自主探究、尝试解决：【探究一：任意角的概念】思考1：怎样升级角的定义，让它更科学更合理？新知1、任意角的概念思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？新知2、角的分类问题5、你能否以同一条射线为始边作出下列角呢？210°，-150°，-660°．【探究二：象限角】新知2、象限角的概念：例1：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12'练习：1、锐角是第几象限的角？2、第一象限的角是否都是锐角？3、小于90°的角都是锐角吗？【探究三：终边相同的角】思考3：与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？思考4：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？新知3、终边相同的角的表示三、合作探究例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β＜7200的元素β写出来（1）600（2）-210（3）363014’变式、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.例3 写出终边在y轴上的角的集合．变式：写出终边在x轴上的角的集合．例4、写出终边落在阴影部分（包括边界）的各角的集合例5.如果 α 是第三象限角,那么2α 角终边的位置如何?2α 是哪个象限的角?四、课堂小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有终边相同的角α的表示了吗?五、当堂检测：1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630°2、460︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角 B. 第四象限角3、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．终边相同的角一定相等4、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°5、在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.-54°18′ -395°8′ -1119°30′。
任意角导学案(1)
第一章三角函数1.1.1任意角——导学案班级: 姓名:一、学习目标1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法，区间角的表示。
3.体会运动变化观点，理解推广后的角的概念。
二、学习重难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法难点：终边相同的角的表示，区间角的表示。
三:学习过程活动：阅读教材P2-5，完成下列问题角的概念(1)角可以看作是: ；(2)正角: ；(3)负角: ；(4)零角: ；2．象限角(1)象限角: ；(2)轴线角: ；(3)象限角的集合: ；第一象限角的集合: ；第二象限角的集合: ；第三象限角的集合: ；第四象限角的集合: ；3．终边相同的角: 。
（一）课堂练习1、在下列说法中:（1）0°-90°的角是第一象限角;（2）第二象限角大于第一象限角;（3）钝角是第二象限角（4）小于90°都是锐角其中错误的说法是。
2、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)-75º，(3)855º，(4)-510º．3写出终边在x轴上角的集合（二）课堂小结本节课我们学了哪些知识和方法？你有哪些收获？还有什么疑惑？（三）作业布置必做题：1.与120º角终边相同的角是( )A.－600º＋k·360º，ｋ∈ＺB.－120º＋k·360º，ｋ∈ＺC.120º＋(2k＋1）·180º，ｋ∈ＺD.660º＋k·360º，ｋ∈Ｚ2.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180ºB.α＋β＝0ºC.α－β＝ｋ·360º，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360º，ｋ∈Z3.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360º (2)720º (3)1080º (4)1440º选做题：如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．。
111 任意角 导学案
1.1.1 任意角导学提纲学习目标：1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示学习重点、难点：用集合与符号语言正确表示终边相同的角一、导：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？二、思：阅读课本2～5页，认真、独立完成以下问题：1.角的概念，角的分类；2.终边相同角的表示；3.象限角、轴线角的概念；象限角的集合：（1）第一象限角的集合：_________________________________；（2）第二象限角的集合：_________________________________；（3）第三象限角的集合：_________________________________；（4）第四象限角的集合：_________________________________；轴线角的集合：（5）终边在x轴上的角的集合：____________________________________；（6）终边在y 轴上的角的集合：____________________________________；（7）终边在坐标轴上的角的集合：__________________________________；三、议：组议思中2，说说{}==+360S k k Z ββα∈，的特点。
四、展：1.终边在y 轴上的角的集合的推导过程.2.已知0240与α角的终边相同，判断2α是第几象限角. 五、评：六、检：1、设060-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为_________________.2、集合},3690|{00Z k k A ∈-⋅==αα， }180180|{00<<-=ββB ，则._________=⋂B A 3、角α小于0180而大于0180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。
5.1.1任意角导学案(原卷版)
导学案【学习目标】1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)【自主学习】一. 任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：，终边：，顶点.3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角零角一条射线做任何旋转形成的角这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）。
