2020-2021北京市初三数学上期中第一次模拟试卷附答案
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为( ) A ．(0,4)-B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(1,0)-2．（3分）在半径为6cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是( ) A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π3．（3分）将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是( )A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ''''的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为1:2 C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的周长比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为4:15．（3分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于( )A ．68︒B ．64︒C ．58︒D ．32︒6．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A ，(3,0)B 两点，则抛物线的对称轴为( ) A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为( ) A ．2.44(1) 6.72x += B ．2.44(12) 6.72x +=C ．22.44(1) 6.72x +=D ．22.44(1) 6.72x -=8．（3分）现有函数24()2()x x a y x x x a +<⎧=⎨-⎩如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，y n =，那么实数a 的取值范围是( ) A ．54a -B ．14a -C ．41a -D ．45a -二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是 ．10．（3分）若抛物线2(0)y ax a =≠经过(1,3)A ，则该抛物线的解析式为 ． 11．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则sin B = ．12．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“>”，“ =”或“<” )．13．（3分）如图，AB 为O 的直径，10AB =，CD 是弦，AB CD ⊥于点E ，若6CD =，则EB = ．14．（3分）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，若2OA=，60APB∠=︒，则PB=．15．（3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD DA CB==，DC AB BE==，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①ODA∆和OCE∆为等腰三角形，则1(180)2DOA ODA∠=︒-∠，1(1802COE∠=︒-∠)；②四边形ABCD为平行四边形（理由是)；③DOA COE∠=∠，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当35DCCB=时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(4,3)P，O经过点P．点A，点B在y轴上，PA PB=，延长PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）O的半径为；（2）tan α= ．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．（5分）计算：22sin60tan 45cos 30︒-︒+︒． 18．（5分）已知关于x 的方程2240x x k ++-=． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若1k =，求该方程的根． 19．（6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆的三个顶点是网格线的交点，点A 在BC 边的上方，AD BC ⊥于点D ，4BD =，2CD =，3AD =．以BC 为直径作O ，射线DA 交O 于点E ，连接BE ，CE ． （1）补全图形；（2）填空：BEC ∠= ︒，理由是 ； （3）判断点A 与O 的位置关系并说明理由；（4）BAC ∠ BEC ∠（填“>”，“ =”或“<” )．20．（5分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-． （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．21．（5分）如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点D 在O 外，BCD A ∠=∠，OD 交O 于点E ． （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若4CD =， 2.7AC =，9cos 20BCD ∠=，求DE 的长．22．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM = （用含x 的式子表示），x 的取值范围是 ； （2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．23．（7分）已知抛物线212y x x =-+．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过1(34,)A n y +，2(21,)B n y -两点． ①若5n <-，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．24．（7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3BC =ABC ∆绕点B 顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ； （2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．25．（7分）对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，(0B ，23)．（1）在(3,0)R ，(2,0)S ，3)T 三点中，点A 和点B 的等距点是 ； （2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ； ②若直线y a =上存在点A 和直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围； （3）记直线AB 为直线1l ，直线23:l y =，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点(0,0)m n ≠≠，当m n ≠时，求r 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：当0x =时，5y =-，因此(0,4)-不在抛物线245y x x =--， 当2x =时，4859y =--=-，因此(2,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =时，1458y =--=-，因此(1,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =-时，1450y =+-=，因此(1,0)-在抛物线245y x x =--上， 故选：D ．2．【解答】解：弧长为：6062()180cm ππ⨯=． 故选：B ．3．【解答】解：将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，得：2(3)y x =-； 再向上平移5个单位长度，得：2(3)5y x =-+， 故选：B ．4．【解答】解：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，:1:2OA OA ∴'=， :1:2A B AB ∴''=，∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．故选：D ． 5．【解答】解：AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 90ADC CDB ∴∠+∠=︒，90903258ADC CDB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， ABC ADC ∠=∠， 58ABC ∴∠=︒，故选：C ．6．【解答】解：抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A 、(3,0)B 两点，∴抛物线对称轴为直线1322x +==， 故选：B ．7．【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ， 则可列出关于x 的方程为22.44(1) 6.72x +=， 故选：C ． 8．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，∴函数22y x x =-的最小值为1-，把1y =-代入4y x =+得，14x -=+，解得5x =-，由图象可知，当54a -时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，函数y n =， 故选：A ．二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：如图所示，连接OB 、OC ； 此六边形是正六边形， 360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆是等边三角形， 2OB OC BC ∴===．故答案为：2．10．【解答】解：把(1,3)A 代入2(0)y ax a =≠中， 得231a =⨯， 解得3a =，所以该抛物线的解析式为23y x =． 故答案为：23y x =．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =， 则62sin 93AC B AB ===， 故答案为：23． 12．【解答】解：抛物线开口方向向上， 0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<．故答案为>，<，<．13．【解答】解：连接OC ，如图所示： 弦CD AB ⊥于点E ，6CD =， 132CE ED CD ∴===，在Rt OEC ∆中，90OEC ∠=︒，3CE =，152OC AB ==， 22534OE ∴=-=， 15412BE OB OE AB OE ∴=-=-=-=， 故答案为：1．14．【解答】解：PA 、PB 是O 的两条切线，60APB ∠=︒，2OA OB ==， 1302BPO APB ∴∠=∠=︒，BO PB ⊥．24PO AO ∴==，22224223PB PO OB ∴=-=-=． 故答案是：23．15．【解答】解：①ODA ∆和OCE ∆为等腰三角形， 1(180)2DOA ODA ∴∠=︒-∠，1(180)2COE OCE ∠=︒-∠；②AD BC =，DC AB =，∴四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA ，AE ，DOA COE ∠=∠，O ∴，A ，E 三点在一条直线上；④35DC BC =，∴设3CD AB BE x ===，5OD AD BC x ===，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AOD EOC ∴∆∆∽，∴35855OC x x OD x +==， ∴图形N 是以点O 为位似中心，把图形M 放大为原来的85，故答案为：OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；85．16．【解答】解：（1）连接OP ． (4,3)P ，5OP ∴==， 故答案为：5．（2）设CD 交x 轴于J ，过点P 作PT AB ⊥交O 于T ，交AB 于E ，连接CT ，DT ，OT ． (4,3)P ，4PE ∴=，3OE =，在Rt OPE ∆中，4tan 3PE POE OE ∠==， OE PT ⊥，OP OT =， POE TOE ∴∠=∠，12PDT POT POE ∴∠=∠=∠，PA PB =．PE AB ⊥， APT DPT ∴∠=∠，∴TC DT =，TDC TCD ∴∠=∠， //PT x 轴， CJO CKP ∴∠=∠，CKP TCK CTK ∠=∠+∠，CTP CDP ∠=∠，PDT TDC CDP ∠=∠+∠， TDP CJO ∴∠=∠， CJO POE ∴∠=∠，4tan tan 3CJO POE ∴∠=∠=． 补充方法：证明CJO EOP ∠=∠时，可以这样证明：90CJO TOJ ∠+∠=︒，90TOJ EOT ∠+∠=︒， CJO EOT ∴∠=∠， EOT EOB ∠=∠，CJO EOP ∴∠=∠，可得结论．故答案为：43．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．【解答】解：原式23321(=-+ 3314+ 134=． 18．【解答】解：（1）△2241(4)204k k =-⨯⨯-=-． 方程有两个不相等的实数根，∴△0>．2040k ∴->，解得5k <；k ∴的取值范围为5k <．（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=， (1)(3)0x x -+=， 10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-．19．【解答】解：（1）补全图形见图1．（2）BC 是直径，90BEC ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角． （3）点A 在O 外． 理由如下：连接OA ．4BD =，2CD =，6BC BD CD ∴=+=，32BCr ==． AD BC ⊥， 90ODA ∴∠=︒，在Rt AOD ∆中，3AD =，1OD BD OB =-=，∴22221310OA OD AD =++103>，OA r ∴>，∴点A 在O 外．（4）观察图象可知：BAC BEC ∠<∠． 故答案为：<．20．【解答】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=． 解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）由图象可得0m <或3m >． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC ．AB 为O 的直径，AC 为弦，90ACB ∴∠=︒，90OCB ACO ∠+∠=︒． OA OC =， ACO A ∴∠=∠． BCD A ∠=∠， ACO BCD ∴∠=∠． 90OCB BCD ∴∠+∠=︒． 90OCD ∴∠=︒． CD OC ∴⊥． OC 为O 的半径， CD ∴是O 的切线；（2）解：BCD A ∠=∠，9cos 20BCD ∠=， 9cos cos 20A BCD ∴=∠=．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 2.7AC =，9cos 20A =． 2.769cos 20AC AB A∴===． 32ABOC OE ∴===． 在Rt OCD ∆中，90OCD ∠=︒，3OC =，4CD =，∴5OD =．532DE OD OE ∴=-=-=．22．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为4，CM x =，1BE =， 4DM DC CM x ∴=-=-，其中01x ．故答案是：4x -，01x ； （2）如图，延长MP 交AB 于G ，正方形ABCD 的边长为4，F 为BC 边的中点，四边形PMDN 是矩形，CM x =，1BE =， //PM BC ∴，122BF FC BC ===，BG MC x ==，4GM BC ==， EGP EBF ∴∆∆∽，1EG x =-，∴EG PG EB BF =，即112x PG-=． 22PG x ∴=-，4(22)22DN PM GM PG x x ∴==-=--=+，2(4)(22)268S DM DN x x x x ∴=⋅=-+=-++，其中01x ． （3）由（2）知，2268S x x =-++， 20a =-<，∴此抛物线开口向下，对称轴为322b x a =-=，即32x =，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大． x 的取值范围为01x ，∴当1x =时，矩形PMDN 的面积最大，此时点P 与点E 重合，此时最大面积为12．23．【解答】解：（1）212y x x =-+，∴对称轴为直线1112()2x =-=⨯-，令0x =，则0y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0)，（2）(34)(21)5A B x x n n n -=+--=+，1(34)1333(1)A x n n n -=+-=+=+，1(21)1222(1)B x n n n -=--=-=-．①当5n <-时，10A x -<，10B x -<，0A B x x -<．A ∴，B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <，抛物线212y x x =-+开口向下，∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 的增大而增大．12y y ∴<；②若点A 在对称轴直线1x =的左侧，点B 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪->⎨⎪-+<--⎩，∴不等式组无解，若点B 在对称轴直线1x =的左侧，点A 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得：3412111(21)341n n n n +>⎧⎪-<⎨⎪-->+-⎩，115n ∴-<<-，综上所述：115n -<<-．24．【解答】解：（1）90C ∠=︒，3BC =，30ABC ∠=︒， tan301AC BC ∴=⋅︒=， 22AB AC ∴==， BA BA ='，AC AC '=''， 30ABC A BC ∴∠'=∠''=︒，ABA ∴∆'是等边三角形，60α∴=︒，2AA AB '==．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD A D '=．理由：如图2，过点A 作A C ''的平行线，交CC '于点E ，记1β∠=． 将Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转α得到Rt △A BC ''， 90A C B ACB ''∴∠=∠=︒，A C AC ''=，BC BC '=．21β∴∠=∠=．3190ACB β∴∠=∠-∠=︒-，290A C D A C B β''''∠=∠+∠=︒+． //AE A C ''90AED A C D β''∴∠=∠=︒+．4180180(90)90AED ββ∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-． 34∴∠=∠． AE AC ∴=． AE A C ''∴=．在ADE ∆和△A DC ''中， ADE A DC AED A C D AE A C ∠=∠''⎧⎪∠=∠''⎨⎪=''⎩， ADE ∴∆≅△()A DC AAS ''，AD A D '∴=．②如图1中，当60α=︒时，BD 的值最大，最大值为3． 当120α=︒时，BD 的值最小，最小值1sin30212BD AB =⋅︒=⨯=， 13BD ∴．25．【解答】解：（1）点(6,0)A ，(0B ，23)，(3,0)R ，(2,0)S ，(1,3)T ， 3AR ∴=，21BR =，4AS =，4BS =，27AT =，2BT =， AS BS ∴=，∴点A 和点B 的等距点是(2,0)S ，故答案为：(2,0)S ；（2）①设等距点的坐标为(,0)x ， 2|6|x ∴=-， 4x ∴=或8，∴等距点的坐标为(4,0)或(8,0)，故答案为：(4,0)或(8,0)；②如图1，设直线y a =上的点Q 为点A 相直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ，点Q 为点A 和直线2y =-的等距点， QA QC ∴=，22QA QC ∴=点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为(,)Q x a222(6)[(2)]x a a ∴-+=--． 整理得2123240x x a -+-=，由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．∴△2(12)41(324)16(1)0a a =--⨯⨯-=+．解得1a -； （3）如图2，直线1l 和直线2l 的等距点在直线33:3l y = 直线1l 和y 轴的等距点在直线4:323l y x =-+或53:23l y =+ 由题意得3r 或3r ．。
