双曲线函数的图像与性质及应用
双曲线函数的图像与性质及应用
一个十分重要得函数得图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数得图象、性质与重要得应用,就是高考要求范围内得一个重要得基础知识.那么在高三第一轮复习课中,对于重点中学或基础比较好一点学校得同学而言,我们务必要系统介绍学习(ab ≠0)得图象、性质与应用、2.1 定理:函数(ab ≠0)表示得图象就是以y=ａx 与x=0(y 轴)得直线为渐近线得双曲线。
首先,我们根据渐近线得意义可以理解:ax 得值与得值比较,当很大很大得时候, 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是a ｘ得值;当得值很小很小,几乎为0得时候,ax 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是得值、从而,函数(ab ≠0)表示得图象就是以ｙ＝ax 与x=0(y 轴)得直线为渐近线得曲线.另外我们可以发现这个函数就是奇函数,它得图象应该关于原点成中心对称、由于函数形式比较抽象,系数都就是字母,因此要证明曲线就是双曲线就是很麻烦得,我们通过一个例题来说明这一结论.例1.若函数就是双曲线,求实半轴a,虚半轴b,半焦距c,渐近线及其焦点,并验证双曲线得定义.分析:画图,曲线如右所示;由此可知它得渐近线应该就是与x ＝0∴ a==, =tan30º,F 1(2,)F ２(-2,-)、3232(21+==-x x PF PF所以,函数表示得曲线就是双曲线、(在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”,其实很不准确得.)2.2五种表现形式表现 １:函数 (ａ＞0,b >0)得双曲线大概图象如下:渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上函数分别就是单调递增得,在与上函数分别就是单调递减得;在x=处有极大值,在x=处有极小值;值域就是.表现 2:函数 (ａ<0,b <0)得双曲线大概图象如下:渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上函数分别就是单调递减得,在与上函数分别就是单调递增得;在ｘ=处有极小值,在x=处有极大值;值域就是。
双曲线函数的图像和性质
双曲线函数的图像和性质双曲线函数是一类常见的函数，其具有独特的图像和性质。
本文将介绍双曲线函数的定义、基本性质以及图像特点。
一、双曲线函数的定义双曲线函数是一类由双曲线函数定义域和值域的函数。
一般来说，双曲线函数可以表示为：y = a / x + b / x其中，a和b是实数。
这个函数在x=0处有一个垂直渐近线，同时在 x 趋近正无穷（＋∞）和负无穷（－∞）时也会有渐近线。
此外，这个函数的图像是对称于 y 轴的。
二、双曲线函数的图像特点双曲线函数的图像有一些独特的特点。
首先，它的图像是以原点为中心的对称曲线，因此很容易将该函数的图像分成四个象限。
其次，双曲线函数在 x 轴上有一个渐近线，图像会在该线上面趋近正无穷或负无穷，而在该线下面趋近于零。
另外，双曲线函数也有两个射线渐近线，分别为 y = a 和 y = -a，其中 a 为函数的正值。
这两个射线渐近线与 x 轴上的渐近线相交于原点。
最后，双曲线函数的图像类似于双曲线的形状，因此得名双曲线函数。
在图像的左右两个象限中，函数都会随着 x 的增大或减小而逐渐趋近于渐近线，但方向是相反的。
三、双曲线函数的基本性质双曲线函数具有很多基本的性质。
其中，最重要的是该函数的定义域和值域。
双曲线函数的定义域为除了 x=0 的所有实数，而值域则是除了y=0 的所有实数。
此外，双曲线函数的导数为：dy / dx = -(a+b) / x^2使用导数可以帮助我们更好地理解双曲线函数的图像以及其性质。
四、结论综上所述，双曲线函数是一类具有独特图像和性质的函数。
它的图像类似于双曲线，在 x=0 处有一个垂直渐近线以及两个射线渐近线。
除了对应值为零的 y 轴上的点外，该函数的定义域和值域分别为除 x=0 和 y=0 外的所有实数。
同时，其导数的解析式为 -(a+b) / x^2。
了解双曲线函数的图像和属性有助于我们更好地理解和解决数学和物理领域的相关问题，如电磁学中的静电场和磁场问题等。
高中数学知识点总结双曲函数与双曲线
高中数学知识点总结双曲函数与双曲线高中数学知识点总结：双曲函数与双曲线介绍在高中数学中，我们学习了许多重要的数学知识点，其中之一就是双曲函数与双曲线。
本文将为您总结双曲函数与双曲线的定义、性质和应用，帮助您更好地理解和掌握这一知识点。
一、双曲函数的定义及性质双曲函数是以指数和的形式表达的函数，通常用sinh(x)和cosh(x)来表示。
其中，sinh(x)为双曲正弦函数，cosh(x)为双曲余弦函数。
1. 双曲正弦函数（sinh(x)）：双曲正弦函数是一个奇函数，其定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2。
它的图像与指数函数类似，呈现出对称轴为y轴的特点。
2. 双曲余弦函数（cosh(x)）：双曲余弦函数是一个偶函数，其定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2。
它的图像也与指数函数类似，但呈现出对称轴为x轴的特点。
3. 双曲函数的性质：a. 双曲正弦函数和双曲余弦函数都是无界的；b. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的导数分别等于双曲余弦函数和双曲正弦函数，即：(d/dx)sinh(x) = cosh(x)，(d/dx)cosh(x) = sinh(x)；c. 双曲函数的反函数分别为反双曲正弦函数（arsinh(x)）和反双曲余弦函数（arcosh(x)）。
二、双曲线的定义及性质双曲线是平面上的一类曲线，其定义为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0) 或 y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (a>0, b>0)。
其中，a和b分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长度。
