高中数学第五节解斜三角形习题

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高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.海事救护船在基地的北偏东，与基地相距海里，渔船被困海面，已知距离基地海里，而且在救护船正西方，则渔船与救护船的距离是()．A．海里B．海里C．海里或海里D．海里【答案】C【解析】在中，,，,，当;当；渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里．【考点】解三角形的应用．3.在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，且，求：（1）的度数；（2）边的长度．【答案】(1),(2)【解析】解题思路：（1）利用三角形三角和定理求角C;(2)根据方程的根与系数的关系求两根之和与积；利用余弦定理求边c．规律总结：解三角形问题，要分析题意，寻找边角关系，选择合适的定理．注意点：在利用余弦定理求解时，要注意利用“整体思想”，减少计算量．试题解析：（1）,;故．是方程的两根，，由余弦定理，得，．【考点】1．三角形三角和定理；2．方程的根与系数的关系；3．余弦定理．4.在中，边上的中线长为3，且，，则边长为（）. A．B．C．D．【答案】A.【解析】如图，因为与互补，所以当时，，则，又，则，所以，在三角形BAD中，由正弦定理有：，从而，所以，在三角形ADC中，由余弦定理有：，所以，故选A.【考点】三角函数的基本关系：平方关系，正弦定理与余弦定理，两角和的正弦公式，化归思想.5.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图6.中，若，则的面积为A．B．C．1D．【答案】A【解析】解：△ABC的面积=AB•BC•sin60°=×2×1×＝．故选C．.【考点】三角形的面积公式．.7.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.8.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.9.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。

解斜三角形的应用题目

解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。

2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。

3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。

4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。

5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。

7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。

8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。

9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。

10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。

12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。

14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。

16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。

17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。

18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。

20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。

22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

高三数学解斜三角形试题答案及解析

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）【答案】60【解析】，，.【考点】解三角形.2.在中，内角所对边长分别为，，．（1）求；（2）若的面积是１，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，；，由正弦定理，，则，故，．由，．（2）由的面积是１，可得，得．．3.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【答案】（1）14海里/小时（2）【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得.即sinα＝.4.一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)【答案】mtan2α【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得，即，即AC＝，所以山高BC＝ACsinα＝＝mtan2α5.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A．B．3C．D．7【答案】A【解析】S＝×AB·AC sin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝.6.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且。

高一数学解斜三角形试题

解斜三角形一、根本知识：〔1〕掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵敏选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．〔2〕能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．〔3〕能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．二、例题分析：例1 在△ABC 中，a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b分析两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ， ∴∠C=60°，或者∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论．例2 在△ABC 中，acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析欲判断△ABC 的形状，需将式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或者将边换成三角函数，那么可进展三角变换．解方法一：由余弦定理，得 a ·〔b 2+c 2—a 22bc 〕=b ·〔a 2+c 2—b 22ac 〕，∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或者c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或者c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形．方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或者2A=π－2B ． ∴A=B ，或者A+B=π2．∴△ABC 为等腰三角形或者直角三角形．点评假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或者正弦定理，将角换成边或者将边换成角，然后进展代数或者三角恒等变换．例3 圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程．解连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ．·ABCDO∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=12〔2×4+6×4〕sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－1 2．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．例4墙壁上一幅图画，上端距观察者程度视线b下端距程度视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB的目的函数．由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，那么∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xax b x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x≤b —a 2ab ，当且仅当x= abx , 即x=ab 时，y 最大．由θ∈〔0，π2〕且y=tan θ在〔0，π2〕上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．点评注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．三、训练反应：1．在△ABC 中，a= 2 ，b=2，∠B=45°，那么∠A 等于〔 A 〕A ．30°B ．60°C ．60°或者120°D ．30°或者150° 2．假设三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为〔 C 〕 A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150° 3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需航行半小时，那么C 到A 的间隔是〔 C 〕 A ．10 6 km B ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10〔 6 ＋ 2 〕km 4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 34，那么该三角形是〔 A 〕 A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或者直角三角形5．在△ABC 中，〔b+c 〕∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，那么此三角形的最大内角为〔 A 〕 A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°6．假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在〔 B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．△ABC 中，假设sinAsinB ＜cosAcosB ，那么△ABC 的形状为．钝角三角形8．在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，那么b= ．5〔 6 + 2 〕9．在△ABC 中，假设sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，那么cosA= ．121310．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C 的大小为．π611．a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，假设a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．21 或者6112．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小． π313．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最大面积．设∠AOB=θ，θ= 5π6 时，S 最大值 =2+5 34励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得. 由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【答案】180米．【解析】本题难点在于选择函数解析式模型,是用余弦定理解三角形,还是取直角三角形表示边.如用余弦定理解三角形,则得,解此方程成为难点;如构造直角三角形就会减少运算量,即作CE AB于E,构造直角三角形CBE和直角三角形CAE,利用两角和的正切公式得到关于BD的方程,解此方程的运算量要少得多.将一个已知角分为两个角的和,这种思维不常见,须多加注意,深刻体会.试题解析：解：如图作CE AB于E．因为AB∥CD，AB=150，CD=90，所以BE=90，AE=60．设CE=，，则． 2分在和中，， 4分因为，所以． 8分化简得，解得或（舍去）． 10分答：天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离为180米． 12分【考点】两角和的正切公式,函数与方程.6.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.7.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。

