必修4-任意角和弧度制-练习题整理

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高一数学训练习题参考答案

数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°，得θ=k•60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l=20－2r,∴S= lr= (20-2r)•r=－r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,θ= ，且 <θ< π，∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9. 或π； 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（ ,- ）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= － ==sinx+cosx13.左边=tan2θ－sin2θ= －sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得：sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②，两式推出sinα= ，因为α∈(- , )，所以α= 或- ；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β= ，于是存在α= ，β= 或α=- ，β= ，使两等式同时成立。

任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案

任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )，当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数练习题

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四解析：因P 点坐标为(－22，－22)，∴P 在第三象限．答案：C3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案 C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点(x,2)，则P 点的横坐标x 是( )．A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解析由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得，x ＝－2 3.答案 D5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( )A.45-B.35-C.35D.45解析设(,2)P a a 是角θ终边上任意一点,则由三角函数定义知:cos θ=,所以223cos 22cos 12(15θθ=-=⨯-=-,故选B. 答案 B6．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )．A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m ＞0，∴m ＝12. 答案 B7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A 二、填空题8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限．答案二10.弧长为3π,圆心角为135的扇形的半径为 ,面积为 .解析由扇形面积公式得：12lR =6π.答案 4；6π11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形．答案钝角三角形 12．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________．解析由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z)三、解答题13． (1)确定tan －3cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0， ∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0.14．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解析：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 15．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 16．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·c os β＋tan α·tan β的值．解析由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2aa 2＋－2a2＝－25， cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a2＋a2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。

任意角的概念与弧度制知识点习题附答案

典型题一有关角的概念的问题
1.下列命题正确的是：（）
A.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于 900 的角都是锐角。
2.下列结论：①第一象限角都是锐角
②锐角都是第一象限角
③第一象限角一定不是负角
④第二象限角是钝角
⑤小于 180°的角是钝角、直角、或锐角。
4.与角终边相同的角的集合为 k 360 , k k 180 45, k
1）终边落在 y=x 上：
45 +k 360, k
2）终边落在第一象限角平分线上：
5.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。以弧度为单位来度量角的单位制度叫弧度制。
C.3 个
D.4 个
2.[四川遂宁 2019 高一测试]将表的分针拨慢 20 分钟,则分针转过的角的弧度是（
）
A. 2 3
B. 3
C. 2 3
D.
3
3.已知扇形的周长为 6cm,半径是 2cm,则扇形的圆心角的弧度数是（）
A．4
B.1
C.1 或 4
D.2
4.若角α是第二象限角,则是(
)
2
D. α-β=90°+ k 360 （k∈Z）
12.已知角α与β的终边关于 y 轴对称，则α与β的关系为（）
A. α-β=π+2kπ B. α-β=π +2kπ
2
13.若α=2kπ+π （k∈Z），则α的终边在（
3
3
2
C. α+β=2kπ ）
A．第一象限
B．第四象限

任意角和弧度制测试题(含解析)

