高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)
教师版__任意角和弧度制知识点和练习
9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（ ）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。 例3： 求两个集合的交集 已知集合，， 练习：1、集合，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3、，求 例4：判断下列角的集合的关系： 已知集合集合,则（ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件 是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上 都不对 16．设集合M={α|α=
高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】
《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈gx 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o gy 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈o o g g第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈oo g g4、区分第一象限角、锐角以及小于90o的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈o g g锐角：{}090αα<<o小于90o的角：{}90αα<o5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2α在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π815730.571801'︒=︒≈︒=π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r =2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin >0,cos >0,tan >0, 第二象限：0,0.><y x sin >0,cos<0,tan<0,第三象限：0,0.<<y x sin <0,cos <0,tan >0, 第四象限：0,0.<>y x sin<0,cos>0,tan<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
苏教版数学高一-必修4教师用书 弧度制
1．1.2弧度制(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解1弧度的角及弧度的定义；(2)掌握角度与弧度的换算公式；(3)熟练进行角度与弧度的换算；(4)理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；(5)理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．2．过程与方法通过类比角度制的概念引入弧度制的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度．3．情感、态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质．●重点难点重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用．难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．(教师用书独具)●教学建议1．弧度制的概念关于弧度制的概念的教学，建议教师在教学过程中，首先讲清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的关键，并且让学生具体操作验证，老师通过多媒体演示，在此直观印象基础上，引导学生证明以弧度为单位的角是一个与半径无关的定值．2．角度制与弧度制的换算关于角度制与弧度制的换算的教学，建议教师教学过程中，讲清“180°＝π”这个等式的意义，抓住这一关键，两种度量制的换算就迎刃而解了．3．弧长公式关于弧长公式的教学，建议教师在教学中让学生先通过自己的活动解决，明确角的度量单位是弧度，而且圆心角是在一定范围中，从而熟练用弧度制表示角，并能应用公式．●教学流程创设问题情境，引出弧度制的概念，使学生认识到弧度制的优越性.⇒引导学生探究角度制与弧度制的换算，理解用弧度制表示角与实数一一对应关系.⇒引导学生探究弧度制下的扇形弧长和面积公式，并理解公式应用的前提是用弧度制表示扇形圆心角的大小.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握弧度与角度的互化方法，使学生逐步养成用弧度表示角的习惯.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用弧度表示区域角的方法和注意事项.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用弧长和扇形面积公式解决有关问题的方法，总结求弧长及扇形面积的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解弧度制．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)弧度制的概念1．在初中学习角的运算采用十进制还是六十进制？【提示】六十进制．2．我们平时常用运算大多都是六十进制吗？【提示】我们常用的是十进制．(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：|α|＝lr.角度与弧度的互化【问题导思】根据弧度制的定义，周角360°所对应的弧度数是多少？ 【提示】 由2πrr ＝2π得，周角对应弧度数为2π.(1)360°＝2π rad ， (2)1°＝π180rad ≈0.017_45 rad ， 1 rad ＝(180π)°≈57.30°.扇形的弧长及面积公式1．已知扇形圆心角α，半径为r ，如何求弧长l? 【提示】 由|α|＝lr可得：弧长l ＝|α|r .2．能否用扇形的弧长l 与半径表示扇形的面积S? 【提示】 设扇形圆心角为α，则扇形面积S ＝|α|2π·πr 2＝12rl .图1－1－4(1)弧度制下的弧长公式如图1－1－4，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|. (2)扇形面积公式在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12|α|r 2＝12lr .弧度和角度的互化 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－13π3. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有的角． 【思路探究】 将角度化为弧度，可运用公式1°＝π180弧度；而将弧度化为角度，则可运用公式1弧度＝(180π)°.【自主解答】 (1)∵α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，而－19π6＝－2×2π＋5π6，∴α1＝－2×2π＋5π6，∴α1的终边在第二象限．