《实变函数》第四章习题解答

第四章习题参考解答1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈∀，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{kx f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥⎰⎰⎰kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥⎰⎰kx f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E ， 0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=⎰dx x f E )(dx x g E⎰)(.证明：我们证f，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.N m ∈∀及12,,1,0-=m m k ，令}21)(2|{,mm k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m ,21== ，定义简单函数∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. 下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,}21)(2|{})(0|{1210mm m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤mm k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-mm m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=m m k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀，})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀mm k k ，有k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤=m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ)(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.3.若⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(，计算⎰1,0[)(dx x f .解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=⎰⎰1)()(]1,0[E dx x f dx x f⎰]1,0[)(dx x f ⎰⎰⎰+==111E EE dx xdx xdx x=+==⎰⎰⎰1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====⎰⎰x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的q个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq.证：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中i E χ为i E 上的特征函数]1,0[∈∀x ，有q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ，所以q qdx dx x f =≥⎰⎰]1,0]1,0[)(.∑∑⎰∑∑⎰⎰⎰========≤n i ni i E n i E ni E mE dx x dx x dx x f q i i 11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个n qmE i <，则∑∑===⋅=>n i n i i q n q n n q mE 11.这与∑=≤ni i mE q 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤∃使得nqmE i ≥. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22g f+也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈∀,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤⎰⎰⎰EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m mS E E=，}||||{∞<=x x S m .从而∞=⎰1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界⎰Edx x F )(的数列，故：⎰⎰⎰≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因为⎰∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以⎰∞→mE l dx x f )(lim存在，并且⎰⎰⎰+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(，即⎰∞→∞→mE ll m dx x f )}({lim lim+∞<≤⎰dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22g f+在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为||||22g f g f+≤+，由（1）。

