高中数学-双曲线例题

高中数学-双曲线典型例题

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

例1 讨论19252

2=-+-k

y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，

16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0）

，（4，0）． （2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．

（3）25

二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-5316

，Q 且焦点在坐标轴上．

（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．

（3）与双曲线14162

2

=-y x 有相同焦点，且经过点()223，

解：（1）设双曲线方程为12

2=+n y m x

∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=+=+1

25

92561

162259n m n m 解得⎩⎨⎧=-

=916

n m ∴所求双曲线方程为19162

2=+-y x

说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．

（2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162

2=--λλy x （其中60<<λ）

∵双曲线经过点（－5，2），∴164

25=--λλ

∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15

22

=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．

（3）设所求双曲线方程为：()16014162

2<<=+--λλ

λy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λ

λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18

122

2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。

例3 已知双曲线116

92

2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．

解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022

21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F

∴ο9021=∠PF F

（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

例 4 已知1F 、2F 是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．

分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．

解：∵P 为双曲线14

22

=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F

∵ο9021=∠PF F

∴在21F PF Rt ∆中，202

2122

21==+F F PF PF

∵()162212

221221=-+=-PF PF PF PF PF PF ∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴12

12121=⋅=

∆PF PF S PF F 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例5 已知两点()051，

-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a

∴164352

22222==-=-=a c b ∴所求方程116

92

2=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 例 P 是双曲线136

642

2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 解：在双曲线136

642

2=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．

六、求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：

（1）与⊙()2222

=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()412

22=++y x C ：都外切． （3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()1322

2=+-y x C ：内切． 解：设动圆M 的半径为r

（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA

∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有： 22=

a ，2=c ，27222=-=a c b

∴双曲线方程为()

217222

2-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ， 112=-MC MC

∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有： 21=a ，1=c ，4

3222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为： ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422

y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有： 2=a ，3=c ，5222=-=a c b ∴所求双曲线方程为：

()215

42

2≥=-x y x