正交函数族与正交多项式
点集上正交函数组的构造
点集上正交函数组的构造如何在点集上构造一个正交函数组，很多人可能不知道。
准确地说，正交函数组是指在一个点集上有限或无限个函数，这些函数两两正交，且它们的范数都是$1$。
下面就来介绍一下如何构造点集上的正交函数组。
一、定义假设我们在点集$A$上有一组函数$\{\varphi_n\}$，满足：（1）每个函数$\varphi_n(x)$是$A$上的实值函数；（2）任意两个不同的函数$\varphi_n(x)$和$\varphi_m(x)$在点集$A$上的内积为$0$，即：$$ \int_A \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = 0 $$（3）每个函数$\varphi_n(x)$在点集$A$上的$L^2$范数都是$1$，即：$$ \int_A |\varphi_n(x)|^2 dx = 1 $$那么，我们就称$\{\varphi_n\}$是点集$A$上的正交函数组。
二、构造过程（1）正交多项式我们可以从正交多项式开始，它是构造正交函数组的基础。
常见的正交多项式有：Legendre多项式、Chebyshev多项式、Laguerre多项式和Hermite多项式等。
以Legendre多项式为例，它的定义为：$$ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} [(x^2-1)^n] $$可以证明，对于$n\neq m$，Legendre多项式$P_n(x)$和$P_m(x)$在区间$[-1,1]$上的内积为$0$。
同时，$P_n(x)$在该区间内的$L^2$范数也是$1$。
（2）正交函数组我们可以利用正交多项式来构造点集$A$上的正交函数组。
具体来说，如果$A$是一个有限区间$[a,b]$，那么我们可以把它划分为一系列小区间$x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b$，然后在每个小区间上利用正交多项式构造一个正交函数组。
具体来说，如果我们在第$k$个小区间$[x_{k-1},x_k]$上使用Legendre多项式，则该区间上的正交函数组为：$$ \varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2n+1}{x_k-x_{k-1}}} P_n \left( \frac{2x-x_k-x_{k-1}}{x_k-x_{k-1}} \right) $$可以证明，这些函数是在整个区间$[a,b]$上正交的。
函数的正交性
函数的正交性
正交性指的是一组函数可以通过线性组合得到另一组函数，且各函数间彼此独立，不相互干扰。
它通常涉及到多项式函数的组合计算，正交性问题大多以正交函数为基本函数。
正交性在很多领域都有重要的作用，例如，几何学中的解析几何、数学物理学中的无穷级数、信号处理中的傅里叶变换等。
因此，研究函数正交性已经成为数学上重要的研究课题。
正交性的主要内容可以分为以下几个方面：
1. 正交函数系统：正交函数是由一组函数组成的函数系，它们满足一定的正交条件，即两个正交函数之间的积分为零；
2. 正交多项式：正交性的基本多项式是正交多项式，它们以不同的函数作为基函数，而且能够构造出一个正交性的系统。
3. 正交权重：正交权重用于构造正交多项式系统和定义正交函数，因此通过解决正交权重问题可以实现正交性的构建。
4. 正交系数：正交系数是一组变量，它们可以描述一个函数的正交性。
正交函数的应用也有很多，最重要的就是应用于几何学、数学物理学和信号处理领域。
正交函数的优化有助于解决多项式的构造及非线性优化问题，也可以拓展到数据拟合、波形识别、信号模式识别等。
正交性还可以用于模式识别、数据分析和信
号处理等领域，发挥重要作用。
总之，函数正交性是一个重要的数学概念，它在多个学科领域都有重要的作用，其应用也很广泛，从几何学、数学物理学到信号处理等，都发挥着重要的作用。
因此，研究并理解函数正交性对于深入了解数学和应用数学有着重要作用。
数值分析第三章
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : ( x, y ) = x1 y1 + L + x n y n .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
2)
j =1
∑ α ju j = 0 ⇔ ( ∑ α ju j , ∑ α ju j ) = 0
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种范数, 即对u ∈ X , 记 || u ||= (u , u )， Cauchy − Schwarz不等式得出. (1.10) 易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
正交多项式(1)
正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。
这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。
正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。
它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。
正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。
这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。
2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。
这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。
3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。
这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。
4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。
这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。
常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。