【翼教版】初三数学上期中试卷附答案
一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针转90︒，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（-1，3）B．（3，-1）C．（31-，）D．（-2，1）4．如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为A．（3，2）B．（3，3）C．（3，4）D．（3，1）5．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕A B C，那么点A的对应点'A的坐标是（）．点C按逆时针方向旋转90°，得到△''A ．（－3，3）B ．（3，－3）C ．（－2，4）D ．（1，4） 6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形7．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >8．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y <<9．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根． 其中正确的结论个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．311．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ） A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关12．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ） A ．15%B ．40%C ．25%D ．20%13．方程23x x =的解为（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-14．关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m≤14B ．m≥14-且m≠2 C ．m≤14-且m≠﹣2 D ．m≥14-二、填空题15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．16．将二次函数y=x 2-4x+5化成=（x-h ）2+k 的形式，则y= _____． 17．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．18．方程2-=的一次项系数是______．x x35019．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．若顶点C到x轴的距离为6，则线段AB的长为______．三、解答题21．如图，△ABC中A（2-，3），B（3-，1），C（1-，2）．（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转180°，在坐标系中画出旋转后的△A1B1C1；（2）写出的△A1B1C1的顶点B1的坐标．22．在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，连结AE．（1）画出△ABE绕点A逆时针旋转90°后的图形（点E的对应点为F）；（2）若AB=3，则四边形AECF的面积为．23．阅读下列材料：春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实．春节回家一般都要给父母、亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多．这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用，出现了很多的租赁公司．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆． 根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x 辆车时，日收益为y 元（日收益＝日租金收入－平均每日各项支出）． （1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金收入为______元（用含x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？24．某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）的若干数据，如下表所示：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 滑行时间/s t 0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36 滑行距离/m s51015202535s t t s 点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数()20s at bt c t =++≥来近似地表示s 与t 的关系．（1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________； （2）当0t =时，0s =，所以c =________；（3）当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为________s （结果保留一位小数）． 25．解方程：（1）26160x x +-=． （2）22430x x --=．26．已知：关于x 的一元二次方程()2223320x m x m m -++++=．（1）已知2x =是方程的一个根，求m 的值；（2）以这个方程的两个实数根作为ABC 中AB 、AC （AB <AC ）的边长，当5BC =时，ABC 是等腰三角形，求此时m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【解答】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．3．C解析：C【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥OB 于E ，过点A′作A′H ⊥x 轴于H ．∵B （2，0），△AOB 是等边三角形， ∴OA=OB=AB=2， ∵AE ⊥OB ， ∴OE=EB=1， ∴2222==132AO OE --∵A′H ⊥OH ，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠A′OH=∠OAE ， ∴△A′OH ≌△OAE （AAS ）， ∴A′H=OE=1，3 ∴A′（31）， 故选：C ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．A解析：A 【解析】试题分析：根据A 与A′关于C 点对称，设A′的坐标为（a ，b ），可知302a-+=，412b-+=-，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A考点：中心对称5．A解析：A 【解析】解：△A′B′C 的位置如图．A′（-3，3）．故选A．6．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．D解析：D【分析】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，则m＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，∴m＝4，∴y1＝（x﹣2）（x﹣4），抛物线的对称轴为：x＝3，如下图：设点A、B的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．8．B解析：B 【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可． 【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4； 当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4； 当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4； ∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4 ∴312y y y << 故选B 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．9．A解析：A 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断． 【详解】 解：如图：①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意．②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意．③如图所示，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当-2＜a＜-1时，关于x的方程x2-2|x|-1=a有4个实数根，故④符合题意．综上所述，正确的结论有3个．故选：A．【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．10．C解析：C【分析】①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号，根据对称轴确定b的符号；②根据二次函数图象与x轴的交点解答；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y的符号．【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上，∴a＞0，-b＞0，c＜0，2a即b＜0，∴abc＞0，正确；②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点是（-1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3故本选项正确；③函数对称轴是直线x=1，根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大；④根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴当x=2时，y＜0∴当x=1时4a+2b+c＜0，正确．共有四个正确的，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．11．A解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．12．D解析：D【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，依题意，得：100（1-x ）2=64，解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去）．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x 2-3x=0，分解因式得：x （x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x 1=3，x 2=0．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14．B解析：B【分析】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可．【详解】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m-2≠0,m≠2,△=9-4×(-1)×(m-2)≥0, m 1-4≥, 关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m 的取值范围是m 1-4≥且m≠2． 故选：B ．【点睛】本题考查关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根的问题，关键掌握方程的定义，二次项系数不为0，含x 的最高次项的次数为2，而且是整式的方程，注意判别式使用条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．二、填空题15．【分析】先分别令y=0x=0求出AB 点的坐标求出直线AB 的解析式在用字母分别表示出EF 点的纵坐标相减即可【详解】令y=0得解得：B （20）令x=0得y=-2A （0-2）设AB 所在直线解析式为：代入A 解析：22x x -【分析】先分别令y =0，x =0，求出A 、B 点的坐标，求出直线AB 的解析式，在用字母分别表示出E 、F 点的纵坐标，相减即可．【详解】令y =0,得220x x --=解得：121,2x x =-=∴ B （2,0）令x =0，得y =-2，∴A （0，-2）设AB 所在直线解析式为：y kx b =+代入A 、B 解得：2y x =-设动点E 的横坐标为x ，∴ F 点的横坐标为x ，E 点的纵坐标为：22x x -- 又F 点在直线AB 之上， ∴F 点的纵坐标为：2x - 又EF x ⊥∴EF 的长度为：22(2)x x x ---- 化简得：22x x - 故答案为：22x x -【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合问题以及线段长度的计算，分别用字母表示出E 、F 点的纵坐标是解决本题的关键． 16．【分析】将二次函数的右边配方即可化成的形式【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式关键是熟练掌握以下三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c （a≠0abc 为常数）；（2解析：2(2)1x -+【分析】将二次函数245y x x =-+的右边配方即可化成2()y x h k =-+的形式．【详解】解：245y x x =-+， 24445y x x =-+-+，2441y x x =-++，22()1y x =-+．故答案为：2(2)1x -+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式，关键是熟练掌握以下三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．17．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．18．-5【分析】根据一元二次方程的一般形式解答【详解】解：方程的一次项是其系数是故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程的一般式解题的关键是掌握一次项系数的定义解析：-5【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．【详解】解：方程2350x x -=的一次项是5x -，其系数是5-．故答案是：5-．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．19．11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．2【分析】先确定抛物线的解析式令得到AB 两点的坐标即可得到结果；【详解】∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6∴化二次函数解析式为顶点式为：∴令得解得：∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 与解析：【分析】先确定抛物线的解析式，令0y =，得到A ，B 两点的坐标，即可得到结果；【详解】∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6，∴化二次函数解析式为顶点式为：()226y x h =--+， ∴令0y =，得()2260x h --+=，解得：1x h =+2x h =-，∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，∴()A h +，()B h -，∴(AB h h =+--=故答案是【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）（3，-1）【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC 绕原点O 旋转180°得到△A 1B 1C 1；（2）结合（1）所画图形即可写出B 1的坐标．