任意角和弧度制测试题一、单选题1.在单位圆中，200∘的圆心角所对的弧长为( )A. 7π10B. 10π9C. 9πD. 10π二、多选题2.给出下列说法正确的有()A. 终边相同的角同一三角函数值相等；B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；C. 若sinα=sin⁡β，则α与β的终边相同；D. 若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角3.下列说法错误．．的是．( )A. 若角α=2rad，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C. 若角α为第一象限角，则角α2也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为3π2cm24.下列结论正确的是( )A. 是第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C. 若角的终边过点，则D. 若角为锐角，则角为钝角三、填空题5.(1)第三象限角的集合表示为(以弧度为单位)．(2)弧度数为3的角的终边落在第象限．(3)−2π3弧度化为角度应为．(4)与880∘终边相同的最小正角是.(5)若角α的终边经过点A(−2,3)，则tanα值为．(6)已知扇形的圆心角α=2π3，半径r=3，则扇形的弧长l为．6.下列说法中，正确的是.(填序号)①第一象限的角必为锐角；②锐角是第一象限的角；③终边相同的角必相等；④小于900的角一定为锐角；⑤角α与−α的终边关于x轴对称；⑥第二象限的角必大于第一象限的角．7.集合{α|k⋅180∘+45∘⩽α⩽k⋅180∘+90∘,k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是(填序号)．8.−600°是第象限角，与−600°终边相同的最小正角为弧度．9.线段OA的长度为3，将OA绕点O顺时针旋转120∘，得到扇形的圆心角的弧度数为，扇形的面积为．四、解答题10.已知角β的终边在直线y=−x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360°<β<360°的元素．答案和解析1.⁡B 根据弧长公式，l =nπR 180，代入计算即可．2.⁡AB 解：对于A ，由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，故A 正确；对于B ，不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，故B 正确；对于C ，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角或θ的终边落在x 轴的非正半轴上，故D 错误． 3.⁡BCD 解：对于选项A .若角α=2rad ，2∈(π2,π)，则角α为第二象限角，正确；对于选项B .将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−30°，故错误；对于选项C .若角α为第一象限角，2kπ<α<π2+2kπ,k ∈Z ，则kπ<α2<π4+kπ,k ∈Z ，当k =2n ，n ∈Z 时，2nπ<α2<π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第一象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，2nπ+π<α2<5π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第三象限角；则角α2是第一或第三象限角，故错误；对于选项D .扇形面积为30°π·32360°=3π4cm 2，故错误． 4.⁡BC 解：A 、−7π6=−2π+5π6，所以−7π6与5π6终边相同，是第二象限角，所以不正确； B 、若圆心角为π3的扇形半径为r ，由弧长为π3⋅r =π，则半径r =3，所以该扇形面积为12×π×3=3π2，正确；C 、若角α的终边过点P(−3,4)，则r =√(−3)2+42=5，cos α=−35，正确； D 、若角α为锐角，设α=30∘，则角2α=60∘为锐角，所以不正确． 5.解：(1)第三象限角的集合表示为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}．故答案为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． (2）∵π2<3<π,∴弧度数为3的角为第二象限角，故其终边落在第二象限，故答案为二．(3)−2π3=−23×180°=−120°，故答案为−120∘．(4)与880∘终边相同的角α=880°+360°×k (k ∈Z )，当k =−2时，α=160∘即为最小正角，故答案为160∘．(5)根据任意角三角函数的定义，可知tanα=y x =−32，故答案为−32． (6)l =|α|·r =2π，故答案为2π． 6.解：命题①，390°角的终边在第一象限内，但不是锐角，故说法错误;命题②，锐角是第一象限角，故说法正确;命题③，390°角与30°角的终边相同，但两个角不相等，故说法错误;命题④，−30°小于90°，但不是锐角，故说法错误;命题⑤，角α与角−α的终边关于x 轴对称，故说法正确;命题⑥，120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，120°小于390°，故说法错误．故答案为②⑤．7.解：集合{α|k ⋅180∘+45∘⩽α⩽k ⋅180∘+90∘,k ∈Z}中，当k 为偶数时，集合为 {α|n ⋅360∘+45∘⩽α⩽n ⋅360∘+90∘,n ∈Z}，当k 为奇数时，集合为 {α|n ⋅360∘+225∘⩽α⩽n ⋅360∘+270∘,n ∈Z}，符合题意的只有③8.解：由−600°=(−2)×360°+120°，∴−600°在第二象限，∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°=2π3，故答案为二；2π3． 9.解：由题意得扇形的圆心角α=−120∘ =−2π3，故扇形的面积S =12|α|⋅|OA|2= 12×2π3×9=3π．10.解：(1)直线y =−x 过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°～360°范围内，终边在直线y =−x 上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y =−x 上的角的集合S ={β|β=135°+k ·360°,k ∈Z}∪{β|β=315°+k ·360°,k ∈Z}={β|β=135°+2k ·180°,k ∈Z}∪{β|β=135°+(2k +1)·180°,k ∈Z} ={β|β=135°+n ·180°,n ∈Z}．(2)由于−360°<β<360°，即−360°<135°+n ·180°<360°，n ∈Z ．解得−114<n <54，n ∈Z.所以n =−2，−1，0，1．所以集合S 中适合不等式−360°<β<360°的元素为：135°−2×180°=−225°；135°−1×180°=−45°；135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°；⁡(2)在集合S 内，分别取k =−2，−1，0，1，可得适合不等式−360°<β<360°的元素．。

