求函数最值的方法总结

合集下载

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结函数最值是指函数在一些特定区间内取得极大值或极小值的点或值。

寻找函数最值的方法，在不同的情况下，可以使用不同的技巧和策略。

以下是几种常用的方法总结：一、数学分析法：1.寻找函数的临界点和分段函数的不连续处。

-对于连续函数，可以通过求导数，令导函数等于零来求解，找到导数为0的点，即可能的极值点。

-对于分段函数，需要寻找函数的断点和不连续点，分别对两个分段区间进行分析。

2.使用二次函数的顶点公式。

-当函数为二次函数时，可以通过二次函数顶点公式求得函数的顶点，从而得到函数的最值点。

3.使用最大最小值定理。

-若函数在区间[a,b]上连续且可微分，那么函数在这个区间上一定有最大值和最小值。

通过求解函数在区间端点和内点的函数值，并进行比较，可以找到函数的最大值和最小值。

4.运用函数特性和图像分析法。

-对于特定的函数，可以通过观察函数的特性和图像来猜测函数的最值。

例如，对于单调递增的函数，最小值一定在区间的起点，最大值一定在区间的终点。

二、数值计算法：1.使用计算工具和数值优化算法。

- 对于复杂的函数，可以使用计算工具如Matlab、Python等进行数值计算。

一些数值优化算法，如牛顿法、梯度下降法等，可以寻找函数的极值点。

三、综合运用法：1.结合数学分析法和数值计算法：-对于一些复杂的函数，可以先通过数学分析的方法预估最值点的范围，然后再通过数值计算进行精细的寻找。

-例如，对于较复杂的函数，可以通过对函数进行数学分析，找出函数的极值点的大致范围，然后再使用数值计算的方法进行更加准确的求解。

在实际应用中，根据具体的函数形式和求解需求，选择适当的方法进行求解。

对于简单而规则的函数，使用数学分析法会更为直观和准确；而对于复杂的函数，可以综合运用数学分析法和数值计算法进行求解。

在进一步优化和提高计算效率时，可以结合使用多种方法，如利用已知最值点来进行剪枝，或引入约束函数等。

总的来说，函数最值的求解方法需要根据具体情况综合考虑，并灵活运用。

高一函数求最值总结知识点

高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。

下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。

一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。

对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。

二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。

当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。

2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。

这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。

3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。

求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。

这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。

三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。

例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。

解：首先，我们可以通过顶点法来求解。

根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。

所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。

例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。

解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。

根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。

例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。

求函数值域最值的方法大全

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.,反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1.直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域解： 22111,011x x +≥∴<≤+显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y=2－x 的值域;解：x ≥0∴－x ≤02－x ≤2故函数的值域是：-∞,22、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知：当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y =的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈； ② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型;例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域; 适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：xe =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1; 故所求函数的值域为-1,1.例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y即sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42故函数的值域为-42,42 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则y 1,2y 在2,10上都是增函数;所以y=y 1+2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y =52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33; 例12、求函数y=1+x -1-x 的值域;解：原函数可化为：y=112-++x x令y 1=1+x ,2y =1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y=y 1+2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1+2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用; 适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1 ∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1 故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴-22≤sinβ+∏/4≤1 ∴0≤2sinβ+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212xx+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏,∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目;适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边,有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++=26即：-26＜y ＜262当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26;注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧; 如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧；例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:]3326,3326[+-∈y 9、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域解：原函数变形为： y=x sin2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+x csc2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin2cosxx By2=16x sin4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin2+x sin 2+2-x sin 2=8x sin2+x sin 2+2-x sin 2/33=2764 当且当x sin2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立;由y2≤2764,可得：-938≤y≤938 故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(xx x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244x x =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是;A 22B4C2D 2分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视;例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解:()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+>∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时,()()min 112f x f =-=-,当1x =时,()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值. 解析:函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f 得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减,故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x . 注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用例28、求函数y=32++x x 的值域解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21,当且仅当t=1,即x=-1时取等号所以0＜y≤21; 2当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法; 例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=x x xx 42422121+++-+x x xx 42321+++=)11(222xx +-+x x 21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,x x21+=21sin β, ∴y=βcos2+21sin β=-βsin 2+21sin β+1=-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg2β都存在,故函数的值域为：－2,1617; 注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1函数y =x 2+x1x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD1,+∞)3一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________ 5某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调器彩电冰箱工时产值千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位 8在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC +=x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值参考答案1解析∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x 1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1x ≤－21的值域为－47,+∞)答案B2解析令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案A 3解析t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案84解析由韦达定理知x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴故m =1时,y min =21答案－121 5解1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+475x －05,当x =－ab2=475百台时,y max =1078125万元,当x >5百台时,y ＜12－025×5=1075万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥475－5625.21≈01百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6解1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意故a ≤－1或a >为35所求 2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求 7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元 8解1如图所示设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab, ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ,∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0,2－1,y =2t +t2+6在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8abCBcA。

