测量平差练习题及参考答案

计算题
1、如图，图中已知A 、B 两点坐标，C 、D 、E 为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。

解：观测值个数 n =12，待定点个数t =3，多余观测个数r =n -2t =6
① 图形条件4个：
)180(0
)180(0
)180(0
)180(0
121110121110987987654654321321-++-==-++-++-==-++-++-==-++-++-==-++L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v d d c c b b a a ② 圆周条件1个：
)360(0963963-++-==-++L L L w w v v v e e ③ 极条件1个：
ρ''--==----++)sin sin sin sin sin sin 1(0
cot cot cot cot cot cot 8
52741774411885522L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L f f
3、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。

用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；
C
3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4； 选D 、E 平差值高程为未知参数2
1ˆˆX X 、 则平差值方程为：
1
615142322211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆX H h H X h H X h H X h H X h X X h A A
B A B -=-=-=-=-=-=
则改正数方程式为：
6165154143232221211ˆˆˆˆˆˆˆl x
v l x
v l x
v l x v l x
v l x x
v --=-=-=-=-=--= 取参数近似值 255.24907.2220221011=+==++=h H X h h H X B B 、
令C=1，则观测值的权阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10111101P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010*********B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7551000)()()()()()()(016
015014023022020110654321X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B
组法方程0ˆ=-W x
N ，并解法方程： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==3114PB B N T
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==107Pl B W T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-311074113111ˆ1W N x 求D 、E 平差值：
m x X X H m x X X H D C 258.24ˆˆˆ906.22ˆˆˆ2
0221011=+===+== 2）求改正数：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-=664734ˆl x B v 则单位权中误差为：
mm r pv v T 36.64
162ˆ0±=±=±=σ 则平差后D 、E 高程的协因数阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-41131111ˆˆN Q X X
根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为：
mm
mm
Q mm mm Q E D 84.311
229ˆˆ32.322669ˆˆ220110±=±==±=±==σσ
σσ
4、如图，在三角形ABC 中，同精度观测了三个内角：4000601'''︒=L ，5000702'''︒=L ，7000503''''︒=L ，按间接平差法列出误差方程式。

解：必要观测数t =2，选取1L 、2L 的平差值为未知数1ˆX 、2ˆX ，并令101L X =、20
2L X =，则
2
22022111011ˆˆx L x X X x L x X X δδδδ+=+=+=+= 16ˆˆ180ˆˆˆˆ180ˆˆ213213222211112133222111---=+--==-==-=--=+=+=+x x L X X v x L X v x L X v X X v L X v L X v L δδδδ
5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。

解：观测值个数n =8，待定点个数t =2，多余观测个数42=-=t n r
3个图形条件，1个极条件。

ρ'
'--==--+-+-+--+++-==-+++-+++-==-+++-+++-==-+++)sin sin sin sin sin sin sin sin 1(0cot cot cot cot cot cot cot cot )180(0)
180(0
)180(0
7
53186428877665544332211876587656543654343214321L L L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L v L v L L L L L w w v v v v L L L L w w v v v v L L L L w w v v v v d d c c b b a a
6、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。

1）试在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差，并说明；
2）试在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差，并说明；
3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且︒=52F ϕ,试计算方位角为102º的PB 边的中误差。

解：1）在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差；
连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后P A 边的中误差
Pa PA =σˆ
2）在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差；
作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，垂足为c 点，则Pc 长度为平差后P A 边的横向误差PA u σˆ
则平差后P A 方位角的中误差：
ρρσσα''=''≈PA
PA u S Pc S PA PA ˆˆ 3）因为︒=52F ϕ
则：︒=142E ϕ
则：︒-=︒-︒=-=ψ40142102E ϕα
所以：
323
.16)40(sin *4)40(cos *25sin cos ˆˆ22222222=︒-+︒-=ψ
+ψ==ψF E σσϕ
方位角为102º的PB 边的中误差：mm 04.4ˆˆ±==ψσσ
ϕ 证明题
如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

A
证明：设水准路线全长为S ，h 1水准路线长度为T ，则h 2水准路线长度为S-T ； 设每公里中误差为单位权中误差，则
h 1的权为1/T ，h 2的权为1/(S-T)；则其权阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=)/(100/1T S T P 平差值条件方程式为：
HA+0ˆˆ2
1=-+HB h h 则 A=( 1 1 )
S A AP N T ==-1
由平差值协因数阵：LL T LL LL L L AQ N A Q Q Q 1ˆˆ--=
则高差平差值的协因数阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-=-1111)(1ˆˆS T S T AQ N A Q Q Q LL T LL
LL L L
则平差后P 点的高程为： ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=211ˆˆ01ˆh h H h H H A A P 则平差后P 点的权倒数（协因数）为
S
T S T f AQ N A fQ f fQ Q T LL T LL T LL P )(1-=-=- 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则
02=-S
T S T=S/2 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。

·已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。

（10分）
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=25.015.015.036.0XX Q 5
.025
.0*36.015.0)*(*)*(*0020-=-==
=
=yy xx xy yy xx xy y
x xy Q Q Q Q Q Q σσσσσσρ
2017复试真题（例题典型图形突破）
测量平差（书上例题）
1.设在三角形ABC中，观测三个内角L1、L2、L3，将闭合差平均分配后得到各角之值为：P35
L1=40°10′30″、L2=50°05′20″、L3=89°44′10″求它们的协方差阵为？
2.如图，测的三个边长，若用条件平差，求解？若用间接平差。

求解？P126
GPS真题
1. 7个点，2个已知，5个未知，利用GPS测量，设计边连接观测方案---n个同步环，n个异步环，n个共线
2.给一个GPS网，列条件方程，间接平差，列观测方程？
工程测量真题
1.极坐标放样点，2个已知点，放样未知点，放样步骤、要素
2.工程控制坐标转换，推导过程---施工坐标与测量坐标。