∵α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6，∴α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k ·360°＋108°(k ∈Z )，∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k ·360°＋108°＜0°，k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1. ∴－720°～0°之间与β1终边相同的角是－612°角和－252°角．β2＝－13π3＝－133×180°＝－780°＝－2×360°－60°，设γ＝k ·360°－60°(k ∈Z )．∵－720°≤γ＜0°，∴－720°≤k ·360°－60°＜0°，k ∈Z ，∴k ＝－1或k ＝0. ∴－720°～0°之间与β2终边相同的角是－420°角和－60°角．1．特殊角的弧度数与角度数的对应值应熟记，并逐步养成用弧度数表示角的习惯． 2．在进行角度制与弧度制换算时，关系式π rad ＝180°是关键，由它得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9＜2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．用弧度表示区域角用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图1－1－5所示(不包括边界)．图1－1－5【思路探究】 求出阴影部分边界角的弧度数，结合区域角的旋转方向及终边相同角的表示方法写出区域角的范围．【自主解答】 (1)如图①，以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12rad ， ∴所求集合为{θ|2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z }．(2)如图②，以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4rad ，∴所求集合为{θ|2k π－3π4＜θ＜2k π＋3π4，k ∈Z }．1．用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一．2．在表示角的集合时，可以先写出一个周期的范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .3．在进行区间的合并时，注意归纳总结，一定要做到准确无误．一般地，若某角的终边落在某一直线上，则可用k π(或k ·180°)加上已知角来表示该角，其中k ∈Z .图1－1－6求出终边在图1－1－6中所示阴影区域(包括边界)的角的集合．【解】 由于－23π＋2π＝43π，即角－23π与角43π的终边相同，因此图中所示阴影区域的角的集合为{α|π4＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z }．弧长与扇形面积公式的应用一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【思路探究】设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值【自主解答】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则l ＝αr ，依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20， ∴α＝20－2rr.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)． ∴当r ＝5时，S 扇形max ＝25. 此时l ＝10，α＝2，故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．本例中条件不变，再增加一个条件：扇形面积S ＝24，如何求这个扇形的弧长和圆心角？【解】 (1)∵l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r 且0<r <10. ∴S 扇形＝12lr ＝(10－r )r ＝24，∴r 2－10r ＋24＝0，解得r ＝4或r ＝6.∴当r ＝4时，l ＝20－2×4＝12，α＝lr ＝3 rad ，当r ＝6时，l ＝20－2×6＝8，α＝l r ＝43rad.角度制与弧度制混用致误把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________． 【错解1】 －690°＝－(690×π180)＝－236π，∴－690°＝－3π－56π.【答案】 －3π－56π【错解2】 －690°＝－2×360°＋30°， ∴－690°＝－4π＋30°. 【答案】 －4π＋30°【错因分析】 错解1中－3π不是2k π的形式，不符合题目要求． 错解2中不符合“在同一表达式中角度与弧度不能混用”这一原则．【防范措施】 (1)在解题时要注意结果的规范要求．(2)在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原则和规范性．【正解】 法一 －690°＝－(690×π180)＝－236π，∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二 －690°＝－2×360°＋30°， ∴－690°＝－4π＋π6.【答案】 －4π＋π61．准确理解弧度制 (1)弧度制引入的必要性把角的概念推广到任意角后，角的集合和实数集之间建立起一一对应关系． (2)弧度制引入的合理性当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关． 2．求扇形的弧长和面积的解题技巧求扇形的面积关键是明确弧度制下扇形的面积公式S ＝12αr 2＝12lr (0＜α＜2π)，其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r 是扇形的半径，三个量中知道任意两个量即可求解.1．下列说法中，正确的序号是________． ①1弧度是长度为半径的弧；②大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大； ③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角； ④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等； ⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．【解析】 由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确；∵弧长l ＝α·r ，∴当α＝1时，l 扇＝r (半径)． ∴④不正确． 【答案】 ③2．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 【解析】5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以④错． 【答案】 ④3．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 【解析】 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.【答案】 254．已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？