22g f +在E 上可积.6.设+∞<mE ，)(x f 是E 上的非负可测函数，∞+<⎰Edx x f )(，})(|{k x f x E E k >=，试证明：0lim =⋅∞→dx mE k k l .证明：N k ∈∀，因为+∞<≤≤≤⎰⎰EE k dx x f dx x f kmE k)()(0，所以)(0)(10∞→→≤≤⎰k dx x f k mE Ek ，故0lim =∞→k l mE . 又因为⎰+∞<Edx x f )(，由积分的绝对连续性（即，P103，定理4）.0>∀ε,0>∃δ,使得对于任何可测集E A ⊂，δ<mA ，恒有⎰Adx x f |)(|⎰<=Adx x f ε)(.对于0>δ，由0lim =∞→k k mE ，得，存在N k ∈0，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤⎰dx x f mE k kE k )(0，从而0lim =⋅∞→k k mE k .7.设E 为可测集，且+∞<mE ，)(x f 为E 上的非负可测函数，}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ，试证: )(x f 在E 上可积当且仅当级数∧∞=∑k k E km 1收敛.证：)(⇒设}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ，N k ∈，因为)(x f 在E 可积，故∑∑⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=⋅=≥=111)(k k k E k E EmE k dx k f dx x f kk.即，级数∑∞=∧⋅1k k E m k 收敛.)(⇐N k ∈∀,因为}1)(|{+<≤=k x f k x E E k ，k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤⎰⎰)1()1()(，又dx x x f dx x f m kE EE )()()(χ⎰⎰= 又dx x x f x f m kE EE )()()(χ⎰⎰=.因为∑∞==1)()()(k E x x f x f k χ，所以=⎰dx x f E)(∑∑⎰∑⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=∞=+≤===1112,991)()()()()()(()(k k k k E k E EL TH P k E EEmE kmE dx x f x x f dxx x f x f kk k χχ基本定理+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.从而，)(x f 在E 上可积.8.设f 是R '上的可积函数，证明：⎰=-+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f .证明：（1）先证：0>∀ε，存在时直线R '上的连续函数)(x ϕ，使得⎰<-+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于N n ∈∀，记：⎪⎩⎪⎨⎧-<->≤=N x f N N x f N Nx f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([ ],[b a E x =∈.则：⎪⎩⎪⎨⎧-<+>-≤=-Nx f N x f N x f N x f N x f x f x f n )(,)()(,)(|)(|,0)]([)(. 则=-⎰dx x f x f b a n |)]([)(|],[dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰>- +dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰≤- =dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰>-dx N x f N f E |)(|)|(|⎰>+≤dx x f N f E |)(|)|(|⎰>≤.因为)(x f 在],[b a 是lebesgue 可积的，故0>∀ε，0>∃δ，使E A ⊂，δ<mA 时，恒有Adx x f Aε<⎰|)(|，又因为∞=1|)}(|{n f E 是单调的集列，并且)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n .从而，=>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n0)|(|=+∞=f mE .所以，对于0>δ，N ∈∃N ，使得4|)(|)|(|ε<⎰>dx x f N f E .对于N x f )]([，取04>=Nεη，由连续扩张定理（第10页，定理3），存在闭集],[b a F ⊂及R '上的连续函数)(x ϕ，使得 （i ）F F N x x f |)(|)]([ϕ= （ii ）NF E m 4)(ε<-(iii) N x ≤|)(|ϕ 则242)(2||)|]([|][||][],[εεϕϕϕ=⋅<-⋅≤+≤-=-⎰⎰⎰--NN F E m N dx f dx f dx f FE N FE N b a N ，从而≤-+-≤-⎰⎰dx x f dx x f x f dx x x f b a NNb a |)(][||)]([)(||)()(],[],[ϕϕεεεϕ=+⋅≤-+≤⎰⎰>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E .(2)再证：0|)()(lim],[0=-+⎰→dx x f b x f b a h0>∀ε，由（1）知，存在R '上的连续函数)(x ϕ使得3|)()(]1,1[εϕ<-⎰+-dx x x f b a ，因为)(x ϕ在]1,1[+-b a 上一致连续，所以)1(0<>∃δδ使得],[b a x ∈∀，)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x -<-+εϕϕ，dx h x h x f dx x f h x f b a b a |)()(|)()(],[],[⎰⎰+-+≤-+ϕ+dx x h x b a |)()(|],[⎰-+ϕϕ+dx x f x b a |)()(|],[⎰-ϕ.因为],[b a x ∈时，)1|:|<<∀δh h ，有]1,1[+-∈+b a h x ，故dx h x h x f b a |)()(|],[⎰+-+ϕ3|)()(|]1,1[εϕ<-≤⎰+-dx x x f b a .