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）B 1的坐标为（3，-1）；故答案为：（3，-1）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．22．（1）见解析；（2）9【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形（点E 的对应点为F ）；（2）根据AB=3和旋转的性质可得四边形AECF 的面积即为正方形ABCD 的面积．【详解】（1）如图，△ADF 即为△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形；（2）根据旋转可知：四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积=AB 2=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了作图-旋转变换、正方形的性质、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．23．（1）150050x -（020x ≤≤，x 为整数）；（2）当日租出15辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元；（3）当每日租出520x <≤（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利．【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由题意得日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，日收益＝日租金收入－平均每日各项支出，据此可求函数关系式，然后根据二次函数的性质进行求解即可； （3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即0y =，求解，进而可根据题意求解．【详解】解：（1）每辆车的日租金是()5005020150050x x +-=-（元）（020x ≤≤，x 为整数）；故答案为()150050x -；（2）∵日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，∴日租金收入()150050x x =-，又∵日收益＝日租金收入－平均每日各项支出，∴()1500506250y x x =--，()22501500625050155000x x x =-+-=--+，∵租赁公司拥有20辆小型汽车，∴020x ≤≤，∴当15x =时，y 有最大值5000，答：当日租出15辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元．（3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即0y =，∴()2501550000x --+=，解得125x =，25x =， ∴当525x <<时，0y >，∵租赁公司拥有20辆小型汽车，答：当每日租出520x <≤（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．24．（1）3；（2）0；（3）3.1【分析】（1）由图像及表格可直接进行解答；（2）把t=0代入求解即可；（3）从表格选两个点代入函数解析式求解即可．【详解】解：（1）由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3；故答案为3；（2）把t=0，s=0代入()20s at bt c t =++≥得：c=0； 故答案为0；（3）由（2）可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入()20s at bt t =+≥得：221.07 1.0752.08 2.0815a b a b ⎧+=⎨+=⎩，解得： 2.511.98a b ≈⎧⎨≈⎩， ∴二次函数的解析式为：()22.51 1.980s t t t =+≥， 把s=30代入解析式得：()230 2.51 1.980t t t =+≥， 解得：123.1, 3.9t t ≈≈-（不符合题意，舍去），∴当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为3.1s ；故答案为3.1．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．25．（1）18x =-，22x =；（2）1x =，222x -=． 【分析】（1）运用因式分解法求解即可；（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）26160x x +-= ()()820x x +-=解得18x =-，22x =．（2）22430x x --=，∵2a =，4b =-，3c =-，∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，x ===∴122x +=，222x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性．26．（1）m=0或m=1；（2）或．【分析】（1）把x=2代入方程x 2-（2m+3）x+m 2+3m+2=0得到关于m 的一元二次方程，然后解关于m 的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x 1=m+2，x 2=m+1，则AC=m+2，AB=m+1．然后讨论：当AB=BC 时，有AC=BC 时，有m 的一次方程即可．【详解】解：（1）∵x=2是方程的一个根，∴4-2（2m+3）+m2+3m+2=0，∴m=0或m=1；（2）∵△=（2m+3）2-4（m2+3m+2）=1，m+±∴x=2312∴x1=m+2，x2=m+1，∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴AC=m+2，AB=m+1．∵△ABC是等腰三角形，∴当AB=BC时，有∴；当AC=BC时，有∴，综上所述，当-1或时，△ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，公式法解一元二次方程，也考查了等腰三角形的判定．。
2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案
2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：25．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范畴为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍旧成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边通过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线通过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】依照等式的性质，可得用x表示y，依照分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题要紧考查学生对相似三角形的判定方法的把握情形，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】依照三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再依照相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题要紧应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】依照二次函数图象得出顶点位置，进而依照各选项排除即可．【解答】解：依照二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题要紧考查了二次函数图象，依照图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】依照二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数通过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都通过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数通过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数通过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象通过一、三象限；小于0，通过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【专题】运算题．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判定y1与y2的大小．【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，∴y1＜y2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判定自变量取值范畴内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再依照正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后依照“SAS”可判定△OBE ≌△OCF ，因此S △OBE =S △OCF ，如此S 四边形OECF =S △OBC =16，因此S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t ，然后配方得到S=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判定．【解答】解：依照题意BE=CF=t ，CE=8﹣t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE 和△OCF 中，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =×82=16，∴S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t=t 2﹣4t+16=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8）， ∴s （cm 2）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t ≤8． 故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先依照几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范畴．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是2.4m ，在同一时刻测得某棵树的影长为15m ，则这棵树的高度约为10m ．【考点】相似三角形的应用． 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，通过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=， 因此：树的高度=×树的影长=×15=10（m ）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后依照对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k ﹣3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范畴为k ≤4．【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】分为两种情形：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，求出△=b 2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k ﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X 轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，△=b 2﹣4ac=22﹣4（k ﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k ≤4；②当k ﹣3=0时，y=2x+1，与x 轴有交点；故k的取值范畴是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题要紧考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的明白得和把握，能进行分类求出每种情形的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后依照相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】依照二次函数图象上点的坐标特点，把点P的坐标代入二次函数解析式运算即可得解；依照点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后依照顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特点，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的相似比求AF，注意分情形考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情形进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练把握相似三角形的判定，分情形讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判定c与0的关系，然后依照对称轴及抛物线与x轴交点情形进行推理，进而对所得结论进行判定．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定只是（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】运算题．【分析】第一依照∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再依照D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直截了当利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题要紧考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确把握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，因此直截了当加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一样式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）依照函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x …0 1 2 3 4 …y … 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）依照函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题要紧考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范畴是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）依照以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，能够得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题要紧考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照已知条件得到，由于∠A=∠A，因此得到△ADE∽△ACB；（2）依照相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】第一由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，依照相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入运算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）依照抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而能够解答本题；（2）依照第一问求得的m的取值范畴，能够得到m的最大整数，从而能够求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范畴是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，依照题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题要紧考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判定所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判定△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，因此可依照有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）依照函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．。
北京四中2020-2021学年度第一学期初三数学上册期中试卷【含答案】
画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线 y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．
图1
图2
由图 2，同理可得 AP=BP+PC. （2）①如下图 3、图 4； ②请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明.