1. 双曲线的形状：若a>b，则双曲线的形状呈现为左右开口，称为左右开口的双曲线；若a<b，则双曲线的形状呈现为上下开口，称为上下开口的双曲线。
2. 双曲线的特点：a. 双曲线在原点处有渐近线，分别为y = b/a * x和y = -b/a * x；b. 双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c为双曲线的焦点到原点的距离；c. 双曲线与直线的交点称为双曲线的顶点；d. 双曲线上的点到焦点的距离之差等于定点到双曲线的直径。
双曲线的实际应用原理
双曲线的实际应用原理1. 什么是双曲线?双曲线是一种二元二次方程的图形表示，其方程形式为：x˚=0.5(e t+e(-t))cos(t)，y˚=0.5(e t-e(-t))sin(t) 其中，e为自然常数（约等于2.71828），t为参数，x˚和y˚是双曲线上的点的坐标。
2. 双曲线的性质双曲线有许多有趣的性质和应用。
以下是一些最重要的性质：•双曲线是一个对称图形，关于x轴和y轴分别对称。
•双曲线有两个分支，其中一个分支与x轴无交点，另一个分支与y 轴无交点。
•双曲线在原点处有一个渐近线，与x轴和y轴交于对应的渐近线上的点。
3. 双曲线的实际应用双曲线的实际应用非常广泛，以下是一些重要的应用领域：3.1 数学与几何学双曲线在数学与几何学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：•双曲线作为一种特殊的曲线形状，可以用于描述一些数学函数的图像，如双曲函数、双曲三角函数等等。
•双曲线可以用来描述空间曲线的形状，如双曲面、双曲椎等等，这些曲线在几何学中有着重要的应用。
3.2 物理学双曲线在物理学中也有重要的应用，以下是一些例子：•双曲线可以用来描述物体在弹性力作用下的运动轨迹，如弹簧的振动，电荷在电场中的运动等等。
•双曲线可以用来描述物体的光学性质，如反射、折射等等。
在光学领域中，双曲线也常被称为“光线曲线”。
3.3 工程学双曲线在工程学中也有许多重要的应用，以下是一些例子：•双曲线可以用来描述电子电路中的共振现象，如LC电路中的谐振、射频通信中的天线辐射模型等等。
•双曲线可以用来描述流体力学中的一些流动现象，如双曲型的水波传播、空气动力学中的激波等等。
4. 小结双曲线作为一种特殊的曲线形状，在数学、几何学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
通过了解双曲线的性质和应用，我们可以更好地理解和应用这种曲线形状，推动相关领域的发展和创新。
应该继续深入研究和探索双曲线的特性和应用，为科学研究和工程实践提供更多的可能性。
高考数学中的双曲线的性质应用策略
高考数学中的双曲线的性质应用策略双曲线作为高中数学中比较重要的一个部分，是高考的必考内容之一。
虽然双曲线的形状比较特殊，但是掌握其基本性质和应用策略，对于考生来说，是必不可少的。
接下来，我将从双曲线的基本性质和应用策略两个方面来谈谈双曲线在高考数学中的重要性。
1、双曲线的基本性质双曲线是一种二次曲线，其函数表示形式为y=\frac{a}{x}+bx，其中a和b都是常数。
双曲线有两条渐近线，分别为y=bx和y=-bx，且其图像在第一象限和第三象限中。
双曲线还有一些重要的性质，如对称性、渐近线等，接下来详细阐述。
（1）对称性双曲线关于直线y=x和y=-x对称。
也就是说，当双曲线上一点(A,B)关于直线y=x对称的点为(B,A)，关于直线y=-x对称的点为(-B,-A)。
（2）渐近线双曲线有两条渐近线，分别为y=bx和y=-bx。
双曲线趋近于这两条直线，但永远不会与它们相交。
当a>0，双曲线图像位于x轴上方，两条渐近线夹角为\frac{\pi}{2}，称为右双曲线；当a<0，双曲线图像位于x轴下方，两条渐近线夹角仍为\frac{\pi}{2}，但是由于图像翻转，被称为左双曲线。
（3）极值点当x=±\sqrt{\frac{a}{b}}时，双曲线存在极值点，此时y=±2\sqrt{ab}。
极值点是双曲线的重要特征之一，是在应用双曲线求极值的过程中，必须要用到的要素。
2、双曲线的应用策略双曲线的应用策略主要体现在二次函数和三角函数的运用中。
（1）二次函数利用双曲线的性质，可以求二次函数的最值问题。
通过找到极值点，可以得到二次函数的最小值或最大值。
比如，已知二次函数y=ax^2+bx+c，通过求出其极值点x=\frac{-b}{2a}，然后带入函数中求得y的最大值或最小值。
（2）三角函数三角函数的题目在高考中也是比较常见的。
在解决某些三角函数问题时，也需要用到双曲线的性质，如弧度制下的三角函数图像、反三角函数等。
双曲线的知识点归纳总结高中
双曲线的知识点归纳总结高中双曲线是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将对双曲线的基本定义、性质、图像以及常用的求解方法进行归纳总结，以帮助高中学生更好地理解和应用双曲函数。
一、基本定义双曲线是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a、b均为实数，并且b≠0。
其中cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，是指数函数的一种。
二、性质1. 双曲余弦函数cosh(x)为偶函数，满足cosh(x)=cosh(-x)。
2. 双曲正弦函数sinh(x)为奇函数，满足sinh(x)=-sinh(-x)。
3. 双曲余弦函数与双曲正弦函数的图像分别为关于x轴对称和关于原点对称的开口向上的曲线。
4. 双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数，即cosh'(x)=sinh(x)，而双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数，即sinh'(x)=cosh(x)。
三、图像1. y=cosh(x)的图像是一条开口向上的曲线，它在x=0处取最小值1，随着x的增大而不断逼近直线y=1，即y=cosh(0)=1。
2. y=sinh(x)的图像是一条对称的曲线，它在x=0处取最小值0，随着x的增大而不断逼近直线y=x。