(完整版)解斜三角形

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素题型二：判断三角形的形状题型三：解决与面积有关问题题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析：由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长（Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得.由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）.A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由正弦定理及,得;则，即;又因为A,B是三角形的内角，,即三角形为等腰三角形.【考点】正弦定理、三角形形状的判定.3.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.4.在中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则 = ．【答案】【解析】由三角形内角和定理可知,又∠A：∠B：∠C=1：2：3,所以,由正弦定理可知,因此答案为.【考点】内角和定理与正弦定理5.如图，小岛A的周围3.8海里内有暗礁.一艘渔船从B地出发由西向东航行，观测到小岛A在北偏东75°，继续航行8海里到达C处，观测到小岛A在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【答案】此船继续前行没有触礁的危险【解析】根据已知条件可知，，可得边长，构造直角三角形用三角函数即可求得点到的距离，若此距离大于就没有触礁的危险，否则就会有触礁的危险。

试题解析：解法1在中，,所以. 4分又已知，所以=8. 8分过点作⊥BC,垂足为D,在直角三角形中，＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 12分解法2 过点A作AD ⊥,垂足为D,由已知，BC=8，∠BAD=75°, ∠CAD=60° 4分在直角三角形ABD中，，在直角三角形ACD中，同法可得, 8分所以BC=BD-CD=，所以＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 . 12分【考点】解三角形问题。

高二数学解斜三角形试题答案及解析

高二数学解斜三角形试题答案及解析1.△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】＝＝，＝＝，＝＝，A=B=C△ABC是等边三角形. 故选B.【考点】正弦定理.2.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走米，测得塔顶的仰角为，则塔高是米.【答案】【解析】如下图，是塔高，则由，由，所以，解得.【考点】解三角形.3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.【答案】(1) A＝；(2) b＝c＝2.【解析】(1)利用等差中项建立方程，三角形三角形内角和定理建立方程即得A＝；(2)由已知利用三角形面积公式S＝bcsinA和余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA建立方程组，解方程组即可.试题解析：解：(1)∵为，的等差中项，，2分∵,∴A＝.4分(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.6分而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.8分解得b＝c＝2.10分【考点】1.等差中项；2.内角和定理；3.三角形面积公式；4.余弦定理.4.如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥长为米.【答案】【解析】如下图，设于点，则依题意有，则有即，由，得，所以.【考点】解斜三角形.5.在中，已知，求边的长及的面积.【答案】，.【解析】根据题意，由余弦定理，可求出的值，再由三角形面积公式，可求得的面积.试题解析：在中,由余弦定理得: 3分∴ 6分由三角形的面积公式得： 9分12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若.(1)求角B;(2)若的面积为,求函数的单调增区间【答案】(1)； (2)单调增区间【解析】(1)∵∴又∵∴∴(2)∴∴∴令得单调增区间【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。

