《实变函数》第四章习题解答
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第四章习题参考解答
1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a
证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞
= ，而N k ∈∀，}1)(|{k
x f x E ≥
}1
)(|{}1)(|{k
x f x E k x f x E -≤≥= .由已知，
=+=-
≤≥
≥
⎰⎰⎰k
x f x E k
x f x E k
x f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1
|)(|{)()()(
000=+.
又因为0}1)(|{11)(0}
1
)(|{}
1
)(|{≥≥=≥
=
≥≥⎰⎰
k
x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E ， 0}1
)(|{1)1()(0}
1
)(|{}
1
)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E
所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .
故,0}1
)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥k
x f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而
00}1
|)(|{}1|)(|{[}0)(|{1
11==≥≤≥=≠∑∑∞
=∞=∞
=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，
0)(=x f ，].[.E e a .
2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有
})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=⎰dx x f E )(
dx x g E
⎰
)(.
证明：我们证f
，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.
N m ∈∀及12,,1,0-=m m k ，令}21
)(2|
{,m
m k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，
并且k m m k E E m ,21
== ，定义简单函数
∑
==m
k m m k E m m x k
x 20
)(2)(,χψ. 下面证明：)()(lim x f x m m =∞
→ψ，E x ∈.
E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，
所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞
→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,
}2
1)(2|
{})(0|{1
21
0m
m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤m
m k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m k
x k x m
k m 2)(2
)(2
0,==∑=χψ.
所以，02
1
2212)()()(|)()(|00000→=-+<-
=-=-m
m m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞
→ψ.
同理，N m ∈∀，定义简单函数列
∑
==m
k
m m k E m m x k
x 20)(2
)(*,χψ，其中：}2
1)(2|
{*
,m
m k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=m m k .})(|{*
,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞
→ψ，E x ∈.
因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀，
})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀m
m k k ，有
k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*
,}2
1)(2|{}21)(2|
{=+<≤=+<≤=
m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ
)(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞
→∞
→ϕψ.
3.若⎪⎩⎪
⎨⎧=为有理数
，当为无理数，当x x x x x f 31
)(，计算⎰1,0[)(dx x f .
解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则
+=
⎰⎰
1
)()(]
1,0[E dx x f dx x f