求函数最值的10种方法

一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
【例 2】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学）设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．
【例 6】函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．
【例 3】设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值是______．（以后学）分析由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法求a＋b的最值．解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz

求函数的最大值和最小值方法归纳总结

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

求函数最值的12种方法

求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。

解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例3求函数12x y x +=+的值域。

解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。

求函数最值的方法归纳

求函数最值的方法归纳函数的最大值和最小值是数学中一个非常重要的概念，对于函数的性质和图像的研究非常有帮助。

本文将介绍求函数最值的一些常用方法，并归纳总结出一些有效的求最值的技巧。

一、闭区间上求最值对于一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，我们首先需要找到其在区间内的临界点。

临界点包括两种情况：一是函数的极值点，二是函数的不可导点。

然后，分别计算临界点和区间端点处函数的取值，最后找到最大值和最小值。

具体步骤如下：1.找到函数的临界点：求出函数的导数f'(x)，将其导数等于零，并解方程求出函数的极值点。

2.判断函数是否在临界点可导：将临界点代入导数f'(x)中，如果导数存在，则临界点为可导点，如果导数不存在，则临界点为不可导点。

3.计算函数在临界点和区间端点处的取值：将临界点和区间端点代入原函数f(x)中，得到函数在这些点处的取值。

4.比较得出最大值和最小值：将计算得到的函数取值进行比较，找到最大值和最小值。

二、无穷区间上求最值对于一个定义在无穷区间(-∞,+∞)上的函数f(x)，我们无法使用有限步骤来找到其最大值和最小值。

但是，我们可以使用以下方法来求解。

1.函数的图像观察法：观察函数的图像，找出函数的大致走势和极值点的位置。

通过观察可以初步得出函数的最大值和最小值的范围。

2. 函数的性质分析法：对于特定的函数类型，我们可以通过分析其性质来求解最值。

例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a > 0，则函数的最小值发生在顶点处，如果a < 0，则函数的最大值发生在顶点处。

3.使用导数求极值：对于可导的函数，在极值点处导数等于零。

因此，我们可以求出函数的导数，并解方程求出极值点。

然后，通过比较函数在极值点和区间端点处的取值，得出最大值和最小值。

4.通过函数的变化趋势求极值：对于连续的函数，在函数的一些变化趋势中，极值点位于函数值的突变处。

通过观察函数的变化趋势，我们可以得出函数的最值。

初中数学求最值的几种常见方法

初中数学求最值的几种常见方法
求最值是数学中常见的问题之一，下面介绍几种常见方法。

1. 数学定义法：根据数学定义，推导出最值的计算方法。

比如，对于一元二次函数 $y=ax^2+bx+c$，最值为 $y_{\min} = c -
\frac{b^2}{4a}$，即抛物线的最低点。

2. 辅助函数法：通过构造辅助函数，将原函数的最值问题转化为辅助函数的最值问题。

比如，在求一个区间 $[a,b]$ 上的函数
$f(x)$ 的最大值时，可以构造辅助函数 $g(x) = -f(x)$，然后求$[a,b]$ 上 $g(x)$ 的最小值，即可得到 $f(x)$ 的最大值。

3. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数来确定其最值点。

求得导数为零或不存在的点即为极值点，再通过二阶导数判断该点是极大值还是极小值。

需要注意的是，极值点不一定是最值点，还需要结合函数在极值点的取值情况进行判断。

4. 线性规划法：线性规划是一种优化问题，可用于求解含有多个变量的最值问题。

通过设置优化目标和约束条件，建立线性规划模型，再用线性规划算法求解最值。

这种方法在实际问题中应用广泛，比如生产计划、投资组合等领域。

以上是几种常见的求最值方法，不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。

求解函数的最值方法总结

求解函数的最值方法总结函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

在数学问题中，求解函数的最值是一个常见且重要的任务。

针对不同类型的函数，存在多种方法来求解函数的最值。

本文将总结几种常用的方法。

一、导数法导数法是求解函数最值的常用方法之一。

通过求解函数的导数，可以得到函数的增减性和临界点，从而找到函数的最值点。

具体步骤如下：1. 求解函数的导数；2. 确定导数的零点和不可导点，得到函数的临界点；3. 求解每个临界点处函数的值；4. 比较临界点处的函数值，得到最大值和最小值。