解斜三角形习题精选

解斜三角形习题精选1.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.2在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.3在△ABC 中，若∠C =60°，则ca b c b a +++=_______.4.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.5已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.6在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cB b sin 的值.7在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB B cos sin 2sin 1++的取值范围.8.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.答案：1解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 2解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.3解析：c a b c b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22=222c bc ac ab bc ac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab .∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：1 4解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°5剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B .（2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43，即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.6、剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值. 解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得 cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aA b sin ， ∵b 2=ac ，∠A =60°， ∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cB b sin =sin A =23.7、解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3π， y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 8、解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21. 又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A=23sin2A －23sin2A cos2A +23 =3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233.。

高三数学解斜三角形试题答案及解析

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，，，△的面积为，则边的值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，解得，∴，.【考点】解三角形.2.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则DABC的形状一定为___________.【答案】等腰三角形【解析】由等式，得，即，又由平行四边形法测可知所得向量在底边的中线上，又点为任一点，则此时有底边与其中线垂直，因此的形状为必为等腰三角形，故正确答案为等腰三角形.【考点】向量运算、三角形.3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】由b cos C＋c cos B＝a sin A，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．4.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形5.在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为在中，所以。

故D正确。

【考点】三角形面积及正弦函数的值域。

6.在中，角所对的边分别为，若，，则角的值为 .【答案】【解析】利用正弦定理化简，得：，将代入得：，即，∴由余弦定理得：，∵为三角形内角，∴，故答案为：．【考点】解三角形．7.5.在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，成等比数列，所以.又，∴.在中，由余弦定理得：，那么.由正弦定理得，又因为，，所以.【考点】1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.8.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.【考点】三角形面积公式.9.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．10.已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且，并且（1）求角A的大小。

高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.2.已知ABC中，,, 则= .【答案】【解析】根据题意，由于ABC中，,,则有正弦定理可知，由于b<a,则可知B<A,因此可知=，故答案为。

【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。

3.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。

求：⑴角C的度数；⑵ AB的长度。

【答案】（1）C＝120°；（2）【解析】（1）C＝120°（2）由题设：【考点】三角形内角和定理，诱导公式，两角和的三角函数，余弦定理的应用。

点评：中档题，本题综合性较强，三角形问题，一般要注意应用三角形内角和定理，适时的变角。

在确定三角形边长的过程中，有时须正弦定理与余弦定理综合应用。

4.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（1）由正玄定理，设所以又：A+B+C=因此（2）由，得c=3a由题意【考点】解三角形点评：解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化5.如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【答案】米【解析】先根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC，最后在在Rt△BCD中，根据CD=BC•sin∠CBD求得答案。

解：在△ABC中，∵∠ABC=30°，∠ACB=15°，∴∠BAC=135°．又AB=20，由正弦定理，得BC= +1)．∴在Rt△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10(3+)．故山高为10(3+)m．【考点】解三角形点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生综合运用所学知识的能力6.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c, 且（ 1 ）求；（ 2 ）若，的面积为，求的值.【答案】（1）. ( 2 ) =7。

数学解斜三角形试题

数学解斜三角形试题1.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.【答案】【解析】设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c="2b" ,C="120" ,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,s三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S==.【考点】本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用。

点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解。

巧设变量a-4,a,a+4会简化运算。

2.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.【答案】【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为：；可构成三角形的个数为：，所以所求概率为：.3.在中，的对边分别为且成等差数列，则的值（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由正弦定理得，，即：，．又在中，或，，．【命题意图】本题考查等差数列的性质，正弦定理，三角函数恒等变形等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．4.在中，的对边分别为且成等差数列．则的范围（）A．B．C．D．【答案】【解析】，由正弦定理得，，即：，．又在中，或，，．所以，，，，的范围是．【命题意图】本题考查等差数列的性质，正弦定理，三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．5.△的内角，，所对边的长分别为，，，向量=，=，∥.（1）求角B的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）=；（2）（0，].【解析】（1）∵∥，∴=0,即，由正弦定理得，由余弦定理得===，∵0＜＜，∴=；（2）由（1）知，=，∴= , ∴=，0＜＜，∴====，∴＜＜，∴＜≤，∴0＜≤，∴的取值范围（0，].6.在中，角的对边分别为，且成等差数列，若的面积为，则的最小值为（）A．4B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，且,故，所以，则，由余弦定理得，则，故．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积等基础知识，意在考查基本运算能力和逻辑思维能力．7.在中，分别为内角的对边，满足．（1）求A的大小；（2）若，，求出的面积．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，利用正弦定理得，化简，由余弦定理得：，故，所以 6分（2）由余弦定理得，由，，解得，所以，的面积为. 12分【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本的运算能力.8.在中，角所对边的长分别为．已知，，则＝．【答案】【解析】由可得，又，所以.由三角形余弦定理可得.故填.【命题意图】三角函数知识，解三角形知识.9.在锐角中，、、分别为角所对的边，且.则角的大小为____________.【答案】【解析】由及正弦定理可得，又在锐角中，所以.故填.【命题意图】三角函数，解三角形的知识.10.设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，且.（1）求的大小；（2）若的面积,，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理得：，即，则有，即而，又因为，所以，故，即，而，所以.（2）由（1）知，，又，由余弦定理知，即，整理得①的面积，即，整理得：②②代入①得：所以，故.【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形以及和角公式等，意在考查学生基本的逻辑推理能力和计算能力.。

