均值不等式练习

均值不等式练习

【同步达纲练习】

知识强化： 一、选择题

1.下列不等式中，对任意实数x 都成立的是（ ）

A.lg(x 2+1)≥lgx

B.x 2

+1>2x

C.

1

12+x ≤1 D.x+x 1

≥2

2.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①222b a +≥ab ②b

a

a b +≥2 ③ab ≤（2b a +）2

④（2

b a +）2≤22

2b a +这四个不等式中，恒成立的个数是（ ）

A 。1 B.2

C.3 D 。4

3。已知a,b ∈R +

，且a+b ＝1，则下列各式中恒成立的是( )

A.

ab 1≥2

1 B 。b a 1

1+≥4

C 。ab ≥21 D.221b a +≤2

1

4。函数y ＝3x 2

+1

62+x 的最小值是（ ）

A.32-3`

B.—3

C 。62

D 。62—3

5。已知x>1,y>1，且lgx+lgy ＝4，则lgxlgy 的最大值是（ ) A.4 B.2 C.1 D 。4

1

二、填空题

6。已知a>b 〉c ，则c)-b)(b -(a 与

2

c

a -的大小关系是 . 7.若正数a ，

b 满足ab ＝a+b+3，则ab 的取值范围是 .

8.已知a,b,c ∈R 且a 2+b 2+c 2

＝1，则ab+bc+ca 的最大值是 ，最小值是 。

三、解答题

9.已知a,b,c ∈R,求证：a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2

≥abc(a+b+c ）.

10.（1）求y ＝2x 2

+

x

3

（x 〉0)的最小值。 （2）已知a,b 为常数，求y ＝（x-a)2

+(x —b)2

的最小值.

素质优化： 一、选择题 1.已知f （x ）＝(

21)x ，a,b ∈R +

，A ＝f(2b a +），G ＝f(ab ),H ＝f(b

a a

b +2),则A 、G 、H 的大小关系是( )

A 。A ≤G ≤H B.A ≤H ≤G C 。G ≤H ≤A D.H ≤G ≤A

2。已知x ∈R +

，下面各函数中，最小值为2的是（ ）

A.y ＝x+

x 1 B 。y ＝22+x +2

12+x C.y ＝x+x 16 D.y ＝x 2

—2x+4

3。当点（x,y ）在直线x+3y-2＝0上移动时，表达式3x

+27y

+1的最小值是( ) A 。339 B.1+22 C 。6 D 。7

4。设M ＝（a 1—1）（b 1 -1)（c

1 -1)，且a+b+c ＝1，(其中a ，b,c ∈R +

），则M 的取值范围是

A.［0，

81］ B 。［8

1，1］ C 。［1，8］ D 。［8，+∞)

5。若a ，b,c,d,x ，y ∈R +

,且x 2

＝a 2

+b 2

，y 2

＝c 2

+d 2

,则下列不等式中正确的是( )

A.xy 〈ac+bd B 。xy ≥ac+bd C 。xy 〉ac+bd D.xy ≤ac+bd

二、填空题

6。斜边为8的直角三角形面积的最大值是 .

7.已知x ，y ，∈R +，且xy 2

＝4，则x+2y 的最小值是 。 8.设x 〉y>z ，n ∈N ，且z y y x -+-11≥z

x n

-恒成立，则n 的最大值是 。 三、解答题

9。设n ∈N ，求证3221⨯+⨯+…+)1(+n n <2

)1(2

+n .

10.证明，任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4+22.

创新深化： 一、选择题 1.设x ∈R,且满足

2x +x

21＝cos θ，则实数θ的值为（ ）

A.2kn （k ∈Z ）

B.(2k+1）π（k ∈Z)C 。kn(k ∈Z) D 。kn+

2

π

（k ∈Z ） 2.对一切正数m ，不等式n<

m

4+2m 2

恒成立，则常数n 的取值范围是( ） A.（—∞，0） B 。（—∞,6)C 。（6,+∞) D 。［6，+∞) 3.若a ，b ，c ∈R ，且ab+bc+ca ＝1，则下列不等式成立的是（ ） A.a 2

+b 2

+c 2

≥2 B.（a+b+c ）2

≥3C 。

c

b a 1

11++≥23 D.abc （a+b+c ）≤3

4。已知a ，b 是不相等的正数，在a,b 之间插入两组数x 1,x 2，…,x n ,和y 1,y 2,…，y n ，使a,x 1,x 2，…,x n ，b 成等差数列，a,y 1，y 2,…,y n ，b 成等比数列，并给出下列不等式。

①

n 1 (x 1+x 2+…+x n ）〉(2b a +）2②n 1 （x 1+x 2+…+x n )>

2

b

a +

③n n y y y 21

2

b a -)2

则其中为真命题的是( )

A 。①③ B.①④C 。②③ D.②④

5.某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元,汽车的维修费逐年以等差数列递增,第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元，……问这种汽车使用几年后报废最合算?(即汽车的平均费用为最低）（ ）

A.8年

B.9年

C.10年

D.11年

二、填空题

6。已知0

b x a -+12

2的最小值是 . 7。已知a,b ∈R ，且a 〉2

b

>0，则a+b b a )2(1-的最小值是 。

8。sin 4

αcos 2

α的最大值是 ，此时，sin α＝ ,cos α＝

三、解答题

9。在两个正数x 、y 之间，插入一个正数a ，设x ，a ，y 成等比数列，另插入两个正数

b,c,设x ，b ，c ，y 成等差数列，求证：（a+1）2

≤(b+1）（c+1)。

10.已知a 〉0，b>0,c>0,a+b+c ＝1.求证:（1+

a 1）(1+

b 1)(1+c

1

)≥64.