它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。
2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。
它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。
3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。
它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。
4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。
3.3正交多项式
本节内容
正交多项式
正交函数族、 正交函数族、正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式
正交函数族
设 f(x), g(x) ∈ C[a, b]， ρ (x) 是 [a, b] 上的 ， 权函数，若 b ( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
Chebyshev多项式 多项式
T0 ( x ) = 1
T1 ( x ) = x
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
M
(2) 奇偶性： Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式：( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x ) 递推公式：
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, … ，
j≠k 0, ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = Ak ≠ 0, j = k
举例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… ， ， ， ， ， 在 [-π, π] 上是带权 ρ (x)=1 的正交函数族 π
π 证： (1, 1) = dx = 2π ∫
(2) 奇偶性： Tn ( − x ) = ( −1) n Tn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式： Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) 递推公式：
正交多项式
正交多项式若首项系数的次多项式，满足就称多项式序列，在上带权正交，并称是上带权的n次正交多项式。
构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定义的多项式集合是区间上关于权函数的正交函数族。
其中证明可用归纳法，略。
例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。
解：构造正交多项式于是故在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。
是n次多项式，对其n次求导后得首项的系数显然最高项系数为1的勒让德多项式为勒让德(Legendre)多项式具体表达式为性质1 正交性证明：反复用分部积分公式，略。
性质2 奇偶性n为偶数时为偶函数，n为奇数时为奇函数。
性质3 递推关系证明略。
性质4 在所有最高项系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式在［－1，1］上与零的平方误差最小。
证：设是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为于是证毕。
性质5在区间［－1，1］内有n个不同的实零点。
第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式当区间为［－1，1］，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。
它可表示为若令当在［－1，1］上变化时，对应的在［0，π］上变化，其可改写成具体表达式为是首项系数为的次多项式。
性质1 递推关系这只要由三角恒等式令即得。
性质2 最高项系数为1的对零的偏差最小。
即在区间［－1，1］上所有最高项系数为1的一切n次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为证：由于且点是的切比雪夫交错点，由定理4知，区间［－1，1］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式。
证毕。
例：求在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
解：最佳逼近多项式应满足由性质2知，当即时，与零偏差最小，故就是在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。
性质3 切比雪夫多项式在区间［－1，1］上带权正交，且令则于是性质4只含的偶次幂，只含的奇次幂.性质5在区间［-1，1］上有个零点可用的线性组合表示，其公式为具体表达式为其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同。
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
3.2 正交多项式
三、切比雪夫多项式
区间为[1,1], 权函数为 ( x ) 1 1 x2 正交化所得正交多项式称为n次切比雪夫多项式.
Tn ( x ) cos( n arccos x ), ( 1 x 1, n 0,1,2,) 若令x cos，则Tn ( x ) cos( n ),0 . (2.10)
(1) 递推关系 T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x , Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x ).
( 2) 正交性
1 1
(2.11)
0, m n, 1 Tm ( x )Tn ( x )dx / 2, m n 0, 1 x2 , m n 0.
1 3 3 即f x P x T3 x 2 x x 2 2
1 7 2 故P x f x T3 x x x 1, 2 2
2
就是f x 在 1， 1上的最佳2次逼近多项式 .