高中数学总复习练习题---任意角和弧度制(解析版)

高中数学总复习练习题专题47 任意角和弧度制一、选择题1．（2019·广西高一期末（文））150o 化成弧度制为（） A.56πB.4π C.23π D.3π 【答案】A【解析】由题意可得51501501806ππ=⨯=o，故选：A. 2．把85π-化为角度是（） A.96-o B.144-oC.288-oD.576-o【答案】C【解析】由题意，根据角度制和弧度制的互化，可得8818028855π-=-⨯=-o o . 故选：C.3．下列角的终边与37o 角的终边在同一直线上的是（） A.37-o B.143oC.379oD.143-o【答案】D【解析】与37o 角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅o o ，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-o o o ，所以，143-o 角的终边与37o 角的终边在同一直线上. 故选：D ．4．与468-o 角的终边相同的角的集合是（）A.{}360456,k k Z αα=⋅+∈ooB.{}360252,k k Z αα=⋅+∈ooC.{}36096,k k Z αα=⋅+∈ooD.{}360252,k k Z αα=⋅-∈oo【答案】B【解析】因为4682360252-=-⨯+o o o ，所以252o 角与468-o 角的终边相同，所以与468-o 角的终边相同的角的集合为{}360252,k k Z αα=⋅+∈o o. 故选：B ．5．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α（）A.是第三象限角B.是第四象限角C.是第三或第四象限角D.不是象限角【答案】D【解析】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角．故选：D.6．已知角α的终边落在x 轴的非负半轴上，则角2α的终边落在（） A.x 轴的非负半轴上 B.x 轴上 C.y 轴的非负半轴上 D.y 轴上【答案】B【解析】由题意，知()360k k Z α=⋅∈o，则()1802k k Z α=⋅∈o .当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则3602n α=⋅o ，此时，角2α的终边在x 轴的非负半轴上；当k 为奇函数时，设()21k n n Z =+∈，则()()211801803602n n n Z α=+⋅=+⋅∈o o o ，此时，角2α的终边在x 轴的非正半轴上. 综上所述，角2α的终边在x 轴上.故选：B ．7．（2019·河南高一期末）已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A.53πB.23π C.52πD.2π 【答案】C【解析】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C8．（2019·山东高一期末）下列各角中，与角6π终边相同的角是（） A.136π-B.116π-C.116πD.196π【答案】B 【解析】角6π终边相同的角可以表示为2,()6a k k Z ππ=+∈，当1k =-时，6a 11π=-，所以答案选择B 9．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{}1804518090,k k k Z αα⋅+≤≤⋅+∈oooo中的角α的终边在图中的位置（阴影部分）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则有3604536090n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于4590o o :角终边所在的区域；当k 为奇数时，设()21k n n Z =+∈，则有360225360270n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于225270o o :角终边所在的区域.故选：C.10．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（） A ．4 B ．2C ．4πD ．2π【答案】A【解析】由已知得，=24l θ=，，又因为弧长l R θ=，所以扇形的半径=2R ，所以面积11=42=422S lR =⋅⋅．选A ．11．（2019·安徽高三月考（文））已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A.45B.5C.12D.45或5 【答案】D【解析】据题意，得27,1 2.5,2l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得5,22r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,5,r l =⎧⎨=⎩所以45l r =或5.故选D . 12．（2019·湖北高三月考（文））《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )A.2+43B.13+2C.2+83D.4+83【答案】A 【解析】如图，由题意可得23AOB π∠=，在Rt AOD ∆中，,36AOD DAO ππ∠=∠=，所以2OB OD =，结合题意可知矢2OB OD OD =-==，半径4OB =，弦2216443AB AD ==-= 所以弧田面积12=（弦⨯矢+矢2）21(4322)4322=+=，故选A. 二、填空题13．（2019·上海交大附中高一开学考试）2018°是第________象限角. 【答案】三【解析】20185360218=⨯+o o o Q ，又218o 是第三象限角，所以2018o 也是第三象限角. 故答案为：三.14．（2019·上海市吴淞中学高一期末）圆心角为60︒的扇形，它的弧长为2π，则该扇形所在圆的半径为______. 【答案】6 【解析】263l r r r παπ===∴=故答案为：615．