常见的分式函数的图象及其应用
分式型函数的最值求法及简单应用
分式型函数的雏形是反 比例 函数 ） ， ＝ （ ｋ ≠
０ ） ， 通过对函数 图像 的平移 ， 可得到形式为“ Ｙ ＝ 口＋
时， － 等号成立． １
所 以函数的最小值为 ２ √ ＋ ３ ， 此时 ＝ √ ＋ ２ ．
由于函数形 式符合了基本 不等式的“ 一正数 ，
二定值 ， 三相等” 的要求 ， 于是顺理成章 的借助基本 不等式完成了本题 （ ２ ）仍然可整理 孥 化为（ １ ） 中的函数形式， 但由 于ｔ 的范围限制， 故基本不等式在本题中不能使用了， 并目 该 函 数不 是初等函数， 故必厮 Ｕ 用导数说明 单调性
处不 展开说 明．
（ ＞ ２ ） ； （ ３ ≤ ≤５ ） ．
６ Ｏ・
＜ 数学之友 ）
２ ０ １ ５年第 ２ Ｏ期
解 法二 ： ‘ ． ‘ ∈Ｒ， ． ‘ ． 分子 分 母 Ｉ
＝
时， 要 注恿
０的情 况分 开讨论 ：
② ｔ ∈ 【 一 丢 ， 。 ） ｕ （ 。 ， 】 时 ， ， ， ＋ ＿ ＝ ＝ ＿
．
．
． ＞ ０时， ＋ ≥２ （ 当且仅 当 ：１ 时， 等号
一
ｔ＝ 一
成立） ’ ． ． ． ＋ ． ＝ １ －
ｌ ≥１ ， ｙ Ｅ（ ０ ， １ ］ ．
．
‘
１
・
．
・ 菇＜ ０时 ， ＋ ≤一 ２ （ 当且仅 当 ＝一１ 时，
一
所以， 综上， 函数的最小值为 一１ ， 此时 ＝ ３；
这类函数与“ ” 型的处理方式有一定相 同之 处， 第一步也是“ 分 离常数” ， 然后转化 为 “ ” 型
＝ ， 一 耥 （ ２ 一 一 １ ） ２ ＝ 一 （ ２ 一 一 １＜ ） ２ 、 ｏ ｕ ’
常见分式函数的研究
03 分式函数的运算与变换
分式函数的加减法
分式函数的加减法可以通过通分实现，将分母统一后再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，需要注意分母不能为零的情况，避免出现无意义的情况。 对于分式函数的加减法，需要注意运算的顺序，先进行乘除运算再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，可以利用等价无穷小替换简化计算过程。
分式函数的极限与连续性
分式函数的极限：研究分式函数在某点的极限值，以及极限的运算法则
分式函数的连续性：探讨分式函数在某点的连续性，以及连续性的性质和判定方法
分式函数极限与连续性的关系：分析极限与连续性之间的联系，以及在数学分析中的应 用
分式函数极限与连续性的应用：举例说明分式函数极限与连续性在解决实际问题中的应 用
分式函数极值的几 何意义
分式函数极值在实 际问题中的应用
分式函数的凹凸性及拐点问题
分式函数的凹凸性 定义
拐点及其判定条件
分式函数凹凸性的 判别方法
分式函数拐点的求 法
06 分式函数的综合题解析
分式函数的解析几何问题
涉及直线与圆的位 置关系
涉及点到直线的距 离公式
涉及直线的斜率公 式
涉及圆的半径和弦 长公式
分式函数的优化问题
分式函数的极值条件 分式函数的单调性分析 分式函数的凹凸性判断 分式函数的最值求解方法
分式函数的极值问题
分式函数的极值条件 分式函数的极值计算方法 分式函数的极值应用场景 分式函数的极值与连续性的关系
分式函数的最大值与最小值问题
分式函数的极值条 件
分式函数的最大值 与最小值的求解方 法
04 分式函数的应用
分式函数在物理中的应用
力学中速度与时间的关系
电学中电流与电压的关系
有理分式函数的图象及性质
有理分式函数的图象及性质【知识要点】1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c- （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。
（62．函数(0,0)b yax a b x =+>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。
3．函数(0,0)b y ax a b=+><的图象和性质：【例题精讲】1．函数11+-=x y 的图象是 （ ）A B C D2．函数23(1)1x y x x +=<-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2222x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++=<=≠=<=≠---- 3．若函数2()x f x x a+=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D --4．若函数21()x f x x a-=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .22A aB aC aD a ≠-≠≠≠- 5．不等式14x x>的解集为 （ ） 1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-6．已知函数2()ax b f x x c+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。
(完整版)高中各种函数图像及其性质(精编版)
高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b（k，b是常数，且k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当b 0时，一次函数y kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当 b 0，k 0时，y kx仍是一次函数．⑶当 b 0，k 0时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx （k 不为零）① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0 时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．（1）解析式：y=kx （k 是常数，k≠ 0）（2）必过点：（0，0）、（1，k）（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小（5）倾斜度：|k| 越大，越接近y 轴；|k| 越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b （k 不为零） ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实 数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b ）和（- b ， 0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移； 当 b<0 时，向下平移）1）解析式： y=kx+b （k 、 b 是常数， k 0）2） 必过点：（0，b ）和（ - b ，0） k3） 走向： k>0 ，图象经过第一、三象限； k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限k 0 直线经过第一、二、三象限k 0 直线经过第一、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第一、二、四象限k 0 直线经过第二、三、四象限b 0b 04）增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随 x 增大而减小 . 5）倾斜度： |k| 越大，图象越接近于 y 轴； |k| 越小，图象越接近于 x 轴 .6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、一次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（- b，0）k走向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k>0，b>0, 直线经过第一、二、三象限k>0，b<0 直线经过第一、三、四象限k<0，b>0 直线经过第一、二、四象限k<0，b<0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0 ，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0 ，y 随x 的增大而减小。
函数图象的变换在分式函数中的应用
函数图象的变换在分式函数中的应用在函数的学习过程中，我们经常会遇到形如(00)cx dy a ad bc ax b+=≠-≠+，的函数，下面我们从函数图象变换的角度出发，研究这类函数的性质：对cx d y ax b +=+分离常数，可得2bc ad bcd cx d c c a a y b ax b a ax b a x a--+==+=++++，由于2ad bc a -是常数，所以我们可以把函数cx d y ax b +=+的图象看做由反比例函数2ad bca y x-=的图象经过横、纵坐标的平移变换得到。