所以≤-+⎰dx x f h x f b a |)()(|],[+-⎰+-dx x x f b a |)()(|]1,1[ϕdx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[⎰⎰-+-+ϕϕϕεεεε=++<333.故0|)()(|lim],[0=-+⎰→dx x f h x f b a h .9.设f 是E 上的非负可积函数，c 是任意常数，满足⎰≤≤Edx x f c )(0，试证：存在E E ⊂1，使得c dx x f E =⎰1)(.证明：设常数c ，合于⎰≤≤Edx x f c )(0，当⎰=Edx x f c )(时，存在E E=1，使得c dx x f E =⎰1)(，不妨设⎰≤≤Edx x f c )(0.先证：⎰-=Et t dx x f t F ],[)()(在),0[+∞上连续，),0[0+∞∈∀t，0t t >∀，因为⎰⎰⎰⎰+=-=-≤----Et t Et t Et t Et t dx x f dx x f dx x f dx x f t F t F ],[],[],[],[00000)()()()()()(0，由积分的绝对连续性（P85，定理4），0>∃δ，E A ⊂∀，δ<mA ，有2)(|)(|ε<=⎰⎰AAdx x f dx x f .故，δ<-≤∀00:t t t ，因δ<-≤-00)),([t t E t t m ，δ<-≤00)],((t t E t t m ，故εεε=+=+=-≤⎰⎰--22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F .所以，)()(lim 00t F t F t t =+→.同理，对于),0[0+∞∈∀t ，用上述完全类似方法可得)()(lim 00t F t F t t =-→.故，)(t F 在 ),0[+∞上连续.又因为c dx x f dx x f EEt t t >=⎰⎰-+∞→)()(lim],[ （根据P89的定义4）.所以00>∃t，使得c dx x f t F Et t >=⎰- ],[0)()(.故)()0(0tF c F <<，由)(t F 在闭区间],0[0t 上的介值定理（连续函数的介值定理），),0(01t t ∈∃，使得E E t t E ⊂-= ],[111，有c t F dx x f dx x f Et t E ===⎰⎰-)()()(1],[01.10.设g 是E 上的可测函数，P 是大于1的数，2是P 的共轭输，即111=+qp .如果对任意)(E L f P ∈，都有)(E L fg '∈，试证)(E L g q∈.11，试证：（i ）1)1(1lim),0(1=+⎰+∞∞→dt tktkk k .(ii) dx x e dx x n x x n k ⎰⎰+∞-+∞-∞→=-),0(),0(1)1(limαα.证明：（i ）2≥∀k 时，（寻找控制函数） 当)10(≤<t t 时：tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；当1>t 时：2211)11(2)(!2)1(11)(1)1(1)(tk kt k k k t k t t kt t f kkkk k -≤+-+⋅+=≤+=224)211(2t t =-≤.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t tt tt F 1,410,4)(2，从而),0(+∞∈∀t ，)()(t F t f k ≤，且)(t F 在),0(+∞是-R 可积的，故)(t F 在),0(+∞是-L 可积的.又因为t t kk tt kk kk k k k e etkt t k tt f -∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11.由lebesgue 控制收敛定理，⎰⎰⎰∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t f dt t f dt t kt k k k k kk k ⎰∞-=),0(dt e t10==⎰+∞-dt e t .(ii)N n ∈∀,定义⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈-=-),(,0],0(,)1()(1n x n x x nx x f n n α，并且1)(--=αx e x F x ，),0(+∞∈x .),0(+∞∈∀x ,有)()1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==-=---∞→∞→αα.下面证明：N n ∈∀，)()(1x f x f n n +≤.事实上，),0(+∞∈∀x ，令t t x t G )1()(-=，),1[+∞∈t ，取)1ln()(ln txt t G -=，则 x t x t x t x tx t txt G t G -+-=-+-=')1ln(11)1ln()()(2.又记x t xt x t h -+-=')1ln()(，又因 222)()()(11)(x t x x t t x x t x t x tx t h ---=---='0)()()(222<--=---=x t t x x t t tx x t x .所以， xt xt x t G t G t h -+-='=)1ln()()()(关于t 单调递减，且0)(lim =∞→t h t .故),1[+∞∈∀t ，有0)(>t h ，即0)()()(>⋅='t h t G t G .故)(t G 在),1[+∞单调增加，从而， N n ∈∀)1()11()1()(1+=+-<-=+n G n x n x n G n n .所以)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +-+-=+-<-=αα.因此N n ∈∀，1)()(|)(|--=≤=αx e x F x f x f x n n ，),0(+∞∈x ..因为1)(--=αxe x F x 在),0(+∞上可积，由lebesgue 控制收敛定理，⎰⎰⎰+∞--+∞∞→-∞→===-),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.12.