【解】 设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是l R ＝2(π－1) rad ，扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.一、填空题1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)2π15＝________；(2)－6π5＝________； (3)920°＝________；(4)－72°＝________. 【解析】 (1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°. (3)920°＝720°＋200°＝2π＋π＋20×π180＝3π＋π9＝289π.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5.【答案】 (1)24° (2)－216° (3)289π (4)－2π52．α＝－2 rad ，则α的终边在________．【解析】 －2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°，∴α为第三象限角． 【答案】 第三象限3．在单位圆(注：半径为1的圆)中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为________． 【解析】 由S ＝12αr 2＝12α×12＝α2＝1.∴α＝2 (rad)． 【答案】 24．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________.【解析】 分别取k ＝－1,0,1,2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.【答案】 {－5π6，－π3，π6，2π3}5．(2013·温州高一检测)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(图1－1－7阴影部分)是________．图1－1－7【解析】 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z . 因此，③正确．【答案】 ③6．已知角α的终边与π3的终边相同，在0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________． 【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )，故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )， 又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时，有α3＝π9，79π，139π满足． 【答案】 π9，79π，139π 7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.【答案】 28．(2013·泰州高一检测)已知角α，β的终边关于x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则β＝________.【解析】 如图：－π3角的终边关于y ＝－x 对称的射线的对应角为 －π4＋π12＝－π6，∴β＝－π6＋2k π，k ∈Z . 【答案】 2k π－π6，k ∈Z 二、解答题9．已知扇形的周长是8 cm ，圆心角为2 rad ，求该扇形的弧长和面积．【解】 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则有{ 2r ＋l ＝8，l ＝2r ，解得{r ＝2，l ＝4.故S ＝12l ·r ＝4(cm 2)．所以该扇形的弧长是4 cm ，面积是4 cm 2. 10．若角α与角－2π3的终边垂直，试表示满足条件的角α的集合，并探究其终边有何位置关系？【解】 在－π～π范围内，与角－2π3的终边垂直的角为5π6，－π6，与这两个角终边相同的角可分别表示为2k π＋5π6，2k π－π6，k ∈Z ，即{α|α＝2k π＋5π6，或α＝2k π－π6，k ∈Z }＝{α|α＝k π－π6，k ∈Z }． 所以它们的终边在同一条直线上．11．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．【解】 (1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.(教师用书独具)为什么要引入弧度制为什么要引入弧度制，要考虑以下两个问题：第一：建立弧度制的合理性，即建立弧度制的依据是什么？18世纪以前，人们一直用线段的长来定义三角函数，著名数学家欧拉1748年提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径之比，欧拉在这篇著作的第八章中提出弧度制的思想，他认为如果把半径作为一个单位长度，那么半圆的长就是π，所对应的圆心角的弧度数也是π.这时可用平面上一条射线绕其顶点旋转时，射线上不同两点的旋转过程中所形成的两段弧的长度与其半径之比为常数来说明这个比值与半径的大小无关，仅与角的大小有关．因此，我们可用圆弧的长与半径的比值来度量这个圆弧所对的圆心角，即用等于半径的圆弧所对的圆心角作为度量角的单位，叫做1弧度的角，弧度制就是建立在上述基础上的．第二：弧度制有什么优越性？①弧度数可以使角的大小用实数来表示，建立起角的集合与实数集合之间的一一对应关系，使三角函数可以看成是自变量为实数的函数，看成是实数与实数之间的映射关系，也就是说，三角函数也是数集与数集之间的映射，使三角函数也符合现代函数的定义，这就使三角函数脱离单独针对角的具体性、直观性和局限性，变得更抽象、更一般．因而可以给出更多的解释，使之应用研究更广泛．②引用弧度制以后，使得许多公式变得很简单．如弧长公式l ＝α·r ，扇形的面积公式S ＝12lr ，并且在基础理论中采用弧度制可以得到很多简单的公式．③作三角函数图象，若用角度制，则横轴上的角是六十进制，而纵轴上的三角函数值是十进制，两者的进制不同，不便于取统一的单位，就会使画出的三角函数图象没有统一标准，采用弧度制，就解决了这个问题．。
人教A版高中数学必修四任意角和弧度制任意角和弧度制知识梳理文字素材
《任意角和弧度制》知识梳理一、要点知识精析１．任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两个方向，因此旋转所得到的角也有正负之分．如果角的终边没有作任何旋转，则称该角为零角．注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，定点在坐标原点．２．正确理解直角坐标系中的几种角象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角）；如：α是第一象限角，则2k πα<22k ππ<+（)k Z ∈．轴线角：终边落在坐标轴上的角．如α的终边在x 轴的正半轴，则2k απ=；α的终边在x 轴，则k απ=；α的终边在坐标轴上，则2k πα=；（以上)k Z ∈． 区间角：是指介于两个角之间的角的集合，如030150x <≤；区域角：是介于某两条终边之间的角集，如0030360k α+∙<0090360k <+∙k Z ∈，显然区域角是无数个区间角的集合，而且象限角可以用区域角来表示．终边相同的角：具有同一终边的角的集合，与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣0360,k k Z βα=+∙∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝．在写与角α终边相同的角的集合时要注意单位统一，避免出现“0302()k k Z π+∈或0360,6k k Z π∙+∈” 之类的错误；３．