由于图象的平移变换不改变图象的形状，所以函数cx dy ax b+=+的图象与反比例函数2ad bca y x-=的图象一样，也是双曲线，只不过双曲线的对称中心由原来反比例函数的坐标原点平移到了（b ca a-，），渐近线方程由原来的x 轴、y 轴变成了现在的b x a =-与cy a=。
我们知道，反比例函数的单调性由反比例系数的正负决定，由于图象的平移变换不改变函数的单调性，只改变函数的单调区间，又因为20a >，反比例系数2ad bca-的正负完全由ad bc -的正负决定，所以当（1）0ad bc ->时，函数cx d y ax b +=+在（,ba-∞-）上为减函数，（,b a -+∞）上为减函数；（2）0ad bc -<时，函数cx d y ax b +=+在（,ba -∞-）上为增函数，（,ba-+∞）上为增函数。
由图象我们还可以看出，函数cx d y ax b +=+的定义域为()()b ba a-∞--+∞，，，值域为()()c c a a-∞+∞，，。
综上我们可以得出，形如(0,0)cx dy a ad bc ax b+=≠-≠+的函数：1.图象为双曲线：（1）双曲线的对称中心为（,b c a a -）；（2）渐近线方程为b x ac y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2.定义域与值域：定义域为()()bb a a -∞--+∞，，，值域为()()c c a a-∞+∞，，。
分式函数图象(可编辑修改word版)
分式函数在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型 f (x ) =ax + b cx + d (ad ≠ cb ) ；（2）倒数结构型 f (x ) = ax + b 。
x下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。
一、一次分式型 f (x ) = ax + b(ad ≠ cb )cx + d d a d a图象是以直线 x = - , y = c c （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(- 2x -1, ) ， 通c c常用代点法确定两支双曲线的位置。
例如： y = y3x + 5的图象如图所示：2 3O- 5 - 1 35y = 23x二、倒数结构型 f (x ) = ax + bx（1） a > 0 且b < 0 时，示意图如下：y- -b- b aaOx此时 f (x ) 为奇函数，分段递增， 当 x > 0(或x < 0) 时， y ∈ R（2） a > 0, b > 0 时，示意图如下：y2 aby = ax可看成以直线 y = ax 与 y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点 A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时 f (x ) 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。
Ob xaB注意：当 a < 0, b > 0 时或 a < 0, b < 0 时，可转化为上述两种。
(完整版)分式函数的图像与性质
分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)axbx c y a b c d e fR dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。
※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
多项式函数与分式函数的性质与应用
05
多项式函数与分式函数的求解方法
多项式函数的求解方法
代数法
通过因式分解、配方法、公式法等代数手段求解多项 式函数的根。
图形法
利用多项式函数的图像，通过观察图像与x轴的交点 来求解函数的根。
数值法
采用迭代法、牛顿法等数值计算方法逼近多项式函数 的根。
分式函数的求解方法
消元法
通过分子分母同乘以某个式子消去分母，将分 式函数转化为整式函数进行求解。
THANKS
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多项式函数与分式函数的应用
在数学领域的应用
代数运算
多项式函数与分式函数在代数运 算中广泛应用，如因式分解、化 简求值等。
函数性质研究
通过研究多项式函数与分式函数 的单调性、奇偶性、周期性等性 质，可以深入了解函数的内在规 律。
方程与不等式的求解
多项式函数与分式函数经常出现 在方程与不等式中，掌握它们的 性质有助于求解相关问题。
多项式函数的图像可能具有拐点，即函数图像的 凹凸性发生变化的点。
多项式函数的根与零点
多项式函数的零点与根是等价的，都是指函数 值为零的点。
多项式函数的根的个数（包括重根）等于多项式的次 数。
多项式函数的根是指使得多项式函数值为零的 自变量 x 的值。
多项式函数的根可以通过代数方法（如因式分解 、求根公式等）或数值方法（如牛顿迭代法）来 求解。
一般形式为：f(x) = a_nx^n + a_{n1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是常数，n 是非负整数。
多项式函数的图像与性质
多项式函数的图像是一条连续且光滑的曲线。
浅谈分式线性变换的性质及应用
浅谈分式线性变换的性质及应用1 分式线性变换的定义在复变函数中，如果)(z f w =在区域D 内是单叶且保角的，则称它为D 内的共形映射. 形如dcz baz w ++=(1)其中0≠-bc ad 且R d c b a ∈,,,,称为分式线性变换,简记为)(z L w =,可变形为acw bdw z -+-=('1)且(1)式总可以分解成下列简单类型变换的组合: (Ⅰ)h kz w += (0≠k ) 称为整线性变换 (Ⅱ)zw 1=称为反演变换 由上可知分式线性变换是共形映射中的一种常见的基本变换,是扩充复平面到自身的一对一的映射.德国数学家A.F.Mobius 对此作过大量的研究,所以在很多文献中分式线性变换也称为Mobius 变换.2 分式线性变换的性质分式线性变换作为共形映射的一种基本变换,具有四个重要的性质,这些性质使它具有了很多的优点:在处理边界为圆弧或直线的区域变换中发挥了重要的作用,使复杂问题简单化.下面将给出它的四个重要性质.2.1 分式线性变换的保形性 定义1)289](1[P 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α.按照上面的定义,反演变换在0=z 及∞=z 处是保角的,且整线性变换在扩充z 平面上是保角(形)的,由此我们得出 定理1)290](1[P 分式线性变换(1)在扩充z 平面上是保形的.2.2 分式线性变换的保交比性 定义2)291290](1[-P 扩充z 平面上有顺序的四个相异点1z ,2z ,3z ,4z 构成下面的量,称为它们的交比,记为(1z ,2z ,3z ,4z )(1z ,2z ,3z ,4z )=2414z z z z --:2313z z z z --注 当四点中有一个点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 定理2 在分式线性变换下,四点的交比不变. 证明 设 dcz baz w i i i ++= 4,3,2,1=i则))(())((d cz d cz z z bc ad w w j i j i j i ++--=- (j i ≠)利用上式可得(1w ,2w ,3w ,4w )=23132414:w w w w w w w w ----=2414z z z z --:2313z z z z --=(1z ,2z ,3z ,4z ) 证完.2.3 分式线性变换的保对称点性 定义3)294](1[P 1z ,2z 关于圆周γ:R a z =-对称是指1z ,2z 都在过圆心a 的同一条射线上,且合221R a z a z =--.此外,我们规定圆心a 与点∞关于γ对称. 在介绍定理之前先引入一引理如下: 引理)295](1[P 扩充z 平面上两点1z ,2z 关于圆周γ对称的充要条件是通过1z ,2z 的任意圆周都与γ正交.定理3 设扩充z 平面上两点1z ,2z 为关于圆周C 的一对对称点,那么在分式线性变换)(z L w =下,它们的象点1w =)(),(221z L w z L =两点也是关于圆周C 的象曲线圆周Γ的一对对称点.证明 设 过1w 及2w 的任何圆周'Γ,都是过1z ,2z 的圆周'C 由分式线性变换（1）变换而来,由上面的引理, 过1z ,2z 的任意圆周'C 都与C 正交,根据分式线性变换的保形性,过1w ,2w 的任何圆周'Γ与圆周Γ正交,又由引理知1w ,2w 关于Γ对称.证完.2.4 分式线性变换的保圆(周)性定理4 在分式线性变换(1)下,扩充z 平面上的圆周共形映射成扩充w 平面上的圆周. 证明 在圆周方程0)(22=++++D Cy Bx y x A (2) 中,令2_z z x +=,iz z y 2_-=,_22z z y x =+则(2)变为0___=+++D z z z Az ββ (3) 注 ,,,,R D C B A ∈AD >2β(在0=A 时,表示一直线),)(21iC B -=β. 