晶体学基础晶体投影1
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高考化学晶体投影知识点
高考化学晶体投影知识点晶体投影是高考化学中的重要知识点之一，理解和掌握晶体投影的相关概念和方法对于解决晶体结构问题具有重要意义。
下面将介绍晶体投影的相关知识点及其应用。
一、晶体投影的定义晶体投影是指将三维晶体结构中的原子、分子或离子的投影投射在一个平面上，用二维图形来表示晶体的结构。
晶体投影可以帮助我们更清晰地观察晶体的结构，便于分析和研究晶体的性质。
二、晶体投影的方法1. 平行投影法平行投影法是一种常用的晶体投影方法，通过将所有原子在一个平面上投影，使得所有原子在投影图上的尺寸和位置与真实晶体结构一致。
可以使用线段或圆点表示原子，根据需要选择合适的比例尺和投影方向进行绘制。
2. 立体投影法立体投影法是另一种常用的晶体投影方法，它可以提供三维晶体结构的立体感。
通常使用矩形或六边形的投影图形表示晶体结构，其中不同的原子用不同的颜色或符号表示。
三、晶体投影的应用1. 晶体结构分析晶体投影可以帮助我们分析和解释晶体的结构。
通过观察晶体投影图，可以确定晶体中的基本单元和各个原子的位置关系，进而推断晶体的晶格类型、空间群和化学组成等信息。
2. 晶体性质研究晶体投影还可以用于研究晶体的物理和化学性质。
通过观察晶体投影图的形状和对称性，可以推断晶体的晶胞参数、晶体的晶系和晶体的晶体学类别，进而预测晶体的性质，如硬度、光学性质等。
3. 材料设计和合成晶体投影在材料科学和工程中有着广泛的应用。
通过研究晶体投影图，可以了解晶体的结构特征和原子排列方式，从而指导新材料的设计和合成。
四、晶体投影的难点和注意事项1. 投影方向的选择选择合适的投影方向是进行晶体投影的关键。
不同的投影方向可以呈现不同的晶体结构信息。
经验上，选择高对称轴或者对称平面作为投影方向，可以简化晶体投影图的绘制，并且更容易把握晶体的对称性。
2. 投影图的分析正确理解和分析晶体投影图对于解决晶体结构问题至关重要。
需要注意的是，晶体投影图只能提供晶体中原子位置在投影面上的信息，需要结合其它实验数据和理论知识进行综合分析。
晶体投影
FCC(111)极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：面角测量 N
S
极式网：经线上的纬度差
吴式网：能转动
有且只有一个大圆过两点，此大圆必与0°经线相交于xy平面内 N
S
转动直到两点在一条经线上，读出纬度的差值即为面角
第二章：晶体投影 § 2.3 心射切面投影
极射赤面投影（Stereographic projection）：主要用来表示 线、面的方位，及其相互之间的角距关系和运动轨迹， 把物体三维空间的几何要素（面、线）投影到平面上来 进行研究。 特点：简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。 在结晶学、地质和航海上被广泛地应用。 步骤: 1. 球面投影：视点-球心，投影面-参考球面 作晶面的法线交投影面于极点P； 2. 极射赤面投影：视点-南极S，投影面-赤平面，赤道-基圆 连接SP，交赤平面于一点即极射赤面投影点p。
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影
晶体学第一定律的意义：使人们从实际晶体千变万化的形态 中，找到它们外形上的内在规律，得以根据面角的关 系，来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学 的基础。对晶体学的发展产生了极为深远的影响。 面角: 两个晶面法线间的夹角，等于外角
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 极射赤面投影：
N 晶面 P 晶面法线
p
投影面 基圆 S
晶面在球上的投影
北半球晶面的极射赤面投影
南半球晶面的极射赤面投影
N
S
大圆的极射赤面投影
小圆的极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用 § 2.3 心射切面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
晶体学基础(第二章)
2.1 面角守恒定律
双圈反射测角仪： 双圈反射测角仪：晶体位于二旋转 轴的交点。 轴的交点。。当观测镜 筒中出现“信号” 筒中出现“信号”时，我们便可以 在水平圈上得到一个读数ρ 极距角) 在水平圈上得到一个读数ρ(极距角)， 并在竖圈上得到一个读数ϕ 方位角) 并在竖圈上得到一个读数ϕ(方位角)， ρ和ϕ这两个数值犹如地球上的纬度 和经度，是该晶面的球面坐标 球面坐标。 和经度，是该晶面的球面坐标。
使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。 使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。