二．象限角1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限.象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°90°<α<k·360°,k∈Z}三．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.【当堂达标基础练】°~360°范围内，找出与950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.y轴上的角的集合.y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β≤720°的元素β有哪些？4.什么是锐角? 它是几象限角，反过来成立吗?钝角呢？直角呢？5.今天是星期三, 则7k(k∈Z)天后的那一天是星期几? 7k(k∈Z) 天前的那一天是星期几? 100天后的那一天是星期几?6.已知角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(1)420º, (2)－75º, (3)855º, (4) －510º【当堂达标提升练】一、单选题1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角二、多选题6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S时，扇面为“美观扇面”2.236）（ ）A ．122S S θπθ=-B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(20038.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）A ．1B ．4C ．2D ．3 9． sin 2（ ）A ．是正数B ．是负数C ．大于cos2D ．大于tan 2 三、填空题10．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.11．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.四、解答题13．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．14．已知集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α＜k ·180°＋60°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－55°＜β＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A ∩B . 【当堂达标素养练】一、单选题1．已知θ为第二象限角，那么θ3是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角2．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z二、填空题3．终边落在直线y ＝3x 上的角的集合为________．4．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.三、解答题5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．6．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min ，小轮的半径为10cm ，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？7．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.。
高中数学 1.1.1《任意角》导学案 新人教A版必修4
【学习目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；【重点难点】重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
【学法指导】1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.【知识链接】1．回忆：初中是任何定义角的？一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？2.角的概念的推广：3．正角、负角、零角概念4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.终边相同的角的表示三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容【学习过程】 例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤ 720︒<的元素β写出来.【学习反思】1.尝试练习（1）教材6P 第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
任意角 学案 导学案 课件
课题：任意角 课型：新授课 课时：1 【学习目标】
①理解任意角的概念，学会建立直角坐标系讨论任意角； ②能判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
【学习过程】 一、课题引入
1、初中学过的角定义是什么？角有范围吗？
2、你的手表慢了15分钟，你会怎样将它校准？又假若你的手表快了5.1个小时，你会怎样将它校准？当时间校准后，分钟旋转了多少度？
3、初中角的定义和范围能解决上述问题吗？怎么办？
二、预习达标
预习课本第2，3面，完成以下知识点填空
1、角的定义
角可以看成平面内一条_______绕着______从一个位置________到另一个位置所成的图形。
①按___________方向旋转形成的角叫做正角 2、角的分类 ②按___________方向旋转形成的角叫做负角
③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它为_________ 3、象限角
在直角坐标系中，我们使角的顶点与________重合，___________与x 轴的正半轴重合，那么，角的_________在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角____________________。
三、预习反馈
1、你的手表慢了15分钟，校准时要将分针旋转__________度
你的手表快了5.1个小时，校准时要将分针旋转__________度
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
说明：为了
简单起见，“角α”或“α∠”都可简记
为“α”
提醒：想想旋转时是顺时针还
顶点
终边
始边。
(完整word版)高中数学1.1.1任意角导学案新人教版必修4
2、象限角、轴线角的概念
。
同的角的集合和符号语言表示
3、终边相同角的集合
练习1、作出角390,30,330,750，这.些角之间有何关系？
结论：一般地，与角终边相同角的集合为
R_m■
合作探究携.手共进
例1、在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
独立思考，合作探究，小组代表发言
反馈检测体验成功
课后独立完成。
1.以下四个命题中，是真命题的「是()
A、小于90r角是锐角B、第一象限角是钝角
C锐角疋第象限角D负角不可能疋第象限角
2.设60，则与角终边相同的角可以表示为()
A60k360(k)B300 k 360 (k)
C30 k 3Βιβλιοθήκη 0 (k)D120 k 360 (k)
学生先
(1)650(2)150(3)990 15'
单位独立思考，然后再以小组为单位合作探究
例2、已知与240角的终边相同，判断一是.第几象限角。
2
【探究】
①为什么要对k进行奇偶讨论？
②240是第象限角，终边在此象限内的角的一半都在二、四象限吗？
③右疋第一象限角，则一疋,在其匕象限呢？
2
④右疋第象限角，则一疋，2疋.