n ( xpn , pn ) /( pn , pn ), n ( pn , pn ) /( pn 1 , pn 1 )，n 1,2,,
（5）设{ pn ( x )} [a, b]上的正交多项式 0 为以 ( x )为权函数的 序列，则pn ( x )(n 1)在(a , b)内有n个不同的零点。
(x )为所有次数小于等于的首项系数为1的多项式集合。 记H n 1 ( x )是首项系数为1的 (6)记T0 ( x )=1， Tn ( x )= n 1 Tn ( x )，则T n 2 1 切比雪夫多项式，且 max | Tn ( x ) | = n -1 1 x 1 2 ( x ) | max | p ( x ) | , p ( x ) H (x ) 及 max | T n n n n
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
《数值计算方法》课程教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
施密特正交化求正交多项式
施密特正交化求正交多项式施密特正交化是一种常用的数学方法，用于将一个函数集合进行正交化处理，从而得到一组正交函数。
这种方法在数学和工程领域中被广泛应用，特别是在信号处理、图像处理和量子力学等领域。
施密特正交化的基本思想是通过线性组合和减去投影的方式，使得所得到的正交函数集合满足互相正交的性质。
具体步骤如下：1. 假设有一组线性无关的函数集合 {f1(x), f2(x), ..., fn(x)}，我们的目标是将其正交化处理。
2. 首先，我们选取集合中的第一个函数f1(x)作为正交函数集合的第一个函数。
3. 对于第二个函数f2(x)，我们需要将其调整为与f1(x)正交。
具体做法是，首先计算f2(x)在f1(x)上的投影，并将其从f2(x)中减去，得到一个与f1(x)正交的新函数g2(x)。
4. 对于第三个函数f3(x)，我们需要将其调整为与f1(x)和g2(x)都正交。
具体做法是，分别计算f3(x)在f1(x)和g2(x)上的投影，并将其从f3(x)中减去，得到一个与f1(x)和g2(x)都正交的新函数g3(x)。
5. 依次类推，对于第k个函数fk(x)，我们需要将其调整为与前面k-1个函数都正交。
具体做法是，分别计算fk(x)在前面k-1个函数上的投影，并将其从fk(x)中减去，得到一个与前面k-1个函数都正交的新函数gk(x)。
通过以上步骤，我们最终可以得到一组互相正交的函数集合{g1(x), g2(x), ..., gn(x)}。
这些函数被称为施密特正交多项式。
施密特正交多项式在数学和工程领域中有着广泛的应用。
它们可以用来表示复杂的函数和信号，进行函数逼近和信号分析。
此外，它们还具有良好的数值性质，可以用于数值计算和优化问题。
施密特正交化是一种重要的数学方法，通过对函数集合进行正交化处理，可以得到一组互相正交的函数集合。
这种方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，对于理解和解决各种问题具有重要意义。
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
数值分析第3讲
n
n
n
( j u j , uk ) 0, k 1,, n.
j 1
G非奇异 u1 , u2 ,, un线性无关(反证法)；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种 范数, 即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的 正定性和齐次性, 而三角不等式由 Cauchy Schwarz不等式立得.
设0 ,, n C[a, b], 则Gram矩阵为
G G ( 0 ,, n ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( , ) n 0 ( 0 ,1 ) (1 ,1 ) ( n ,1 ) ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
2 内积 ( x , y ) i xi yi；范数 || x ||2 i xi i 1 i 1
n n
1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积 ( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数, 如果满足条件 (1) (2)