解斜三角形简单练习

解斜三⾓形简单练习⼀、⾃主梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三⾓形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bc a c b 2222-+.3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S --- =Sr(S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=Rabc4(R 为外接圆半径).4.在三⾓形中⼤边对⼤⾓，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三⾓形内⾓的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +,sin2C =cos 2BA +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC;(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三⾓形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等⽐数列. 7.解三⾓形常见的四种类型(1)已知两⾓A 、B 与⼀边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =Ccsin ，可求出⾓C ，再求出b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹⾓A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出⾓B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出⾓A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中⼀边的对⾓A ，由正弦定理A a sin =Bbsin ，求出另⼀边b 的对⾓B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，⽽通过A a sin =Bbsin 求B 时，8.⽤向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和⽅向.9.三⾓形的分类或形状判断的思路，主要从边或⾓两⽅⾯⼊⼿.1．已知三⾓形的三边之⽐为3∶4∶37，则最⼤内⾓为． 2．已知))((a c b c b a -+++＝3bc ，则∠A ＝．3．已知三⾓形的⼀个内⾓是45，⼀邻边长是3，对边长为2，则另⼀邻边长为．4．已知a ＝4，b ＝6，B sin ＝43，则∠A ＝． 5．在△ABC 中，已知a ＝12，b ＝43，∠A ＝120，则c ＝，?S ＝．6．已知A sin ＝2C B cos sin ，且a c b c b a -+++＝cb3，则三⾓形形状为．7．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，∠A ＝30，则∠B ＝．8．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，如果三⾓形有解，则∠A 的取值范围． 9．在△ABC 中，若A a cos ＝B b cos ，则△ABC 是．10．在△ABC 中，∠B ＝45，D 是BC 上⼀点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝． 11．已知三⾓形的三条边之⽐为3∶5∶7，且最⼤边长为14，则三⾓形的⾯积为． 12．在锐⾓三⾓形ABC 中，a ＝8，c ＝12，?S ＝243，则三⾓形中最⼩⾓是，它的正弦值等于．⼆．选择题：13．在△ABC 中，A sin +A cos ＝127，则△ABC 是（）（A ）钝⾓三⾓形；（B ）锐⾓三⾓形；（C ）直⾓三⾓形；（D ）正三⾓形． 14．在△ABC 中，∠A ＝60 ，a ＝7，b ＝8，则三⾓形（）（A ）有⼀解；（B ）有两解；（C ）⽆解；（D ）不确定．15．在△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，则ABC ∠cos ＝（）（A ）1611；（B ）－41；（C ）2421；（D ）43． 16．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，∠B ＝30，则△ABC 的⾯积是（）（A ）23；（B ）43；（C ）23或3；（D ）43或23．三．解答题：17．在△ABC 中，若A a cos ?+B b cos ?＝C c cos ?，判断三⾓形形状．解：18．在△ABC 中，已知ab ＝60，?S ＝15，A sin ＝B cos ，求三⾓形的三内⾓．解：19．已知三⾓形三边是三个连续⾃然数，若最⼤⾓是最⼩⾓的两倍，求三边长．解：20．已知三⾓形两边之和为8，其夹⾓为60 ，求这个三⾓形周长的最⼩值和⾯积的最⼤值，并指出⾯积最⼤时三⾓形的形状．解：1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，则B等于( )A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对2.△ABC中，a=2bcosC，则此三⾓形⼀定是( )A.等腰三⾓形B.直⾓三⾓形C.等腰直⾓三⾓形D.等腰或直⾓三⾓形3.