5.1.1 任意角 导学案

5.1.1 任意角

重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．

一、 预习导入 阅读课本168-170页，填写。

1．任意角(1)角的概念：

角可以看成平面内一条 绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的 ． (2)角的表示

如图，OA 是角α的始边，OB 是角α的终边，O 是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类：按旋转方向，角可以分为三类： 名称

定义

图示

正角

按 方向旋转形成的

角

负角

按 方向旋转形成的

角

零角

一条射线没有作任何旋转形

成的角

2．象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边 上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和．

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)小于90°的角都是锐角．( ) (2)终边相同的角一定相等．( ) (3)锐角都是第一象限角．( ) (4)第二象限角是钝角．( ) 2、2 020°是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角 3、与30°角终边相同的角的集合是( )

A ．{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z}

B ．{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}

C ．{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z}

D ．{α|α＝－30°＋k ·180°，k ∈Z}

4、将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．

题型一 任意角和象限角的概念 例1 (1)给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

①420°，②855°，③－510°. 跟踪训练一

1．已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A ．A ＝B ＝C B ．A ⊆C C ．A ∩C ＝B D ．B ∪C ⊆C

2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；

④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 题型二 终边相同的角的表示及应用

例2 (1)将－885°化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z)的形式是________．

(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来． 跟踪训练二

1.下面与－850°12′终边相同的角是( ) A ．230°12′

B ．229°48′

C ．129°48′

D ．130°12′

2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________． 题型三 任意角终边位置的确定和表示 例3 (1)若α是第一象限角，则α

2

是( )

A ．第一象限角

B ．第一、三象限角

C ．第二象限角

D ．第二、四象限角

(2)已知，如图所示．

①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 跟踪训练三

1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？

1．若角αβ、的终边相同，则αβ-的终边在（）

A.x 轴的正半轴上

B.x 轴的负半轴上

C.y 轴的正半轴上

D.y 轴的负半轴上 2．在720-︒~0︒范围内所有与30︒角终边相同的角为（ ） A ．330-︒

B ．690-︒

C ．690-︒或330-︒

D ．300-︒或330-︒

3．下列叙述正确的是（ ）

A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角

B ．始边相同而终边不同的角一定不相等

C ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角

D ．钝角比第三象限角小 4．（多选）若角α是第二象限角，则2

α

是（） A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

5．角a 的终边在第二象限，则a -的终边在第______________象限。 6．写出在-360°到360°之间与-120°的角终边相同的角。

7．在角的集合{}|9045,k k αα︒

︒

=+∈Z ， （1）有几种终边不同的角？

（2）写出区间(180,180)︒

︒-内的角？ （3）写出第二象限的角的一般表示法．

答案

小试牛刀

1．(1)×(2)×(3)√(4)×

2．C

3．A

4.－25°395°

自主探究

例1【答案】（1）① （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．

【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；

②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；

④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．

(2) 作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420°是第一象限角．

②855°是第二象限角．

③－510°是第三象限角．

跟踪训练一

1．【答案】D

【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．【答案】D

【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，

360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．

例2【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.

【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.

(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，

∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，

∴k取1，2，3.

当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；

当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；

当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.

跟踪训练二

1.【答案】B

【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.

2．【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．

【解析】落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．

例3 【答案】(1)B (2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．