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫１弧度的角．这一定义与圆的半径大小无关．由弧度制的定义，衍生出两个公式：弧长公式（l r α=）和扇形面积公式（212S r α=），应用这两个公式时，角的单位都必须用弧度制，这两个公式都比用角度制下的弧长公式和扇形面积公式简单．无论是角度制或是弧度制，都能在角的集合与实数集Ｒ之间建立一种一、一对应关系．４．弧度制和角度制可以相互转化：00/1801()5718rad π=≈，010.01745180rad rad π=≈．用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写，但用角度表225图2 图3示时，“度”（或“0”）不能省略．在同一个式子中，两种单位不能混用．二、解题方法指津１．判断角终边所在象限的方法角所在的象限的确定，是三角函数求值问题的关键环节，为此，要利用题中的若干条件准确地对角所在的象限进行判断． （１）利用终边相同的角的表示法判断判断一个角的终边所在位置，可先将此角化为α+∙0360k 003600(<≤α，Z k ∈）或),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置． （２）确定角的范围判断 已知单角α的象限，求2α、3α、2α等角的范围问题，通常先把α角的范围用不等式表示出来，再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围，对k 的取值进行讨论，确定出所在象限．（３）．由α所在象限，确定nα所在象限的方法 求nα所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码１，２，３，４，直到将所有区域标完为止．如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内．如图２所示，将各象限２等分，若α在第一象限，则2α就在图中标号为１的区域内，即一、三象限的前半区域．如图３，若α在第三象限，则3α就在图中标号为３的区域内，即一、三、四象限．依次类推．。
高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
数学必修四知识点总结
必修4数学知识点 第一章、三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：.lR R n S 213602==π §1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）r y 0sin =α，rx0cos =α，00tan x y =α.3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.4、 诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 5、 特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值.α 6π4π3παsinαcosαtan§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二：2、诱导公式三：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：4、诱导公式五：5、诱导公式六：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象：2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、 会用五点法作图.（0，2π，π，23π，2π）§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、 周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、 能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=ϕωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、 对于函数：()()0,0sin >>++=ωϕωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .第二章、平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形法则和平行四边形法则.2、 b a +≤b a +. §2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量. §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=, ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2.平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x a λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θcos b a b a =⋅.2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .3、 22a a =. 4、 2a a =. 5、 0=⋅⇔⊥b a b a . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x AB -+-=.第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式1、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-2、记住15°的三角函数值：ααsinαcosαtan12π426- 426+ 32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+4、()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+.5、()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =， 变形：ααα2sin cos sin 21=.2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=，变形1：22cos 1cos 2αα+=， 变形2：22cos 1sin 2αα-=.3、ααα2tan 1tan 22tan -=. §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.。
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
高一数学必修4任意角和弧度制实用知识
o
角度和弧度的关系 弧度制意义下与 α 终边相同的角 （连同 α ）的集合 终边与 x 轴重合的所有角的集合
1° =
π
180°
{ β β = 2 kπ + α , k ∈ Z } { β β = kπ , k ∈ Z }