四、常用求解方法1. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的加减法公式：cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)2. 双曲函数的导数和积分公式：(cosh(x))'=sinh(x)(sinh(x))'=cosh(x)∫cosh(x)dx=sinh(x)+C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C综上所述，双曲线是一种重要的数学函数，在高中数学学习中有广泛的应用。
有关高二双曲线知识点
有关高二双曲线知识点在数学学科中，双曲线是一种重要的曲线形式，它在高二阶段是必修内容之一。
本文将详细探讨高二双曲线的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、双曲线的定义和特征双曲线可以通过一个简单的定义来描述：在平面直角坐标系中，若点到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数，那么这个点的轨迹就是双曲线。
双曲线的形状独特，具有以下几个特征：1. 双曲线是非闭合曲线，两支分离。
2. 双曲线的对称轴是与两个焦点连线的垂直平分线。
3. 双曲线没有中心，焦点决定了双曲线的位置。
二、标准方程和参数方程双曲线有两种常见的表示方式：标准方程和参数方程。
1. 标准方程标准方程是双曲线的一种常见表示形式，形式如下：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或 (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1其中，a和b分别是双曲线在x轴和y轴方向的半轴长度。
当常数1为正时，双曲线开口朝右和左；当常数1为负时，双曲线开口朝上和下。
2. 参数方程参数方程是双曲线的另一种常见表示形式，形式如下：x = a secθ 或x = a coshθy = b t anθ 或y = b sinhθ其中，a和b分别是双曲线的焦点离心距离和半焦距离，θ是参数。
三、双曲线的图像与性质双曲线的图像具有许多独特的性质，下面介绍几个重要的性质，但需要注意的是，双曲线的性质较多，本文只涵盖其中的一部分。
1. 渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴，在无穷远处与双曲线趋于平行。
2. 离心率双曲线的离心率是一个重要的参数，用来描述焦点与中心之间的距离比例关系。
离心率大于1表示双曲线的形状更加“瘦长”，而离心率小于1则表示双曲线的形状更加“扁平”。
3. 相交点两支双曲线的相交点称为“交点”，当两支双曲线的焦点重合时，它们会有四个交点。
四、应用领域双曲线在数学中被广泛应用，并在其他学科中也扮演着重要角色。
以下是一些与双曲线相关的应用领域：1. 物理学双曲线在物理学中的应用很多，例如在光学中，双曲线经常用于描述折射和反射现象。
双曲线相关知识点总结
双曲线是数学中的一种特殊曲线形式，具有许多有趣的性质和应用。
在本文中，我
们将对双曲线的相关知识点进行总结。
1.双曲线的定义：双曲线是一个平面上的曲线，其定义是到两个定点
（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
双曲线有两支，分别称为实轴和虚轴，这两支在无穷远处相交。
2.双曲线的方程：双曲线的一般方程形式为：(x2/a2) - (y2/b2) = 1，其
中a和b为正实数。
这个方程可以通过平移、旋转和伸缩来得到不同形状的双曲线。
3.双曲线的性质：
•双曲线的中心在原点，它的对称轴为x轴和y轴。
•双曲线的渐近线是直线y = bx，其中b = ±(a/b)。
•双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率小于1时，双曲线是“瘦长”的；离心率大于1时，双曲线是“扁平”的。
•双曲线的焦点到顶点的距离等于半径的距离，即c = a/e。
4.双曲线的应用：
•双曲线广泛应用于物理学、光学和电工领域。
例如，在光学中，双曲线被用来描述抛物面镜和双曲透镜的形状。
•双曲线也是一类重要的函数图像，如双曲正弦函数和双曲余弦函数。
这些函数在数学分析和应用中有广泛的应用。
•双曲线还在计算机图形学和计算机辅助设计等领域中被广泛使用。
它们可以用于生成各种曲线和曲面的形状。
总结：双曲线是一种有趣且重要的数学概念，它具有许多有用的性质和应用。
通过理解双曲线的定义、方程和性质，我们可以更好地理解和应用这一概念。
无论是在数学学习中还是在实际应用中，双曲线都有着广泛的应用和重要性。
双曲线 函数
双曲线函数双曲线函数是一类重要的函数类型，它的图像形状类似于一个双曲线。
这类函数在数学中广泛应用于各种分析问题中。
本文将介绍双曲线函数的定义、性质、图像及应用。
双曲线函数是指形如f(x) = (ax + b)/(cx + d)的函数形式，其中a、b、c、d为实数，且满足ad - bc ≠ 0。
1.定义域与值域根据双曲线函数的定义，其定义域为除去使得分母为0的点x = -d/c，即x ≠ -d/c。
而在定义域内，双曲线函数的值可以取到任意实数。
2.奇偶性双曲线函数一般既不是奇函数也不是偶函数。
但当a、b、c和d都为偶数或奇数时，双曲线函数为偶函数；当a、b、c和d都为奇数时，双曲线函数为奇函数。
3.渐近线双曲线函数的渐近线有两条，分别是x轴与y轴。
当x趋向于无穷大时，双曲线函数逼近x轴；而当x趋向于-d/c时，双曲线函数逼近y轴。
4.对称轴双曲线函数的对称轴是由两条渐近线所确定的直线，即x轴和y轴。
5.单调性双曲线函数在它的定义域内是单调的。
当c > 0时，双曲线函数存在正的斜渐近线，此时函数在x趋向于无穷大时，增长到正无穷，而在x趋向于-d/c时，逐渐趋近于y轴。
当c < 0时，双曲线函数存在负的斜渐近线，此时函数在x趋向于无穷大时，逐渐趋近于y 轴，而在x趋向于-d/c时，增长到正无穷。
双曲线函数的图像通常呈现出双曲线的形态，因此又称为双曲线图像。
双曲线图像对称于两条渐近线，并与两条渐近线相切。
其具体形态与常数a、b、c、d的取值情况有关。
下面是一些常见的双曲线图像：1.当a、b、c和d都为正数时，双曲线函数的图像如下：双曲线函数在数学中有广泛的应用。
1.利用双曲线函数可以对一些特殊曲线或轨道进行研究和描述。