二、区间法区间法适用于函数在给定区间上求解最值的情况。

通过在给定区间内选取若干个点，并计算函数在这些点上的值，从而找到函数的最值点。

具体步骤如下：1. 确定给定区间；2. 在给定区间内选择若干个点；3. 计算函数在每个点上的值；4. 比较函数值，得到最大值和最小值。

三、二次函数最值法对于二次函数，可以使用二次函数的最值性质来求解函数的最值。

二次函数的最值点就是二次函数的顶点。

具体步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式：y = ax^2 + bx + c；2. 求解二次函数的顶点坐标，顶点坐标的横坐标就是函数的最值点；3. 计算最值点处的函数值，得到最大值和最小值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的函数最值的方法。

该方法适用于多变量函数的最值求解。

具体步骤如下：1. 建立包含约束条件的拉格朗日函数；2. 求解拉格朗日函数关于各变量的偏导数，并令其等于0；3. 求解方程组，得到各变量对应的取值；4. 计算函数在得到的取值点上的值，比较得出最大值和最小值。

总结：求解函数的最值方法涵盖了导数法、区间法、二次函数最值法和拉格朗日乘数法等多种方法。

在实际问题中，选择合适的方法来求解函数的最值是非常重要的。

根据函数的特点和问题的要求，可以选择最合适的方法来进行求解。

希望本文对您有所帮助，使您能够更好地理解和应用求解函数最值的方法。

用基本不等式求最值六种方法

用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。

在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。

以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。

这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。

首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。

然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。

方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。

例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。

方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。

然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。

方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。

例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。

方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。

例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。

方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。

假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。

反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。

以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。

根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。

掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。

求函数最值的12种方法

求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。

下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。

1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。

例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。

如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。

2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。

3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。

4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。

例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。

5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。

通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。

6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。

例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。

7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。

首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。

8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。

初中数学求最值的几种常见方法

初中数学求最值的几种常见方法求最值是数学中的常见问题，在初中数学中，我们主要会遇到求函数的最值和求集合的最值这两种情况。

下面我将介绍一些常见的方法来求解这些问题。

一、求函数的最值1.函数图像法：对于一个函数而言，最值一般出现在函数图像的极值点或者无穷远点。

因此，我们可以通过观察函数图像来判断最值的位置，并进一步进行求解。

2.导数法：对于一个可导函数，当导数等于0的时候，往往对应着函数的极值点。

因此，我们可以通过求函数的导数，找到导数等于0的点，并进行进一步的判断。

3.函数的不等式法：当我们需要求一个函数在其中一区间上的最大值或最小值时，可以将函数的定义域和该区间进行比较，通过对函数值的大小关系进行推理，来求得最值。

二、求集合的最值1.枚举法：对于一个有限集合，我们可以通过枚举法逐个列举其中的元素，然后找到其中的最大值或最小值。

2.求和法：对于一些集合中元素有特殊规律的情况，我们可以通过求和的方法求解最值。

例如，对于一组等差数列或等比数列中的元素求和，可以直接利用求和公式，通过对公式中的参数进行合理选择，求解最值。

3.上下界法：对于一个区间，如果我们能够确定最大值或最小值的上界和下界，那么我们可以通过比较上界和下界来确定最值。

例如，在一个整数区间中求最大值，我们可以设定一个初始的最大值下界，然后逐个比较区间中的元素，如果发现一个大于最大值下界的元素，就更新最大值下界，直到遍历完整个区间。

