高二【数学(人教A版)】圆的一般方程-课件
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圆的一般方程 课件
(－1,5)，(5,5)，(6，－2)得
－5DD＋＋55EE＋＋FF＝＝－－5206，， 6D－2E＋F＝－40，
解得DE＝＝－－24，， F＝－20.
所以圆的方程是 x2＋y2－4x－2y－20＝0.
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
又圆心在第二象线，所以－D2 <0，即 D>0， 所以DE＝＝－2，4， 所以圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3 ＝0. [答案] (1)C
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
规律总结：求圆的方程有以下两种方法． (1)几何法．利用圆的几何性质确定出圆心和半径． (2)待定系数法．大致步骤为： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
5．圆(x－1)2＋(y＋ 3)2＝2 的圆心坐标与半径是( )
A．(1， 3)，2
B．(－1， 3)， 2
C．(1，－ 3)， 2
D．(－1，－ 3)，2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ[答案] C
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
新知导学 1．圆的一般方程 (1)方程：当 D2＋E2－4F>0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 叫做圆的一般方程，其中圆心为__C_(_－__D2_，__－__E2_)__，半径为 r ＝_12___D_2_＋__E_2_－__4_F___. (2)说明：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆．当且 仅当_D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0__时，表示圆：当 D2＋E2－4F＝0 时，表示 一个点_(－__D_2_，__－__E2_)__；当 D2＋E2－4F<0 时，不表示任何图形．
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件
A
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
圆的方程 课件 高二 人教A版(精品)
C
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。
人教版高中数学2.4.2 圆的一般方程 课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共27张PPT)
解得 = -2,
= 12.
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
课堂小结
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
小试牛刀
1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是
.
2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,
则F=
.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?
答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
1
2
半径为 r=
2 + 2 -4 = 5|m-2|.
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
= 12.
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
课堂小结
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
小试牛刀
1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是
.
2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,
则F=
.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?
答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
1
2
半径为 r=
2 + 2 -4 = 5|m-2|.
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
2.4.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程.
巩固练习
1、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4
为半径的圆，则F＝______.
2、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心
C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值
解3： 线段OM 1的垂直平分线方程为
1
1
y ( x ),即x y 1 0.
2
2
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
新授课
第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
温故知新
两要素：圆心 A(a,b)
半径 r
圆
的
标
准
方
程
( x a ) ( y b) r .
2
2
2
点与圆的位置关系
几何法
求圆的标准方程
三条件
待定系数法
与圆有关的最值问题
思想方法
类比法
坐标法
代数法
数形结合
新知探究
思考：一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
2
2
2
2
表示以(
)为圆心，
以
,
>0，
D
E
4F为半径的圆.
D +E -4F
巩固练习
1、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4
为半径的圆，则F＝______.
2、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心
C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值
解3： 线段OM 1的垂直平分线方程为
1
1
y ( x ),即x y 1 0.
2
2
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
新授课
第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
温故知新
两要素：圆心 A(a,b)
半径 r
圆
的
标
准
方
程
( x a ) ( y b) r .
2
2
2
点与圆的位置关系
几何法
求圆的标准方程
三条件
待定系数法
与圆有关的最值问题
思想方法
类比法
坐标法
代数法
数形结合
新知探究
思考：一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
2
2
2
2
表示以(
)为圆心，
以
,
>0，
D
E
4F为半径的圆.
D +E -4F
圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (3)
2.4.2 圆的一般方程
1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 ；（重点） 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程；（难点） 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
复 习： 1. 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x－a) 2 + (y－b) 2 = r2 当圆心在原点时(a=b=0)，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 2. 求圆的方程的常用方法：
M
•
点A的坐标满足方程
A •
(x+1)2+y2=4
建立点M的坐标与点A的
•
1O
4x
坐标之间的关系，就可
以利用点A的坐标所满足的关系式，求出点M的
轨迹方程.
注意：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满 足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成 的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点 的轨迹(集合).
例4 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
F 0
则
D
E
F
2
0
， 解得D 8, E 6, F 0.
4D 2E F 20 0
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4， 3),半径r 5 .
(A)(x+3)2+y2=4
(B)(x-3)2+y2=1
(C)(2x-3)2+4y2=1
(D)(x+3 )2+y2= 1
2
2
1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 ；（重点） 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程；（难点） 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
复 习： 1. 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x－a) 2 + (y－b) 2 = r2 当圆心在原点时(a=b=0)，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 2. 求圆的方程的常用方法：
M
•
点A的坐标满足方程
A •
(x+1)2+y2=4
建立点M的坐标与点A的
•
1O
4x
坐标之间的关系，就可
以利用点A的坐标所满足的关系式，求出点M的
轨迹方程.
注意：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满 足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成 的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点 的轨迹(集合).
例4 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
F 0
则
D
E
F
2
0
， 解得D 8, E 6, F 0.