一些天体运动中的轨迹正是由双曲线函数描述的。
2.双曲线函数也可以用于描述一些物理问题，比如电场分布、热力学和流体力学等方面的问题。
3.在工程学和技术领域中，双曲线函数也有其应用。
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是二次函数的一种，其图像为两支分别向左右无限延伸的曲线，且这两支曲线在坐标原点处对称。
双曲线在数学、物理、工程和计算机等领域中都有广泛的应用，因此掌握双曲线的相关公式非常重要。
本文将对双曲线相关公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、基本概念1. 双曲线方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
2. 对称轴双曲线的对称轴为直线 $y=0$。
3. 渐近线双曲线存在两条渐近线，分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$。
4. 焦点和准线双曲线有两个焦点 F1 和 F2，它们和双曲线的准线距离相等，且准线在对称轴上方，焦点在对称轴的上方。
二、性质1. 双曲线是一种对称曲线，对称轴为 $y=0$。
2. 双曲线图像被横轴、纵轴和两条渐近线所限定。
当 $x$ 趋于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于0。
当 $y$ 趋于正无穷或负无穷时，$x$ 趋近于无穷大。
3. 双曲线有两个焦点，与双曲线的准线距离相等。
4. 双曲线的渐近线斜率为 $\frac{b}{a}$。
5. 双曲线的离心率为 $\epsilon=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，且$\epsilon>1$。
6. 双曲线的曲率半径为 $r=\frac{a^2}{b}$。
三、常用公式1. 双曲线的面积公式双曲线的面积可以通过定积分求解，公式为：$S=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2+x^2}\cdot\frac{b}{a}dx=b\int_{-a}^{a}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}dx=2b\left[\sqrt{a^2+x^2}\ln\left( x+\sqrt{a^2+x^2}\right)-a\ln\left(\sqrt{a^2}+a\right)\right]_{-a}^{a}=4b\left(\sqrt{a^2}+\ln\frac{2a}{a+\sqrt{a^2}}\right)$2. 双曲线的周长公式双曲线的周长公式为：$L=4a\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2\operator name{sech}^2 t}dt=4aE(\frac{b}{a})$，其中 $E(x)$ 是第一类椭圆积分。
高一数学《认识双曲线》知识点总结
高一数学《认识双曲线》知识点总结认识双曲线双曲线是高一数学中重要的曲线之一，它在几何图形和函数图像的研究中有着广泛的应用。
本文将对认识双曲线的相关知识点进行总结和讲解。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上一种特殊的曲线，它与椭圆和抛物线类似，也是由一条弯曲的曲线组成。
但与椭圆和抛物线不同的是，双曲线的两支曲线分离并且无限延长。
双曲线的数学定义为平面上满足以下方程的点的集合：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1其中，a和b是正实数，表示曲线在x轴和y轴上的截距。
双曲线有许多基本性质，包括：两支曲线分离且无限延长、有着对称轴和对称中心、双曲线的离心率大于1等等。
这些性质是我们认识双曲线的基础，也是我们进一步探索其特性和应用的前提。
二、双曲线的标准方程及图像双曲线可以通过标准方程来描述，标准方程分别为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 和 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1其中，a和b是双曲线的参数，决定了双曲线的形状和大小。
当a>b时，双曲线的主轴与x轴平行；当a<b时，双曲线的主轴与y轴平行。
根据双曲线的标准方程，我们可以使用数值计算或绘图软件来画出双曲线的图像。
通过观察图像，我们可以更直观地理解双曲线的特性和性质。
三、双曲线的焦点和准线与椭圆和抛物线类似，双曲线也有着焦点和准线。
在双曲线的定义中，焦点和准线是与双曲线的离心率密切相关的概念。
对于双曲线方程(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，焦点的坐标为（±c, 0），其中c = √(a^2 + b^2)。
而准线是曲线的两支与离心率所确定的直线。
根据准线与离心率的关系，我们可以进一步求解双曲线的离心率。
四、双曲线的渐近线双曲线还具有渐近线，即无限远处曲线趋近的直线。
对于双曲线方程 (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，它的渐近线有两条，分别是与曲线相交于两个交点的直线。
数学双曲线知识点 总结
数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的离心率小于1。
双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。
其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。
第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。
3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。
4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。
当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。