设A是△ABC最⼩内⾓，则sinA+cosA的取值范围是( )A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］在△ABC 中，cos 22A =ccb 2+(a 、b 、c 分别为⾓A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.正三⾓形B.直⾓三⾓形C.等腰三⾓形或直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.△ABC 的三个内⾓A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证:A=2B. 剖析：研究三⾓形问题⼀般有两种思路.⼀是边化⾓,⼆是⾓化边.已知锐⾓△ABC 中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51. (1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB 边上的⾼.剖析：有两⾓的和与差联想到两⾓和与差的正弦公式,结合图形如图，有两条相交成60°⾓的直路EF 、MN ，交点是O.起初，阿福在OE 上距O 点3千⽶的点A 处；阿⽥在OM 上距O 点1千⽶的点B 处.现在他们同时以4千⽶/时的速度⾏⾛，阿福沿EF 的⽅向，阿⽥沿NM 的⽅向.(1)求起初两⼈的距离；(2)⽤包含t 的式⼦表⽰t ⼩时后两⼈的距离； (3)什么时候他们两⼈的距离最短？1.在△ABC 中，cos （A －B ）＋sin （A ＋B ）=2，则△ABC 的形状是（） A.等边三⾓形 B.等腰钝⾓三⾓形 C.等腰直⾓三⾓形 D.锐⾓三⾓形2.若△ABC 的⾯积为4222c b a -+，则内⾓C 等于（）A.30°B.45°C.60°D.90° 3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A 等于（） A.30° B.60° C.120° D.150°4.如果把直⾓三⾓形的三边都增加同样的长度，则这个新的三⾓形的形状为（） A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形 D.由增加的长度决定5.在△ABC 中，A 为锐⾓，lg b +lg （c1）=lgsin A =－lg 2，则△ABC 为（） A.等腰三⾓形B.等边三⾓形C.直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形6.在△ABC 中，a （sin B －sin C ）＋b （sin C －sin A ）＋c （sin A －sin B ）的值是（） A.21 B.0 C.1 D.π7.R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cos A cos B ，则△ABC 的外⼼位于（） A.三⾓形的外部 B.三⾓形的边上 C.三⾓形的内部 D.三⾓形的内部或外部，但不会在边上 8.若△ABC 的三条边的长分别为3、4、6，则它的较⼤的锐⾓的平分线分三⾓形所成的两个三⾓形的⾯积⽐是（）A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶9.如图，D 、C 、B 三点在地⾯同⼀直线上，DC =a ，从C 、D 两点测得A 点的仰⾓分别是β、α（α＜β），则A 点离地⾯的⾼AB 等于（）αβDABCA.)sin(sin sin αββα-aB.)cos(sin sin βαβα-aC.)sin(cos cos βαβα-aD.)cos(cos cos βαβα-a10.在△ABC 中，若cbc B A B A -=+-tan tan tan tan ，这个三⾓形必含有（） A.30°的内⾓ B.45°的内⾓ C.60°的内⾓D.90°的内⾓11.在△ABC 中，tan B =1，tan C =2，b =100，则a =______.12.在△ABC 中，若∠B =30°，AB =23，AC =2，则△ABC 的⾯积为__________. 13.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A 、B 、C 所对的边长，若（a ＋b ＋c ）·（sin A ＋sin B －sin C ）=3a sin B ，则C =______.14.在△ABC 中，S 是它的⾯积，a 、b 是它的两条边的长度，S =)(422b a +，则△ABC为__________三⾓形.15.（本⼩题满分10分）隔河看到两⽬标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千⽶的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°（A 、B 、C 、D 在同⼀平⾯内），求A 、B 之间的距离.A BCD16.（本⼩题满分10分）在四边形ABCD 中，BC =a ，DC =2a ，四个⾓A 、B 、C 、D 度数的⽐为3∶7∶4∶10,求AB 的长.17.（本⼩题满分8分）在△ABC 中，已知cbc B A B A -=+-tan tan tan tan ，求∠A . 18.（本⼩题满分12分）在海岸A 处，发现北偏东45°⽅向，距离A 为（13-）海⾥的B 处有⼀艘⾛私船，在A 处北偏西75°⽅向距离A 为2海⾥的C 处有我⽅⼀艘缉私艇奉命以103海⾥/时的速度追截⾛私船，此时⾛私船正以10海⾥/时的速度从B 处向北偏东30°⽅向逃窜，问缉私艇沿什么⽅向，才能最快追上⾛私船？需要多长时间？19.（本⼩题满分14分）在△ABC 中，已知a 2－a =2（b ＋c ），a ＋2b =2c －3. （1）若sin C ∶sin A =4∶13，求a 、b 、c ；（2）求△ABC 的最⼤⾓的弧度数.。