在分式线性变换(1)下,利用('1)及 _______aw c b w d z -+-=(3)式变成扩充w 平面上的圆周0___=+++F w w w Ew γγ 其中Aba Dab a b a b Ab F cDc d c d c d Ad E -=++-=++-=γββββ__________)()(都是实数(在0=E 时,方程表示直线) 证完.3 分式线性变换的应用分式线性变换从几何角度“形”的方面对解析函数进行研究，是复变函数的重要组成部分，在复变函数中它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中具有重要的作用,即任给两个圆周(或直线)C 及Γ,必存在一个分式线性变换,它把C 保形变换到Γ,若在C 上按逆时针方向取三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上也是按逆时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,且这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的左(右)侧区域;若在C 上按逆时针方向取的三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上按顺时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,则这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的右(左)侧区域.下面是几个典型的分式线性变换.3.1 将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换例1 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成dcz baz w ++=,其中R d c b a ∈,,,且0>-bc ad (4)证明 )(21Im _w w iw -=)(21__dz c b z a dcz b az i ++-++=)(21_2z z d cz bcad i -+-=z dcz bc ad Im 2+-=此时它必将下半平面共形映射成下半平面.注将上半z 平面共形映射成下半w 平面的分式线性变换dcz baz w ++=只需让上式（4）中条件0<-bc ad ，它必将下半z 平面共形映射成上半w 平面.3.2 将上半平面共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例2 求出将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换,并使上半平面上一点)0(Im >=a a z 变为0=w .解 如图根据分式线性变换的保对称点性,点a 关于实轴的对称点_a ,应该变到0=w 关于单位圆周的对称点∞=w ,这个变换应当具有形式_az a z kw --=其中k 是常数, k 值的确定,可使实轴上的点,例如0_=z 共形映射成单位圆周上的一点_aa kw =所以k aa k==_1因此,可以令βi e k =(β是实数),最后得到所求的变换为 _az a z e w i --=β(0Im >a ) （5）此时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆外部1>w .注 如果将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆周外部1>w ,只需将（5）式中括号里的条件变为0Im <a ,同时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆内部1<w .3.3 将单位圆周内部共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例3 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周1<w 的分式线形变换,并使一点)1(<=a a z 变到0=z .解 如图)(z L w =由题意,所求的映射应将z 平面上的单位圆1:=z C 变为w 平面上的单位圆1:'=w C .由于要把点)1(<=a a z 变为点0=w ,而关于圆周C 与点a 对称的点是_1a,关于圆周'C 与点0=w 对称点是∞,由分式线形变换的保对称点性知,所求映射应将点a z =共形映射成点0=w ,将点_1az =共形映射成点∞=w .不妨设所求分式线性变换为_'1az az kw --=,'k 为待定系数. 即za a z k a w _'_1---=令'_k a k -=得za a z kw _1--=为确定k ,利用C 上的点的象在'C 上,取点1=z 代入上式应满足1=w ,即111_=--=aa kw所以1=k ,从而得θi e k =,(θ为任意实数).所以 za a z e w i _1--=θ,(1<a ,θ为任一实数). （6）此时它必将单位圆周外部1>z 变到单位圆周外部1>w .注 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换只需让（6）式括号中1>a 即可;同时,它必将单位圆周外部1>z 共形映射成单位圆周内部1<w .3.4 分式线性变换的综合应用综上所述,我们可求出任意圆形区域(含半平面)到圆形区域的线性变换,若没有任何其它要求,这种线性变换的表达式中包含了两个任意常数,因此,这种变换有无穷多个;如果指定区域内某点的象,则相应的这一点关于圆周(或直线)的对称点应变到相应象点关于象圆周的对称点,这样线性变换中就剩下一个任意复常数;圆的位置变换可经平移得到,圆心在原点的圆可用)0(>=ααz w 使圆放大或缩小,这样我们就可以将任意圆形域(含半平面)变成任意的圆形域(含半平面).例4 求将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0的分式线性变换)(z L w =,使符合条件0)(w i L =,.0)('>i L解 做分式线性变换Rw w 0-=ξ 将圆R w w <-0共形映射成单位圆1<ξ.然后,作出上半平面0Im >z 到单位圆1<ξ的共形映射,使i z =变成0=ξ,该分式线性变换为iz iz ei +-=θξ (为了应用以上三例的结果,我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面——ξ平面.)复合以上两个分式线性变换得iz iz e R w w i +-=-θ0 它将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0，i 变成0w .又由条件0)('>i L 可得()ie i z iz i z e dzdw R i iz i iz 2112θθ=++-+=== 也就是 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=2'221Re πθθi i e R i i L所以 i e i ===-θπθπθ,2,02故所求分式线性变换为 0w iz iz Riw ++-= 从以上讨论得到分式线性变换作为一类特殊的共形映射有很好的性质,保圆性、保对称点性、保形性、保交比性，并且分式线性变换能将圆形区域(含半平面)变成规则的区域,它有很多用途.总结分式线性变换的这些特性对我们以后的学习会很有帮助的.而上述这些从性质和应用两方面说明了分式线性变换的重要性，鉴于此，我尝试对该领域内主要贡献者的观点进行归纳整理，力求使该部分内容更加清晰、系统，并从几何角度对分式线性变换作全面分析，更加体现出分式线性变换的重要作用.参考文献：[1] 钟玉泉. 复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 余家荣. 复变函数[M]. 北京：高等教育出版社，2005[3] 肖荫庵. 复变函数论[M].吉林: 东北师范大学出版社,1987[4] 于慎根、杨永发、张相梅. 复变函数与积分变换[M].天津：南开大学出版社，2006[5] 钟玉泉. 复变函数学习指导[M].北京: 高等教育出版社，2005[6] 杨林生. 复变函数[M].北京: 高等教育出版社，2001[7] 郑建华. 复变函数[M]. 北京: 清华大学出版社，2005[8] 方企勤. 复变函数教程[M]. 北京: 北京大学出版社，2003[9] James Ward Brown、Ruel V. Churchill （邓冠铁译）复变函数及应用[M].机械工业出版社，2006[10] 郭洪芝、腾桂兰. 复变函数[M]. 天津：天津大学出版社，2002。
常见分式函数的研究
复合分式函数
定义
形如f(x)=p(g(x))/q(h(x))的函数，其中g(x)和h(x)是一次 或多次多项式，p(u)和q(v)是多项式或分式函数。
01
性质
具有更复杂的性质和形态，可能存在多 个转折点、极值点等。
02
03
应用
在解决复杂数学问题、工程优化等领 域有应用，如电路分析、控制系统等。
03 分式函数的运算
分式函数在经济增长的研究中也有应用，例如GDP的增长率。通过将经