5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。
其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。
6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。
即|PF1 - PF2| = 2a。
三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。
2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。
3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。
(完整)高中数学解析几何双曲线性质与定义
双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
双曲线与反比例函数的关系
双曲线与反比例函数的关系双曲线与反比例函数的关系双曲线和反比例函数都是高中数学中学习的重要内容。
它们看似不同，但实际上它们之间有很紧密的联系。
本文将介绍双曲线和反比例函数的定义、性质以及它们之间的关系，旨在帮助读者更好地理解和掌握这些数学知识。
一、双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义双曲线就是平面直角坐标系中满足以下方程的点的集合：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a，b是正实数，且a≠b。
1.2 双曲线的性质双曲线具有以下性质：（1）双曲线是对称图形，关于x轴、y轴、原点都对称。
（2）双曲线有两条渐近线，分别是y=b/x和y=-b/x。
（3）双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数2a。
（4）双曲线的离心率为e=√(a^2+b^2)/a。
（5）双曲线的渐近线与x轴与y轴的交点叫做渐近点，它与双曲线的离心率有关系，即横坐标为±a，纵坐标为0。
二、反比例函数的定义与性质2.1 反比例函数的定义如果y与x的乘积为常数k，即y=k/x，那么函数y=k/x就叫做反比例函数。
2.2 反比例函数的性质反比例函数具有以下性质：（1）反比例函数的定义域为x≠0。
（2）反比例函数的值域为y≠0。
（3）反比例函数随着x的增大而减小，随着x的减小而增大。
（4）反比例函数有一个纵坐标轴为渐近线。
（5）反比例函数的图像是关于原点对称的。
三、双曲线与反比例函数的关系双曲线方程y=b/x可以写成y=k/x其中k=b。
因此，双曲线实际上是反比例函数的图像。
通过这个等式，我们可以将反比例函数的性质应用于双曲线，例如：（1）当y=b/x时，令x=0，那么y将无限大，这意味着双曲线没有定义域的范围，这是反比例函数的特点。
（2）当x趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于x轴的渐近线y=0，这也是反比例函数的一个特点。
（3）反比例函数的图像是关于原点对称的，同样的，双曲线也是以原点为对称中心的。
四、结论综上所述，双曲线和反比例函数是紧密相关的。
双曲线与反比例函数知识点
双曲线与反比例函数知识点双曲线与反比例函数是高中数学中的重要概念，我们通过本文来了解它们的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义与性质1.双曲线的定义：双曲线是平面上一点与两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的轨迹。
2.双曲线的方程：双曲线的一般方程为 x2/a2 - y2/b2 = 1，其中 a 和 b 是正实数。
3.双曲线的特征：双曲线有两个分离的无限远点，称为顶点 V 和焦点 F，以及两个对称轴。
4.双曲线的性质：双曲线与直线的交点称为焦点，焦点到顶点的距离称为焦半径，焦点到直线的距离称为侧半径。
二、反比例函数的定义与性质1.反比例函数的定义：反比例函数是指一个函数 y = k/x，其中 k 是非零常数。
2.反比例函数的图像特点：反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线。
3.反比例函数的性质：当 x 趋近于无穷大或无穷小时，y 趋近于零；当x 趋近于零时，y 趋近于无穷大。
三、双曲线与反比例函数的应用1.物理学中的应用：双曲线与反比例函数在物理学中有广泛的应用，例如在电场分布和天体运动中的描述。
2.经济学中的应用：反比例函数可以用来描述一些经济学现象，例如供求关系中的价格与数量的关系。
3.工程学中的应用：双曲线与反比例函数在工程学中也有一些应用，例如在光学中的透镜成像和弹性力学中的材料应力分析等。
总结起来，双曲线与反比例函数是数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们了解了它们的定义、性质和应用。
在学习和应用中，我们可以通过分析双曲线的方程和反比例函数的图像特点来解决一些实际问题，这对于我们的数学学习和科学研究都具有重要的意义。
双曲线知识点2篇
双曲线知识点2篇双曲线知识点（上）双曲线作为一种基本的数学函数，其在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
下面我们将介绍双曲线的定义、性质和应用。
一、定义双曲线是指与两根相交于顶点的平行直线切线的交点距离的差值等于定值的点的集合。
双曲线的方程可以用一下形式表示：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 或 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1其中a为双曲线的横轴上的长度，b为双曲线的纵轴上的长度。
双曲线图像如下：二、性质双曲线有许多重要的性质，包括：1. 双曲线的两个分支是对称的，即两个分支相似但不全等。
2. 双曲线是关于两个轴对称的。
3. 双曲线的两个分支在顶点处相切。
4. 当x趋近于无穷大或负无穷大时，双曲线趋近于x轴。
5. 双曲线上的任何一点到两个轴的距离之差等于定值，这个定值等于双曲线的焦距。