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对R n上的向量x ( x1 ,, xn )T ，有 三种常用范数： || x || max | xi | ， 称为 范数或最大范数，
|| x ||1 | xi ， |
例如，三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,, 为[ , ]上的正交函数族,
数值分析正交多项式
数值分析正交多项式数值分析是数学的一门分支，研究数值计算的方法和算法，并通过数学模型和近似计算方法对实际问题进行数值求解。
在实际科学计算中，往往会涉及到函数的近似、方程的求解、积分和微分等问题，数值分析的研究便是对这些问题进行建模和求解的过程。
在数值分析中，正交多项式是一类重要的函数族，其在数值逼近、插值、积分等问题中具有重要的应用。
正交多项式是指在一些特定的区间上，相互之间满足其中一种正交条件的多项式函数。
这些多项式函数一般具有良好的数学性质，如稳定性、收敛性、插值性质等，能够用于解决连续函数逼近、曲线拟合、数值积分等问题。
常见的正交多项式有勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
下面简要介绍一下这些常见的正交多项式。
1. 勒让德多项式：勒让德多项式是最早被研究的正交多项式，其形式为Pn(x)=An(x)xn+An-1(x)xn-1+...+A1(x)x+A0(x)，其中An(x)为系数函数，满足勒让德多项式的正交性质：∫Pm(x)Pn(x)dx=0 (m≠n)。
勒让德多项式在数值计算中广泛应用于多项式插值和函数逼近等问题。
2.拉盖尔多项式：拉盖尔多项式是一类特殊的勒让德多项式，定义在区间[0,+∞)，其形式为L(x)=e^(-x)x^n/n!，其中n为非负整数。
拉盖尔多项式在物理学中的量子力学和热力学等问题中有重要应用。
3. 埃尔米特多项式：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式，其形式为Hn(x)=(-1)^ne^(x^2)d^n(e^(-x^2))/dx^n，满足埃尔米特多项式的正交性质：∫Hm(x)Hn(x)e^(-x^2)dx=0 (m≠n)。
埃尔米特多项式在量子力学和量子力学等领域的波函数展开中有广泛应用。
4. 切比雪夫多项式：切比雪夫多项式是在区间[-1,1]上的正交多项式，其形式为Tn(x)=cos(n·arccos(x))，满足切比雪夫多项式的正交性质：∫Tm(x)Tn(x)(1-x^2)^(-1/2)dx=0 (m≠n)。
数值计算方法_正交多项式讲解
交多项式的根有如下的关系.
x x x x x (n1)
(n)
( n1)
(n)
( n1)
i
i
i1
i1
i2
i=1,…,n-1
性质5 (1) 区间[a,b]上带权函数(x)的正交多项式 序列 { fn (x)}n0 与 {gn (x)}n0 对应元素之间只
相差一个比例常数.
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
设 f (x) Pn(x)。在降低 Pn(x) 次数的同时, 使 因此增加的误差尽可能小, 也叫 economization of power series。
从 Pn中去掉一个含有其最高次项的 Pn , 结果降
次为 P~n1, 则：
max |
[1,1]
f
(
x
)
P~n1
(
x
)
|
max
[ 1,1]
的次数, gk(x)表示k次多项式),在区间[a,b]上满足
b a
( x) gn
( x) gm
( x)dx
b a
0
(x)(gn (x))2
dx
当m≠n
0 当m=n
则称多项式序列{gk ( x)}k0 为区间[a,b]上带权(x)
的正交多项式序列
schemite 正交化过程作出正交多项式计算
schemite 正交化过程作出正交多项式计算正交化过程是数学中一个重要的概念，特别是在处理多项式和函数时。
在正交化过程中，我们寻找一组正交多项式，这些多项式在特定的权重函数下相互正交。
假设我们有一个给定的多项式序列 \(p_0, p_1, \ldots, p_n\)，我们想要找到一组正交多项式。
首先，我们需要知道这些多项式的定义域和权重函数。
以下是正交化过程的一般步骤：1. 初始化：选择一个初始多项式 \(p_0\) 和一个权重函数 \(w(x)\)。
2. 计算 \(p_1\)：使用 \(p_0\) 和 \(w(x)\) 计算 \(p_1\)。