江苏省徐州市王杰中学高中数学
锁定目标找准方向
预设
生成
1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；
课刖向
2.能写出与任一已知角终边相冋的角的集合。
学生解
3.能在0到360范围内，找出与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；
释目标
自我构建快乐无限
重难点
(完整word版)任意角 导学案
第一章三角函数1。
1.1任意角学习目标：（1）推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;（2)理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法;学习重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
学习难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
新知导学1．角(1）角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2）角的表示：如图①顶点：射线的端点O；②始边:射线的起始位置OA；③终边：射线的终止位置OB。
（3）角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2．象限角、轴线角的概念我们常在内讨论角.为了讨论问题的方便,使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
那么,角的_________(除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________.象限角的集合（1）第一象限角的集合：_______________________________________（2）第二象限角的集合：_______________________________________ (3）第三象限角的集合：_______________________________________（4）第四象限角的集合:_______________________________________轴线角的集合（1）终边在x轴正半轴的角的集合:_______________________________________（2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________（3）终边在y轴正半轴的角的集合:_______________________________________（4)终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________(5)终边在x轴上的角的集合：_______________________________________（6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β|β＝________________},即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．题型探究类型一角的概念问题【例1】在下列说法中：①0°~90°的角是第一象限角;②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________（错误说法的序号都写上）．类型二象限角的判定【例2】已知角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．①485°；②－35°；③770°；④－500°.类型三终边相同的角的应用【例3】在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1）最大的负角；（2）最小的正角；(3）360°～720°的角．类型四区域角的表示【例4】写出终边落在阴影部分的角的集合．作业设计一、选择题1．与405°角终边相同的角是（)A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°,k∈Z2．若α＝45°＋k·180°（k∈Z),则α的终边在（)A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限3．设A＝｛θ|θ为锐角｝，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ｜θ为第一象限的角｝，D＝｛θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．集合M＝错误!,P＝错误!，则M、P之间的关系为( ）A．M＝P B．M<PC．M〉P D．M∩P＝∅6．已知α为第三象限角，则错误!所在的象限是（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限二、填空题7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分（含边界)的角的集合是______________________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°〈θ<360°,则θ＝________。
高中数学《任意角》导学案
1．1.1任意角1.角的概念(1)角可以看成□1平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的□2始边，OB是角α的□3终边，O是角的□4顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．按旋转方向可将角分为如下三类：2．象限角(1)象限角：若角的顶点在□8原点，角的始边与□9x轴非负半轴重合，则□10角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．(2)轴线角：若角的终边在□11坐标轴上，则这个角□12不属于任何象限．3．终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为□13{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)下列说法正确的是()A．最大角是180° B．最大角是360°C．角不可以是负的D．角可以任意大小答案D解析由角的定义，角可以是任意大小的．故选D.(2)下列哪个角是第三象限角()A．15° B．105° C．215° D．315°答案C解析∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．故选C.(3)(教材改编P5T4)下列各角中，与60°角终边相同的角是()A．－300° B．－60°C．600° D．1380°答案A解析与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.故选A.探究1正确理解角的概念例1下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角解析终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C.答案C拓展提升理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了() A．60° B．－60° C．30° D．－30°(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B.(2)如图，∠AOB ＝－90°，∠BOC ＝100°，∠COD ＝－240°，∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＝(－90°)＋100°＋(－240°)＝－230°.探究2 终边相同的角的表示 例2 (1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解 (1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β<360°，∴－720°≤－1910°＋k ·360°<360°，31136≤k <61136.故k ＝4,5,6，k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．