(完整版)必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)
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美博教育任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义:一条射线OA 由原来的位置,绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α,记作:角α或α∠ 可以简记成α。
2、角的分类:
由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、
零角和负角。
正角:按照逆时针方向转定的角。
零角:没有发生任何旋转的角。
负角:按照顺时针方向旋转的角。
3、 “象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角。
4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角:
(1)终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。
(2)所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合
{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ
即:任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和
注意:
1、Z ∈k
2、α是任意角
3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。终边相同的角
有无数个,它们相差360°的整数倍。
4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、(1)若θ角的终边与58π角的终边相同,则在[]π2,0上终边与4
θ的角终边相同的角为 。
若θ角的终边与8π/5的终边相同
则有:θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)
所以有:θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5
当:0≤kπ/2+2π/5≤2π
有:k=0 时,有2π/5 与θ/4角的终边相同的角
k=1 时,有9π/10 与θ/4角的终边相同的角
(2)若βα和是终边相同的角。那么βα-在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角:
(1)ο210-; (2)731484'-ο.
例3、求θ,使θ与ο900-角的终边相同,且[]
οο1260180,-∈θ.
2、终边在坐标轴上的点:
终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈⨯=,180|οββ
终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,90180|οοββ
终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,90|οββ
3、终边共线且反向的角:
终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,45180|οοββ
终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-⨯=,45180|οοββ
4、终边互相对称的角:
若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360
若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180
角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk
例1、若θα+⋅=ο360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβο则角α与角β的中变得位置关系是( )。
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x 轴对称
D.有关于y 轴对称
例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式
(1) π3
19 (2)ο315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|οοοο,
{}
Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|οοο,求B A I ,B A Y . 二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制:
弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是rad 读作弧度
定义:长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图:∠AOB=1rad ,∠AOC=2rad , 周角=2πrad
注意:
1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
2、角α的弧度数的绝对值 r
l =α(l 为弧长,r 为半径) 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0)
用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算
弧度定义:对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系:∵ 360︒= rad 180︒= rad
o r
C 2rad 1rad
r l=2r o A
A B
∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π
'185730.571801οοο=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 例1、 把'3067ο化成弧度
∴
例2、 把rad π5
3化成度
例3、将下列各角从弧度化成角度
(1)36π rad (2)2.1 rad (3) rad π53 例4、用弧度制表示:1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的
集合
三、弧长公式和扇形面积公式
r l α= ; 22
121r lR S α== 例1、已知扇形的周长是6 cm ,面积是2 cm 2,则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .
例2、若两个角的差为1弧度,它们的和为ο1,求这连个角的大小分别为 。
例3、 直径为20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长 ⑴3
4π ⑵ ο165 例4、(1)一个半径为r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇
形的面积是多少?
(2)一扇形的周长为20 cm ,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?