综上所述，求函数的最值主要可以通过函数图像法、导数法和函数的不等式法来求解；求集合的最值可以通过枚举法、求和法和上下界法来求解。

当然，在具体问题中，我们可能会结合多种方法来求解最值。

在数学学习中，不仅仅要掌握这些方法，还要能够在具体问题中灵活运用。

求函数最值的10种方法

求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。

首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。

2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。

首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。

3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。

通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。

4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。

5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。

根据极值类型确定最值点。

6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。

平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。

7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。

8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。

9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。

这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。

10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。

以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。

在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。

高一数学求最值的方法

高一数学求最值的方法
高一数学中，求最值是一个经常出现的问题。

最值是指在一定的条件下，找出函数或者数据集合中最大或最小的数值。

下面介绍几种求最值的方法。

1. 求导法：对于一个函数，求导后令导数为0，就可以得到函数的极值点。

极大值和极小值的判别可以通过二阶导数的符号来确定。

但是需要注意的是，有些函数的极值点并不一定存在，或者存在但不在定义域内，这时需要另寻他法。

2. 完全平方公式法：当需要求出一元二次函数的最值时，可以使用完全平方公式。

将一元二次函数表示成 $(ax+b)^2+c$ 的形式，其中$ax+b$ 是一个完全平方式，将其代入原函数，就可以得到一个关于$c$ 的一元二次函数。

此时再用求导法即可。

3. 辅助线法：在图形上求最值时，可以引入一些辅助线，将原来的问题转化为一些容易解决的几何问题。

例如，在一个矩形中求最大面积，可以引入一条对角线，将矩形分成两个三角形，然后根据面积公式求解。

4. 等式约束法：当需要求解多个变量的函数的最值时，可以使用等
式约束法。

将多个变量的函数表示成一个有等式限制的函数，然后再用求导法求解。

例如，在条件 $x+y=1$ 的前提下，求
$f(x,y)=x^2+y^2$ 的最小值，可以将其表示成
$f(x)=x^2+(1-x)^2$ 的形式，然后求得极小值点。

以上是一些常见的求最值的方法，需要根据具体问题选择合适的方法。

在实际应用中，还需要灵活运用数学知识，将问题转化为容易处理的形式，从而求解出最优解。

如何求最大值函数

如何求最大值函数在数学中，求解一个函数的最大值是一项基本的技能。

无论是在求解实际问题中的最优解，还是在理论数学推导中的应用，找出函数的最大值都是一个重要的问题。

在本文中，我们将讨论几种常用的方法来求解一个函数的最大值。

方法一：导数法导数法是求解函数最大值最常用的方法之一。

要求一个函数的极值，首先需要求出这个函数的导数。

然后将导数为0的点作为候选值，再通过二阶导数测试确定极值点是极大值还是极小值。

这种方法通常适用于多项式函数和一些具有封闭形式的函数。

方法二：图形法对于一些简单的函数，我们可以通过观察函数的图形来确定最大值点。

在函数图像上找到最高的点，就是函数的最大值。

这种方法适用于一些简单的函数，可以帮助我们直观地理解函数的最大值问题。

方法三：约束条件法有时候，我们并不是直接求解函数的最大值，而是在一些约束条件下求解函数的最大值。

这就需要用到约束条件法。

我们首先建立带约束条件的函数，然后通过拉格朗日乘子法或者其他方法来求解函数的最大值。

这种方法在优化问题中经常被使用。

方法四：数值方法对于一些复杂的函数，求解最大值可能没有解析解，这时候我们可以借助数值方法来求解函数的最大值。

常用的数值方法包括梯度下降法、牛顿法等。

这些方法可以通过迭代的方式逼近函数的最大值。

结论求解最大值函数是数学中一个重要而常见的问题。

通过导数法、图形法、约束条件法和数值方法，我们可以灵活地求解各种函数的最大值。

不同的方法在不同的场景下都有其独特的优势，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的最大值。

这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题中的优化和最大化等应用。

求函数最值的12种方法

求函数最值的12种方法在数学中，函数的最值是指函数在定义域上的极大值和极小值。

求函数的最值有很多不同的方法，下面将介绍12种常用的方法。

希望能够帮助你对函数的最值求解有更深入的理解。

方法一：函数图像法这是最直观的方法之一，通过绘制函数的图像，可以清楚地观察到函数的最值点所在的位置。

最大值对应函数的极大值点，最小值对应函数的极小值点。

方法二：导数法求函数的最值，常常使用导数法。

首先求函数的导数，然后将导数为零的点与定义域的边界进行比较，即可得到函数的最值点。

方法三：导数的符号法求函数的最值，还可以通过分析导数的符号来求解。

当导数恒大于零时，函数是递增的，函数的最大值出现在定义域的上界；当导数恒小于零时，函数是递减的，函数的最小值出现在定义域的下界。

方法四：高次函数的极值点对于高次函数来说，还可以通过求导数的高阶导数来找到极值点。

当高阶导数为零时，该点可能是极值点；当高阶导数不为零时，可通过判断导数的符号来确定它是极大值还是极小值。

方法五：函数的平均值定理利用函数的平均值定理可以得到函数最值的一个粗略的估计。

平均值定理指出，如果函数连续且可微分，那么在两个点之间存在一个点，使这三个点的斜率与两点之间切线的斜率相同。

这个点可能是函数的极值点。

方法六：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解带有约束条件的函数最值问题。

通过引入拉格朗日乘子，将带有约束条件的函数最值问题转化为无约束条件的函数最值问题。

然后可以利用导数法等方法来求解。

方法七：边界法对于函数的有界定义域，可以通过比较边界处函数值的大小来求解最值问题。

找到定义域的上界和下界，并将其代入函数，比较函数值的大小即可得到最值。

方法八：几何法对于一些特殊的函数图像，可以利用函数的几何性质来求解最值。

如对于抛物线函数，其最值点处对应抛物线的顶点。

方法九：二次函数的最值对于二次函数，可以通过求取顶点坐标来得到函数的最值。

二次函数的顶点坐标即为函数的最值点。

方法十：三角函数的最值对于一些三角函数，可以利用函数图像的周期性来求解最值问题。

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结1.图像分析法：将函数的图像绘制出来，通过观察图像的形状和变化趋势来确定函数的最值。