[变式探究]在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．解1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝2×360°＋310°，所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.拓展提升在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．【跟踪训练2】已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.答案－960°解析∵α与120°角终边相同，故有α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<k ·360°＋120°<－630°，即－1110°<k ·360°<－750°，解得－3112<k <－2112，故当k ＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.探究3 象限角的判定例3 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①－75°；②855°；③－510°；(2)若角α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 (1)作出各角，其对应的终边如图所示：①由图a 可知：－75°是第四象限角．②由图b 可知：855°是第二象限角．③由图c 可知：－510°是第三象限角．(2)∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．①－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．②2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴的正半轴．③k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．解法一(分类讨论)：当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．解法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．拓展提升象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．(3)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn 所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域就是αn的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．【跟踪训练3】 若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角．故选B.探究4区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[条件探究]将例4改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．拓展提升区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【跟踪训练4】写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．解(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．1.角的概念的理解(1)弄清角的始边与终边．(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．2.研究象限角时应注意的问题(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：终边所在的位置角的集合x轴非负半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴非负半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴非正半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间是“＋”号，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(5)终边相同的角的表示不唯一.1．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B.2．下列说法正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．钝角一定是第二象限角C ．第一象限角一定不是负角D ．小于90°的角都是锐角答案 B解析 A 项，因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A 项错误；B 项，钝角一定是第二象限角，故B 项正确；C 项，因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C 项错误；D 项，因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D 项错误．综上，选B.3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案 －5 －60解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°(k∈Z)解析∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)．5．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z)∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.A级：基础巩固练一、选择题1．下列说法正确的个数是()①终边在x轴非负半轴上的角是零角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④第四象限角一定是负角．A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析①错，终边在x轴非负半轴上的角为k·360°，k∈Z，显然不只是零角；②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)；③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；④错，285°角为第四象限角，但不是负角．故选A.2．已知角α，β的终边相同，则角(α－β)的终边在()A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上答案A解析 ∵角α，β的终边相同，∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z .∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上，故选A.3．射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝( )A ．150°B ．－150°C ．390°D ．－390°答案 B解析 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．∴120°＋(－270°)＝－150°.故选B.4．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A ．k ·360°＋β(k ∈Z )B ．k ·360°－β(k ∈Z )C ．k ·180°＋β(k ∈Z )D ．k ·180°－β(k ∈Z )答案 B解析 因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝k ·360°(k ∈Z )，所以α＝k ·360°－β(k ∈Z )．故选B.5．