由图 3，由∠APB=∠ACB=45°，做等腰直角三角形△APE. 可得△CAK≌△CBP，可得 AP-BP= 2 PC.
图3
图4
由图 4，同理可得 AP +BP= 2 PC.
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx2 +2mx 3m 2 . （1） 求抛物线的对称轴； （2） 过点 P(0，2) 作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 M，N.求点 M，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段 MN 围成的封闭区域内(不包括
②将△POQ 绕原点 O 旋转一周，直线 = 晐 M 交 轴、y 轴于点 M、N，若线段 MN 上存在△POQ 关于边 PQ 的“Math 点”，求 M 的取值范围.
图1
图2
初三期中测试数学学科答案：
一、选择题
1、D 2、B 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A
8、A
二、填空题
9、9
10、110 11、-6 12、2
2
y2，y3 的大小关系为（
）
A. y1＜y2＜y3
B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y1＜y2
2020-2021北京第十三中初三数学上期中一模试题及答案
C．∠ACB 是旋转角 D．∠CAE 是旋转角
9．如图，已知二次函数 y ax2 bx c （ a 0 ）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），对
称轴为直线 x=1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结
论：
①当 x＞3 时，y＜0；
②3a+b＜0；
③ 1 a 2 ； 3
2020-2021 北京第十三中初三数学上期中一模试题及答案
一、选择题
1．若 x1 是方程 ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设 M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则 M 与 N 的大
小关系为( )
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不能确定
2．如图，已知⊙O 的半径为 5，锐角△ABC 内接于⊙O，BD⊥AC 于点 D，AB=8，则
20．已知圆锥的母线长为 5cm，高为 4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留 π）．
三、解答题
21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整 理，分成 5 个小组（x 表示成绩，单位：分），A 组：75≤x＜80；B 组：80≤x＜85；C 组： 85≤x＜90；D 组：90≤x＜95；E 组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
因此 tan∠CBD=tan∠MBA= 3 ， 4
故选 D．
3．C
解析：C 【解析】 解：画树状图如下：
一共有 6 种情况，“一红一黄”的情况有 2 种，
∴P（一红一黄）= 2 = 1 ．故选 C． 63
4．B
解析：B 【解析】 试题分析：（1）当点 P 沿 O→C 运动时， 当点 P 在点 O 的位置时，y=90°， 当点 P 在点 C 的位置时， ∵OA=OC， ∴y=45°， ∴y 由 90°逐渐减小到 45°； （2）当点 P 沿 C→D 运动时， 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2=45°； （3）当点 P 沿 D→O 运动时， 当点 P 在点 D 的位置时，y=45°， 当点 P 在点 0 的位置时，y=90°， ∴y 由 45°逐渐增加到 90°． 故选 B． 考点：动点问题的函数图象．
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
2020-2021学年北京市丰台区中考数学一模试卷及答案解析
北京市丰台区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进口货值飙升至189 000 000美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应为（）A．189×106B．1.89×106C．18.9×107D．1.89×1082．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞bB．|b|＜aC．﹣a＜a D．﹣b＜a3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45 B．60 C．72 D．1445．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（）A．义B．仁C．智D．信6．如果m2+2m﹣2=0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．37．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6万元，那么用于教育的支出为（）A．3万元B．万元C．2.4万元D．2万元9．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为很多家庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据2016年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率=（﹣1）×100%，下面有四个推断：①2016年下半年各月销售量均比2015年同月销售量增多②第四季度销售量占下半年销售量的七成以上③下半年月均销售量约为16万台④下半年月销售量的中位数不超过10万台其中合理的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是．12．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：．13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是．1班2班3班4班班级节次第1节语文数学外语化学第2节数学政治物理语文第3节物理化学体育数学第4节外语语文政治体育14．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应．（只考虑小于90°的角度）的度数为15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为．16．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）．求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b．小姗的作法如下：如图2，（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（3）在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形．老师说：“小姗的作法正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．20．（5分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4=0．（1）判断方程根的情况；（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣3x+m与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求双曲线y=的表达式；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与直线y=﹣3x+m及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C下方时，求出n的取值范围．22．（5分）课题学习：设计概率模拟实验．在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是．”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验：小海找来一个啤酒瓶盖（如图1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值；小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8个数字（如图2），转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图3），其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值．根据以上材料回答问题：小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处．23．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．（1）求AD的长；（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．24．（5分）阅读下列材料：由于发展时间早、发展速度快，经过20多年大规模的高速开发建设，北京四环内，甚至五环内可供开发建设的土地资源越来越稀缺，更多的土地供应将集中在五环外，甚至六环外的远郊区县．据中国经济网2月报道，来自某市场研究院的最新统计，2016年，剔除了保障房后，在北京新建商品住宅交易量整体上涨之时，北京各区域的新建商品住宅交易量则是有涨有跌．其中，昌平、通州、海淀、朝阳、西城、东城六区下跌，跌幅最大的为朝阳区，新建商品住宅成交量比2015年下降了46.82%．而延庆、密云、怀柔、平谷、门头沟、房山、顺义、大兴、石景山、丰台十区的新建商品住宅成交量表现为上涨，涨幅最大的为顺义区，比2015年上涨了118.80%．另外，从环线成交量的占比数据上，同样可以看出成交日趋郊区化的趋势．根据统计，2008年到2016年，北京全市成交的新建商品住宅中，二环以内的占比逐步从3.0%下降到了0.2%；二、三环之间的占比从5.7%下降到了0.8%；三、四环之间的占比从12.3%下降到了2.3%；四、五环之间的占比从21.9%下降到了4.4%．也就是说，整体成交中位于五环之内的新房占比，从2008年的42.8%下降到了2016年的7.7%，下滑趋势非常明显．由此可见，新房市场的远郊化是北京房地产市场发展的大势所趋．（注：占比，指在总数中所占的比重，常用百分比表示）根据以上材料解答下列问题：（1）补全折线统计图；（2）根据材料提供的信息，预估位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比约，你的预估理由是．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路．26．（5分）【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+）（x＞0）．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+的图象性质．（1）结合问题情境，函数y=x+的自变量x的取值范围是x＞0，如表是y与x的几组对应值．x … 1 2 3 m …y …432 2 234…①写出m的值；②画出该函数图象，结合图象，得出当x= 时，y有最小值，y最小= ；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．28．（7分）在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．北京市丰台区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进口货值飙升至189 000 000美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应为（）A．189×106B．1.89×106C．18.9×107D．1.89×108【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：189 000 000=1.89×108．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞bB．|b|＜aC．﹣a＜a D．﹣b＜a【考点】29：实数与数轴．【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数，绝对值的性质判断即可．【解答】解：根据数轴上点的位置得：a=﹣2，1＜b＜2，则|a|=2＞b，|b|＞a，﹣a＞a，﹣b＞a，故选A【点评】此题考查了实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45 B．60 C．72 D．144【考点】R3：旋转对称图形．【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．5．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（）A．义B．仁C．智D．信【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中“礼”字对面的字是义．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．如果m2+2m﹣2=0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式=m2+2m，然后利用m2+2m﹣2=0进行整体代入计算．【解答】解：原式=•=•=m（m+2）=m2+2m，∵m2+2m﹣2=0，∴m2+2m=2，∴原式=2．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．7．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【考点】SA：相似三角形的应用．【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6万元，那么用于教育的支出为（）A．3万元B．万元C．2.4万元D．2万元【考点】VB：扇形统计图．【分析】利用总开支乘以对应的比例即可求解．【解答】解：6×=2（万）．故选D．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．9．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】D3：坐标确定位置．【分析】根据A（1，1），B（2，0），再结合图形即可确定出点C的坐标．【解答】解：∵点A的坐标是：（1，1），点B的坐标是：（2，0），∴点C的坐标是：（3，﹣2）．故选B．【点评】本题主要考查了点的坐标．点坐标就是在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的关系，这对有序实数则为这个点的坐标点的坐标．10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为很多家庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据2016年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率=（﹣1）×100%，下面有四个推断：①2016年下半年各月销售量均比2015年同月销售量增多②第四季度销售量占下半年销售量的七成以上③下半年月均销售量约为16万台④下半年月销售量的中位数不超过10万台其中合理的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【考点】VD：折线统计图；VC：条形统计图；W4：中位数．【分析】①根据题意求得7月的同比增长率是﹣2.3%，于是得到2016年7月销售量比2015年同月销售量减小；②通过计算即可得到结果；③列式计算即可得到结果；④根据中位数的定义即可得到结论．【解答】解：①∵7月的同比增长率是﹣2.3%，∴2016年7月销售量比2015年同月销售量减小；故①错误；②∵≈0.73，∴第四季度销售量占下半年销售量的七成以上，故②正确；③∵（8+9.3+9.8+13.4+19.7+36）≈16万台，故③正确；④下半年月销售量的中位数=≈11.1万台＞10万台，故④错误；故选C．【点评】本题考查了折线统计图，条形统计图，中位数的定义，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是x≥﹣4 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+4≥0，解得，x≥﹣4，故答案为：x≥﹣4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．12．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc ．【考点】4B：多项式乘多项式．【分析】根据图中，从两个角度计算面积即可得出答案．【解答】解：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc；故答案：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc（答案不唯一）【点评】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是．1班2班3班4班班级节次第1节语文数学外语化学第2节数学政治物理语文第3节物理化学体育数学第4节外语语文政治体育【考点】X2：可能性的大小．【分析】根据概率公式可得答案．【解答】解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，∴听数学课的可能性是，故答案为：．【点评】本题考查的可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为70°．（只考虑小于90°的角度）【考点】M1：圆的认识．【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA 的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°﹣20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为28x﹣20（x+13）=20 ．【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】利用五言绝句与七言绝句总字数之间的关系得出等式进而得出答案．【解答】解：设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为：28x﹣20（x+13）=20．故答案为：28x﹣20（x+13）=20．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键．16．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）．求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b．小姗的作法如下：如图2，（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（3）在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形．老师说：“小姗的作法正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．【考点】N3：作图—复杂作图；KG：线段垂直平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】利用垂直平分线的性质得到AB=CB，从而可判断△ABC为满足条件的等腰三角形．【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，则AB=AC．故答案为垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|的值是多少即可．【解答】解：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|==【点评】此题主要考查了实数的运算，零指数幂以及特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式①，得x＞2．解不等式②，得x≥3．∴原不等式组的解集是x≥3．【点评】此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．【考点】LD：矩形的判定与性质．【分析】先证明四边形ABCF是平行四边形．再证出四边形ABCF是矩形．得出∠AFC=90°，得出∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．由等腰三角形的性质得出∠EAG=∠EGA．由对顶角相等得出∠DAF=∠CGF．证出∠D=∠ECD．即可得出结论．【解答】证明：∵AB∥DC，FC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形．∴∠AFC=90°，∴∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA．∵∠EGA=∠CGF，∴∠DAF=∠CGF．∴∠D=∠ECD．∴ED=EC．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、对顶角相等的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．20．已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4=0．（1）判断方程根的情况；（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）先求出△的值，再根据根的判别式即可得出方程根的情况；（2）根据方程有整数根，可知△是完全平方数，利用求根公式选择k=4（答案不唯一），求出方程的根即可．【解答】解：（1）∵△=（﹣k）2﹣12（k﹣4）=k2﹣12k+48=（k﹣6）2+12＞0，∴方程有两个不等的实数根；（2）当k=4时，△=16，方程化为3x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣3x+m与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求双曲线y=的表达式；。