（2018·江西高一期末）扇形的半径为1cm ，圆心角为30°，则该扇形的弧长为________cm 【答案】6π【解析】圆弧所对的圆心角为30°即为6π弧度，半径为1cm 弧长为l ＝|α|•r 6π=⨯16π=（cm ）．故答案为：6π． 16．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）若角α与角3-2π终边相同（始边相同且为x 轴正半轴），且302πα≤＜，则=α______．【答案】2π 【解析】因为角α与角32π-终边相同（始边相同且为x 轴正半轴），所以322k παπ=-，k ∈Z ，又因302πα≤<，所以当1k =时，2πα=.故答案为：2π 三、解答题17．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【答案】(1) {α|＋2k π<α<＋2k π，k ∈Z}；(2) {α|－＋2k π<α≤＋2k π，k ∈Z}；(3){α|k π≤α≤＋k π，k ∈Z}；(4) {α|＋k π<α<＋k π，k ∈Z}. 【解析】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)若将终边为OA 的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转πrad 而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．18．已知1570α=-o ，2750α=o，135βπ=，23βπ=-．（1）将12,αα用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；（2）将12,ββ用角度制表示出来，并在720,180⎡⎤--⎣⎦o o内找出与它们终边相同的所有角．【答案】（1）1196πα=-终边位于第二象限，2256πα=终边位于第一象限；（2）12108,60ββ==-o o，与1β终边相同的角为252-o 和612-o ，与2β终边相同的角为420-o .【解析】（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得：1195705701806ππα=-=-⨯=-o oo， 2257507501806ππα==⨯=o o o，又由1195466ππαπ=-=-+，所以1α与角56π的终边相同，所以1α终边位于第二象限；225466ππαπ==+，所以2α与角6π的终边相同，所以2α终边位于第第一象限.（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得131085βπ==o ，2603βπ=-=-o ，根据终边相同角的表示，可得与1β终边相同的角为1360108,k k Z θ=⨯+∈o o，当1k =-时，1360108252θ=-+=-o o o ；当2k =-时，12360108612θ=-⨯+=-o o o. 与2β终边相同的角为236060,k k Z θ=⨯-∈o o ，当1k =-时，136060420θ=--=-o o o.19．在角的集合{}|9045,k k αα︒︒=+∈Z g，（1）有几种终边不同的角？（2）写出区间(180,180)︒︒-内的角？（3）写出第二象限的角的一般表示法．【答案】(1) 4种．(2) 135,45,45,135︒︒︒︒--．(3) 360135,k k ︒︒+∈Z g ．【解析】（1）由题知9045,k k α︒︒=+∈Z g ，令0,1,2,3k =，则45,135,225,315α︒︒︒︒=， ∴在给定的角的集各中，终边不同的角共有4种．（2）由1809045180,k k ︒︒︒︒-<+<∈Z g ，得53,22k k -<<∈Z ，∴2,1,0,1k =--， ∴在区间(180,180)︒︒-内的角有135,45,45,135︒︒︒︒--．（3）由（1）知，第二象限的角可表示为360135,k k ︒︒+∈Z g ．20．已知扇形面积为225cm ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．【解析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，扇形的周长为y ，则2y l R =+．由题意，得1252lR =，则50l R =，故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭．利用函数单调性的定义，可得当05R <…时，函数502y R R=+是减函数；当5R >时，函数502y R R=+是增函数．所以当5R =时，y 取得最小值20，此时10l =，2lRα==，即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．21．（2019·宁夏银川一中高一期中）已知在半径为的圆中，弦的长为.（1）求弦所对的圆心角的大小；（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.（2）因为，所以.，又，所以.22．已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R ．（1）若,6cm 3R απ== ，求该扇形的弧长l ．（2）若扇形的周长为12cm ，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．【答案】（1）2π；（2）2α=，扇形的最大面积为29cm . 【解析】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为623l R παπ==⨯=；（2）由题意，扇形的周长为12cm ，所以212R l +=，可得122l R =-，又由扇形的面积公式，可得2211(122)6(3)922S lR R R R R R ==-=-+=--+, 当3R =时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为29S cm =，此时1226l R =-=，即36R αα=⨯=，解得2α=.。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。