若角α为第二象限角，则α3的终边一定不在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为角α为第二象限角，所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°，k ∈Z .对k 进行讨论，当k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，α3的取值范围分别为(n ·360°＋30°，n ·360°＋60°)，(n ·360°＋150°，n ·360°＋180°)，(n ·360°＋270°，n ·360°＋300°)，n ∈Z ，所以α3的终边落在第一或二或四象限，故选C.二、填空题6．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．答案－30°－360°解析经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.答案k·360°＋60°，k∈Z解析先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°.再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.8．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M________N．(填“”“”)答案解析M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，∵k∈Z，∴k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，∴M N.三、解答题9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.B级：能力提升练1．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角；(3)写出第二象限的角的一般表示法．解(1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．(2)由－180°<k ·90°＋45°<180°，得－52<k <32.又k ∈Z ，故k ＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k ·360°＋135°，k ∈Z .2．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.。
任意角导学案
一、情景引入二、新知讲授1、从旋转的角度认识角我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边重合． ,0αα=︒如果是零角那么这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle），包括正角、负角和零角2、相等角、角的加减相等角：设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.角的加减：设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.则α-β=α+(-β).【练习】如果固定始边为一条水平的射线，试着动手画画120°、−240°、480°得出结论：即使两个角的始边与终边重合，旋转过程不同的表示的角是不同的3、象限角我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如果角的终边落在坐标轴上，那就认为这个角不属于任何一个象限，也叫轴线角。
【练习】这几个角分别是第几象限的？①30° ②210° ③−225° ④270°4、终边相同的角探究将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？A、彼此之间相差整数倍圈B、度数差是360°的整数倍,,{|360,,,Z}S k k ααββααα==+⋅︒∈所有与角终边相同的角连同角在内可构成一个集合即任一与角终边相同的角都可以表示成角与整数一般地我们有：个周角的和.【练习】在0°～360°范围内，找出与-1014°50′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.【练习】1.写出终边在y 轴上的角的集合.【练习】2.写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来.【举一反三】写出直线y=-x 上的角的集合。
第一章第一节任意角导学案
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第一章第一节任意角导学案
参考资料：壶关县教育志
《壶关县教育志》是壶关县教育志编写办公室编纂的地方志。
内容介绍
1.结合具体实例，认识角的概念推广的必要性； 2.了解任意角的概念，能区分各类角的概念； 3.初步学会在平面直角坐标系内讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合； 4.通过类比学习任意角的概念，渗透类比的思想，培养观察、分析、归纳的思维能力及数学交流 的能力。
方法/步骤
变式反馈
1．的终边是第象限的角；
2．在角终边相同的角是
；
3．第一象限角的范围____________;
4．已知
(1)把写成的形式；
(2)求，使与的终边相同，且。
5、若是第三象限角，则-，，2分别是第几象限角。
参考资料：会计基础
《会计基础》是2020年北京理工大学出版社出版的图书。
参考资农。
参考资料：马克思主义基本原理概论（2015年修订版）
高中数学必修4任意角导学案
1.1.1任意角（导学案）学习目标（1）正确理解角的概念；（2）旋转与角的关系；（3）掌握终边相同角的表示及判断。
一．【复习回顾】（1）初中是如何定义角的？（2）初中，我们学习了角的范围是多少?（3）同学们画出一个角的示意图：二．【创设情境】在000360-的角我们可以顺利的画出，0361，0450等等一系列的角，我们怎么办呢？ 动手试一试三．【探究新知】知识点一 任意角1.角的概念：平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2.角的分类：（按旋转的方向）正角 示意图 负角 示意图 零角 示意图 角的范围知识点二 象限角在直角坐标系中，如果角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边落在 便称此角为第几象限角。
动手画一画：第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角思考：角的终边在坐标轴上，它属于第几象限角？列举终边在坐标轴上的角知识点三 终边相同的角[探究] 动手做一做，在直角坐标系迅速画出以下个角390︒，-330︒角，观察：它们的终边都与30︒角的终边？那么角1470︒，-1770︒呢？【结论】终边相同的角都可以表示此角与k (k ∈Z)个周角的和：[知识总结]：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：S={β| β=α+k·360º， k ∈Z}即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