4D 2E F 20 0
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4， 3),半径r 5 .
(A)(x+3)2+y2=4
(B)(x-3)2+y2=1
(C)(2x-3)2+4y2=1
(D)(x+3 )2+y2= 1
2
2
高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的 圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切， 半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
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2024课件
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
2.4.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25 的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等，
点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上
2、点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
5
( x 2) y 9
2
2
4.与圆有关的最值问题
(1).若P(x，y)为圆C上任意一点，圆外定点A，点P(x，y)到圆外定点A的距离d的最大值 CA rFra bibliotek最小值
CA r
例5.若P(x，y)为圆C(x＋4)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最
大值和最小值．
[提示] 原点到圆心C(－4,0)的距离d＝4，圆的半径为2，故圆上
A.点P在圆内
B.点P在圆外
B
C.点P在圆上
)
D.不确定
(2)已知点 M(5 +1, )在圆(x-1)2+y2=26 的内部,则 a 的取值范围是
解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点 P 在圆外.
≥ 0,
(2)由题意知
(5 + 1-1)2 + ( )2 < 26,
定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（圆心定位，半径定型）
思考2
在平面直角坐标系中，
已知圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出圆的方程吗？
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25 的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等，
点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上
2、点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
5
( x 2) y 9
2
2
4.与圆有关的最值问题
(1).若P(x，y)为圆C上任意一点，圆外定点A，点P(x，y)到圆外定点A的距离d的最大值 CA rFra bibliotek最小值
CA r
例5.若P(x，y)为圆C(x＋4)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最
大值和最小值．
[提示] 原点到圆心C(－4,0)的距离d＝4，圆的半径为2，故圆上
A.点P在圆内
B.点P在圆外
B
C.点P在圆上
)
D.不确定
(2)已知点 M(5 +1, )在圆(x-1)2+y2=26 的内部,则 a 的取值范围是
解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点 P 在圆外.
≥ 0,
(2)由题意知
(5 + 1-1)2 + ( )2 < 26,
定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（圆心定位，半径定型）
思考2
在平面直角坐标系中，
已知圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出圆的方程吗？
2.4.2 圆的一般方程课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(共28页PPT)
1 2
D2 E2 4F 为半径的圆；
圆的一般方程
（2）当 D2
E2
4F
0 时，方程（1）只有实数解 x
D 2
，
y
E 2
，它表示一个点
D 2
,
E 2
；
（3）当 D2 E2 4F 0 时，方程（1）没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2 E2 4F 0 时，方程（2）表示一个圆，我们把方程（2）叫做圆 的一般方程.
由于点 B 的坐标是 (4,3) ，且 M 是线段 AB 的中点，
所以 x x0 4 ， y y0 3 .
2
2
于是有 x0 2x 4 ， y0 2y 3 .①
点 M 的轨迹方程是指点 M 的坐标 x, y 满足的关系式.轨迹是指点在运动变化 过程中形成的图形.在解析几何中，我
因为点 A 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，
分析：如图，点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满 足方程 x 1 2 y2 4 .建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以利用点 A 的坐 标所满足的关系式得到点 M 的坐标满足的关系式，求出点 M 的轨迹方程
例题来了
解：如图，设点 M 的坐标是 (x, y) ，点 A 的坐标是 (x0, y0 ) .
y
A (x1，y1)
B (x2，y2) M (x，y)
O
x
求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：根据题目中的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点 的坐标，并找出动点坐标的关系式.
（2）代入法（相关点法）：若动点 P x, y 随着圆上的另一动点Q x1, y1 运动而运 动，且 x1, y1 可用 x，y 表示，则可将点 Q 的坐标代入已知圆的方程，即动点 P 的 轨迹方程.
圆的一般方程 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
2
2
2
这就是点M的轨迹方程，它表
32
32
(x ) ( y ) 1
3 3
示以(2, 2)为圆心，半径为1的圆.
2
2
随堂练习
1.求下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) 2 + 2 − 6 = 0;
(2) 2 + 2 + 2 = 0;
(3) 2 + 2 − 2 − 2 3 + 32 = 0.
个方程表示圆？
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x +
D 2
) +(y
2
+
E 2
)
2
=
D2 +E2 −4F
4
D
E
,
2
2
二、圆的一般方程的定义
2.探究
思考? 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 中的 D, E, F满足什么条件
时 , 这个方程表示圆？
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得(x
E 2 D 2 E 2 4F
(x ) ( y )
2
2
4
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个
圆，我们把它叫做圆的一般方程.
三、圆的一般方程的特点
思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则是
的是三元二次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一
2
2
2
这就是点M的轨迹方程，它表
32
32
(x ) ( y ) 1
3 3
示以(2, 2)为圆心，半径为1的圆.
2
2
随堂练习
1.求下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) 2 + 2 − 6 = 0;
(2) 2 + 2 + 2 = 0;
(3) 2 + 2 − 2 − 2 3 + 32 = 0.