2020-2021初三数学上期中试卷(附答案)
________．
20．如图，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转150 ，得到 ADE ，这时点 B、C、D 恰好在同
一直线上，则 B 的度数为______．
三、解答题
21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系 内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4），B（1，1），C（3，1）． （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，求线段 BC 扫过的面积（结果保留 π）．
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12．若 a，b 为方程 x2 5x 1 0 的两个实数根，则 2 a2 3ab 8b 2a 的值为（ ）
A．-41
B．-35
C．39
D．45
二、填空题
13．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2+2（m+1）x+m2﹣1=0 的两实数根，且满足（x1﹣x2）
2=16﹣x1x2，实数 m 的值为________． 14．如图是两块完全一样的含 30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 ①由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当 x＞3 时，y＜ 0，故①正确；
②抛物线开口向下，故 a＜0，∵ x b 1，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正 2a
确；
③设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），则 y ax2 2ax 3a ，令 x=0 得：y=﹣ 3a．∵抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间，∴ 2 3a 3 ．解得： 1 a 2 ，故③正确；
2020-2021北京市北大附中九年级数学上期中第一次模拟试题(带答案)
2020-2021北京市北大附中九年级数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70° 2．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°3．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．4．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 5．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且36．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 7．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．7128．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．任意数的绝对值都是正数B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋aD ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上 9．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=D ．()247x += 12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题13．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．14．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；15．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．17．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为_____．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．19．一元二次方程x2=3x的解是：________．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）三、解答题21．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．22．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线.（2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.23．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.24．已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=.（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式．25．关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣3）x+（m ﹣1）＝0有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此方程的根．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理3．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.4．D解析：D试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角，∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D5．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．8．C解析：C【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A. 任意数的绝对值都是正数是随机事件，错误；B. 两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，错误；C. 如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a是必然事件，正确;D. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上是随机事件，错误；故选D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 2．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65° 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +<7．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．2C ．2D 2 8．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠9．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶3 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 11．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-12．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．16．如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是_____．17．现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．18．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转150 ，得到ADE V ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B Ð的度数为______．三、解答题21．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为10，OE 、OF 分别交AB 于点E 、F ，OF 的延长线交⊙O 于点D ，且AE=BF ，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）22．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．23．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．24．已知关于x 的一元二次方程225x x m --=（）（）（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两实数根12,x x 满足221233x x +=，求实数m 的值.25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.2．C解析：C【解析】【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．3．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B ．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．D解析：D【解析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．8．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．11．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.12．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2 =39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键． 二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为 解析：94【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 15．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程通过解新方程来求k 的值【详解】∵方程x2+kx −3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了解析：2【解析】【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1，∴把x=1代入，得12+k×1−3=0，解得，k=2.故答案是：2.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用. 16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×32＝23，∴点C的坐标为（4038，23），故答案为：（4038，23）．【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．17．【解析】【分析】列举出所有情况找出取2个球的编号之和大于12的情况即可求出所求的概率【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况其中编号之和大于12的有6种所以概率=故答案为：【点睛】此题主要考查了利解析：2 3【解析】【分析】列举出所有情况，找出取2个球的编号之和大于12的情况，即可求出所求的概率．【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况，其中编号之和大于12的有6种，所以概率= 62 93 ，故答案为：23．【点睛】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn是解题的关键．18．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算．20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=解析：15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12（180°-∠BAD）=15°，故答案为15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）503 25π-．【解析】【分析】（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论．（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出结论．【详解】解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，∵OC⊥AB，∴AC=BC．∵AE=BF，∴EC=FC．∵OC⊥EF，∴OE=OF．∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形．；（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．∵AO=10，∴OF=3103 tan1033AO AOE⋅∠=⨯=．∴110350310233ACFS=⨯=V,2901025360AODSππ⋅⋅==扇形．∴50325ACFAODS S Sπ∆=-=-阴影扇形22．每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【解析】试题分析：首先设每个粽子的定价为x元，然后根据题意得出方程，从而求出x的值，然后根据售价不能超过进价的200%，从而得出x的取值范围，从而得出答案.试题解析：设每个粽子的定价为x 元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x ﹣3）（500﹣10×）=800， 解得x 1=7，x 2=5．∵售价不能超过进价的200%， ∴x ≤3×200%．即x≤6． ∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．考点：一元二次方程的应用23．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A 通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B 通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A 通道通过的情况数有1种，所以都选择A 通道通过的概率为18， 故答案为：18； （2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B 通道通过的有4种情况， ∴至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率为4182=． 【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．24．（1）详见解析；（2）实数m 的值为2±【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=b 2-4ac ，即可得出△249m =+，结合4m 2≥0可得出△＞0，进而可证出：无论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得出212127,10x x x x m +==-Q g ，结合x 12+x 22=33可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）证明：Q 关于x 的一元二次方程225x x m --=（（）整理，得227100x x m -+-=249410m =--V （）249404m =-+249m =+2240490m m ∴≥∴+>∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）： 212127,10x x x x m +==-Q g221233x x +=()21212233x x x x ∴+-= ()24921033m --=解得m =答：实数m 的值为【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x 12+x 22=33，找出关于m 的一元二次方程．25．(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m 的不等式，解之可得； （2）由（1）中m 的范围且m 为非负整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【详解】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m Q 为非负整数， 0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：11x =21x =，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m的值是1.【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．。
北京市东城区第五中学分校2020-2021学年九年级上册期中考试数学试题 解析版