四【例题解析】例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2) 640º；(3) －950º12′.例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.例3写出终边分别落在四个象限的角的集合五【课堂巩固 】一、选择题1．已知α是锐角，那么2α是（ ）．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180的正角D ．第一或第二象限角2．将885-化为360(0360,)k k Z αα+⋅≤<∈的形式是（ ）．A ．165(2)360-+-⨯B ． 195(3)360+-⨯C ．195(2)360+-⨯D ．165(3)360+-⨯3、 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系一定是 （ ）A ．α=－βB ．α+β=k ·360°(k ∈Z)C ．α－β=k ·360°(k ∈Z)D ．以上答案都不对4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝5、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角6、若α是第四象限的角，则α-180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角7．设集合{|90E x x =是小于的角｝，{|F x x =是锐角｝，={|G x x 是第一象限的角｝，{|M x x ＝是小于90，但不小于0的角｝，则下列关系成立的是（ ）．A ．B ．C ．(E G )D ．G M F =8．与1775终边相同的绝对值最小的角是（ ）．A ．175B ．75C ．25-D ．259．若{|360,}A k k Z αα==⋅∈；{|180,}B k k Z αα==⋅∈；{|90,}C k k Z αα==⋅∈，则下列关系中正确的是（ ）．C ．A B C ⊆=D ．A B C 刎二、填空题 10．在720-到720之间与1050-终边相同的角是___________．11．若α为第四象限角，则2α在_________．(填终边所在位置)12．终边在第一或第三象限角的集合是_________．13．已知集合{|6030,}M x x k k Z ==⋅+∈，{|3060,}N y y n n Z ==⋅+∈， 若MN α∈，且9090α-<<，则由角α组成的集合为__________． 三、解答题14．如果α是第三象限角，那么2α角的终边的位置如何？2α是哪个象限的角？15、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| , {}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A .16．设角α、β满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是___________．本节课小结：（谈谈本节课的收获与疑难点）课后作业：P5练习3，4，5.。
5.1.1 任意角 导学案(2)
【新教材】5.1.1 任意角（人教A版）1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．一、预习导入阅读课本168-170页，填写。
1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和．1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角都是锐角．( )(2)终边相同的角一定相等．( )(3)锐角都是第一象限角．( )(4)第二象限角是钝角．( )2、2 020°是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3、与30°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}4、将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．题型一 任意角和象限角的概念 例1 (1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°. 跟踪训练一1．已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A ．A ＝B ＝C B ．A ⊆C C ．A ∩C ＝BD ．B ∪C ⊆C2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 题型二 终边相同的角的表示及应用例2 (1)将－885°化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来． 跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( ) A ．230°12′ B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________． 题型三 任意角终边位置的确定和表示 例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角 (2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？1．若角αβ、的终边相同，则αβ-的终边在（） A.x 轴的正半轴上 B.x 轴的负半轴上 C.y 轴的正半轴上 D.y 轴的负半轴上2．在720-︒~0︒范围内所有与30︒角终边相同的角为（ ） A ．330-︒B ．690-︒C ．690-︒或330-︒D ．300-︒或330-︒3．下列叙述正确的是（ ）A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D ．钝角比第三象限角小4．（多选）若角α是第二象限角，则2α是（） A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角5．角a 的终边在第二象限，则a -的终边在第______________象限。
111 任意角导学案.doc
1.1.1任意角学习目标：1.理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念；2.会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；3.掌握区间角的集合的书写.学习重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写；学习难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.学习过程：一、问题情境你的手表慢了 5分钟，你是如何校准的呢？若你的手表快了 1.25小时，你是如何校准的呢？当时间校准后，分针和时针分别转了多少度呢？二、学生活动1.初中角的概念是如何定义的呢？2 .阅读体会：阅读教材P5前两段.3.讨论举例：请同学们举几个“大于360。
的角或按不同方向旋转而成的角”的例子，说明什么问题？如何表示和区分这些角呢？三、建构数学1.用运动的观点定义角：角可以看成 ___________________ 的图形.2.角的分类：_______ :按逆时针方向旋转形成的角._______ :射线没有任何旋转形成的角._______ :按顺时针方向旋转形成的角.注意：（1）在不引起混淆的情况下，“角a”或“Za”可以简化成“a”；（2）零角的终边与始边重合，如果a是零角a = 0° ；（3）角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.4.了解轴线角的概念；5.探究终边相同角之间的关系：探究：将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系中任意一条射线0B,以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同角有什么关系？结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：四、数学应用1.例题.例1在0。
〜360。
间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)120°(2) 660°(3) -950° 12'例2 (1)写出终边在v轴非负半轴上的角的集合;(2)写出终边在y轴非正半轴上的角的集合；(3)写出终边在x轴非负半轴上的角的集合；(4)写出终边在；c轴非正半轴上的角的集合.例3 (1)用集合的形式表示终边落在第一象限的角(2)写出终边落在v = ±x(x > 0)所夹区域内的角的集合2.练习.(1)钟表经过4小时，时针与分针各旋转_________ 和_______ (填度数).(2)锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？直角和钝角是第几象限的角？小于90°的角是锐角吗？(3)-角为30° ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_________ •若按顺时针方向旋转三周后呢？(4)在0度到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是哪个象限的角？①650°②一150°③一990° 15，五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1.掌握正角，负角和零角的概念；2.掌握象限角的概念，并会判断一个角是第几象限角;3.掌握终边相同角的表示方法和判断方法.。