高三数学解斜三角形试题

高三数学解斜三角形试题1.在中，已知，当时，的面积为________.【答案】【解析】由得，，所以，.【考点】平面向量的数量积、模，三角形的面积.2.在中，，，则等于（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】，解得，因为，所以或。

故C正确。

【考点】三角形面积公式。

3.中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.①总存在某内角，使；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.【答案】①④⑤【解析】对①，因为，所以，而在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中必然会存在一个角，故正确；对②，构造函数，求导得，，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②得，即，所以，故②不正确；对③，因为，则在钝角中，不妨设为钝角，有，故③不正确；对④，由，即，而不共线，则，解得，则是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，知，故④正确；对⑤，由得，所以，由②知，，即，又根据正弦定理知，即，所以，即.故①④⑤正确.【考点】1.三角函数与解三角形；2.利用导数求函数的最值；3.不等式的应用.4.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.【答案】【解析】在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得，所以BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.5.一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)【答案】mtan2α【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得，即，即AC＝，所以山高BC＝ACsinα＝＝mtan2α6.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()．A．2B．1C．D．【答案】D【解析】以AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的坐标系，则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，得重心G，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC，AC的对称点分别为P1(4,4－x)，P2(－x，0)与△ABC的重心G共线，所以∶＝，解得x＝.7.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形8.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．9.已知△ABC中，C=45°，， sin2A=sin2B一sin A sin B，则=A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，由余弦定理得，所以.【考点】正弦定理余弦定理点评：本题考查利用正弦定理进行边角互化，属基础题.10.如图，Rt中，，其内切圆切AC边于D点，O为圆心．若，则_____________．【答案】；【解析】Rt中，，其内切圆切AC边于D点，O为圆心．若，则则结合向量的夹角和切线长定理可知，=-3，故答案为-3.【考点】向量的数量积点评：解决的关键是利用建立直角坐标系，或者借助于平面向量的基本定理来得到，属于基础题。