设+∞<mE ，试证明：在E 上0⇒k f 当且仅当0||1||lim=+⎰∞→dx f f Ek k k .证明：)(⇒0>∀σ，N k ∈∀，因为)1|(|]||1||[σσσ-≥=≥+k k k f E f f E .因为0⇒k f （在E 上），所以， 0)1|(|lim )||1||{lim =-≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE .故在E 上，0||1||⇒+k k f f .又因为，N k ∈∀，1||1||≤+k k f f 且+∞<mE ，由lebesgue 有界收敛定理，有00||1||lim==+⎰⎰∞→E E k k k dx dx f f .)(⇐对于0>∀σ，因≤+=≥+≤⎰≥Ef E k k dx f mE )|(|1)|(|10σσσσσσ⎰≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ)(0∞→→k .故，0)|(|lim 10≤≥-≤∞→δσσk k f mE .从而0)|(|lim =≥∞→δk k f mE .即0⇒k f . §4.2 lebesgue 积分极限定理一．Levi 定理（非负可测函数序列的积分与极限可交换性） 二．lebesgue 控制收敛定理.定理4（定理的绝对连续性定理）若f 在E 上可积，则0>∀ε，0>∃δ，E A ⊂∀：δ<mE ，有ε<⎰||Afdx .证明：因为f 可积，所以||f 可积（只需证：0>∀ε，ε<⎰||Afdx ）0>∀ε，+∞<=⎰⎰∞→EE m dx f dx f m||||lim.N m ∈∃,=-≤⎰⎰mE Edx f dx f ||||04||||ε<-⎰⎰mE Edx f dx f .又因为⎰⎰=∞→mmE E el dx f dx f |||}{|lim.所以N e >∃，使4]|}{||[||}{|||0ε<-=-≤⎰⎰⎰dx f dx f dx f dx f e E E e E mmm.`要找0>∃δ，使E A ⊂∀，δ<mA ，有=+=⎰⎰⎰-mm E A E E A Adx f dx f dx f ||||||)(⎰⎰⎰+-+-mmm E A e E A e E E A dx f dx f f dx f |}{|]|}{||[|||)(=++<⎰mE A edx 44εε)(2m E A m e ⋅+εεεε=⋅+≤ee 22.定理5（lebesgue 控制收敛定理）设（i ）)(x f m ， ,2,1=m 是E 上可测函数序列.(ii) 存在非负可积函数)(x F 使得N m ∈∀，)(|)(|x F x f m ≤ ].[.E e a .(iii) f f m ⇒ 0(>∀ε,0}|)()(|{lim =≥-∞→εx f x f x mE m l .则f 在E 上可积，并且⎰⎰=∞→EEm l fdx dx x f )(lim .基础知识复习lebesgue Th （P60，定理4） Riesz Th （P61，定理5）)()(x f x f m → ⇒].[.E e a f f Em ⇒ ⇒存在子列)()(:}{x f x f f i i m m → ].[.E e alebesgue 控制收敛定理的证明：因为f f Em ⇒，由Riesz Th ，存在子列f f i m → ].[.E e a .因此，f 在E 上可测.又因为N i ∈∀，F f i m ≤||.].[.E e a ，所以F f ≤|| ].[.E e a ，故||f 在E 上可积，从而，故f 在E 上可积，下证：⎰⎰=∞→E Emm dx x f x f)()(lim.（1）先证：+∞<mE 时，有⎰⎰=∞→EEmm dx x f x f)()(lim.0>∀ε,N m ∈∀,记})1(2|)()(|{+≥-=mE x f x f x E E m m ε.则=-≤-⎰⎰⎰Em EEm dx f f fdx dx f ||||⎰⎰-+--Em E E m dx f f dx f f m||||⎰⎰⎰+++≤-EE m E E dx f dx f dx mE mm||||)1(2ε⎰⎰+<+-+≤mmE E m Fdx Fdx E E m mE 222)()1(2εε.因为)(x F 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>∃δ，使E A ⊂∀，δ<mA ，有⎰<AFdx 4ε.又因为0})1(2|)()(|{lim lim =+≥-=∞→∞→mE x f x f x mE mE m m m m ε，所以N m ∈∃0，0m m ≥∀时，有δ<m mE .故⎰<mE Fdx 4ε.从而εεε=⋅+<-⎰⎰422||EEm fdx dx f .即，⎰⎰=∞→EEmm fdx dx flim.（2）再证：+∞=mE 时，也有⎰⎰=∞→EEmm fdx dx flim.0>∀ε,因为⎰⎰=∞→EE m dx xF Fdx m)(lim，所以N M ∈∃，有4||ε<=-⎰⎰⎰-mmE E EE Fdx Fdx Fdx .则≤-+-≤-=-⎰⎰⎰⎰⎰-|)(||)(||)(|||mmE m E E mEm EEmdx f f dx f fdx f f fdx dx f|)(|||)||(|⎰⎰-++-mmE m E E mdx f f dx f f|)(||2⎰⎰-+≤-mmE mE E dx f fFdx|)(|2⎰-+<mE m dx f f ε.因为⎰⎰=∞→mmE E mm fdx dx flim（由1的证明），所以N m ∈∃0，0m m ≥∀有2|)(|ε<-⎰mE m dx f f .即，εεε=+<-⎰⎰22||Eem fdx dx f .从而，.lim⎰⎰=∞→Eemm fdx dx f推论（lebesgue 有界收敛定理）.设 （i ）+∞<mE（ii ）N m ∈∀，k x f m ≤|)(|（常数）].[.E e a 且)(x f m 在E 上可测 （iii ）f x f Em ⇒)(则)(x f 在E 上可积，且⎰⎰=∞→EEmm dx x f dx f)(lim.定理6. )(x f 在],[b a 上-R 可积⇔)(x f 在],[b a 上的间断点集是一个零测集.三．vital 定理.定义1.设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，称F 是E 上的积分等度绝对连续函数簇，如果0>∀ε，0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，恒有ε<⎰||Afdx .