2.1 面角守恒定律
单圈反射测角仪， 单圈反射测角仪，精度可达 0.5′ l′-0.5′。但缺点是晶体安置 好之后只能测得一个晶带( 好之后只能测得一个晶带(指 晶棱相互平行的一组晶面) 晶棱相互平行的一组晶面)上 的面角数据。 的面角数据。若欲测另一晶 带上的面角时， 带上的面角时，必须另行安 置一次晶体。测量手续复杂。 置一次晶体。测量手续复杂。
2.1 面角守恒定律 晶体测量(goniometry)又称为测角法。 晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角 (goniometry)又称为测角法 的数据，通过投影， 的数据，通过投影，可以绘制出晶体的理想形态 图及实际形态图。 图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体 常数，确定晶面符号(见第四章) 同时， 常数，确定晶面符号(见第四章)，同时，还可以 观察和研究晶面的细节(微形貌) 观察和研究晶面的细节(微形貌)。晶体测量是研 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 为了便于投影和运算， 为了便于投影和运算，一 般所测的角度不是晶面的 夹角， 夹角，而是晶面的法线 plane)夹角 (normals to plane)夹角 (晶面夹角的补角)，称为 晶面夹角的补角) 面角(interfacial angle)。 面角(interfacial angle)。
晶体学基础(第二章)
晶体学基础(第二章)第二章晶体的投影2.1面角守恒定律2.2晶体的球面投影及其坐标2.3极射赤平投影和乌尔夫网2.4乌尔夫网的应用举例2.1面角守恒定律面角守恒定律(lawofcontancyofangle),斯丹诺于面角守恒定律(angle)斯丹诺定律(Steno)1669年提出亦称斯丹诺定律年提出，1669年提出，亦称斯丹诺定律(lawofSteno)。
同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
这里夹角一般指同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
的是面角面角(angle)即晶面法线之间的夹角。
的是面角(interfacialangle),即晶面法线之间的夹角。
晶面角守恒定律告诉我们：晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的m1面与另一晶体的相应面m1´平行放置，则这两个晶体其它的相平行放置，也互相平行，应晶面m2与m2´,…………,mn与mn´也互相平行，即同一种，物质的相应晶面间夹角不变。
物质的相应晶面间夹角不变。
2.1面角守恒定律2.1面角守恒定律成分和结构相同的晶体，成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的影响，而形成不同的外形，影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”成所谓的“歪晶”。
2.1面角守恒定律面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
因为同种晶体具有完全相同的格子构造，晶体具有完全相同的格子构造，格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。
种面网构成晶体外形上的同种晶面。
晶体生长过程中，晶面平行向外推移，程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小形态如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础，奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因。
材料科学基础 第1章 晶体学基础
人类使用的材料中大多为晶态(Crystalline)，包括单晶、 多晶、微晶和液晶等。那么什么是晶体？ 晶体有何特点？
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
晶体学基础PPT课件
➢ 单位格子：只包含一 个点阵点的格子叫单 位格子 。
➢ 复单位：即每一个格 子单位分摊到一个以 上的点阵点。
点阵
图1-4 平面点阵单位 上图所示，平行四边形I和II都 只分摊到一个点阵点，故它们 都是单位格子；平行四边形III 分摊到两个点阵点，故它是复 单位。
点阵
3.三维点阵(空间点阵)
➢分布在三维空间的点阵叫空间点阵。 ➢空间点阵对应的平移群可用下式表示：
T m n m p n a p b ,m c ,n ,p 0 , 1 , 2 (1 .