济增长表示为分式函数，可以方便地分析经济增长的规律和影响因素。
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角度计算
分式函数在几何学中还可以用于 计算角度，例如三角形的内角和、 两直线之间的夹角等。通过将角 度表示为分式函数，可以方便地 求解角度。
分式函数在物理学中的应用
速度与加速度
分式函数在物理学中常用于描述物体的速度和加速度，例如匀速运动和匀加速运动。通过将速度和加速度表示为分式 函数，可以方便地求解物体的运动轨迹和时间。
要点二
详细描述
代入法是求分式函数值的一种常用方法。首先，我们需要找 到分式函数的分子和分母，然后将自变量代入分子和分母中， 计算出函数值。例如，对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 5，当 x = 2 时，我们代入 x 的值，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 + 5 = 17。
消去法求值
常见分式函数的研究
目录
• 分式函数的基本概念 • 分式函数的分类 • 分式函数的运算 • 分式函数的求值 • 分式函数的应用
01 分式函数的基本概念
分式函数的定义
总结词
一些常用函数的曲线图及应用简说
一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。
周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。
例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。
正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。
这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。
每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。
1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。
把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。
（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。
第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。
第三步：连线。
用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。
2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。
根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。
常用基本函数图像与性质
高中常用函数图像与性质一、常值（数）函数1.定义：一般地，形如为常数）（c c y =，那么叫做常值（数）函数.2.图像与性质：解析式)0(>=c c y 0=y )0(<=c c y 图像性质定义域R值域{}c y y =单调性不具单调性奇偶性偶函数对称性对称轴：y 轴（0=x ）二、一次函数1.定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x 的一次函数.特别地，当b=0时，y=kx ，此时y 叫做x 的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数.2.图像与性质：一次函数()0k kx b k =+≠k ，b 符号k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b =图象性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小三、二次函数1.定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.2.解析式：（1）一般式：)0(2≠++=c c bx ax y ；（2）顶点式：)0(442(22≠-++=a ab ac a b x a y ；（3）两点式：)0)()((21≠--a x x x x a ，其中)0,(,)0,(21x x 为图像与x 轴了两交点的坐标.3.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．4.二次函数的系数c b a ,,对图像的影响（1）系数a ：①0>a ，开口向上；0<a ，开口向下；②a 越大，开口越大；a 越小，开口越小；（2）系数b ：b a ,的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”①b a 、同号：0>ab ，对称轴a bx 2-=在y 轴左侧，②b a 、异号：0<ab ，对称轴abx 2-=在y 轴右侧；（3）常数c ：与y 轴交点坐标),0(c ；5.二次函数2y ax bx c =++)0(≠a 的性质()()20f x ax bx c a =++≠0a >0a <图像定义域(),-∞+∞对称轴2bx a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域),44(2∞+-ab ac 24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间)2,(ab--∞递减)2(∞+-，ab 递增)2,(ab--∞递增)2(∞+-，ab 递减6.二次函数2y ax bxc =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住5要素：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.7.二次函数与一元二次方程（1）当抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴两个交点时，公共点的横坐标21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根.（2）①当240b ac ∆=->时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有1个交点（顶点）；③当042<-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；（3）当042<-=∆ac b 时：①当0a >时，图象落在x 轴的上方，0y >恒成立；②当0<a 时，图象落在x 轴的下方，0<y 恒成立；四、反比例函数1.定义：一般地，形如)0(≠=x xky 的函数，称为反比例函数.2.图像与性质：函数解析式>k 0<k五、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且，x 为自变量，函数定义域为R .2.图像与性质：10<<a 1>a 图像定义域R 值域)0(∞+，性质（1）过定点（0，1），即1,0==y x 时（2）在R 上为减函数（2）在R 上为增函数六、对数函数1.定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且，x 为自变量，函数定义域为),0(∞+.2.图像与性质：10<<a 1>a图像定义域(0,+∞)值域R性质（1）过定点（1，0），即0,1==yx时（2）在),0(∞+上为减函数（2）在),0(∞+上为增函数七、幂函数1.定义：形如αxy=叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.2.几种常见幂函数的图像3.几种常见幂函数.的图像与性质幂函数性质xy=2xy=3xy=21xy=1-xy=八、对勾函数1.定义：2.图像与性质：解析式)0,0()(>>+=b a xbax x f 图像性质定义域{}0≠x x 值域),2[]2,(∞+--∞ab ab 单调性单调增区间：),(,),(∞+--∞ab a b九、分式函数1.定义：一般地，形如：()()ax bf x ad cb cx d+=≠+叫做分式函数.2.图像与性质：图象是以直线,d a x y c c =-=（恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(,d ac c-，通常用代点法确定两支双曲线的位置。
分式函数的图像与性质
ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。
如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。
x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。
如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。
3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。