(完整版)任意角和弧度制知识点和练习

知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ．知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。

必修四任意角和弧度制课时练习含答案

必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第象限角。

高中数学必修四同步练习题库：任意角和弧度制(简答题：容易1,较易8,一般26,较难29,困难30)

任意角和弧度制（简答题：容易1，较易8，一般26，较难29，困难30）1、把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.2、如果角的终边经过点，试写出角的集合，并求集合中最大的负角和绝对值最小的角.3、已知扇形的中心角为，扇形所在圆的半径为，若扇形的面积值与周长值的差为，求的最小值及对应的值.4、扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3 cm2，求圆心角的大小．5、（本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为．（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围．6、一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.7、一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.8、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积．9、写出如图所示阴影部分的角α的范围．10、如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长．11、已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）.12、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：（I）弧的长；（II）扇形所含弓形的面积 (即阴影面积)．13、一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．14、在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．15、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.（1）若，，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.16、已知一个扇形的半径为，圆心角为，求这个扇形的面积。

必修四任意角和弧度制测试

任意角和弧度制测试题班级_____ 姓名______ 分数_____一、选择题（每小题5分，共115分）1、下列角中终边与330°相同的角是（）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝5、下列各题正确的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④8.若α是第一象限的角，则-2α是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角9.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等10.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上11.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称12.集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z}与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z} 之间的关系是( )A.X YB.X YC.Ｘ=YD.X ≠Y13.设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )A.-360°＜α-β＜0°B.-180°＜α-β＜180°C.-180°＜α-β＜0°D.-360°＜α-β＜360° 14．下列命题中正确的是（）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z ) 15．设k ∈Z ，下列终边相同的角（）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60° 16．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 17．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（） A ．70 cm B ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm18．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．以上都不对 19．集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于（） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 20．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（）A ．2°B ．2C ．4°D ．421．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为（）A ．2B ．3C ．1D ．23 22．弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（） A ．（344-9π） cm 2 B ．（344-3π ）cm 2 C ．（348-3π）cm 2 D ．（328-3π） cm 2 23．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k 6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的（）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M24、下列各角中与240°角终边相同的角为（）A ．２π３B ．－５π６C ．－２π３D ．７π６二、填空题（每小题5分，共15分）25．与－1050°终边相同的最小正角是26．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是27．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．28．若角α是第三象限角，则2α角的终边在： .三、解答题（20分）29.扇形周长为10，面积为4，求扇形中心角和弓形面积30．已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？答案BDDDD BCDCC BCADA BDBCB ACC C 25、30 26、]2,2(),23(πππ⋃-- 27、二或四象限28．{α|α=k ·360°+135°,k ∈z }。

高中数学必修4 (王后雄电子版)

第1章节三角函数1．1 任意角和弧度制【例题1】下列命题正确的是（）A. 终边相同的角一定相等B. 第一象限角都是锐角C. 锐角都是第一象限角D.小于90°的角都是锐角【例题2】给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。

其中正确的命题有（）。

A.1个B.2个C. 3个D.4个【例题3】如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆商，且∠＝45°。

点P 从点A 处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。

已知点P 在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A ，求θ，并判断其所在的象限【例题4】设E ＝{小于90°的角}，F ＝{锐角}。

G ＝{第一象限的角}，M ＝{小于90°但不小于0°的角}，则有（）。

A ．B ．C ．（）D ．【例题5】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。

（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）360°~720°的角。

【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是（）A ．{}00360457,k k Z αα=⋅+∈B ．{}0036097,k k Z αα=⋅+∈C ．{}00360263,k k Z αα=⋅+∈D ．{}00360263,k k Z αα=⋅-∈ 【例题7】下列各命题中，假命题是（）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C. 根据弧度的定义，180°一定等于π的弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关。