2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．70°3．当x＜0时，函数y＝的图象位于（）A．第三象限B．第一、二、三象限C．第二、四象限D．第二象限4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣35．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（）A．4B．8C．6D．106．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC ＝6，则AC的长为（）A．4B．C．D．7．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜48．已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是．10．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝．11．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是．13．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是．14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝．15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为m．16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是．三、解答题（本题共68分）17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O 的半径的长．19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；的长．（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P Ax…﹣3﹣2﹣101……44m…y＝ax2+bx+c根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c，m的值；（2）求此二次函数的解析式．21．（5分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．24．（6分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润是元；（用含x的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为；（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n的取值范围是．②若向右平移，则n的取值范围是．27．（7分）如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF 的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O 的近距点．（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是；（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标x P的取值范围．2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．70°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°，故选：A．3．当x＜0时，函数y＝的图象位于（）A．第三象限B．第一、二、三象限C．第二、四象限D．第二象限【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数y＝的图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点判断出x＜0时函数图象所在的象限即可．【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝5＞0，∴此函数的图象位于一、三象限，∴当x＜0时函数的图象在第三象限．故选：A．4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣3【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，故选：B．5．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（）A．4B．8C．6D．10【分析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB＝2AE，又CE＝2，OC＝5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BE＝AB，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，在Rt△AOE中，AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8，故选：B．6．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC ＝6，则AC的长为（）A．4B．C．D．【分析】如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径＝2；然后在等边△AOD中得到AD＝OA ＝2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．【解答】解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵P A、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，则r＝2，易证△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝2，又∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝AD•cot30°＝2故选：C．7．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由，解得或，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞2．故选：B．8．已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①连接OC，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴＝，根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确；③方法一：∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，∴BC＝2CE．所以③正确．方法二：由△ACE∽△CBE，∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，∴BC＝2CE，所以③正确，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．【解答】解：点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5），故答案为：（﹣4，5）．10．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴sin A＝＝．故答案为：．11．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得2250（1﹣x）2＝1000．【分析】直接利用一元二次方程中下降率求法得出方程即可．【解答】解：设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得：2250（1﹣x）2＝1000．故答案为：2250（1﹣x）2＝1000．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是（3，2）．【分析】根据题意画出图形，即可解决问题．【解答】解：如图，观察图象可知，A′（3，2）．故答案为（3，2）．13．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是2．【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而利用直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半，求出即可．【解答】解：∵直径AB＝4，∠ACB＝90°，∵点C在⊙O上，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，故答案为：2．14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝60°．【分析】根据旋转的性质得出OA＝OA′，得出△OAA′是等边三角形．则∠AOA′＝60°，则可得出答案．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°．∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA＝OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′＝60°，即旋转角α的大小是60°．故答案为：60°．15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为20m．【分析】证出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝20m．故答案为：20．16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是②③．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），而抛物线的对称轴为直线x＝，∴点（﹣2，0）关于直线x＝的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝3，所以③正确．由图象可知当﹣2＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④错误；故答案为②③．三、解答题（本题共68分）17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．【分析】利用因式分解法把原方程化为x﹣2＝0或2x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝0，x﹣2＝0或2x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣．18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O 的半径的长．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝4，AC＝BC＝4，AB＝2BC，得出BC＝4，AB＝8，求出OA＝4即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，∠AHC＝90°，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝4，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，∴BC＝4，AB＝8，∴OA＝4，即⊙O的半径长是4．19．（5分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长2或5．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）分两种情形：当P A＝PB＝2时，易知PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE ＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，分别求解即可．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，∴∠AED＝∠P AF，∵PF⊥AE，∴∠D＝∠PF A＝90°，∴△P AF∽△AED．（2）解：当P A＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，∴P A＝PE，∵PF⊥AE，∴AF＝FE，∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，∴AE ＝＝＝2，∴AF ＝，∵△P AF∽△AED，∴＝，∴＝，∴P A＝5，综上所述，满足条件的P A的值为2或5．20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y＝…44m…ax2+bx+c根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c，m的值；（2）求此二次函数的解析式．【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得m的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：（1）根据图表可知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，4），（﹣2，4），∴对称轴为直线x＝＝﹣1，c＝4，∵（﹣3，）的对称点为（1，），∴m＝；（2）∵对称轴是直线x＝﹣1，∴顶点为（﹣1，），设y＝a（x+1）2+，将（0，4）代入y＝a（x+1）2+得，a+＝4，解得a＝﹣，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+．21．（5分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）满足条件的k的值为3，然后把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，解得k＜4且k≠2；（2）符合条件的最大整数k＝3，把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，解得m＝﹣．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．【解答】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），∴m＝1+3＝4，∵反比例函数的图象经过点A（1，4），∴k＝1×4＝4；（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），当y＝2时，2＝，解得x＝2，∴点C的坐标为（2，2），当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，2），∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）当y＝n时，n＝，解得x＝，∴点C的坐标为（，n），当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，∴点D的坐标为（n﹣3，n），当点C在点D的右侧时，若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），∴当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），∴当n≥3+时，CD≥OB，综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．【分析】（1）如图，连结OD，欲证DE是⊙O的切线，只需证得OD⊥ED；（2）求出AE，证△AED∽△DEB，求出DE，证△FOD∽△F AE，求得FD，由勾股定理求得FO，根据线段和差可求得CF．【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，AB＝AC，∴AC＝AB＝2+2＝4，∵BE＝1，∴AE＝4﹣1＝3，过O作OH⊥AB于H，则四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝2，∴AH＝1，∴AH＝AO，∴∠AOH＝30°，∴∠BAC＝60°，∴AF＝2AE＝6，∴CF＝AF﹣AC＝2．∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠DAE＝∠BDE，∴△AED∽△DEB，∴＝，∴＝，解得：DE＝，∵OD∥AB，∴△FOD∽△F AE，∴＝，∴＝，解得：FD＝2，在Rt△FOD中，FO＝＝＝4，∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．24．（6分）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；（用含x 的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？【分析】（1）根据题意列代数式即可得到结论；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；故答案为：（60﹣5x）；（4+x）；（2）根据题意得，（60﹣5x）（4+x）＝300，解得：x1＝6，x2＝2，答：销售单价应上涨2元或6元；（3）根据题意得，y＝（60﹣5x）（4+x）＝﹣5（x﹣12）（x+4）＝﹣5（x﹣4）2+320，答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是任意实数．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是①③．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3．【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根时，k 的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y＝x2﹣4|x|+3，∴x的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数；（2）由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；（3）由图象可得，函数图象关于y轴对称，故①正确；函数有最小值，但没有最大值，故②错误；当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，故③正确；函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；故答案为：①③；（4）由图象可得，关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3，故答案为：﹣1＜k＜3．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0）；（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4．②若向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣，可求解；（2）将点B坐标代入可求解；（3）设向左平移后的解析式为：y＝（x+1+n）2﹣4，设向右平移后的解析式为：y＝（x+1﹣n）2﹣4，利用特殊点代入可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3的对称轴为直线x＝＝﹣1，AB＝4，∴点A（﹣3，0），点B（1，0），故答案为：x＝﹣1，（﹣3，0）；（2）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3过点B（1，0），∴0＝m+2m﹣3，∴m＝1，∴抛物线的解析式：y＝x2+2x﹣3，（3）如图，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴设向左平移后的解析式为：y＝（x+1+n）2﹣4，把x＝﹣3，y＝0代入解析式可得：0＝（﹣3+1+n）2﹣4，∴n＝0（舍去），n＝4，∴向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4；设向右平移后的解析式为：y＝（x+1﹣n）2﹣4，把x＝0，y＝﹣3代入解析式可得：﹣3＝（1﹣n）2﹣4，∴n＝0（舍去），n＝2，∴向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2，故答案为：0＜n≤4；0＜n≤2．27．