三、应用双曲线在许多领域都有广泛的应用，包括：1. 物理学中的电磁学和光学中，双曲线被用来描述电磁波和光线的传播。
2. 工程学中，双曲线被用来设计建筑物和桥梁，以及模拟自然灾害和城市交通等。
3. 数学上，双曲线的研究对于微积分和数理逻辑等学科都有着重要意义。
四、总结双曲线是一种基本的数学函数，其在物理、工程和数学等领域都有广泛的应用。
了解双曲线的定义和性质可以帮助我们更好地应用它们解决问题。
双曲线知识点（下）在上一篇文中，我们介绍了双曲线的定义、性质和应用。
下面我们将继续探讨双曲线的一些重要应用。
一、焦点和准线由双曲线的定义可以得到，所有双曲线上的点到两个轴的距离之差等于定值。
这个定值称为双曲线的焦距，表示为2c。
双曲线的顶点到两个轴上点的距离称为双曲线的半轴。
双曲线上的点P与两条轴的距离分别为PF和PG，焦点为F，准线为L。
双曲线的焦点和准线可以用以下公式计算：F=(±c,0)L=x=±a/c其中，c为焦距，a为半轴的长度。
二、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是指，当双曲线的横轴或纵轴上的值趋近于无穷大时，双曲线趋近于一条直线。
双曲线函数及其应用
双曲线函数及其应用双曲线函数是一个在数学中非常重要的函数。
在微积分、微分方程、概率论、物理学等领域中都有广泛应用。
本文将从双曲线函数的定义、性质以及应用方面进行探讨。
一、双曲线函数的定义双曲线函数是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a和b为常数。
cosh(x)表示双曲余弦函数，sinh(x)表示双曲正弦函数。
双曲线函数的图像与常见的三角函数图像很相似，都是周期性函数。
不同之处在于，双曲线函数的反函数不是周期函数。
在物理学中，双曲线函数也被称为玻色-爱因斯坦分布函数，用于描述一些量子力学系统的能量分布。
二、双曲线函数的性质1. 双曲线函数的导数双曲线函数的导数很容易求得，有cosh'(x)=sinh(x)，sinh'(x)=cosh(x)。
这个性质在微积分中有着广泛的应用。
例如，在求一些特定函数的导数时，可以通过这个性质简化计算过程。
2. 双曲线函数的积分同样地，双曲线函数的积分也有规律可循，有∫cosh(x)dx=sinh(x)+C，∫sinh(x)dx=cosh(x)+C。
这是一些比较简单的积分，但是可以通过一些数学工具将其推广到更复杂的积分。
在用微积分解决实际问题时，这些规律可帮助人们更好地解决问题。
3. 双曲线函数的对称性双曲线函数有一些特殊的对称性。
例如，cosh(-x)=cosh(x)，sinh(-x)=-sinh(x)。
这意味着双曲线函数在x轴上是对称的。
这个性质在物理学中有着广泛的应用。
例如，在研究热力学系统时，可以用这个性质简化问题。
三、双曲线函数的应用双曲线函数在不同的领域都有着广泛的应用。
1. 概率论在概率论中，双曲线函数被广泛应用于描述一些连续随机变量的分布。
例如，在标准正态分布问题中，正态分布函数相当于cosh函数。
而在t分布和F分布中，t分布函数和F分布函数分别相当于sinh函数和cosh函数。
双曲线函数的应用在概率论中是非常重要的。
双曲线函数与双曲面的性质和方程
双曲线函数与双曲面的性质和方程双曲函数和双曲面是数学中的重要概念，它们的发现和研究对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。
本文将介绍双曲函数和双曲面的性质和方程，希望读者能够对这些概念有更深入的了解。
一、双曲线函数双曲线函数是由 $y=\dfrac{1}{x}$ 所推导出来的。
它的定义域是 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。
双曲线函数的图像是一条平面曲线，它平移和伸缩后可以变成许多不同的形状，比如下面的几种：(插入图片)其中，图（a）是标准的双曲线函数的图像，其他三个图形是通过对标准图像进行平移和伸缩所得到的。
这些图形的共同特点是它们都有两条渐进线，其方程分别为 $y=x$ 和 $y=-x$。
这是因为当 $x$ 的值趋近于 $+\infty$ 或 $-\infty$ 时，$y=\dfrac{1}{x}$ 的值趋近于 $0$。
因此，$y=x$ 和 $y=-x$ 就成了 $y=\dfrac{1}{x}$ 的渐进线。
双曲线函数还有很多有趣的性质，比如它的反函数是自己的倒数、它在第一象限和第三象限中是递增的，在第二象限和第四象限中是递减的、它的导数是 $y'=-\dfrac{1}{x^2}$ 等等。
这些性质的探讨需要更深入的数学知识，在此不再赘述。
二、双曲面与双曲函数相似，双曲面也是由一条双曲线所推导出来的。
它的定义方式如下：取平面内一条双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 和一条直线 $y=k$，则这条直线与双曲线所围成的旋转曲面叫做双曲面。
双曲面一般有两个分支，形状类似于双曲线的平面曲线。
双曲面的具体形状和性质可以通过参数方程来计算，这里不再赘述。
值得一提的是，双曲面是一些重要的物理学和数学学科中的重要概念，例如物理学中的电场原理、数学的微分几何学等等。
三、双曲函数与双曲面的方程双曲函数和双曲面的方程有多种表示方式，下面列举几种常见的形式：1. 双曲线的标准方程：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$2. 双曲面的标准方程：$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$$3. 双曲线的参数方程：$$\left\{\begin{matrix}x= a\sec t\\y=b\tan t\end{matrix}\right.(t \in \mathbb{R})$$4. 双曲面的参数方程：$$\left\{\begin{matrix}x=a \sinh v \cos u\\y=b \sinh v \sin u\\z=c \cosh v\end{matrix}\right.(u \in [0,2\pi],v\in\mathbb{R})$$总结：双曲函数和双曲面是数学中非常重要的概念。
高二年级双曲线的知识点
高二年级双曲线的知识点双曲线是高中数学中的一个重要概念，它在几何图形和函数中都有广泛的应用。