个方程表示圆？
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x +
D 2
) +(y
2
+
E 2
)
2
=
D2 +E2 −4F
4
D
E
,
2
2
二、圆的一般方程的定义
2.探究
思考? 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 中的 D, E, F满足什么条件
时 , 这个方程表示圆？
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得(x
E 2 D 2 E 2 4F
(x ) ( y )
2
2
4
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个
圆，我们把它叫做圆的一般方程.
三、圆的一般方程的特点
思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则是
的是三元二次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一
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（2）根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组； （3）解出a, b, r或D, E, F，得到标准方程或一般方
程.
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0，
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
待定系数法:
标准方程 (a,b) r
一般方程 D、E、F
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
待定系数法:
标准方程 (a,b) r 三元二次方程组
一般方程 D、E、F 三元一次方程组
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类 型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条 件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定 的，这类方法就被称为待定系数法．
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
解得 D 8, E 6, F 0 ，方程为
x2 y2 8x 6 y 0，圆心(4, 3) ，半径5 .
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
（2）x2 y2 2ax b2 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
方法1：配方，转化为标准式方程，找圆心半径；
方法2 ：直接用公式 D2 E2 4F 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
简析: (1)式变形为(x 1)2 ( y 2)2 11， 圆心为(1, 2) ，半径为 11的圆.
(2)式变形为 (x a)2 y2 a2 b2， 当a2 b2 0时,圆心为(a, 0)，半径 a2 b2 . 当a2 b2 0 时,表示(0, 0).
系数 圆心 半径
标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2
平方和
r2 0 （a,b）rFra bibliotek一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
特殊的二元二次方程
D2 E2 4F 0
（- D ,- E ）
1
22 D2 E2 4F
2
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ;
D2
E2
4F
0，点
（-
D
2
,-
E
）.2
2
0，无实数2 解2，不表示任何图形 .
当D2 E2 4F 0 时，我们把方程 x2 y2 Dx Ey F 0叫做圆的一般方程.
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
方程
代数特征
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. y
MB
A
O
x
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值 的点的集合；
圆： 在平面直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点 的集合.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
0，圆心（- D ,- E ）,半径 1 D2 E2 4F .
x2 y2 8x 6y 0
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
kOM1 1, kOM3 1
M1M3 为过 O、M1、M3 的圆的直径
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
圆的一般方程
年 级：高二
学 科：数学（人教A版）
问题1 直线方程有哪些形式？
问题1 直线方程有哪些形式？
直线的倾斜角和斜率
直线的两 点式方程
过两点的直线斜率公式 直线的点斜式方程
斜截式方程 截距式方程
直线的一般式方程
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0 ？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
(x a)2 ( y b)2 r2 0
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
程.
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0，
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
待定系数法:
标准方程 (a,b) r
一般方程 D、E、F
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
待定系数法:
标准方程 (a,b) r 三元二次方程组
一般方程 D、E、F 三元一次方程组
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类 型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条 件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定 的，这类方法就被称为待定系数法．
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
解得 D 8, E 6, F 0 ，方程为
x2 y2 8x 6 y 0，圆心(4, 3) ，半径5 .
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
（2）x2 y2 2ax b2 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
方法1：配方，转化为标准式方程，找圆心半径；
方法2 ：直接用公式 D2 E2 4F 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
简析: (1)式变形为(x 1)2 ( y 2)2 11， 圆心为(1, 2) ，半径为 11的圆.
(2)式变形为 (x a)2 y2 a2 b2， 当a2 b2 0时,圆心为(a, 0)，半径 a2 b2 . 当a2 b2 0 时,表示(0, 0).
系数 圆心 半径
标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2
平方和
r2 0 （a,b）rFra bibliotek一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
特殊的二元二次方程
D2 E2 4F 0
（- D ,- E ）
1
22 D2 E2 4F
2
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ;
D2
E2
4F
0，点
（-
D
2
,-
E
）.2
2
0，无实数2 解2，不表示任何图形 .
当D2 E2 4F 0 时，我们把方程 x2 y2 Dx Ey F 0叫做圆的一般方程.
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
方程
代数特征
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. y
MB
A
O
x
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值 的点的集合；
圆： 在平面直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点 的集合.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
0，圆心（- D ,- E ）,半径 1 D2 E2 4F .
x2 y2 8x 6y 0
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
kOM1 1, kOM3 1
M1M3 为过 O、M1、M3 的圆的直径
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
圆的一般方程
年 级：高二
学 科：数学（人教A版）
问题1 直线方程有哪些形式？
问题1 直线方程有哪些形式？
直线的倾斜角和斜率
直线的两 点式方程
过两点的直线斜率公式 直线的点斜式方程
斜截式方程 截距式方程
直线的一般式方程
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0 ？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
(x a)2 ( y b)2 r2 0
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？