通常，\(p_1\) 是 \(p_0\) 的线性组合，使得 \(p_1\) 和 \(p_0\) 在\(w(x)\) 下正交。
3. 计算 \(p_2\)：使用 \(p_0\) 和 \(p_1\) 计算 \(p_2\)。
\(p_2\) 是 \(p_0\) 和 \(p_1\) 的线性组合，使得 \(p_2\) 和 \(p_0\)、\(p_1\) 在 \(w(x)\) 下都正交。
4. 重复上述步骤，直到找到所有需要的 \(p_i\)。
具体的计算方法取决于多项式的具体形式和权重函数。
在实践中，通常使用数学软件或库（如 MATLAB、SciPy 等）来执行这些计算。
下面是一个简单的例子，说明如何使用 Python 和 SciPy 库来计算正交多项式。
假设我们要计算 Legendre 多项式的正交化过程：计算结果为：[ 1. 0.5 0.16666667 0.04166667][ 1. -0.5 0.83333333 -0.16666667][ 1. 2. -1. -0.83333333][ 1. -2. 1. 0.83333333]这些多项式是相互正交的，满足正交化的要求。
正交多项式
朱升峰 (ECNU)
正交多项式
. . . .... .... .... . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
2021.03 7 / 14
P0(x) = 1, P1(x) = x, 通过递推得
P2(x)
=
(3x2
−
) 1
/2
P3(x)
=
(5x3
−
) 3x
/2
P4(x)
a
则称 f(x) 与 g(x) 在 [a, b]带权 ρ(x) 正交。若函数族 {φn(x)}∞ n=0 满足
∫b
{
(φj, φk) = ρ(x)φj(x)φk(x)dx =
a
0, Ak
> 0,
j ̸= k j=k
则称 {φn(x)}∞ n=0 是 [a, b] 上带权 ρ(x) 的正交函数族。若 Ak ≡ 1，称之为标准 正交函数族。
=
(35x4
−
30x2
+
) 3
/8
P5(x)
=
(63x5
−
70x3
+
) 15x
/8
P6(x)
=
(231x5
−
315x4
+
105x2
−
) 5
/16
...
朱升峰 (ECNU)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1 -1
Legendre polynomials
-0.5
k = 1, 2, · · ·
(cos kx, cos jx) = (sin kx, sin jx) = (cos kx, sin jx) = 0
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正交多项式
正交函数族与正交多项式
1、什么是权函数？
定义4：
设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数ρ(x)满足条件：
（1）∫x k ρ(x )dx b
a 存在且为有限值（k=0,1，…）；
（2）对[a,b]上的非负连续函数g(x)，如果∫g (x )ρ(x )dx =0b
a ,则g(x)≡0. 则称ρ(x )为[a,b]上的一个权函数。
2、什么是内积？
内积：(f (x ),g (x ))=∫f (x )g (x )dx b
a
ρ(x)是[a,b]上的权函数，内积：(f (x ),g (x ))=∫ρ(x)f (x )g (x )dx b
a ，常用ρ(x)≡1。
3、正交及正交函数族概念
定义5
若f (x ),g (x )∈C [a,b ],ρ(x )为[a,b]上的权函数且满足
(f (x ),g (x ))=∫ρ(x )f (x )g (x )dx =0b
a , (2.1)
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x )正交。
若函数族φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x ),…满足关系
(φj ,φk )=∫ρ(x )φj (x )φk (x )dx ={0 , j ≠k,A k >0,j =k.b
a (2.2)
则称{φk (x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族；若Ak ≡1，则称为标准正交函数族。
例如，三角函数
1,cos x ,sin x , cos 2x , sin 2x ,…
解：
在区间[−π，π]上的正交函数族，因为对k=1,2,…有（任意两个相同函数在区间[−π，π]上的内积k=j ）：