{β β = α + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = k • 360° {α α = 270° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 90° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 90°, k ∈ Z } {α k • 360° < α < k • 360° + 90°, k ∈ Z } {α k • 360° + 90° < α < k • 360° + 180°, k ∈ Z } {α k • 360° + 180° < α < k • 360° + 270°, k ∈ Z } {α k • 360° + 270° < α < k • 360° + 360°, k ∈ Z } {α α = 45° + k •180°, k ∈ Z } {α α = 135° + k •180°, k ∈ Z }
任意角和弧度制
与 α 终边相同的角（连同 α ）的集合 终边在 x 轴的非正半轴上的角的集合 终边在 x 轴的非负半轴上的角的集合 终边在 x 轴上的角的集合 终边在 y 轴的非正半轴上的角的集合 终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合 终边在 y 轴上的角的集合 终边落在第一象限角的集合 终边落在第二象限角的集合 终边落在第三象限角的集合 终边落在第四象限角的集合 终边落在 y = x 上角的集合 终边落在 y = − x 上角的集合
任意角与弧度制(精讲)(解析版)
5.1 任意角与弧度制（精讲）考点一 角度制与弧度制的互换【例1】（2022广东）把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.（1）712π ； （2）136π- ； （3）1125° ； （4）-225°. 【答案】（1）105° （2）-390° （3）254π （4）- 54π 【解析】（1）根据弧度制与角度制的互化公式， 1801,1180rad rad ππ==，可得：771801051212πππ=⨯= ；（2）131318039066πππ-=-⨯=- （3） 25112511251804ππ=⨯=rad ；（4） 52252251804ππ-=-⨯=-rad .【一隅三反】1．（2022宿州）将210°化成弧度为（ ）A ．5π6-B ．5π6C ．4π3D ．7π6【答案】D【解析】π7210=210=π1806︒⨯。
故答案为：D. 2．（2022房山期中）将120°转化为弧度为（ ）A ．5π6B ．2π3C ．56D ．23【答案】B【解析】π2π1201201803︒=︒⨯=︒， 故答案为：B. 3．（2022山西月考）角度20230︒化成弧度为（ ）A ．9π8B ．5π4C ．11π8D ．19π16【答案】A【解析】根据题意，π9π2023018022.50π88︒=︒+︒=+=。
故答案为：A. 考点二 终边相同的角【例2】（2022·涟水）在与 530 角终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1）最大的负角； （2）最小的正角；（3）在 {|720360}αα-≤<- 内的角．【答案】见解析【解析】（1）解：与 530 角终边相同的角为 360530k ⋅+ ， k Z ∈ .由 3603605300k -<⋅+< 且 k Z ∈ ，可得 2k =- ，故所求的最大负角为 190-（2）解：由 0360530360k <⋅+< 且 k Z ∈ ，可得 1k =- ，故所求的最小正角为 170 （3）解：由 720360530360k -≤⋅+<- 且 k Z ∈ ，可得 3k =- ，故所求的角为 550-【一隅三反】1．（2022陕西期末）在0~360°的范围内，下列与-510°终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B【解析】因为-510°=-720°+210°，则在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是210° .故选：B 2（2022房山月考）在230，320，310，310-中，与50终边相同的是（ ）A ．230B ．320C ．310D ．310-【答案】D【解析】与50终边相同的角为：()α50360k k Z =+⋅∈； 当1k =-时，α310=-.故答案为：D. 3．（2022海东）下列各组角中，终边相同的是（ ）A ．43°和313°B ．37°和787°C ．65°和-655°D ．124°和-576°【答案】C【解析】 656552360︒=-︒+⨯︒ . 故答案为：C ． 4（20222怀化）（多选）与角 43π-终边相同的角是（ ） A ．3πB ．23πC ．43π D ．103π-【答案】BD 【解析】与角 43π-终边相同的角的集合是 4|23k k Z ααππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭， ，当 1k = 时， 23απ=，当 1k =- 时， 103απ=- .故答案为：BD 考点三 角象限的判断【例3-1】（2022南阳）已知角α2022=，则角α的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为α20222225360==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限.故答案为：C.【例3-2】（2022砀山月考）角 296π-的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】29367π666ππ-=-+，则296π-与 76π终边相同，故角 296π- 的终边所在的象限是第三象限.故答案为：C【一隅三反】1．（2022高一下·新余期末）410°角的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】41036050=+，故为第一象限角。
高二数学必修四任意角和弧度制复习要点梳理
高二数学必修四随意角和弧度制复习重点梳理数学是研究现实世界空间形式和数目关系的一门科学。
以下是查词典数学网为大家整理的高二数学必修四随意角和弧度制复习重点，希望能够解决您所碰到的有关问题，加油，查词典数学网向来陪同您。
1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制 .比值与所取的 r 的大小没关，仅与角的大小有关 . ④弧度与角度的换算： 360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线我国古代的念书人 ,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字 ,熟记几百篇文章 ,写出的诗文也是咬文嚼字 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。
为何在现代化教课的今日 ,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生 ,竟提起作文就头疼 ,写不出像样的文章呢 ?吕叔湘先生早在 1978 年就尖利地提出 : “中小学语文教课成效差,中学语文毕业生语文水平低 , 十几年上课总时数是9160 课时 ,语文是 2749 课时,恰巧是 30%,十年的时间 ,二千七百多课时 ,用来学本国语文,倒是大部分可是关 ,莫非咄咄怪事 ! ”刨根问底 ,其主要原由就是腹中无物。
高中数学人教版必修4知识点汇总
1”作巧
妙的变形，
1． 3 诱导公式
1、诱导公式（五）
sin(
ห้องสมุดไป่ตู้) cos
2
cos(
) sin
2
2、诱导公式（六）
sin(
) cos
2
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
小结：
①三角函数的简化过程图：
cos(
) sin
2
任意负角的 三角函数
公式一或三 任意正角的 三角函数
公式一或二或四 00~3600 间角 的三角函数
..