【例题8】若两角的和是1弧度，此两角的差是1°，试求这两个角的大小。

任意角和弧度制专题训练

模块专题训练姓名：__________班级：__________学号：________单调性·奇偶性1、设函数f (x ),(x ∈R )为偶函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝_________________2、已知)(x f y =为奇函数，当0≥x 时)1()(x x x f -=，则当0≤x 时，则=)(x f _____________.3、设函数)(x f 是奇函数，当),0(+∞∈x 时，1)(-=x x f ，则使不等式x x f 的0)(>的取值范围是_________________________.4、已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)单调递减，则满足)31()12(f x f <-的x 取值范围是___________________________.5、已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则()f x 的解析式为_______________________________． 6、f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2指数与指数函数【基本训练】：1. 2)21(-=x y +2的定义域是_____________，值域是______________，在定义域上，该函数单调递_________.2.已知)1,0()(≠>=-a a a x f x ，当)1,0(∈a 时，)(x f 为（填写增函数或者减函数）；当)1,0(∈a 且∈x 时，)(x f >1.3.若函数31+=+-x a y 的图象恒过定点 .4. (1)函数x ay )1(=和)1,0(≠>=a a a y x 的图象关于 _ 对称.(2)函数x a y =和)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象关于对称.5.比较大小5.05.015,23________________. 【典型例题讲练】1、已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，求x 的范围.2、函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，求a 值.3、求函数322--=x x a y 的单调减区间.任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α(B) 90°+α (C)360°-α(D)180°+α2. 下列角中终边与330°相同的角是（）(A)30° (B)-30° (C)630° (D)-630° 3.－1120°角所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π(C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π*6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题： ①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个(B)2个 (C)3个 (D)4个7.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k Z ∈） ( ) (A) +=αβπ （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) +=(2k+1)αβπ二.填空题8.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 9. 2312rad π-化为角度应为 . 10.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍.11、若角α是第三象限角，则2α角的终边在，2α角的终边在 . 12.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．三.解答题13、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）210-；（2）731484'-．14、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|,{| 360- 210 360,}B x k x k k Z =⋅<<⋅∈o o o ,求 A B I ，A B U .15、如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.。

高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案

高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案一、选择题1．若一个扇形的面积是2π，半径是23 ，则这个扇形的圆心角为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．π3答案：D解析：设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S ＝12 θr 2，所以θ＝2S r 2 ＝4π（23）2 ＝π3 ，故选D.2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( ) 参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172° A ．sin 1>sin 2>sin 3 B ．sin 2>sin 1>sin 3 C ．sin 1>sin 3>sin 2 D ．sin 3>sin 2>sin 1 答案：B解析：因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y ＝sin x 在0°<x <90°时是增函数，所以sin 8°<sin 57°<sin 65°，即sin 2>sin 1>sin 3，故选B.3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角答案：C解析：由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2k π＋π2 <θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<θ2 <k π＋π2 (k ∈Z )，∴θ2为第一或第三象限角． 4．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3 x 上，则角α的取值集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z答案：D解析：∵y ＝－3 x 的倾斜角为23π，∴终边在直线y ＝－3 x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z .5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：设扇形的圆心角为θ，半径为R ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6，得θ＝3．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45 ，则cos α·tan α的值是( )A.－45 B ．45C ．－35D ．35答案：A解析：由三角函数的定义知cos α＝35 ，tan α＝－4535＝－43 ，∴cos αtan α＝35 ×⎝⎛⎭⎫－43 ＝－45. 7．给出下列各函数值：①sin (－1 000°)；②cos (－2 200°)；③tan (－10)；④sin 710πcos πtan 179π；其中符号为负的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：C解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角， ∴sin (－1 000°)>0；又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角， ∴cos (－2 200°)>0；∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角， ∴tan (－10)<0；∵sin 710 π>0，cos π＝－1，179 π＝2π－π9，为第四象限角， ∴tan 179 π<0，∴sin 710πcos πtan 179π>0.8．已知角θ的终边经过点P (x ，3)(x <0)且cos θ＝1010x ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．－3D ．－223答案：A 解析：∵r ＝x 2＋9 ，cos θ＝xx 2＋9 ＝1010 x ，又x <0，∴x ＝－1.9．(多选)下列结论中正确的是( )A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限角或第三象限角C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度答案：ABD解析：若0<α<π2 ，则sin α<tan α＝sin αcos α，故A 正确；若α是第二象限角，即α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π ，k ∈Z ，则α2 ∈⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2 ，k ∈Z ，所以α2为第一象限或第三象限角，故B 正确；若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k|5k |，不一定等于45 ，故C 错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，圆心角的大小为22＝1弧度，故D 正确．故选ABD.二、填空题10．已知扇形的圆心角为π6 ，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案：π3解析：设扇形所在圆的半径为r ，则弧长l ＝π6 r ，又S 扇＝12 rl ＝π12 r 2＝π3，得r ＝2，∴弧长l ＝π6 ×2＝π3.11．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，则sin α＝________．答案：－45解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ ＝－5cos θ，故sin α＝－45.12．已知角α的终边经过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m ＝________.答案：12解析：由题可知P (－8m ，－3)，∴cos α＝－8m64m 2＋9 ＝－45 ，得m ＝±12，又cos α＝－45 <0，∴－8m <0，∴m ＝12 .。