（7分）如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF 的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD＝∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是AM+MN＝CN．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．【分析】（1）①由“SAS”可证∴△BMD≌△CND，可得∠BMD＝∠DNC，由外角的性质和平行线的性质可证∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN；②由等腰三角形的性质可求BM＝BD＝＝NC，再求出AM＝2﹣，MN＝AM＝2﹣2，即可得结论；（2）在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，由“SAS”可证△AMD≌△CHD，可得MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，再由“SAS”可证△MDN≌△HDN，可得MN＝HN，可得结论．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，∴∠B＝∠C＝∠EDF＝45°，AB＝AC，BC＝AB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝45°＝∠ANM＝∠C，∠DMN＝∠BDM，∴AM＝AN，∴BM＝CN，∵点D是BC中点，∴BD＝CD，在△BMD和△CND中，，∴△BMD≌△CND（SAS），∴∠BMD＝∠DNC，∵∠MDB＝∠C+∠DNC＝∠MDN+∠BDM，∴∠BDM＝∠CND，∴∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN，故答案为：＝；②∵BC＝2，BC＝AB，∴AB＝AC＝2，∵∠BMD＝∠CND＝∠BDM，∴BD＝BM＝BC＝，∴NC＝，∴AM＝2﹣，∵AM＝AN，∠A＝90°，∴MN＝AM＝2﹣2，∴AM+MN＝2﹣+2﹣2＝＝NC，故答案为：；AM+MN＝NC；（2）如图1，在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC中点，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ACD＝45°，AD⊥BC，又∵AM＝CH，∴△AMD≌△CHD（SAS），∴MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，∵∠ADM+∠ADN＝∠MDN＝45°，∴∠ADN+∠CDH＝45°，∴∠HDN＝45°＝∠MDN，在△MDN和△HDN中，，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN＝HN，∴NC＝CH+NH＝AM+MN．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O 的近距点．（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是P1；（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标x P的取值范围．【分析】（1）按照新定义，利用构成三角形三边的关系，逐个验证即可求解；（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，进而求解；（3）直线y＝x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：OQ＝1，P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）的坐标知，点P2、P3都不在圆O外，故不符合题意；对于P1，OP1＝＝，则OP1﹣OQ＜P1Q＜OP1+OQ，即﹣1＜P1Q＜+1，故存在P1Q≤1，故点P1符合题意；同理可得OP4＝，则﹣1＜P4Q＜+1，故不存在P4Q≤1，故点P4符合题意；故答案为P1；（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB＝OA＝2＝b，同理当直线l处于l′的位置时，b＝﹣2，故b的取值范围为﹣2≤b≤2；（3）如图2，作半径为2的同心圆O，与直线y＝x+1交于点B、C，设直线y＝x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，设点B的坐标为（x，x+1），过点B作BH⊥y轴于点H，连接OB、OC，在Rt△OBH中，OB2＝BH2+OH2，即（x+1）2+x2＝22，解得x＝（舍去负值），故x＝＝x B，同理可得，x C＝﹣，故0＜x P≤或﹣≤x P＜﹣1．。
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ） A ．2(2)3x += B ．2(2)5x += C ．2(2)3x -= D ．2(2)5x -= 7．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°8．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 9．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 10．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．18．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.22．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．23．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 3．A解析：A【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．【详解】∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．故选D．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.8．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．9．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键10．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．12．A 解析：A 【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．8【解析】【分析】连接AD 根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°故可得出AD=BD 再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形利用勾股定理求出AB 的长在Rt△ABC 中利用勾股定解析：8【解析】【分析】连接AD ，根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，∵∠ACB=90°，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴2．∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB=22AD BD +=10．∵AC=6，∴BC=2222106AB AC -=-=8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．14．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=64，即（1-x ）2=0.64，解得x 1=1.8，x 2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°18．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可．【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度，∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2），∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-．故答案为：()2511y x =-+-．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 19．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x 1=1, x 2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.20．-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根代入可得9-3+c=0解得c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0即（x+2）（x-3）=0解得x=-2或x=3即可得方程的另一个根是x=解析：-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．三、解答题21．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．23．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x ﹣4）=0，∴x+2=0或x ﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x ﹣3（x ﹣２）＜1，得：x ＞52， 解不等式12x -＜1，得：x ＜3， ∴不等式组的解集为52＜x ＜3． 【点睛】 考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA；，；而，；而，；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。
2020-2021北京丰华中学初三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021北京丰华中学初三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°2．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．343．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④ 5．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)17x -= B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=6．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）A ．32×20﹣2x 2＝570 B ．32×20﹣3x 2＝570 C ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝570 7．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1108．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间 9．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．1或4C ．4D ．010．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120°11．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 12．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．14．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．15．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．16．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．17．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<o o，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.18．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是3cm ，则圆锥侧面积是_________.19．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为__．20．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．三、解答题21．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.22．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．23．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 24．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．25．如图，在中，，是的外接圆，点P 在直径BD 的延长线上，且． 求证：PA 是的切线； 若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．3．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.4．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．5．A解析：A【解析】【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可.【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．6．D解析：D【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（32-2x ）（20-x ）=570，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．7．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310． 故选：A ．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键． 8．B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+- ()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．9．C解析：C【解析】【分析】先把x ＝0代入方程求出m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【详解】解：把x ＝0代入方程得m²−5m ＋4＝0，解得m ₁＝4，m ₂＝1，而a−1≠0，所以m ＝4．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．10．C【解析】【分析】首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数．【详解】连接OA，OB，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．11．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键12．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．二、填空题13．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．14．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识解析：10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr=12030180π⋅， 解得：r=10，所以圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式． 15．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．【解析】【分析】设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x根据S△DEB＝·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x∵∠A＝90°解析：3 2【解析】【分析】设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，根据S△DEB＝12·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，∵∠A＝90°，∴EA⊥BD，∴S△DEB＝12•x（6﹣3x）＝﹣32x2+3x=﹣32（x﹣1）2+32，∴当x＝1时，S最大值＝3 2 .故答案为：32．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.17．15°或60°【解析】【分析】分情况讨论：①DE⊥BC②AD⊥BC然后分别计算的度数即可解答【详解】解：①如下图当DE⊥BC时如下图∠CFD＝60°旋转角为：＝∠CAD＝60°-45°＝15°；（2解析：15°或60°.【解析】【分析】分情况讨论：①DE⊥BC，②AD⊥BC，然后分别计算α的度数即可解答.【详解】解：①如下图，当DE⊥BC时，如下图，∠CFD＝60°，旋转角为：α＝∠CAD＝60°-45°＝15°；（2）当AD⊥BC时，如下图，旋转角为：α＝∠CAD＝90°-30°＝60°；【点睛】本题考查了垂直的定义和旋转的性质，熟练掌握并准确分析是解题的关键.18．【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=【详解】根据圆锥的侧面积公式：底面半径是2cm 母线长是3cm 的圆锥侧面积为故答案是：【点睛】本题考查圆锥的侧面积解题的关键是记住圆锥是侧面积公式解析：26cm π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=RL π．【详解】根据圆锥的侧面积公式：RL π底面半径是2cm ，母线长是3cm 的圆锥侧面积为 236ππ⨯⨯=故答案是：26cm π【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．19．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF 是⊙O 内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析：33 【解析】 连接OB ，∵六边形ABCDEF 是⊙O 内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯ =30°， ∴OM=OB•cos∠BOM=6×32=33， 故答案为：33.20．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9， 故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．三、解答题21．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.【解析】【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围．【详解】（1）由题意得：4030055150k bk b+=⎧⎨+=⎩10700kb=-⎧⇒⎨=⎩．故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．22．（1）证明见解析；（2）AC=4.【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE ∽△ABC，由相似比即可得；（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；【详解】（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.23．（1）20；（2）作图见试题解析；（3）12．【解析】【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；故答案为20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2女A男D男A1男D男A2男D女A男D女D男A1女D男A2女D女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：31 62 =．24．详见解析【解析】【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．【详解】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．∵AF=CE，∴OF=OE．∵在△DOF 和△BOE中，OB OD DOFBOEOF OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA；，；而，；而，；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。