高二数学解斜三角形试题答案及解析

高二数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别是若，，则A ＝（）．A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】A【解析】因为，，所以；【考点】正余弦定理的应用．2.在锐角中，、、分别为角所对的边，且 .（Ⅰ）确定角的大小；（Ⅱ）若＝, 且的面积为, 求的值．【答案】(Ⅰ) C =" 60" °;(Ⅱ) = 5.【解析】(Ⅰ)根据，得到，所以得，从而解得C =" 60" °；（Ⅱ）联立，和，可以得到，然后计算可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵由正弦定理得∵△ABC中 sin A > 0 得∵△ABC是锐角三角形∴ C =" 60" °（Ⅱ）由得 =" 6"又由余弦定理得且＝∴∴∴=" 5"【考点】正弦定理，余弦定理.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由余弦定理可知，代入条件中得，所以或，答案选D.【考点】余弦定理和三角形中的三角函数4.在△中，角所对的边分别为，，，，则.【答案】【解析】,由正弦定理得.【考点】正弦定理的应用.5.在中，所对的边分别为，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求面积的最大值．【答案】(1);(2)面积的最大值为【解析】(1)理解并掌握两角和的正切公式，及公式的变形应用，根据题中条件选择恰当的公式；（2）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围.试题解析：解：（Ⅰ），又 5分（Ⅱ）由余弦定理，得，即，当且仅当时，三角形面积的最大值为 10分【考点】（1）两角和的正切公式；（2）三角形的面积.6.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求证：，，成等比数列；（2）若，，求的面积．【答案】（1）证明：由已知得，即，所以．再由正弦定理可得，所以成等比数列．（2）．【解析】（1）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得，由正弦定理可证；（2）由已知结合余弦定理可求，利用同角平方关系可求，代入三角形的面积公式可求．试题解析：（1）证明：由已知得，即，所以．再由正弦定理可得，所以成等比数列．（2）若，则，所以，所以．故的面积．【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．7.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求证：，，成等比数列；（2）若，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）.【解析】（1）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得，由正弦定理可证；（2）由已知结合余弦定理可求，利用同角平方关系可求，代入三角形的面积公式可求．试题解析：（1）证明：由已知得，即，所以.再由正弦定理可得，所以成等比数列.（2）若，则，所以，所以.故的面积.【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．8.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】如图所示，，则内，则，所以灯塔A在灯塔B的北偏西100【考点】本题考查方向角.9.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】根据题意，观察图形，连接，由甲船航行的速度与时间算出，发现为等边三角形，可得，，又已知的长，那么在中，由余弦定理求出的值，因为乙船与甲船航行的时间相同，从而求出乙船的速度.试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形， 4分，由已知，，， 6分在中，由余弦定理，9分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时） 11分答：乙船每小时航行海里 12分【考点】解三角形在实际问题中的应用.10.（本小题满分12分）在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA．（Ⅰ）求边长AB的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【答案】(1) (2)3【解析】（1）解：在中，根据正弦定理，，２分于是． .5分（2）解：在中，根据余弦定理，得， 8分于是=， 10分从而 3 12分【考点】解三角形的运用点评：解决的关键是对于已知中的边角关系，结合正弦定理来得到边长，同时能结合余弦定理来得到角A，从而求解面积，属于基础题。

高二数学解斜三角形试题

高二数学解斜三角形试题1.△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于( )．A．5B．13C．D．【答案】C【解析】根据余弦定理，得,将a＝3，b＝4，∠C＝60°，代入，可得，即. 故选C.【考点】余弦定理.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】D【解析】利用正弦定理， ,将a＝4，b＝4，角A＝30°，代入，得sinB=,由于b>a，得B=60°或120°.故选D.【考点】正弦定理.3.已知函数（，）在一个周期上的一系列对应值如下表：（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）在△中，，为锐角，且,求△的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由图象求三角函数解析式的程序是：先定振幅，后定周期，由周期定，最后代最高（低）点定初相；（Ⅱ）对照条件选择好面积公式，运用正弦定理即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）由表格知，从而有，此时，将点代入，得，又，所以有，即有.（Ⅱ），即，又为锐角，在中，由正弦定理得：，又，，.【考点】1.三角函数图象与性质；2.解三角形.4.在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以则的面积故选C【考点】解三角形及三角形面积公式.5.在△ABC中,,且,则内角C的余弦值为( )A．1B．C．D．【答案】C【解析】由结合正弦定理,得,由,得,由于,故,,.所以选C.【考点】1.解三角形知识.2.边化角的思想.3.三角恒等变形.4.和差化积公式.6.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【答案】C【解析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案．根据已知的边和角可知，那么结合余弦定理，则可知角B大于零小于平角，因此可知为锐角，且为60°，故选C【考点】点评：本题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值，解题过程中要注意角的范围，属于基础题．7.在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( )A．3B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知，△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则=,故选B.【考点】正弦定理点评：解决试题的关键是对于合分比性质的理解和运用，明确所求的就是三角形外接圆的直径，属于基础题。

高三数学解斜三角形试题答案及解析

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A．B．C．D．【答案】 C.【解析】，，，所以.选C【考点】解三角形.2.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x （1）求f(x)的最小正周期及最大值。

（2）设A,B,C为△ABC的三个内角，若cosB=,f()=-，且角A为钝角，求sinC【答案】(1) (2)【解析】(1)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x=cos2xsin2x+cos4x=sin4x+cos4x=sin(4x+)∴最小正周期T==当4x+=+2k(k∈Z)，即x=+(k∈Z)时,f(x)max故最小正周期为，最大值为。