图1-5 空间点阵单位
点阵
➢空间格子：空间点阵按确定的 平行六面体单位划分后所形成 的格子称为空间格子 。
➢基本单位：每个平行六面体格 子单位只分摊到1个点阵点， 称为空间点阵的基本单位 。
我们把所有阵点可用位矢(1.1)、(1.2)或(1.3) 来描述的点阵称为布拉菲点阵。
➢ 点阵的这两条基本性质也正是判断一组点是否 为点阵的依据。
点阵
三.直线点阵、平面点阵与空间点阵
点阵和平移群
➢ 能使一个点阵复原的全部平移矢量组成 的一个平移群(它符合数学上群的定义) 称为该点阵对应的平移群。
➢ 点阵和平移群有一一对应的关系。一个 点阵所对应的平移群能够反映出该点阵 的全部特征。
第一章 晶体学基础
内容提要
晶体的基本性质 晶体结构几何理论的历史发展简况 点阵 平面点阵与空间点阵的性质 晶体的点阵结构 晶胞 典型晶体结构举例 晶向指数与面指数 晶体结构的对称性
第一节 晶体的基本性质
一.晶体与非晶体在宏观性质上的区别
➢晶体具有固定的外形，各向异性，固定 的熔点。 • 微细单晶体的集合体，称为多晶体 • 取向杂乱的单晶体集合成的多晶体， 显示出各向同性 • 择优取向的多晶体呈现出各向异性
➢ 复单位：即每一个格 子单位分摊到一个以 上的点阵点。
点阵
图1-4 平面点阵单位 上图所示，平行四边形I和II都 只分摊到一个点阵点，故它们 都是单位格子；平行四边形III 分摊到两个点阵点，故它是复 单位。
点阵
3.三维点阵(空间点阵)
➢分布在三维空间的点阵叫空间点阵。 ➢空间点阵对应的平移群可用下式表示：
T m n m p n a p b ,m c ,n ,p 0 , 1 , 2 (1 .
图1-5 空间点阵单位
点阵
➢空间格子：空间点阵按确定的 平行六面体单位划分后所形成 的格子称为空间格子 。
➢基本单位：每个平行六面体格 子单位只分摊到1个点阵点， 称为空间点阵的基本单位 。
我们把所有阵点可用位矢(1.1)、(1.2)或(1.3) 来描述的点阵称为布拉菲点阵。
➢ 点阵的这两条基本性质也正是判断一组点是否 为点阵的依据。
点阵
三.直线点阵、平面点阵与空间点阵
点阵和平移群
➢ 能使一个点阵复原的全部平移矢量组成 的一个平移群(它符合数学上群的定义) 称为该点阵对应的平移群。
➢ 点阵和平移群有一一对应的关系。一个 点阵所对应的平移群能够反映出该点阵 的全部特征。
第一章 晶体学基础
内容提要
晶体的基本性质 晶体结构几何理论的历史发展简况 点阵 平面点阵与空间点阵的性质 晶体的点阵结构 晶胞 典型晶体结构举例 晶向指数与面指数 晶体结构的对称性
第一节 晶体的基本性质
一.晶体与非晶体在宏观性质上的区别
➢晶体具有固定的外形，各向异性，固定 的熔点。 • 微细单晶体的集合体，称为多晶体 • 取向杂乱的单晶体集合成的多晶体， 显示出各向同性 • 择优取向的多晶体呈现出各向异性
材料科学基础-晶体学基础、原子结构
绝缘体：价带和导带间存在较大的能隙△Eg，而价带又被 电子填满，因而通常情形下外电场不能改变电子的速度和 能量分布。
半导体：半导体的能带结构和绝缘体类似，即价带被电子 填满，它与导带间有一定的能隙△Eg，但比较△Eg小（一 般小于2eV）。
2.6 元素的晶体结构和性质
8－N规则：周期表中ⅣA、ⅤA、ⅥA元素大多为共价结 合，每个原子具有8－N个近邻的原子，即配位数为8－ N ，N为族数。此规则是原子为通过共价键达到八个电 子层结构的必然结果
位于晶胞体对角线上靠结点1/4处，由四 个原子所组成的四面体中心（共8个）
rB/rA = 0.225
1.4 常见晶体结构及其几何特征
体心立方晶格中的间隙
设原子半径为rA, 间隙中能容纳的最大圆球半径为rB
位于晶胞六面体的面中心，由六个原 子所组成的八面体中心（共6个）
rB/rA = 0.15
由四个原子所组成的四面体 中心 （共12个）
rB/rA = 0.29
1.4 常见晶体结构及其几何特征
密排六方晶格中的间隙
坐标（1/3，-1/3,1/4）（共6个）
rB/rA = 0.414
由四个原子所组成的四面体 中心 （共12个）
rB/rA = 0.225
1.4 常见晶体结构及其几何特征
晶向与晶面原子密度
晶向原子密度：在特定的晶向上，线矢量通过原子中心， 2个原子中心间的线段长度为a，此线段中包含的原子数 为n， n / a为晶向原子密度。
2.3 结合键
四、范德华力
近邻原子相互作用→电荷位移 → 偶极子(dipoles）电偶 极矩的感应作用范德华力
包括：静电力,诱导力和色散力. 属物理键 ，系次价键，不如化学键强大，但能很大程度改变材料性质
半导体：半导体的能带结构和绝缘体类似，即价带被电子 填满，它与导带间有一定的能隙△Eg，但比较△Eg小（一 般小于2eV）。
2.6 元素的晶体结构和性质
8－N规则：周期表中ⅣA、ⅤA、ⅥA元素大多为共价结 合，每个原子具有8－N个近邻的原子，即配位数为8－ N ，N为族数。此规则是原子为通过共价键达到八个电 子层结构的必然结果
位于晶胞体对角线上靠结点1/4处，由四 个原子所组成的四面体中心（共8个）
rB/rA = 0.225
1.4 常见晶体结构及其几何特征
体心立方晶格中的间隙
设原子半径为rA, 间隙中能容纳的最大圆球半径为rB
位于晶胞六面体的面中心，由六个原 子所组成的八面体中心（共6个）
rB/rA = 0.15
由四个原子所组成的四面体 中心 （共12个）