2020-2021北京市师大实验九年级数学上期中一模试题(带答案)
2020-2021北京市师大实验九年级数学上期中一模试题(带答案)一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．4.75B ．4.8C ．5D ．42．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）A ．16B ．29C ．13D ．234．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．85．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30°6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 7．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x > B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．10．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120°11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有_____．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．16．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．17．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．18．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=19．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²． 20．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作»CD交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？22．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.23．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．24．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．2．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.3．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）=26=13．故选C．4．A解析：A【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．5．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为»AB，∴∠ACB=12∠AOB=30°，又∠ACB为△SCB的外角，∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．故选D6．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴==∴⊙O 的半径AO=2AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．7．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．8．A解析：A【解析】根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.9．C解析：C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k ＞0和k ＜0，函数y=kx 2与y=kx+k 的图象，从而可以解答本题．【详解】当k ＞0时，函数y=kx 2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A 、B 均错误，当k ＜0时，函数y=kx 2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C 正确，选项D 错误，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数．【详解】连接OA，OB，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．11．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点∴∠E=∠ODE，AB⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB，故②正确；∵M和A重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．二、填空题13．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识解析：10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=12030 180π⋅，解得：r=10，所以圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题．15．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC、DF，且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG－∠BCF－∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC是FD的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30°在Rt△HDC中，HD=DC·tan∠3∵正方形ABCD的边长为3∴HD=DC·tan∠DCH=3×tan30°33试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，3【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝23，即可得出点C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×33，∴点C的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．17．65°【解析】【分析】连接OAOCOD利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD在圆的内接五边形ABCDE中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO解析：65°【解析】【分析】连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.【详解】 解：如图解:连接OA,OC,OD,Q 在圆的内接五边形ABCDE 中, ∠B+∠E=230°,Q ∠B=12(∠AOD+∠COD), ∠E=12(∠AOC+∠COD),（圆周角定理） ∴12(∠AOD+∠COD)+ 12(∠AOC+∠COD)= 230°, 即:12（∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD ）= 230°， 可得：∠C0D=o o 2230360⨯-=0100，可得：∠CAD=050,在△ACD 中，AC=AD ，∠CAD=050，可得∠ACD=065,故答案：065.【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键.18．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．19．2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π故答案为2π【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l•R圆锥侧面展开图为解析：2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，∴圆锥的侧面积=12×2π×2=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=12l•R．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．20．【解析】试题解析：连接OEAE∵点C为OA的中点∴∠CEO=30°∠EOC=60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE=∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===解析：312π+.【解析】试题解析：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S 扇形AOE =260223603ππ⨯=， ∴S 阴影=S 扇形AOB -S 扇形COD -（S 扇形AOE -S △COE ）=2290290121136036032πππ⨯⨯---⨯（=32432ππ-+=122π+ 三、解答题21．每件衬衫应降价20元.【解析】【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.【详解】解：设每件衬衫应降价x 元.根据题意，得 （40-x ）（20+2x ）=1200,整理，得x 2-30x+200=0,解得x 1=10，x 2=20．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x 1=10应舍去，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.22．（1）顶点(2,1)-；对称轴：直线2x =；与x 轴交点为（1，0）和（3，0），与y 轴交点为（0，3），图象见解析；（2）12y y >.【解析】【分析】（1）根据二次函数解析式即可确定出顶点坐标、对称轴、与两坐标轴的交点坐标，再在坐标系中画出函数图象即可；（2）根据二次函数的图象解答.【详解】解：（1）二次函数y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，当x =0，y =3，当y =0时，x 2﹣4x +3＝0，解得：11x =，23x =，∴抛物线的顶点为（2，﹣1），对称轴为直线x ＝2，与x 轴交点为（1，0）和（3，0），与y 轴交点为（0，3），画出图象，如图所示：（2）∵当x <1时，y 随x 的增大而减小，∴当121x x <<时，12y y >.【点睛】此题考查了抛物线的图象与性质和二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．23．详见解析【解析】【分析】根据中心对称得出OB=OD ，OA=OC ，求出OF=OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．【详解】证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB=OD ，OA=OC ．∵AF=CE ，∴OF=OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，OB OD DOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD=BE ．24．（1）29；（2）2()3n 【解析】【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为23，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为24293y ⎛⎫== ⎪⎝⎭【详解】解：（1）画出树状图即可得到结果；由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2， 所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为29； （2）P （第一个路口没有遇到红灯）=23， P （前两个路口没有遇到红灯）=282()183， 类似地可以得到P （每个路口都没有遇到红灯）＝2()3n ． 故答案为：2()3n 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA ；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB 、扇形AOB 的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA ；，；而， ；而， ；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。
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考点：二次函数图象与系数的关系．
3．D
解析：D
【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。故选D
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】
解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
11．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是（）
A．30ºB．35ºC．25ºD．60º
12．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是()
∴c＞0，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【详解】
解：当 时， ，此时 ，有实数根；
当 时，∵方程 有实数根，∴△ ，解得： ，此时 且 ；
综上， ．故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
22．2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是： ．“解密世园会”、 ．“爱我家，爱园艺”、 ．“园艺小清新之旅”和 ．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
【详解】
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×1=2，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．
18．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．
19．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为_____．
20．若3是关于x的方程x2－x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．
三、解答题
21．小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
24．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法求出问题的解。
【详解】
连接OA，OB，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB=90°，
若点P在优弧ADB上，则∠APB= ∠AOB=45°；
若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．
∴∠APB=45°或135°．
故选C．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC，
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
5．D
解析：D
【解析】
根据题意旋转角为∠ABA1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A、B、C1在同一条直线上，得到∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝1，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA'B′C'的位置，则点B'的坐标为_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=1，
∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．
故选：A．
【点睛】
考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
A．30°B．60°C．90°D．120°
6．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
7．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（ ）
A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°
8．如图，在 中， ， ， ， 由 绕点 顺时针旋转得到，其中点 与点 、点 与点 是对应点，连接 ，且 、 、 在同一条直线上，则 的长为（）
解：旋转角为∠ABA1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，
∴∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°；
故答案为D
点评：本题考查了弧长的计算公式：l= ，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
当 时，代入方程验证即可，当 时，根据方程的判别式△≥0可得关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围，问题即得解决.
(1)李欣选择线Biblioteka ．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份， 并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
15．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．
16．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m．
∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A，连接PP′，