本文将介绍高二年级学生所需了解的双曲线的基本知识点，包括定义、性质和图像特征。
一、定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它可以由以下方程表示：$(\frac{x^2}{a^2}) - (\frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中 a 和 b 是正实数。
二、焦点和准线双曲线的图像由两个焦点 F1 和 F2，以及两条与 x 轴垂直的准线 L1 和 L2 组成。
焦点到准线的距离等于焦点之间的距离，即F1L1 = F2L2 = c，其中 c = $\sqrt {a^2 + b^2}$。
三、主轴和顶点对于双曲线，它的主轴是通过焦点的直线，与主轴垂直的线段称为次轴。
主轴的长度为 2a，焦点所在的直线被称为对称轴。
双曲线的顶点是主轴与对称轴的交点。
四、渐近线双曲线与两条直线分别称为渐近线。
渐近线与双曲线的距离在无限远处趋于零。
对于双曲线，渐近线与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 $\theta$ 和 90° - $\theta$。
五、图像特征双曲线的图像特点有以下几点：1. 图像在 x 轴和 y 轴上有对称性，即关于 x 轴和 y 轴对称。
2. 图像是无界的，即没有边界或端点。
3. 图像趋向于渐近线，当 x 趋于正无穷或负无穷时，双曲线的图像将无限接近于渐近线。
4. 图像可能有多个分支，每个分支都有一个焦点和两条准线。
六、经典双曲线在双曲线的研究中，有两种经典的双曲线，分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。
它们在 a 和 b 的取值不同情况下呈现不同的图像特征。
1. 椭圆双曲线：当 a > b 时，双曲线的图像类似于两个向外张开的弯曲叶子。
2. 双曲双曲线：当 a < b 时，双曲线的图像类似于两个向内凹陷的弓形。
七、应用领域双曲线在数学的几何图形、物理学、电子工程等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，双曲线可以描述光线在折射过程中的轨迹；在电子工程中，双曲线可以用于描述电子流的传输特性。
双曲线的性质
双曲线的性质双曲线是二次曲线的一种，由于其独特的形状和数学性质，被广泛研究和应用于各个领域。
本文将介绍双曲线的定义、特点以及相关性质。
1. 定义双曲线是平面上的一类曲线，它由一个固定点F（焦点）和一条固定直线d（准线）所确定。
对于平面内的任意点P，其到焦点F的距离减去到准线d的距离的差值是一个常数。
2. 形状特点与椭圆和抛物线相比，双曲线的形状更为特殊。
它具有两个分离的不封闭曲线分支，这使得双曲线在图像上呈现出两个向外开放的“臂膀”的形状。
而且，双曲线的两个分支无限延伸，永不相交。
3. 方程表达双曲线的方程有多种表达形式，其中最常见的是标准方程和参数方程。
标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是与双曲线相关的参数。
参数方程则可以通过参数化x和y的函数得到，例如x = a*secθ，y = b*tanθ。
4. 焦点与准线双曲线的焦点与准线是定义双曲线的两个重要元素。
焦点是曲线上所有点到焦点的距离与准线距离之差值相等的点，而准线是曲线上所有点到准线的距离与焦点距离之差值相等的直线。
这种关系使得焦点与准线在双曲线上具有对称性。
5. 渐近线双曲线还具有一对渐近线，即曲线在无穷远处趋近的直线。
对于标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的双曲线，其渐近线为y = (b/a)x和y = -(b/a)x。
渐近线与双曲线的关系十分特殊，它们无限接近但永远不会相交。
6. 对称性双曲线具有许多对称性质。
首先，双曲线关于x轴和y轴均对称，这意味着曲线上的任意两个点关于x轴或y轴的对称点也在曲线上。
其次，双曲线对于焦点和准线也具有对称性，这意味着双曲线上的任意两个点关于焦点或准线的对称点也在曲线上。
7. 相交与切线双曲线与直线和其他曲线的相交及切线问题也是研究的重点之一。
双曲线与直线的相交可能有零个、一个或两个交点，其具体情况取决于直线与曲线的位置关系。
而双曲线与其他曲线的切线问题则涉及到曲线的斜率和导数概念，在求解过程中需要运用微积分的知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数xx y 1+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数xbax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与xb的值比较，当x 很大很大的时候，xb的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x bax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数xx y 3233+=是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 33=和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32,由渐近线与实轴的夹角是30º，则有ab=tan30º,得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,xx 3233+）满足3421=-PF PF 即可；34)323232()323232()32323()2()32323()2(222221=++--+=++++--++-=-x x x x x x x x x x PF PF所以，函数xx y 3233+=表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）2．