例如，对于单调递增的函数，最大值就是定义域的最右端点，最小值就是定义域的最左端点。

2.导数法：求函数的导数，通过导数的零点和变号的位置来确定函数的最值。

导数的零点对应函数的极值点，而导数的变号对应函数的区间最值。

使用导数法需要对函数的导数性质有一定的了解，例如导数的单调性和函数的凹凸性。

3.积分法：对于一些特殊的函数，可以使用积分法来求函数的最值。

积分法的思路是将函数的最值问题转化为求解区间上的面积问题。

例如，对于一个带有约束条件的函数，可以通过求解约束条件下的面积来确定函数的最值。

4.极值判别法：对于一个在闭区间上连续的函数，可以通过判别函数的驻点和端点来确定函数的最值。

首先求解函数在定义域内的驻点（即导数为零的点），然后求解函数在区间的端点上的值，最后比较这些点的函数值来确定最值。

5.约束条件法：对于一个函数在一个区域上的最值问题，可以引入一个或多个约束条件来求解。

这种方法常用于优化问题中，其中一个约束条件是函数的取值在一个约束集内。

6.数学归纳法：对于一些特殊的函数序列，可以使用数学归纳法来证明函数的最值。

数学归纳法的思路是先证明当n为一些初始值时函数的最值成立，然后再证明当n+1时函数的最值也成立。

7.动态规划法：对于一些复杂的问题，可以使用动态规划法来求解函数的最值。

动态规划法是将问题分解为多个子问题，然后通过求解子问题的最值来求解原问题的最值。

8.枚举法：对于一些简单的函数，可以通过枚举函数的值来确定最值。

枚举法的思路是列举函数在定义域上的所有可能取值，然后比较这些值来确定最值。

9.近似法：对于一些复杂的函数，可以使用近似法来求解函数的最值。

近似法的思路是将函数结合数值计算方法来进行近似求解。

常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法等。

总之，求函数最值是一个重要的数学问题，有多种方法可以求解。

高中求最值的方法总结

高中求最值的方法总结三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一。

以下是小编整理的高中求最值的方法总结,欢迎大家前来查阅。

高中求最值的方法总结篇1方法一：利用单调性求最值学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。

例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。

分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。

解：原问题等价于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。

令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。

当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递减;当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。

所以g(x)在[-2，2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。

其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。

方法二：利用不等式求最值掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制。

例2 若x∈R，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方法。

求函数最值的10种方法

求函数最值的10种方法函数的最值是指函数在定义域内，取得的最大值和最小值。

确定函数的最值对于问题的解决非常重要，因此有很多方法可以找到函数的最值。

下面我将介绍十种常见的方法来求解函数的最值。

1. 图像法（Grpahical Method）：这是最常见的方法之一，通过绘制函数的图像来确定函数的最值。

找到函数的最高点和最低点，并确定定义域的范围以确定最值。

2. 导数法（Derivative Method）：使用导数的概念，通过求解函数的导数来确定函数的最值。

找到导数为零的点，并判断其是否为极值点，进而确定函数的最值。

注意，导数为零的点并不一定是函数的最值点，还需要判断其是极大值还是极小值。

3. 欧拉公式法（Euler’s Formula Method）：对于一些特殊的函数形式，如指数函数和三角函数，可以使用欧拉公式来求解函数的最值。

欧拉公式的核心思想是将函数用指数函数和三角函数的形式来表示，然后利用指数函数和三角函数的性质来确定最值。

4. 一阶必要条件法（First-order Necessary Condition Method）：根据一阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零。

通过求解函数的导数，找到导数为零的点，并判断是否为函数的最值点。

5. 二阶必要条件法（Second-order Necessary Condition Method）：根据二阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零，且二阶导数必须存在且不为零。

通过求解函数的导数和二阶导数，找到导数为零的点，然后判断其二阶导数的符号来确定函数的最值。

6. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）：用于求解带有约束条件的优化问题，可以将函数与约束条件一起构建为一个拉格朗日函数，然后通过求解拉格朗日函数的最值来确定函数的最值。

7. 线性规划法（Linear Programming Method）：适用于求解线性约束下的函数最值问题。