rB/rA = 0.29
1.4 常见晶体结构及其几何特征
密排六方晶格中的间隙
坐标（1/3，-1/3,1/4）（共6个）
rB/rA = 0.414
由四个原子所组成的四面体 中心 （共12个）
rB/rA = 0.225
1.4 常见晶体结构及其几何特征
晶向与晶面原子密度
晶向原子密度：在特定的晶向上，线矢量通过原子中心， 2个原子中心间的线段长度为a，此线段中包含的原子数 为n， n / a为晶向原子密度。
2.3 结合键
四、范德华力
近邻原子相互作用→电荷位移 → 偶极子(dipoles）电偶 极矩的感应作用范德华力
包括：静电力,诱导力和色散力. 属物理键 ，系次价键，不如化学键强大，但能很大程度改变材料性质
晶体学基础专题知识
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
直立小园旳投影为一段圆弧。其位置和大小取决 于小园旳位置和大小。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 水平小园投影仍为一种园，并以基园旳圆心为圆心。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 倾斜小园旳投影为一小圆。其位置决定于小园旳位置。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 ②和投影面垂直旳大圆旳极射投影是过基圆圆心旳直线。
2.1 面角守恒定律
晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质旳一种晶体旳m1面 与另一晶体旳相应面m1´平行放置，则这两个晶体其他旳相 应晶面m2与m2´，…………，mn与mn´也相互平行，即同一种
物质旳相应晶面间夹角不变。
2.1 面角守恒定律
成份和构造相同旳晶体，经常因生长环境条件变化旳 影响，而形成不同旳外形，或者偏离理想旳形态而形 成所谓旳“歪晶”。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 将基园拿出来，根据倾斜大园和直立小园投影旳成果， 并标示出合适旳角度间隔，就是著名旳乌尔夫网（吴 氏网）。
乌尔夫网是极射投影旳量度工具。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
基园旳刻度可用来度量方位角 ，旋转 一周为360； 直径上旳刻度能够用来度量极距角， 从圆心为=0，到圆周为=90；
在球面坐标网中，与纬度相当旳是极距角，与经 度相当旳是方位角。如图所示。
2.2 晶体旳球面投影及其坐标
① 极距角()：投影轴与晶面法线或直线间旳夹角，也 就是北极N与球面上投影点之间旳弧度，故称极距角。 极距角都是从北极N点开始度量，从投影球N极到S极， 共分180°。
② 方位角()：是包括晶面法线或直线要素旳子午面与 投影球零子午面之间旳夹角。也就是球面上投影点所在 旳子午线与零子午线之间旳水平弧度，故称方位角。方 位角都是从零度子午线(=0，一般在投影球最右侧） 开始顺时针方向计角旳，投影球一周旳方位角共分为 360°。 有了球面坐标网后来，只要懂得投影点旳球面坐标值， 即能够拟定投影点在球面上旳位置。
晶体的投影和倒易点阵
6
2020年3月1日2时49分
2. 晶体的极射投影：是一种二次投影，即将晶体的晶面或晶向的球 面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影。包括心射极平 投影和极射赤平投影。
➢ 心射极平投影：
定义：将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点， 以球心为视点，将球面上的晶面极点投影于投影平面上，即以球心与球 面上的晶面极点做直线延伸到投影平面，此直线与投影平面相交点即为 此晶面极点的投影点。 缺点：投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影，一个投影 平面只能记录球面上部分晶面极点。 应用：诠释劳埃衍射照片十分有用。
六、广义晶带理论
在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每 一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点 时则 uh+vk+wl = 0 当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时
uh+vk+wl = N ➢ 当N>0时，倒易阵面在原点上方； ➢ 当N<0时，倒易阵面在原点的下方。
7
➢ 极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个 点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
8
D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
2020年3月1日2时49分