任意角 导学案 高一数学人教A版第一册+
第五章 三角函数5.1.1 任意角【学习目标】1.了解任意角的概念;正确理解正角.零角.负角的概念；2.正确理解终边相同的角的概念,并能判断其为第几象限角,熟悉掌握终边相同的角的集合.【教学过程】一、复习引入初中对角的定义：把有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角（不考虑旋转方向）初中对角的定义的局限性和修改建议：①所涉及的角在00到0180之间，故而需要把角扩充到任意度数的角；②无法区分因旋转方向不同而造成的角的差异，故而应考虑方向问题。
二、知识整理：1.角的概念的推广(1) “旋转”形成角在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 旋转起始时的射线叫做角的 ，终止时的射线叫做角的 ，射线的端点叫做角的 .(2) 角的表示方法：①常用字母A ，B ，C 等表示； ②也可以用字母α.β.γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x 表示.(3) “正角”.“负角” 与“零角”①正角：如图1-1中，按逆时针方向旋转所得到的角为 ，即，α为正角；②负角：如图1-2中，按顺时针方向旋转所得到的角为 ，即，β为负角.③零角：我们规定：当一条射线没有旋转时，也把它看成一个角，叫做 .所以，零角的始边和终边重合.如果角α是零角，那么0α=︒.图1-1 图1-22. 终边相同的角与α有相同终边的角，连同α在内可以表示为3．轴线角与象限角今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角，平面内任意一个角都可以通过平移： O A B OA′ B′（1）使角的顶点与坐标 重合；（2）使角的始边和x 轴 重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是 的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做 .三、典型例题1.任意角的概念例1. 射线OA 绕端点O 顺时针旋转80到OB 位置，接着逆时针旋转250到OC 位置，然后再顺时针旋转270到OD 位置，通过作图求AOD ∠的大小.变式1．一昼夜时针转过多少度？2.终边相同的角例2．观察390°，0330-的角，它们的终边都与30°角的终边 .例3．请写出3个与30°角有终边相同的角并观察这三个角与30°角在数值上有什么关系.所以，与30α=︒有相同始边和终边的角，连同30°角在内可以表示成 小结：与α有相同始边和终边的角表示为_________________________________________变式2: 写出与下列各角终边相同的角所构成的集合S(1) 060 (2)030- (3)01803.轴线角的表示方法例4. 终边落在x 的正半轴上的角构成的集合为终边落在x 的负半轴上的角构成的集合为终边落在y 的正半轴上的角构成的集合为终边落在y 的负半轴上的角构成的集合为终边落在x 轴上的角构成的集合为终边落在y 轴上的角构成的集合为终边落在坐标轴上的角构成的集合为4.象限角的表示方法例5. 如果α是第一象限的角，那么所有α的取值集合怎么表示？变式3. 如果α是第二象限的角，那么所有α的取值集合怎么表示？如果α是第三象限的角，那么所有α的取值集合怎么表示？如果α是第四象限的角，那么所有α的取值集合怎么表示？四.小结提升：通过这节课的学习①你经历了什么样的过程？②你获得了什么样的知识、技能、方法？③你感受最深的是什么？五、练习巩固1.时针从1点转到6点所成的角是（ ）A.0120B. 0120-C. 0150D. 0150-2.在直角坐标系中，下列各语句中正确的有（ ）个(1)第一象限的角一定是锐角； （2）终边相同的角一定相等；(3)相等的角，终边一定相同； （4）小于90○的角一定是锐角；A ．1 B. 2 C. 3 D. 43.设A={θ∣θ为锐角}，B={θ∣θ为小于900的角}， C={θ∣θ为第一象限的角} D={θ∣θ为小于900的正角}。
高一上学期数学人教A版 必修第一册5.1.1《任意角》导学案
高一数学必修一5.1.1任意角导学案【学习目标】：1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；2.能在指定范围内,找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合；4、熟练掌握象限角与轴线角的集合表示；5.会写出某个区间上角的集合.【学习重点】：任意角的概念；区间角的表示.把终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来；区间角的表示.活动一 角的概念的推广///////////课前准备///////////情境1:请同学们向右转90°,再向左转90°,再转180°情境2:在初中,我们已经学习过的角有哪些?它们的范围是多少?情境3:在体操、跳水运动中,有“转体720°”“翻腾两周半”这样的动作名称,“720°”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720°”是怎样的一个角?///////////数学建构///////////1．角的定义：一个角可看做平面内一条射线绕着 从 旋转到 所形成的图形， 称为角的顶点，射线旋转的 和 称为角的始边和终边.2．角的分类：正角：按 方向旋转形成的角叫做正角；负角：按 方向旋转形成的角叫做负角；零角： .3.象限角：为了研究方便今后我们常以角的顶点为 ，角的始边为 建立直角坐标系，这样角的终边在第几象限就说这个角是 .例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角.轴线角：若角的终边在 ，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270等等.4．终边相的角的集合： .活动二 知识运用例1、在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角？（1）650 （2）150- （3）99015'-例2、根据角α的终边所在位置，写出角α的集合：1（1）在y 轴的非负半轴上： .（2）在第二象限的角平分线上： .2（1）在y 轴上：（2）在一、三象限的角平分线上： .（3）在坐标轴上： .3（1）在第一象限： .（2）在第一和第三象限： .例3、如图，α，β分别为终边落在OM 、ON 位置上的两个角，且30α=︒，300β=︒(1)终边落在阴影部分，且在区间[]0,300︒︒时所有角的集合；(2)求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合。
4.1任意角 -导学案
任意角、弧度制及任意角的三角函数一、预习案（—）高考解读1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.（二）知识请单1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内______________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的________；②分类：角按旋转方向分为______、________和________．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝________________.2．弧度制(1)定义：把长度等于________长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝________ rad,1°＝________ rad，1 rad＝________.(3)扇形的弧长公式：l＝________，扇形的面积公式：S＝________＝________. 3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________(x≠0)．（三）知识拓展1．三角函数值的符号规律：三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．（四）通过预习你想达到什么样的效果？请写出你的困惑。