数学必修4达标训练：1.1任意角、弧度含解析精品

更上一层楼基础·巩固1.我国于2005年10月12日从酒泉载人航天发射场发射升空的“神舟”六号飞船遨游太空115小时又32分，在预定轨道上环绕地球运行了77圈，巡天325余万公里后，在内蒙古安全着陆.我国载人航天第二次载人飞行获得圆满成功！“神舟”六号飞船绕地球转的角度为( )A.154πB.277 200°C.77πD.13 860°思路解析：绕地球一周转过的角度为360°或2π.由于飞船环绕地球运行了77圈，则转过的角度为2π×77=154π或360°×77=27 720°.答案：A2.下列命题中,真命题是( )A.1弧度是1度圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位思路解析:本题利用的是弧度制下的度量单位1弧度的概念,则可根据1弧度的概念对照各选项进行判断即可.答案：D3.与-462°角终边相同的角可以表示为( )A.k·360°+462°，k ∈ZB.k·360°+102°，k ∈ZC.k·360°+258°，k ∈ZD.k·360°-258°，k ∈Z思路解析：解此题只要在462°、102°、258°、-258°这四个角中找出与-462°角终边相同的角即可.通过运算不难得出258°角的终边与-462°角的终边相同，所以与258°角终边相同的角也与-462°角的终边相同.答案：C4.4弧度的角所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路解析：利用角度制与弧度的换算关系化为角度制,再进行判断.答案：C5.扇形的周长是16，圆心角是2 rad ，则扇形的面积是( )A.16πB.32πC.16D.32思路解析：解题时可设扇形的半径为r,则由题意得r+r+2r=16，即r=4，扇形的弧长为l=2r=2×4=8，扇形的面积是S 扇=21l·r=21×８×４=16．答案:C6.设A=｛θ|θ为正锐角｝，B=｛θ|θ为小于90°的角｝，C=｛θ|θ为第一象限角｝，D=｛θ|θ为小于90°的正角｝，则( )A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D思路解析：A=｛θ|0°＜θ＜90°｝，B=｛θ|θ＜90°｝，C=｛θ|k·360°＜θ＜k·360°+90°，k ∈Z ｝，D=｛θ|0°＜θ＜90°｝，显然A=D.答案：D7.在-720°到720°之间与-1 000°角终边相同的角是_______________________.思路解析：与角-1 000°终边相同的角的集合是S=｛α|α=-1 000°+k·360°，k ∈Z ｝，S 中适合-720°≤α＜720°的元素是-1 000°+1×360°=-640°，-1 000°+2×360°=-280°，-1 000°+3×360°=80°，-1 000°+4×360°=440°.答案：-640°，-280°，80°，440°8.与-1 050°角终边相同的最小正角是______________________.思路解析：由于最小正角的范围在0°到360°之间，则找与-1 050°角终边相同的最小正角只需除以360°取余数即可，即即-1 050°=30°-3×360°.答案：30°9.一圆弧长度等于其内接正三角形边长,则其所对圆心角的弧度数为____________________. 思路解析：本题利用圆心角公式.半径为R 的圆内接正三角形边长为R 3,故弧长为R 3的弧所对的圆心角的弧度数为33=RR . 答案：310.若角α的终边与6π的终边关于直线y=x 对称,且α∈(-4π,4π),求角α的取值集合. 思路分析：本题利用终边相同的角的表示方法,解题时先在［0,2π)内找出与6π的终边关于直线y=x 对称的角,再利用终边相同的角表示出来,最后根据范围求解即可.解：在［0,2π)内找出与6π的终边关于直线y=x 对称的角为3π, 则与6π的终边关于直线y=x 对称的角的集合为{β|β=2kπ+3π,k ∈Z }. 又由于α∈(-4π,4π),则有-4π＜2kπ+3π＜4π,解得-613＜k ＜611. 又k ∈Z ,∴k=-2,-1,0,1.∴α=-311π,-35π,3π,37π. 