如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
(完整版)分式函数的图像与性质.docx
分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念ax 2 bx c 2x形如 yexf (a,b,c, d ,e, f R) 的函数称为分式函数。
如 ydx 2 x 2y4x 1等。
x 32、分式复合函数a[ f (x)]2bf (x) c (a, b, c, d, e, f R) 的函数称为分式复合函数。
如形如 yef ( x) fd[ f (x)]2ysin x 2， yx 1 2等。
3sin x3x 31，yx 2 1 ， xx 22 x y2x1，1 2※ 学习探究探究任务一 ：函数 yaxb(ab0) 的图像与性质x问题 1： yax b(a, b, c, d R) 的图像是怎样的？cx d例 1、画出函数 y2 x1的图像， 依据函数图像， 指出函数的单调区间、 值域、对称中心。
x1【分析】 y2x 1 2( x 1) 1 12 ，即函数 y2x 1的图像可以经由函数 y1x1 x 1x 1x1x的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。
如下表所示：1右1 1 上 2y1yy12xx x1由此可以画出函数y2 x 1的图像，如下：x 1yyyOx O12xO1x单调减区间： ( ,1),(1,) ；值域： (,2) U (2,) ；对称中心： (1,2) 。
【反思】 yaxb(a,b, c, d R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx d条件决定？【小结】 yaxb(a,b, c, d R) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx d需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数 y axb(a,b,c,dR) 的图像与性质cx dd }（1）定义域： { x | x；c （2）值域： { y | ya} ；cd),(d, + ) ；（3）单调性： 单调区间为 (,cc d, ya，对称中心为点 (d , a) ；（ 4）渐近线及对称中心：渐近线为直线xccc c（ 5）奇偶性：当 a d 0 时为奇函数； （ 6）图象：如图所示yyO x O x问题 2： yaxb(ab 0) 的图像是怎样的？x例 2、根据 y1的函数图像， 绘制函数 y x1 x 与 y的图像， 并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
高中常见函数的图象与性质
高中常见函数的图象与性质一、一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，图象是一条直线1. 定义域：R2. 值域：R3. 导函数y x ’＝k ，图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为k ，切线方程为y ＝kx ＋b .4. k 与b 对函数y ＝kx ＋b 图象的影响：(1) k 是一次函数的斜率，是倾斜角θ的正切值；即k ＝tan θ.当θ∈(0，π2) 时，k ＝tan θ＞0，直线从左到右呈上升趋势，即R 为一次函数的单调增区间；当θ∈(π2，π) 时，k ＝tan θ＜0，直线从左到右呈下降趋势，即R 为一次函数的单调减区间.(2) b 是一次函数在y 轴上的截距，即一次函数y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为(0，b ).当b ＞0时，直线过y 轴的正半轴；当b ＝0时，直线过原点，即为正比例函数的图象；当b ＜0时，直线过y 轴的负半轴.5. 单调区间：k ＞0时，单调增区间为R ；k ＜0时，单调减区间为R .6. 两直线y ＝k 1x ＋b 1与y ＝k 2x ＋b 2的位置关系(1) 两直线重合⇔k 1＝k 2，b 1＝b 2；(2) 两直线平行⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2；(3) 两直线垂直⇔k 1·k 2＝－1；(4) 两直线关于直线x ＝a 对称⇔k 1＋k 2＝0 (a 为两直线交点的横坐标).7. 一次函数的平移：“上加下减，左增右减”(1) 函数y ＝kx ＋b 的图象向上平移n 个单位得到函数y ＝kx ＋b ＋n 的图象；函数y ＝kx ＋b 的图象向下平移n 个单位得到函数y ＝kx ＋b －n 的图象；(2) 函数y ＝kx ＋b 的图象向左平移m 个单位得到函数y ＝k (x ＋m )＋b 的图象；函数y ＝kx ＋b 的图象向右平移m 个单位得到函数y ＝k (x －m )＋b 的图象.二、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，图象是一条抛物线1. 定义域：R2. 值域：当a ＞0时，y ∈[4ac －b 24a ，＋∞)；当a ＜0时，y ∈(－∞，4ac －b 24a ].3. 对称轴为直线x ＝－b 2a ，顶点为(－b 2a ，4ac －b 24a ).(1) 对任意的x ，满足f (－b 2a －x )＝f (－b 2a ＋x )，即满足f (x )＝f (－b a －x ). (2) 当且仅当x ＝－b 2a ，y ＝4ac －b 24a ；当a ＞0时，4ac －b 24a为函数的最小值； 当a ＜0时，4ac －b 24a为函数的最大值. (3) 当ab ＞0时，即a 、b 符号相同时，对称轴在y 轴左侧；当ab ＜0时，即a 、b 符号相反时，对称轴在y 轴右侧；当b ＝0时，对称轴就是y 轴. (简记“左同右异”)(4) 导函数y x ’＝2ax ＋b .①图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为2ax 0＋b ，切线方程为y －y 0＝(2ax 0＋b )(x －x 0).②当a ＞0时，函数在(－∞，－b 2a )上单调减，在(－b 2a，＋∞)上单调增； 当a ＜0时，函数在(－∞，－b 2a )上单调增，在(－b 2a ，＋∞)上单调减.4. a 、c 、Δ对函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的影响：(1) a ＞0时，抛物线开口向上；a ＜0时，抛物线开口向下；|a | 越大，抛物线开口越小.(2) c 是二次函数在y 轴上的截距，即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c ).当c ＞0时，直线过y 轴的正半轴；当c ＝0时，直线过原点；当c ＜0时，直线过y 轴的负半轴.(3) Δ＝b 2－4ac . 当Δ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，两交点的距离为|x 1－x 2|＝Δ|a |；当Δ＝0时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，交点为(－b 2a ，0)；当Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点.5. 二次函数的三种特殊形式：(1) 顶点式：若抛物线的对称轴为直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，k )，则抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，任何一个二次函数都能写成顶点式；(2) 交点式(双根式)：若抛物线与x 轴的交点分别为(x 1，0)和(x 2，0)，则抛物线的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，只有Δ≥0的二次函数才能写成交点式；(3) 对称点式：若抛物线与直线y ＝m 的交点分别为(x 1，m )和(x 2，m )，则抛物线的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)＋m ，任何一个二次函数都能写成对称点式.6. 二次函数的平移：“上加下减，左增右减”(1) 函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向上平移n 个单位得到函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋n 的图象；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向下平移n 个单位得到函数y ＝ax 2＋bx ＋c －n 的图象；(2) 函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向左平移m 个单位得到函数y ＝a (x ＋m )2＋b (x ＋m )＋c 的图象；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向右平移m 个单位得到函数y ＝a (x －m )2＋b (x －m )＋c 的图象.