二、导学案：（一）完成《新亮剑》查缺补漏（二）高考类型考点一 任意角的三角函数训练： 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值．考点二 三角函数的符号和角的位置的判断【例1】 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 求sin α，cos α，tan α的值．【例2】►(1)已知cos θ·sin θ<0，那么角θ是( )．A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第二或第四象限角D ．第一或第四象限角(2)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限．【训练2】 已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，问点P (tan θ，cos θ)在第几象限？考点三弧度制的应用【例3】►已知扇形的圆心角是α，半径为R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【训练3】已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长 AB＝12 cm，求弧长l. 课堂总结：三、巩固案1．(2018·广州质检)点P 的坐标为(2,0)，射线OP 顺时针旋转2 010°后与圆x 2＋y 2＝4相交于点Q ，则点Q 的坐标为( )A ．(－2，2)B ．(－3，1)C ．(－1，3)D ．(1，－3)2.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π63．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第四象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．4．(2017·烟台模拟)若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.5．(2018·石家庄质检)已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2的终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．今日收获：。
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1.1.1任意角
学习目标：
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；
学习重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
学习难点:把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
新知导学
1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示：如图
①顶点：射线的端点O；
②始边：射线的起始位置OA；
③终边：射线的终止位置OB.
(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
（4）第四象限角的集合：_______________________________________
轴线角的集合
（1）终边在 轴正半轴的角的集合：_______________________________________
（2）终边在 轴负半轴的角的集合：_______________________________________
（3）终边在 轴正半轴的角的集合：_______________________________________
（4）终边在 轴负半轴的角的集合：_______________________________________
（5）终边在 轴上的角的集合：_______________________________________
(1)k·90°与k·180°＋90°(k∈Z)；
A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z
2．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在( )
A．第一或第三象限B．第二或第三象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
3．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
（6）终边在 轴上的角的集合：_______________________________________
（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．
2．－1 120°角所在象限是( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________．
4．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
5．判断下列各组角中，哪些是终边相同的角．
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
二、填空题
7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．
8．经过10分钟，分针转了ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______度．
9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．
10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
A．A＝BB．B＝C
C．A＝CD．A＝D
4．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
5．集合M＝ ，
P＝ ，则M、P之间的关系为( )
A．M＝PB．M<P
C．M>PD．M∩P＝∅
6．已知α为第三象限角，则 所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
①485°；②－35°；③770°；④－500°.
类型三 终边相同的角的应用
【例3】 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．
类型四 区域角的表示
【例4】 写出终边落在阴影部分的角的集合．
作业设计
一、选择题
1．与405°角终边相同的角是( )
题型探究
类型一 角的概念问题
【例1】 在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；
②第二象限角大于第一象限角；
③钝角都是第二象限角；
④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．
类型二 象限角的判定
【例2】 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．
如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。
象限角的集合
（1）第一象限角的集合：_______________________________________
（2）第二象限角的集合：_______________________________________
（3）第三象限角的集合：_______________________________________
三、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
拓展提升
1．下列角中终边与330°相同的角是( )．
A．30° B．－30°
C．630° D．－630°
定义
图示
正角
按________________形成的角
负角
按________________形成的角
零角
一条射线________________，称它形成了一个零角
2．象限角、轴线角的概念
我们常在内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。