..
1.1 ． 1 任意角
1．角的有关概念： ①角的定义：
角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
始边 B
终边
③角的分类：
O
A
顶点
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下， “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0 °； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合， 那么角的终边 ( 端点除外 ) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
tan cot
1(
k ,k
Z) ；
2
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用） ，如：
cos
1 sin2
，
2
sin
2
1 cos
，
cos
sin 等。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
24任意角与弧度制知识点总结
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终 边重合。 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在 的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y
sin
x
在
2k
2
，2k
2
3 2
sin
，
高中数学知识点总结(第四章-三角函数、解三角形-第一节-任意角和弧度制及任意角的三角函数)
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)． (3)象限角(4)轴线角[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.。
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
任意角、弧度 知识表格 高中数学知识点
120°
135°
பைடு நூலகம்150° 180°
弧 度
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
π
3.弧度制与角度制的区别与联系
①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以
区别 “度”为度量单位； ②定义不同. 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个 联系
与圆的半径大小无关的定值.“弧度”与“度”之间可以相
互转化.
4.弧度制与角度制下弧长公式和扇形面积公式的比较
单位制
弧度制 公式
nr l (0 n <360) 180
角度制
弧长公式
l · r（0< 2）
扇形面积公式
1 S l r 2
nr 2 S (0 n<360) 360
1.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 2π rad=360°
360°=2π rad
180°=π rad
1 rad 0.017 45 rad 180
π rad=180°
1 rad ( 180 ) 57.30
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90°
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任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若οο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30︒ ；390︒ ；-330︒是第 象限角 300︒ ； -60︒是第 象限角585︒ ； 1180︒是第 象限角 -2000︒是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。
若θ角的终边与8π/5的终边相同则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5 当：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角 k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角（2）若βα和是终边相同的角。
那么βα-在 X 轴正半轴上 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）ο210-； （2）731484'-ο．例3、求θ，使θ与ο900-角的终边相同，且[]οο1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|οββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|οοββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|οββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|οοββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|οοββ 4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 例1、若θα+⋅=ο360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβο则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。
A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称 例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式 （1）π319（2）ο315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|οοοο,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|οοο,求B A I ,B A Y .二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
or C 2rad1rad rl=2r oAAB.如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad 注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067ο化成弧度解：οο⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=ο例2、 把rad π53化成度 解：οο1081805353=⨯=rad π 例2、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2）2.1 rad （3）rad π53例3、用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的集合 3︒终边在坐标轴上的角的集合解：1︒终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ2︒终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3︒终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ三、弧长公式和扇形面积公式r l α= ； 22121r lR S α==例1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为ο1，求这连个角的大小分别为 。
例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο∴)(655101211cm l ππ=⨯=例4、（1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 （1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ, 所以扇形的周长是2r +r θ. 依题意，得2r +r θ=πr ,∴θ=π-2=(π-2)×︒⎪⎭⎫⎝⎛π180≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S =21r 2θ=21（π-2）r 2. （2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =20, 即l =20-2r (0＜r ＜10)①扇形的面积S =21lr ，将①代入，得 S =21(20-2r )r =-r 2+10r =-(r -5)2+25, 所以当且仅当r =5时，S 有最大值25.此时l =20-2×5=10,α=rl=2. 所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l . （1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21. ∵8＞2π,舍去,∴θ=21. (2)扇形的周长为40,∴θR +2R =40，S =21lR =21θR 2=41θR ·2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ. 当且仅当θR =2R ,即R =10, θ=2时面积取得最大值，最大值为100.（七）任意角的三角函数（定义）1． 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2．比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin ；比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y叫做α的正切 记作： x y =αtan ；比值y x 叫做α的余切 记作：yx=αcot 比值x r 叫做α的正割 记作： x r=αsec ；比值y r 叫做α的余割 记作：yr=αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。