圆锥曲线题型训练-轨迹方程的求法

圆锥曲线题型训练轨迹方程的求法

总论 (2)

1 直接法 (3)

练习1 (4)

2 定义法 (5)

练习2 (7)

3 代入法 (9)

练习3 (11)

4、交轨法 (11)

练习4 (13)

5参数法 (14)

练习5 (18)

6、练习题答案 (20)

练习1答案 (20)

练习2答案 (23)

练习3答案 (28)

练习4答案 (29)

练习5答案 (34)

总论

轨迹:是指一个动点按某种特点来运动，运动构成的曲线，可以是，直线，线段，圆，或椭圆，双曲线等等，我们这里把“曲线”也叫做“轨迹”；

求动点轨迹方程:即已知动点的运动规律，我们来求满足此条件的动点的坐标),(y x 满足的方程（即等式）0),( y x f ；

这个过程要求我们善于将几何图形中点、线之间的关系转化为代数形式，比如，长度，距离，向量的关系式等等，将条件坐标化，注意分析运动过程中不变的等量关系，将“不变的关系”化为“等式”，即达到了求轨迹方程的目的。 可能用到的公式： 两点间距离： 点到直线的距离： 两条平行新间的距离： 平面向量的数量积的坐标形式： 平面向量数乘的坐标形式：

1 直接法

本着“求谁设谁”的原则，将所求轨迹的动点的坐标设为),(y x ,根据其运动特点列等式,利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式等）进行整理、化简，把运动特点“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程0),(=y x f 。

例 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？

解：设),(y x M ，则)0,2(),2,0(x B y A ，由a AB 2||=得a y x 2442

2=+，化简得2

2

2

a y x =+

变式：若

2

1

=

MA

BM

，则点M 的轨迹方程是什么？ 例 已知点(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =，求动点P 的轨迹方程 解：因为2

2

2

2

||(3),||(3)PA x y PB x y =++=-+代入||2||PA PB =，得

22222

2224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++

化简得22

(5)16x y -+=，说明轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 说明：由此题可以得到一个推论：已知平面上两点A 、B ，则所有满足(1)PA

k k PB

=≠的点P 的轨迹是一个圆（阿氏圆） 例2 （2009海南20）

已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，

OP

OM

=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得

1,4,37a c a c a c -=⎧==⎨

+=⎩

解得，所以椭圆C 的标准方程为22

1167x y +=

（Ⅱ）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。由已知

222

OP OM

λ=及点P 在椭圆C 上可得

22

22

911216()

x x y λ+=+，整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。 （i ）34

λ=时，化简得2

9112y =

，即(44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；

（ii ）3

4

λ≠时，方程变形为

22

22

111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-，

当3

04

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。 当

3

14

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分；

当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆。

点评：直接法求轨迹方程的特点是，直截了当，看似容易掌握，但也会有难一点的问题，难题可能难在：与数学思想结合，比如上例，分类讨论，也可能是运动特征比较复杂，需要严密的分析，如练习题中的第6,7题。 练习1

1、已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA

PB x =·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

2、设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；

3、（2006四川）已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于

（A ）π （B ）4π （C ）8π （D ）9π 4、（2013陕西理）已知动圆过定点(4,0)A , 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ) 已知点(1,0)B -, 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.