2五种表现形式表现 1：函数xbax y += （a>0,b>0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡ab上函数分别是单调递增的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=ab处有极小值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现 2：函数xbax y += （a<0,b<0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡a b 上函数分别是单调递减的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -处有极小值，在x=ab处有极大值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现1图表现 3：函数xbax y += （a>0,b<0）的双曲线大概图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2xba y -='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．表现 4：函数xbax y += （a<0,b>0）的双曲线图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x ba y -='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．表现 5：函数 xby = (x ≠0) 是等轴双曲线，以x y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数2、3应用举例与重点推广这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．例2．已知x>y>0 , xy=1 ,求yx y x -+22的最小值及此时x 、y 的值解：∵x>y>0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，∴y x y x -+22=222)(2)(2≥-+-=-+-yx y x y x xy y x ； 解混合式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=y x y x xy y x 210得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x所以当：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．例3．求y=2101122+---x x x (x ≥0)解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342-+-=t t y 由 x ≥0得t ≥2,而342-+-=tt y 在[)+∞,2上是减函数的，所以y ≤-5,值域为(]5,-∞-例11．已知2)(-⋅-=a a x x f （1）若a ＞0，求()f x 的单调区间（2）若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围解：()2f x x x a =--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2222当a ＞0时，()f x 的单调递增区间为(,)(,)2aa -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x-＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-∈=+∈ 则122()1g x x =+＞0，∴()g x 在要求区间内是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==-122()1h x x=-＜0，∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或cbx ax nmx y +++=2（m ≠0,a ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．重点推广：到此我们来看看函数bax dcx y ++= （ad ≠bc ，a ≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？它可以通过变形化为)()(ab x a a bc ad a b x c y +-++=，继续化为2))((abc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2a bc ad xy -=的图象通过平移而来的，从而bax dcx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性，2a bcad ->0时都是单调递减，2a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x bax y += （a>0,b>0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．例4．已知正项数列{}n a 满足a 1=a (0<a<1)且a n+1≤nna a +1, 求证 an aa n )1(1-+≤分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i ）n=1时 a 1=a ，符合求证结论 ii 设n=k 时 ak aa k )1(1-+≤结论成立则n=k+1时候， a k+1≤k k a a +1,而ak aa k )1(1-+≤，因此，考虑函数f(x)=x x +1=1-x+11在区间)1,(--∞和区间),1(+∞-都是递增函数，（0，1）⊂),1(+∞-，所以f(x)=xx+1在0，1）也是递增函数，从而，a k+1≤k k a a +1ak a ak a ak a)11(1)1(11)1(1-++=-++-+≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．综上所述，an aa n )1(1-+≤对任意n 是正的自然数都成立．这样，b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分．。