球面投影与极射赤面投影之间的关系： 球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径； 球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径； 水平大圆即赤道平面与投影球的交线，其极射赤面投影为投影基圆本身； 水平小圆的极射赤面投影为与基圆同心的圆； 倾斜小圆的投影为椭圆； 直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧，其大小和位置取决于小圆的大小和位置。
晶体的投影和倒易点阵ppt课件
正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
9
二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
3
2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
23
2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
20
2023年10月17日1时53分
四、倒易点阵的基本性质
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
9
二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
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2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
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2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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2023年10月17日1时53分
四、倒易点阵的基本性质
晶体学基础_2
2023/10/12
45
1.6 倒易点阵
具体说来，要求从新点阵原点O
至任一节点P h,k,l的矢量OP
正好沿着正点阵中(hkl)面的法线方向， 而OP的长度就等于晶面间距的倒数，
即 OP
1
/
d
(
hkl
。
)
这样的新点阵就叫倒易点阵。
2023/10/12
46
1.6.2 倒易点阵
倒易点阵的构建方法：
c
24
1.1.4 典型晶体结构
3.面心立方晶格
Cu、Ag、Au、Al具有面心立方晶格结构
2023/10/12
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1.1.4 典型晶体结构
4. 六角密排晶格
排列方式： ABABAB (六方密堆积)
Be、Mg、Zn、Cd具有六角密排晶格结构
2023/10/12
26
1.1.4 典型晶体结构
5.金刚石结构
分数坐标分别为：
Cs
+
:
1 2
1 2
1 2
CI : 000
由于点在晶胞内， x、y、z≤1 11
1.1.3 布拉菲阵胞
为了同时反应晶体结构的周期性和对称性，通常按照以下 原则选取晶胞： 1. 反应晶体的宏观对称性； 2. 相等的棱边和夹角尽可能多； 3. 平行六面体的棱与棱之间有尽可能多的直角； 4. 平行六面体的体积尽可能小。
<100>=[100]+[010]+[001]+[100]+[010]+[001]
2023/10/12
38
1.2.2 晶面及其表征
晶面指数(hkl)
现在广泛使用的用来表示晶面指数的是密勒指数，密勒指标是 指平面和三个晶轴相交截数的倒数的互质比，代表一族相互平 行的平面点阵。确定晶面指数的具体步骤如下：
晶体点群与极射赤面投影投影(简版)
05
晶体点群与极射赤面投影 的未来发展
新的研究方法和技术
引入人工智能和机器学习 方法
利用人工智能和机器学习技术对晶体点群与 极射赤面投影进行高效、准确的分类和识别 。
发展高精度测量技术
提高晶体点群与极射赤面投影的测量精度，为相关 领域的研究和应用提供更准确的数据支持。
探索新的数学模型和算法
针对晶体点群与极射赤面投影的特点，研究 和发展新的数学模型和算法，以更好地揭示 其内在规律和特性。
晶体点群与极射赤面投 影投影(简版)
目录 CONTENT
• 晶体点群 • 极射赤面投影 • 晶体点群与极射赤面投影的关系 • 晶体点群与极射赤面投影的实际
应用 • 晶体点群与极射赤面投影的未来
发展
01
晶体点群
点群的分类
按照对称元素
可以分为一维、二维、三维点群 ，如C1、Cs、Ci为一维点群，C2 、C2h、S2、D2、D2h等为二维 点群，Fd3m、Fm3m、Im3m等 为三维点群。
对未来发展的展望
跨学科融合
加强晶体点群与极射赤面投影投影与相关学科的交叉融合， 推动其在更多领域的应用和发展。
标准化和规范化
建立晶体点群与极射赤面投影投影的标准化和规范化体系， 促进其在学术交流和实际应用中的广泛认可和应用。
人才培养和队伍建设
加强人才培养和队伍建设，培养一批具备专业素养和实践 经验的人才，为晶体点群与极射赤面投影投影的未来发展 提供有力的人才保障。
04
晶体点群与极射赤面投影 的实际应用
在材料科学中的应用
确定晶体结构
通过极射赤面投影，可以直观地 表示晶体中原子或分子的排列情 况，有助于确定材料的晶体结构。