(1,1)=∫1×1dx =π−π
π−(−π)=2π
(sin kx,sin kx )=∫sin k 2x π
−π
dkx =π
同理(cos kx,cos kx,)=π
任意两个不同函数在区间[−π，π]上的内积（k ≠j ）：
(cos kx,sin kx )=∫sin kx cos kx π
−π
dkx =0 (cos kx,cos jx )=∫cos jx cos kx π−πdx =0 同理(sin kx ,sin jx )=(cos kx,sin jx )=0
因此三角函数族为在区间[−π，π]上带权的正交函数族。
4、n 次正交多项式
定义6
设φn (x)是[a,b]上首项系数a n ≠0的n 次多项式，ρ(x)为[a,b]上的权函数。
如果多项式序列{φn (x)}0∞满足关系式（2.2），则称多项式序列{φn (x)}0∞为在[a,b]上带权ρ(x)正交，称φn (x)为在[a,b]上带权ρ(x)的n 次正交多项式。
5、如何构造正交多项式
按照Schemite 正交化构造： 幂函数为1,x,…,x n ,…
令φ0(x )=1(幂函数为f n (x )=f 0(x )
φ1(x )=f 1(x )−
(f 1(x ),φ0(x ))
(φ0(x ),φ0(x ))
φ0(x )
φ2(x )=f 2(x )−(f 2(x ),φ1(x ))(φ1(x ),φ1(x ))φ1(x )−(f 2(x ),φ0(x ))
(φ0(x ),φ0(x ))
φ0(x )
φn (x )=f n (x )−∑
(f n (x ),φj (x ))(φj (x ),φj (x ))
n−1
i=0
φj (x )
把f n (x )=x n 带入，i=j φn (x )=x n
−∑(x n ,φj (x )
)(φj (x ),φj (x ))
n−1j=0φj (x ),
n=1,2,…
例题，求区间 [-1,1]上，权函数ρ(x)=1的正交多项式。
解：用幂函数正交构造，用Schemite 正交化构造
p 0(x )=1
p 1(x )=x −(x,1)
()×1=x −∫xdx 1
−1∫1dx
1−1=x
p 2(x )=x 2
−(x 2,x )(x,x )x −(x 2,1)(1,1)×1=x 2−1
3
p n (x )=x n −∑(x n
,p i (x ))
(p i (x ),p i (x ))
n−1
i p i (x )
6、正交多项式的性质
（1）对任何P(x)∈H n 均可表示为φ0(x)，φ1(x)，…,φn (x)的线性组合，即：
P (x )=∑c j φj (x ).n
j=0
（2）φn (x)与任何次数小于n 的多项式P(x)∈H n-1正交，即：
(φn ,P )=∫ρ(x )φn (x )P (x )dx =0.b
a
7、正交多项式定理
定理4
设{φn (x)}0∞是[a,b]上带权ρ(x)的正交多项式，对n ≥0成立递推关系
φn+1(x )=(x −αn )φn (x )−βn φn−1(x ), n =0,1,2,…, (2.4)
其中
φ0(x)=1，φ−1(x)=0， αn =(xφn (x ),φn (x ))(φn (x ),φn (x )),
βn =(φn (x ),φn (x ))
(φn−1(x ),φn−1(x ))
,n =1,2,…,
这里(xφn (x ),φn (x ))=∫xφn 2(x )ρ(x )dx.b
a
定理5
设{φn (x)}0∞是[a,b ]上带权ρ(x)的正交多项式，则φn (x)(n ≥1)在区间（a,b ）内有n 个不同的零点。
证明：假定φn (x)在(a,b )内的零点都是偶数重的，则φn (x)在[a,b ]上符号保持不变。
这与
(φn ,φ0)=∫ρ(x )φn (x )b
a φ0(x )dx =0
矛盾，故φn (x )在(a,b )内的零点不可能全是偶重的，现设x i (i =1,2,…,l)为,φn (x )在(a,b )内的奇数重零点，不妨设
a <x 1<x 2<x l <
b ,
则φn (x )在x i (i =1,2,…,l)处变号，令
q (x )=(x −x 1)(x −x 2)…(x −x l ),
于是φn (x )q (x )在[a,b ]上不变号，则得
(φn ,q )=∫ρ(x )b
a
φn (x )q (x )dx ≠0.
若l <n ,由{φn (x )}0∞的正交性可知
(φn ,q )=∫ρ(x )b
a φn (x )q (x )dx =0，
与(φn ,q )≠0矛盾，故l ≥n 。
而φn (x )只有n 个零点，故l =n ，即n 个零点都是单重的。