(3) 函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象向上平移n 个单位得到函数y ＝a (x －h )2＋k ＋n 的图象；函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象向下平移n 个单位得到函数y ＝a (x －h )2＋k －n 的图象；(4) 函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象向左平移m 个单位得到函数y ＝a (x ＋m －h )2＋k 的图象；函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象向右平移m 个单位得到函数y ＝a (x －m －h )2＋k 的图象.7. 与一元二次不等式有关的问题：(1) 解关于x 的一元二次不等式(以a ＞0为例，可画函数图象分析)：①当Δ＞0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－b －b 2－4ac 2a )∪(－b ＋b 2－4ac 2a ，＋∞)； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(－b －b 2－4ac 2a ，－b ＋b 2－4ac 2a ). ②当Δ＝0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ≠－b 2a }；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为空集.③当Δ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R; 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为空集.而a ＜0时，可将以上三个结论反过来记.(2) 不等式恒成立的问题：①不等式ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立⇔a ＞0且Δ＜0；②不等式ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立⇔a ＜0且Δ＜0.8. 研究三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)时，可以利用它的导函数是一个二次函数y x ’＝3ax 2＋2bx ＋c ，确定三次函数的单调性，就可画出三次函数的草图，进而研究三次函数的性质.三、反比例函数y ＝k x (k ≠0)，图象是一条双曲线1. 定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)2. 值域：(－∞，0)∪(0，＋∞)3. 渐近线：坐标轴4. 奇偶性：奇函数，对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足f (－x )＝－f (x ).5. 一般对称性：关于直线y ＝x 与y ＝－x 对称.6. 导函数：y x ’＝－k x 2.(1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为 －k x 02，切线方程为y －y 0＝－k x 02(x －x 0)； (2) 当k ＞0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调减，且过第一、三象限；当k ＜0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调增，且过第二、四象限.7. k 的几何意义：向两坐标轴分别作垂线，所围成的矩形的面积为 |k |.四、“类反比例函数”y ＝k x ＋a＋b (k ≠0)，图象是一条双曲线 1. 与反比例函数y ＝k x 的联系：将函数y ＝k x 的图象向左平移a 个单位，再向上平移b个单位，得到函数y ＝k x ＋a＋b 的图象. 2. 研究分式函数y ＝mx ＋n px ＋q 时，可将函数化成y ＝k x ＋a＋b 的形式进行研究.(分离常数) 3. 定义域：(－∞，－a )∪(－a ，＋∞) 4. 值域：(－∞，b )∪(b ，＋∞)5. 渐近线：直线x ＝－a 与直线y ＝b .6. 图象关于点(－a ，b )对称，对任意的x ∈(－∞，－a )∪(－a ，＋∞)，满足f (－a －x )＋f (－a ＋x )＝2b ，即f (x )＋f (－2a －x )＝2b .7. 导函数：y x ’＝－k (x ＋a )2. (1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为 －k (x 0＋a )2，切线方程为 y －y 0＝－k (x 0＋a )2(x －x 0)； (2) 当k ＞0时，函数在(－∞，－a )和(－a ，＋∞)上分别单调减；当k ＜0时，函数在(－∞，－a )和(－a ，＋∞)上分别单调增.8. k 的几何意义：向直线x ＝－a 与直线y ＝b 分别作垂线，所围成的矩形的面积为 |k |.五、对勾函数y ＝ax ＋b x(a ＞0，b ＞0)，又名“双飞燕函数”、“耐克函数”、“对号函数”，图象是一条双曲线1. 定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)2. 值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)3. 图象：如右所示3. 渐近线：y 轴与直线y ＝ax .4. 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称，对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足f (－x )＝－f (x ).5. 导函数：y x ’＝a －b x 2 (x ≠0).(1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为a －b x 02，切线 方程为y －y 0＝(a －b x 02)(x －x 0)； (2) 函数在(－∞，－b a )和(b a，＋∞)上分别单调增；函数在(－b a ，0)和(0，b a ) 上分别单调减； (3) 当x ＞0时，当且仅当x ＝b a 时，函数取最小值2ab ；当x ＜0时，当且仅当x ＝－b a 时，函数取最大值－2ab .六、指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，图象是一条曲线1. 定义域：R2. 值域：(0，＋∞)3. 所过特殊点：点(0，1)和点(1，a )4. 对任意的x 、y ，满足f (x ＋y )＝f (x ) · f (y )，原理是a x ＋y ＝a x ·a y .5. 导函数：y x ’＝a x ·ln a .(1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为，切线方程为y －y 0＝(x －x 0)；(2) 当a ＞1时，函数在R 上单调增；当0＜a ＜1时，函数在R 上单调减.6. 函数y ＝a x 与函数y ＝log a x 互为反函数，几何意义是函数y ＝a x 的图象与函数y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称.7. 设函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，g (x )＝b x (b ＞0，且b ≠1)，若ab ＝1，则函数f (x ) 与 g (x ) 的图象关于y 轴对称，且有g (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1).8. 当a ＞1时，函数f (x )＝a x 在(0，＋∞)上恒有f (x )＞1，在(－∞，0)上0＜f (x )＜1； 当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x 在(0，＋∞)上0＜f (x )＜1，在(－∞，0)上恒有f (x )＞1.七、对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，图象是一条曲线1. 定义域：(0，＋∞)2. 值域：R3. 所过特殊点：点(1，0)和点(a ，1)4. 对任意的x 、y ∈(0，＋∞)，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，原理是log a xy ＝log a x ＋log a y .5. 导函数：y x ’＝1x ·log a e .(1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为 1x 0·log a e ，切线方程为y －y 0＝1x 0·log a e (x －x 0)； (2) 当a ＞1时，函数在(0，＋∞)上单调增；当0＜a ＜1时，函数在(0，＋∞)上单调减.6. 