反比例函数集体备课教材分析

“反比例函数”集体备课
一、教材分析
本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础．
二、重点难点
反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点．
反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点．
三、课时安排
1.1 反比例函数 1课时
1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时
1.3 反比例函数的应用 1课时
复习、评价2课时，机动使用2课时，合计8课时．
四、教学建议
（1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处．
（2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等．
（3）在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索—合作学习” 这种学习方式的作用．在按课本顺序指导学生画完图后，让学生回顾画图的全过程．体现课标要求“性质的探索过程——根据图象和解析表达式探索并理解其性质”．引导学生分清：①两个分支是一个函数的图象，不是函数有两个图象．②画曲线时，必须将自变量从小到大的顺序在各个象限里用光滑曲线连结起来，不能跨象限连结．③在图象所在的每个象限内，当k ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．
（4）在教学中应充分利用，注意各章节之间的内在联系．在这里就尽量用图形变换的思想叙述性质、用图形变换的角度观察、分析图形之间的联系．如反比例函数的图象是关于原点成中心对称，利用这一性质可以简化画图过程；x y ＝
1的图象与x
y 1
＝－的图象关于坐标轴对称，我们可以通过图形变换来作另一函数的图象．
（5）本章还渗透了建模的思想．具体过程可概括为：由实验获得数据---用描点法画出图象---根据图象和数据判断或估计函数的类别---用待定系数法求出函数的关系式---用实验数据验证．
五、典型例题
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）．
A ．y=3x
B ．
C ．3xy=1
D ．
（2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．
B ．
C ．
D ．
2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________ ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图
象位于第________象限． （3）若反比例函数k
y x
经过点（，2），则一次函数的图象一定不
经过第_____象限．
（4）已知a ·b ＜0，点P （a ，b ）在反比例函数的图象上，
则直线不经过的象限是（ ）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（5）若P （2，2）和Q （m ，
）是反比例函数k
y x
=
图象上的两点， 则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限 （6）已知函数和k
y x
=
（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 3．函数的增减性 （1）在反比例函数()0k
y k x
=
<的图象上有两点，，且，
则的值为（ ）．
A ．正数
B ．负数
C ．非正数
D ．非负数 （2）在函数（a 为常数）的图象上有三个点，
，
，
则函数值、、的大小关系是（ ）． A ．
＜
＜
B ．
＜
＜
C ．
＜
＜
D ．
＜
＜
（3）已知反比例函数k
y x
=
的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而______ （填“增大”或“减小”）． 4．解析式的确定 （1）若
与
1x 成反比例，与1
z
成正比例，则y 是z 的（ ）． A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．不能确定 （2）若正比例函数y=2x 与反比例函数k
y x
=
的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数2
m y x
=的图象经过点
，反比例函数m
y x
=
的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数1
m y x
+=
（）的图象在第一象限内的交点
为P （x0，3）．
①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）5．面积计算
（1）如图，在函数
3
-
y
x
=的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂
线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．
第（1）题图第（2）题图
（2）如图，A、B是函数
1
y
x
=的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，
△ABC的面积S，则（）．
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线
m
y
x
=上，且S△AOB=3，求m的值．
第（3）题图第（4）题图
（4）已知函数
4
y
x
=的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，
过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数
1
y
x
=的图象相交于A、C两点，过A
作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图
（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线
k
y
x
=与直线在第一象限的交点，
AB⊥x轴于B且S△ABO=3
2
．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，
点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是
函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x 轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐
②当
标和k的值；
时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．
6．综合应用
（1）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的
x的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，
且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．
①求点A、B、D的坐标；
②求一次函数和反比例函数的解析式．
（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①；②．。