高二【数学(人教A版)】圆的一般方程-课件
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圆的一般方程
年 级：高二
学 科：数学（人教A版）
问题1 直线方程有哪些形式？
问题1 直线方程有哪些形式？
直线的倾斜角和斜率
直线的两 点式方程
过两点的直线斜率公式 直线的点斜式方程
斜截式方程 截距式方程
直线的一般式方程
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0 ？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
(x a)2 ( y b)2 r2 0
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
解得 D 8, E 6, F 0 ，方程为
x2 y2 8x 6 y 0，圆心(4, 3) ，半径5 .
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
简析: (1)式变形为(x 1)2 ( y 2)2 11， 圆心为(1, 2) ，半径为 11的圆.
(2)式变形为 (x a)2 y2 a2 b2， 当a2 b2 0时,圆心为(a, 0)，半径 a2 b2 . 当a2 b2 0 时,表示(0, 0).
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类 型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条 件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定 的，这类方法就被称为待定系数法．
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
系数 圆心 半径
标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2
平方和
r2 0 （a,b）
r
Leabharlann Baidu
一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
特殊的二元二次方程
D2 E2 4F 0
（- D ,- E ）
1
22 D2 E2 4F
2
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ;
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
0，圆心（- D ,- E ）,半径 1 D2 E2 4F .
D2
E2
4F
0，点
（-
D
2
,-
E
）.2
2
0，无实数2 解2，不表示任何图形 .
当D2 E2 4F 0 时，我们把方程 x2 y2 Dx Ey F 0叫做圆的一般方程.
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
方程
代数特征
待定系数法:
标准方程 (a,b) r
一般方程 D、E、F
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
待定系数法:
标准方程 (a,b) r 三元二次方程组
一般方程 D、E、F 三元一次方程组
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
（2）x2 y2 2ax b2 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
方法1：配方，转化为标准式方程，找圆心半径；
方法2 ：直接用公式 D2 E2 4F 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. y
MB
A
O
x
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值 的点的集合；
圆： 在平面直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点 的集合.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
x2 y2 8x 6y 0
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
kOM1 1, kOM3 1
M1M3 为过 O、M1、M3 的圆的直径
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0，
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
（2）根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组； （3）解出a, b, r或D, E, F，得到标准方程或一般方
程.
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
年 级：高二
学 科：数学（人教A版）
问题1 直线方程有哪些形式？
问题1 直线方程有哪些形式？
直线的倾斜角和斜率
直线的两 点式方程
过两点的直线斜率公式 直线的点斜式方程
斜截式方程 截距式方程
直线的一般式方程
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0 ？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
(x a)2 ( y b)2 r2 0
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
解得 D 8, E 6, F 0 ，方程为
x2 y2 8x 6 y 0，圆心(4, 3) ，半径5 .
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
简析: (1)式变形为(x 1)2 ( y 2)2 11， 圆心为(1, 2) ，半径为 11的圆.
(2)式变形为 (x a)2 y2 a2 b2， 当a2 b2 0时,圆心为(a, 0)，半径 a2 b2 . 当a2 b2 0 时,表示(0, 0).
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类 型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条 件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定 的，这类方法就被称为待定系数法．
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
系数 圆心 半径
标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2
平方和
r2 0 （a,b）
r
Leabharlann Baidu
一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
特殊的二元二次方程
D2 E2 4F 0
（- D ,- E ）
1
22 D2 E2 4F
2
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ;
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
问题2 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否表示圆呢？
简析： 把方程配方整理可得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
0，圆心（- D ,- E ）,半径 1 D2 E2 4F .
D2
E2
4F
0，点
（-
D
2
,-
E
）.2
2
0，无实数2 解2，不表示任何图形 .
当D2 E2 4F 0 时，我们把方程 x2 y2 Dx Ey F 0叫做圆的一般方程.
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
方程
代数特征
待定系数法:
标准方程 (a,b) r
一般方程 D、E、F
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
待定系数法:
标准方程 (a,b) r 三元二次方程组
一般方程 D、E、F 三元一次方程组
问题4 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
（2）x2 y2 2ax b2 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）x2 y2 2x 4 y 6 0 ; （2）x2 y2 2ax b2 0 .
方法1：配方，转化为标准式方程，找圆心半径；
方法2 ：直接用公式 D2 E2 4F 0 .
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. y
MB
A
O
x
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值 的点的集合；
圆： 在平面直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点 的集合.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
x2 y2 8x 6y 0
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
kOM1 1, kOM3 1
M1M3 为过 O、M1、M3 的圆的直径
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3) ,端点A在圆(x 1)2 y2 4
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0，
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
F 0， D E F 2 0， 4D 2E F 20 0.
例2 求过三点O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2)的圆的方程,并求这 个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 代入三个点的坐标可得
（2）根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组； （3）解出a, b, r或D, E, F，得到标准方程或一般方
程.
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？
变式 已知四点 O(0, 0) ,M1(1,1) ,M 2 (4, 2), M3(7, 7),问这四个点是否在同一个圆上？