均值不等式习题大全

均值不等式题型汇总 杨社锋

均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。

类型一：证明题

1. 设*

,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4

a b a b ++≥

2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++

3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：

222

b c a a b c a b c

++≥++

4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222

a b c ab bc ac ++≥++

5. 已知实数,,x y z 满足：2

2

2

1x y z ++=，求xy yz +得最大值。

6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥

7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：

222

2

111()a b c a b c

+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。

类型二：求最值：

利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。

1. 设11

,(0,)1x y x y

∈+∞+=且

，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求

11

2x y

+的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1

ab ab

+

的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x

=

+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122

y x x x =

+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。

8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若2

2

41x y xy ++=，求2x y +的最大值。

9. 求函数y =

的最大值。

变式：y =

10. 设0x >求函数21

x x y x

++=的最小值。

11. 设设1x >-求函数21

1

x x y x ++=+的最小值。

12. （2010山东高考）若任意0x >，

2

31

x

a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22

233

(1)22

x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题

1.（2009湖北）围建一个面积为2

360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。

（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。

（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。

2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 平均购地费用=购地总费用建筑总面积）

附加题：

若正数,,a b c 满足1a b c ++=，那么2

2

2

111()()()a b c a

b

c

+++++的最小值为