预测材料性质
材料科学研究：晶体的投影与标准极图
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
标准极射赤面投影图（简称标准极图）：是以晶体的某一简单 晶面为投影面，将各晶面的球面投影再投影到此平面上去所形成的 投影图。
立方晶系中主要晶面的球面投影
立方晶系中（001）、（011）、（111）标准极图
举例
任意晶面赤面投影坐标 ：立方系（111）晶面
极点P的投影几何示意图
二 、球面投影
1.定义： 球面投影是指晶体位于投影球的球心，将其晶面和晶向以一定
的方式投影到球面上的一种方法。 注意： 1）晶体的尺寸相比于投影球可以忽略；
2）晶体的所有晶面均可认为通过球心。
2.分类：迹式和极式两种
球面投影
1）迹式球面投影
迹式球面投影是指晶体的几何要素（晶面、晶向）通过直接延
伸或扩展与投影球相交，在球面上留下的痕迹。
材料研究方法
晶体的投影与标准极图
课程内容
一
背景
二
球面投影
三 三 极射赤面投影
四 标准极射赤面投影（标准投影图或标准极图）
五
举例
一、背景
晶体中的晶面、晶向之间的三维空间关系研究困难，如通过某 种方法转变为二维面上的关系，研究就会容易得多，该法就是晶体 投影。 1、定义：
晶体投影是指将构成晶体的晶面和晶向等几何元素以一定的规 则投影到投影面上，使晶面、晶向等几何元素的空间关系转换成其 在投影面上的关系，该过程称晶体投影。（三维关系-二维关系） 2、投影面分类：有球面和赤平面两种 3、投影分类：为球面投影和极射赤面投影
P
（1）晶面迹式球面投影
M
是将晶面扩展与投影球面相交所得的交线
大圆，该大圆又称为晶面的迹线。 （2）晶向迹式球面投影
是将晶向朝某方向延长并与投影球面相交
晶体学基础-球面投影
晶面法线与球的交点－－晶面极点；
晶面扩大后与球的交线－－面痕
17:15
4
（二）极射赤平投影
( polar stereographic projection)
将球面上极点投影到一个平面（赤道平面）上。
NS：投影轴； N\S：目测点（南北极）； Q：赤道平面
17:15
5
17:15
6
17:15
7
立方晶系（001）标准极图
晶体取向
1.晶面与晶向指数 2.晶体投影图
标注
按一定规则表示各晶面和晶
向分布的图形。
球面投影
17:15
2
（一）球面投影
(spherical projection)
17:15
3
（一）球面投影
(spherical projection)
1. 将晶体放在一个大球的中心， 所有的晶面和晶向都通过球心。
2. 晶向的表示：它与球面的交点。 3. 晶面的表示：
17:15指数的确定：
一个晶面在空间的取向可以由它的法线与三个晶轴 [100]、[010]及[001]的夹角确定。
h:k:l=acosρ:bcosσ:ccosτ
注意： 量度两个极点间的角度，
是过两个极点的经线来量度。
计算机绘制任意投影面的标准极图。
17:15
15
谢 谢！
17:15
9
晶体投影要解决的问题？ -晶向（面）间关系的表达
1.晶面的夹角
P1与P2面的夹角－－ OP1与OP2夹角φ： 过P1，P2与球心O做一大圆， P1P2的弧度。
17:15
11
（三）乌氏网（Wulff net)
刻度球的
极射赤平投影面 度量
晶面扩大后与球的交线－－面痕
17:15
4
（二）极射赤平投影
( polar stereographic projection)
将球面上极点投影到一个平面（赤道平面）上。
NS：投影轴； N\S：目测点（南北极）； Q：赤道平面
17:15
5
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立方晶系（001）标准极图
晶体取向
1.晶面与晶向指数 2.晶体投影图
标注
按一定规则表示各晶面和晶
向分布的图形。
球面投影
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2
（一）球面投影
(spherical projection)
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3
（一）球面投影
(spherical projection)
1. 将晶体放在一个大球的中心， 所有的晶面和晶向都通过球心。
2. 晶向的表示：它与球面的交点。 3. 晶面的表示：
17:15指数的确定：
一个晶面在空间的取向可以由它的法线与三个晶轴 [100]、[010]及[001]的夹角确定。
h:k:l=acosρ:bcosσ:ccosτ
注意： 量度两个极点间的角度，
是过两个极点的经线来量度。
计算机绘制任意投影面的标准极图。
17:15
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谢 谢！
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晶体投影要解决的问题？ -晶向（面）间关系的表达
1.晶面的夹角
P1与P2面的夹角－－ OP1与OP2夹角φ： 过P1，P2与球心O做一大圆， P1P2的弧度。
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（三）乌氏网（Wulff net)
刻度球的
极射赤平投影面 度量