函数y ＝a x 与函数y ＝log a x 互为反函数，几何意义是函数y ＝a x 的图象与函数y ＝log a x的图象关于直线y ＝x 对称.7. 设函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0，且b ≠1)，若ab ＝1，则函数 f (x ) 与g (x ) 的图象关于x 轴对称，且有g (x )＝－log a x (a ＞0，且a ≠1).8. 当a ＞1时，函数f (x )＝log a x 在(1，＋∞)上恒有f (x )＞0，在(－∞，1)上恒有f (x )＜0； 当0＜a ＜1时，函数f (x )＝log a x 在(1，＋∞)上恒有f (x )＜0，在(－∞，1)上恒有f (x )＞0.八、幂函数y ＝x α(α∈R )，设α＝m n ，且m 、n 两数互质.1. 定点：当α＞0时，过定点(0，0)和(1，1)；当α＜0时，过定点(1，1).2. 奇偶性：(1) 当n 是偶数时，函数没有奇偶性，只在x ≥0或x ＞0上有定义；(2) 当n 是奇数时，若m 为奇数，函数为奇函数；若m 为偶数，函数为偶函数.3. 画幂函数y ＝x α的图象草图的步骤：(1) 根据α与1或0的大小关系，画出函数在第一象限的图象(如右图)；(2) 根据函数的奇偶性，画出整个函数的图象.4. 导函数：y x ’＝α·x α－1，导函数的定义域与原函数相同；图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为α·x 0α－1，切线方程为y －y 0＝α·x 0α－1·(x －x 0).九、正弦函数y ＝sin x ，图象是一条正弦曲线，以下k ∈Z .1. 定义域：R2. 值域：[－1，1]3. 图象：如右所示4. 奇偶性：奇函数5. 一般对称性：(1) 对称轴：直线x ＝π2＋kπ，正弦函数的图象有无数条对称轴.(2) 对称中心：点(kπ，0)，正弦函数图象有无数个对称中心，且零点为kπ.(3) 对任意的x 满足f (π2＋kπ－x )＝f (π2＋kπ＋x )，f (kπ－x )＋f (kπ＋x )＝0，即满足f (x )＝f (π＋2kπ－x )，f (x )＋f (2kπ－x )＝0. (诱导公式)6. 周期性：以2kπ为周期，且最小正周期为2π，原理为sin(2kπ＋x )＝sin x .7. 导函数：y x ’＝cos x .(1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为cos x 0，切线方程为y －y 0＝cos x 0·(x －x 0)；(2) 函数在(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)上单调增，在(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)上单调减.(3) 当且仅当x ＝π2＋2kπ时，函数取最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2kπ时，函数取最小值 －1.十、余弦函数y ＝cos x ，图象是一条正弦曲线，以下k ∈Z .1. 定义域：R2. 值域：[－1，1]3. 图象：如右所示4. 奇偶性：偶函数5. 一般对称性：(1) 对称轴：直线x ＝kπ，余弦函数的图象有无数条对称轴.(2) 对称中心：点(π2＋kπ，0)，余弦函数图象有无数个对称中心，且零点为 π2＋kπ.(3) 对任意的x 满足f (kπ－x )＝f (kπ＋x )，f (π2＋kπ－x )＋f (π2＋kπ＋x )＝0，即满足f (x )＝f (2kπ－x )，f (x )＋f (π＋2kπ－x )＝0. (诱导公式)6. 周期性：以2kπ为周期，且最小正周期为2π，原理为cos(2kπ＋x )＝cos x .7. 导函数：y x ’＝－sin x .(1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为 －sin x 0，切线方程为y －y 0＝－sin x 0·(x －x 0)；(2) 函数在((2k －1)π，2kπ)上单调增，在(2kπ，(2k ＋1)π)上单调减.(3) 当且仅当x ＝2kπ时，函数取最大值1；当且仅当x ＝(2k ＋1)π时，函数取最小值 －1.8. 正弦函数与余弦函数的关系：根据诱导公式sin(π2＋x )＝cos x ，于是余弦函数y ＝cos x的图象可由正弦函数y ＝sin x 的图象向左平移 π2 个单位得到，因此余弦函数的图象也是一条正弦曲线.十一、正切函数y ＝tan x ，图象是一条正切曲线，以下k ∈Z .1. 定义域：{x |x ≠π2＋kπ，k ∈Z }2. 值域：R3. 图象：如右所示4. 奇偶性：奇函数5. 对称中心：点((k ＋1)π2，0)，正切函数有无数个对称中心，但零点为kπ.6. 周期性：以kπ为周期，且最小正周期为π，原理为tan(kπ＋x )＝tan x .7. 导函数：y x ’＝1cos 2x＝sec 2x . (1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为 1cos 2x 0，切线方程为y －y 0＝1cos 2x 0·(x －x 0)，即y －y 0＝sec 2x 0·(x －x 0)；(2) 函数在(－π2＋kπ，π2＋kπ)上单调增.十二、正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0)，图象是一条正弦曲线，以下k ∈Z .1. 定义域：R2. 值域：[－A ，A ]3. 周期性：以 2k πω 为周期，且最小正周期为 2πω.4. 一般对称性：(1) 对称轴：直线ωx ＋φ＝π2＋kπ，即直线x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω； (2) 对称中心：点(kπ－φω，0)，零点为 kπ－φω，即ωx ＋φ＝kπ.5. 导函数：y x ’＝A ω·cos(ωx ＋φ)(1) 图象上任一点(x 0，y 0)的切线斜率为A ω·cos(ωx 0＋φ)，切线方程为y －y 0＝A ω·cos(ωx 0＋φ)·(x －x 0)；(2) 函数在(a ，b )上单调增，在(b ，c )上单调减，其中a 、b 、c 分别满足以下方程ωa ＋φ＝－π2＋2kπ，ωb ＋φ＝π2＋2kπ，ωc ＋φ＝3π2＋2kπ.(3) 当且仅当x ＝b 时(ωb ＋φ＝π2＋2kπ)，函数取最大值A ；当且仅当x ＝a 时(ωa ＋φ＝－π2＋2kπ)，函数取最小值 －A .6. A 、ω、φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0)的影响：(1) 当A ＞1时，把函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象纵向(沿y 轴方向)向上下两端伸长到原来的A 倍，得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；当0＜A ＜1时，把函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象纵向向中间压缩到原来的A 倍，得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；因此A 叫做函数的振幅，A 决定函数值与长度的大小，且值域的长度为2A .(2) 当ω＞1时，把函数y ＝A sin(x ＋φ)的图象横向(沿x 轴方向)向中间压缩到原来的 1，得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；当0＜ω＜1时，把函数y ＝A sin(x ＋φ)的图象横向向左右两端伸长到原来的 1ω，得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；因此ω叫做函数的频率，ω影响函数的周期.(3) 当φ＞0时，把函数y ＝A sin ωx 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；当φ＜0时，把函数y ＝A sin ωx 的图象向右平移 |φ| 个单位，得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；因此φ叫做函数的初相，φ影响函数的位置.7. 从函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0)的图象的变换：(1) 先φ，再ω，后A ：① 把函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标减去φ，纵坐标不变，即向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；② 把函数y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标除以ω，纵坐标不变，即横向向中间压缩到原来的 1ω，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；③ 把函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标乘以A ，即纵向向上下两端伸长到原来的A 倍，得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.