综合·应用11.若角α的终边与45π的终边关于x 轴对称,且-4π＜α＜-2π,那么α等于( ) A.-2π-43π B.-2π-4π C.-2π-45π D.-2π-411π 思路解析：先在［-2π,0)范围内找出与45π终边相同的角,然后再根据所给范围进行判断排除. 答案：A12.若角α和β的终边关于y 轴对称，则必有( ) A.α+β=2π B.α+β=(2k+1)π,k ∈ZC.α+β=2kπ,k ∈ZD.α+β=2kπ+2π,k ∈Z 思路解析：α与π-α的终边关于y 轴对称，则角β只要与π-α终边相同，它就与α关于y 轴对称.由于α与π-α的终边关于y 轴对称，则有β=2kπ+π-α,k ∈Z ，即α+β=(2k+1)π,k ∈Z . 答案：B13.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_______________________.思路解析：应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角，其中有正角、负角等无穷多个角，要求出这些角需先求出负角中绝对值最小的角.由表盘可知，绝对值最小的负角为-(4+1211)·30°=-147.5°，则所求的角为k·360°-147.5°(k ∈Z ). 答案：k·360°-147.5°(k ∈Z )14.已知直径为10 cm 的滑轮上有一条长为6 cm 的弦，P 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度转动，则经过5 s 后，点P 转过的弧长是_______________________.思路解析：本题考查弧长公式的应用.解题时,先利用圆中半径、弦、弦心距间的关系求出OC 的长度,再由已知求出点P 经过5 s 所转过的弧度数,最后代入弧长公式即可求值.答案：100 cm15.角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角α的集合为___________________．思路解析：终边相同的角的大小相差360°的整数倍．与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β=α+k·360°,k ∈Z }.∵它的7倍角的终边与其终边相同,∴7α=α+k·360°,解得α=k·60°,k ∈Z ．∴满足α的集合为{-120°,-60°,0°,60°,120°}．答案：{-120°,-60°,0°,60°,120°}16.一只时钟,自零点开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?思路分析：这是一道实际生活中的问题,时钟从1点再走一部分角度后时针与分针相重合,因此解此题应分两部分来解决.此外,由于分针是按逆时针方向转,则其转过角为负角.解：当时针与分针在零点后第一次重合时,暂不考虑分针先走的一周.可设分针走了x 弧度(此时不考虑方向,x ＞0), 那么时针走了6π+12x 弧度,则有x=6π+12x . 解得x=112π,则分针转过的总弧度数为112π+2π=1124π. 又分针旋转方向为逆时针方向,故分针所转过的角为-1124π. 回顾·展望17.(2005全国高考Ⅲ)已知α是第三象限的角，则2α所在的象限是( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限思路解析：本题是给出一种角的范围，确定与其有关的角的范围，要从象限角的概念入手.只需将2α表示出来即可，注意最好用0°到360°角来表示. 方法一:因为α是第三象限的角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z .又k·180°+90°＜2α＜k·180°+135°,k ∈Z , 当k=2n(n ∈Z )时有n·360°+90°＜2α＜n·360°+135°,n ∈Z ，则此时2α为第二象限的角；当k=2n+1(n ∈Z )时有n·360°+270°＜2α＜n·360°+315°,n ∈Z ，此时2α为第四象限的角. 方法二:如下图，2α所在的区域是图中的阴影部分，在第二或第四象限.答案：D。