基本性质：设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，则F 在E 上是积分等度绝对连续的0>∀⇔ε，0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，恒有ε<⎰||Afdx .证明：)(⇒0>∀ε，因为F 在E 上是积分等度绝对连续，所以0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，有ε<⎰||Afdx .记}0)(|{≥=+x f x E A A ，}0)(|{<=-x f x E A A ，则δ<+mA 且δ<-mA .所以，εεε=+<+≤-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-+22|||||||||A A A A A A Afdx fdx fdx fdx dx f dx f dx f .)(⇐直接的.定理7.(vital 定理).设 （i ）+∞<mE .（ii ）∞=1)}({n n x f 是E 上积分等度绝对连续函数簇. （iii ）f x f E m ⇒)(.则)(x f 在E 上可积，且⎰⎰∞→=Enn Edx fdx f lim .证明：先证：f 在E 上可积.(找一个可积函数)(x F ，使得)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a（1）先证：N ∈∀i ，N ∈∃i N ，使得i N n m ≥>∀，恒有⎰≤-Ein m dx x f x f 21|)()(|. 事实上，N ∈∀i ，取221+=i ε，由∞=1}{n n f 在E 上积分等度绝对连续性，0>∃i δ)21(ii ≤δ使得i E A ⊂∀，i mA δ<时，N ∈∀n ，⎰+≤Ai n dx x f 221|)(|.记})1(21|)()(|{)(2+>-=+mE x f x f x E i E i n n })1(21|)()(|{)(1+>-=+mE x f x f x E i E i m n nm ，则)()()(i E i E i E m n nm ⊂.因为f f n ⇒，所以0)(lim =∞→i mE n n .所以对于0>i δ，N ∈∃i N ，i N n ≥∀，恒有2)(in i mE δ<，则i N n m ≥>∀时，i iim n nm i mE i mE i mE δδδ=+<+≤22)()()(.所以≤-+-≤-⎰⎰⎰-)()(|)()(||)()(||)()(|i E n m i E E n m En m nm nm dx x f x f dx x f x f dx x f x f11)(2)()()(2121)1(21|||||)()(|++-+⋅+++≤+≤-⎰⎰⎰⎰i i i E E m i E n i E m i E E n m nm nm nm nm dx mE dx f dx f dx x f x f ii i nm i i E E m mE 212121)(()1(21111+<++-++++.即（1）为真.又因为f f n ⇒，由Riesz 定理，)({x f n 有子列)({x f i n 使)({lim )(x f x f i n i ∞→=， ].[.E e a .不失一般性，N ∈∀i ，设i i N n ≥，于是，∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx f i i ].[.E e a .令∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx F i i .(2)再证：)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a 且⎰+∞<EFdx .事实上，|)()()((||)(|111∑∞=+-=+i n n n x f x f x f x f i i |)(||()(||111∑∞=+-≤+i n n n x f x f x f i i )(x F = ].[.E e a由lebesgue 基本定理（第82页，定理2），有dx x f dx x f x fFdx i En En n Ei i |)(||()(||111∑⎰⎰⎰∞=+-≤++∞<+≤⎰∑∞=dx x f En i i|)(|2111.从而)(x F 在E 可积，又由)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a .f 在E 上可积. 最后证：⎰⎰=∞→EEn n fdx dx f lim.0>∀ε,因为f 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>∃δ，E A ⊂∀：δ<mA ，有3||ε<⎰Adx f .取充分大的自然数0i 使},3min{210δε<i ，则0i N n ≥∀时，有δδ<<<+1000212)(i in i mE ，从而，dx fdx f fdx f dx x f i E ni E E nEEn n n ⎰⎰⎰⎰+-≤--)()(00|||||)(|dx f i E n ⎰+)(0||321)(()1(212020ε++-+≤++i n i i E E m mE 321212200ε++≤++i i 333εεε++=ε=.找一个可积函数)(x F 使得)(|)(|x F x f ≤].[.E e a .因为f f n ⇒，由Riesz 定理，存在子列：f f i n →].[.E e a .于是∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx f i i ].[.E e a .则≤)(x f|)(||)()(|111∑∞=+-+i n n n x f x f x fi i ].[.E e a .记|)(||)()(|)(111∑∞=+-=+i n n n x f x f x fx F i i .则∑⎰⎰∞=+-=+1|)()(|1i En n Edx x f x f Fdx i idx x fEn i⎰|)(|.若N ∈∀i ，iEn n dx x f x f i i 21|)()(|1<-⎰+ ，则+∞<⎰dx F E，即)(x F 可积. ⇒ )(x f 在E 可积.。