任意角与弧度制知识点汇总

任意角与弧度制

知识梳理:

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α

∠可以简记成α。

2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.

①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角} ④以上都不对

（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、

B 、

C 关系是（ ）

A ．B=A∩C

B ．B∪C=

C C ．A ⊂C

D ．A=B=C

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ

即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：

1、Z ∈k

2、α是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若θ角的终边与

58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4

θ

的角终边相同的角为 。

（2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：

（1） 210-； （2）731484'- ．

例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，

-∈θ．

2、终边在坐标轴上的点：

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：

终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角：

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：

βα-+= 180360k

若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x 轴对称

D.有关于y 轴对称

二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

o

r

C 2rad

1rad r l=2o A A B

如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ， 周角=2?rad 注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2、角?的弧度数的绝对值 r

l

=α（l 为弧长，r 为半径）

3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。 2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad

∴ 1?=rad rad 01745.0180≈π

'185730.571801

=≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πrad

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π5

3化成度 例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）

36

π

rad （2） rad? （3） rad π5

3

3、弧长公式和扇形面积公式

r l α= ； 22

12

1r lR S α==

练习题

一、选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）

A ．30°

B ．-30°

C ．630°

D ．-630°

2、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ）

A ．45°－4×360°

B ．－45°－4×360°

C ．－45°－5×360°

D ．315°－5×360°

3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝

B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝

C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝

D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题的是（ ）

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同

D ．{

}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）

A ．B=A ∩C

B ．B ∪C=C

C ．A ⊂C

D ．A=B=C

6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )

A.①

B.①②

C.①②③

D.①②③④