(2) 先ω，再φ，后A ：① 把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标除以ω，纵坐标不变，即横向向中间压缩到原来的1ω，即得到函数y＝sin ωx的图象；②把函数y＝sin ωx的图象上所有点的横坐标减去φω，纵坐标不变，即向左平移φω个单位，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；③把函数y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标乘以A，即纵向向上下两端伸长到原来的A倍，得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象.8. 函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B (A＞0，ω＞0)的图象性质：(1) 把函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象向上平移B个单位得到y＝A sin(ωx＋φ)＋B的图象.(2) 函数的值域为[－A＋B，A＋B]，对函数值域的两端求平均，结果就是B；因此B决定了函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B的最大值与最小值的平均值.。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
一次kkx b k函数k ，bkk符号b 0b 0b 0b 0b 0yyyyy图象OxOxOxOxOxb 0yOx性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小二次函数f xax 2 bx c aa 0a 0图像xbb2ax2a定义域, 对称轴xb2a顶点坐标b , 4ac b 22a 4a值域4ac b 2,, 4ac b 24a4a, b递减,b递增2a 2a单调区间b递增b递减, ,2a 2a二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y ax2 bx c关于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k2.关于 y 轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；y a x h 2y a x h2；k 关于y轴对称后，得到的解析式是k3.关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2k k 关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b2 ；2ay a x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h2k ．h5.关于点 m，n 对称2k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x hy a x h 2m 2k2n反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴 Y轴但不会与坐标轴相交（ K≠0）。
(2024年)分式课件
2024/3/26
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2024/3/26
• 分式基本概念与性质 • 分式化简与求值 • 分式方程及其解法 • 分式在几何中的应用 • 分式在函数中的应用 • 分式在生活实际问题中的应用
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分式基本概念与性质
2024/3/26
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分式定义及表示方法
2024/3/26
分式定义
分式是两个整式相除的商式，其 中分子是被除数，分母是除数， 分数线相当于除号。
拆分法
对于某些复杂的分式，可以将其拆分成几个简单的分式之和或差，从而方便进行化简。
8
分式求值技巧
01
代入法
当分式中包含字母时，可以将已知的字母值代入分式，然后进行计算。
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02
整体法
对于某些复杂的分式求值问题，可以将整个表达式看作一个整体，然后
进行运算。
03
特殊值法
在某些情况下，可以通过取特殊值的方法来简化计算。例如，当分式的
03
运用分式求解二次函数的最值问题，理解最值的求解
方法和步骤。
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21
复杂函数图像中分式识别和处理
1 2
复杂函数图像中的分式识别
学习如何在复杂函数图像中识别出分式的存在， 并分析其对函数图像的影响。
分式的处理技巧和方法
掌握处理复杂函数中分式的技巧和方法，如分离 常数法、配方法等。
3
分式在函数性质分析中的应用
03
利用分式求解一次函数与反比例函数的交点，掌握相关计算方
法和技巧。
20
二次函数与分式关系探讨
二次函数中的分式形式
01
研究二次函数中分式的表达形式，以及分式对二次函
分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)
分式函数的图像与性质一、课前准备1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。
二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
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形如b
ax d
cx x f ++=
)(的函数的图象及其应用 1. 画出下列函数的图象. （1）11
+-=x x y （2）1
1+-=x x y （3）11+-=x x y
（4）12
2-+=x x y （5）1
22-+=x x y （6）122-+=x x y
（7）123+-=x x
y （8）1
23+-=x x y （9）123+-=x x y
2. 求下列函数的值域.
（1）35
2+-=x x y （2）2211x x y +-= （3）12018322++=x x y
（4）3274222++-+=x x x x y （5）1
31
3+-=x x y
3. 函数34
2)(-+=
x x x f 的图象的对称中心是 . 4. 函数25
)(---=a x x x f 在),1(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是 .
5. 函数1)(++=x a
x x f 在),0(+∞上是减函数，则a 的取值范围是 .
6. 函数3
1
)(+-=x ax x f 在),3(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是 .
7. （2016全国卷2）已知函数))((R x x f ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1
x y x
+=
与 ()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1
()m
i i i x y =+=∑ .
8. 已知函数))((R x x f ∈满足)4(8)(x f x f +-=-，函数2
3
4)(-+=x x x g ，若)(x f 与)(x g 的图象共有
168
个交点，记作)168,,3,2,1)(,( =i y x P i i i ，则
+++++ )()(2211y x y x )(168168y x += .
9. 已知函数))((R x x f ∈满足)(4)(x f x f -=-，若函数x
x y 1
2+=
与)(x f y =的图象交点为),(,),,(),,(10102211y x y x y x ，则
∑=-10
1
)(i i
i
y x = .
10. 已知函数)1(1
1
)(>+-=a a a x f x
x . （1）判断函数的奇偶性；
（2）证明)(x f 在R 上是单调增函数； （3）求)(x f 的值域.
2. （1）),2()2,(+∞-∞ （2）(]1,1- （3） (]2018,3 （4）⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-2,29 （5） ()1,0 3. ()2,3 4. (]3,-∞- 5. ),1(+∞ 6. ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,31 7. m 8. 1008 9. -20 10. （1）奇函数 （3） ()1,1-。