（2）∵f()=-，∴sin(4×+)=-sin(2A+)=-又A为钝角，所以2A+=，即A=由cosB=得，sinB=又sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+(-)×=3.已知的内角A、B、C所对的边为，, ，且与所成角为.（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的范围为.【解析】（Ⅰ）由两向量的夹角公式得，将此式变形可得：.这是一个特殊角的三角函数值，再根据角B的范围便可得角B的值.（Ⅱ）由（1）知，，A+C= 这样换掉一个角，可将用一个只含一个角的式子表示出来，从而根据该角的范围便可得这个式子的范围.试题解析：（Ⅰ）与向量所成角为，，又， 6分（Ⅱ）由（1）知，，A+C====，所以的范围为. 12分【考点】1、三角恒等变换；2、向量的运算.4.如图，在中，已知点在边上，,, ,则的长为 .【答案】【解析】，根据余弦定理可得，.【考点】1.余弦定理；2.诱导公式5.已知中，，，设，并记(1)求函数的解析式及其定义域；(2)设函数，若函数的值域为，试求正实数的值【答案】（1)，定义域为；（2）【解析】（1）先由正弦定理求出AB和BC的长，然后由向量的数量积求出函数f(x)的解析式并结合三角形的内角和求出定义域；（2）,故可先求出函数的值域为，而函数的值域为，故有试题解析：（1）由正弦定理知：，，，又,，定义域为 6分(2)，假设存在正实数符合题意，，故，又，从而函数的值域为，令 12分【考点】1 解三角形；2 三角函数的值域6.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.【考点】三角形面积公式.7.在三角形中，.⑴求角的大小；⑵若，且，求的面积.【答案】⑴⑵【解析】(1)利用角的拆分和两角和的正弦公式进行化简整理，然后借助辅助角公式得到求解角C；（2）借助二倍角公式和内角和定理化简为或，然后分别探讨，借助正弦定理和余弦定理进行转化求得，进而求取三角形的面积.试题解析：(1) 由题，则，化简得， (2分)即，，所以， (4分)从而，故. (6分)(2) 由，可得.所以或. (7分)当时，,则,; (8分)当时，由正弦定理得.所以由，可知. (10分)所以. (11分)综上可知 (12分)【考点】1.三角变换公式;2.解三角形.8.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．9.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且成等差数列。

高三数学第五节解斜三角形

第五节解斜三角形【例1】根据下列条件；解三角形ABC （1）已知 30,8,4===B c b ；求C 、A 、a ；（2）已知2,2,30===c b B ；求A 、C 、a ；（3）已知 45,9,6===B c b ；求C 、a 、A【例2】解答下列各题：（1）已知在△ABC 中；)15(4,4,18+===b a A ；求另一边及另两个角。

（2）在△ABC 中；角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ；且10=c ；又知34cos cos ==a b B A ；求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。

【例3】在△ABC 中；a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边；如果)(22b a +·)sin(·)()sin(22B A b a B A +-=-；且B A ≠；求证：△ABC 是直角三角形。

【例4】在△ABC 中；角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；证明：C B A cb a sin )sin(222-=-【例5】已知；钝角三角形ABC 中；4,1,52,90=+=-=>c x b x a B ；求x 的取值范围。

【例6】在△ABC ；如果baB A =--cos 1cos 1；试判定△ABC 的形状。

【例7】如图；为了测量河对岸A ；B 两点间的距离；在河的这边测定,23km CD = 30,60,45ACB DCB ADC ADB ∠=∠=∠=∠=；求A 、B 两点的距离。

【例8】如图；海中小岛A 周围38海里内有暗礁；船正向南航行；在B 处测得小岛A 在船的南偏东45°；航行30海里后；C 处测得小岛在船的南偏东45°；如果此船不改变航向；继续向南航行；有无触礁的危险？双基训练1、满足条件 45,23,4===A b a 的△ABC 的个数是（） A 、一个B 、两个C 、无数个D 、不存在2、在△ABC 中； 30,15,5===A b a ；则c 等于（） A 、52B 、5C 、52或5D 、以上都不对3、若B b A a cos cos =；则△ABC 一定是（） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形4、在△ABC 中；其周长为；且A sin ：B sin ：C sin =4：5：6；则下列成立的个数是（） ①a ：b ：4=c ：5：6②a ：b ：2=c ：5：6 ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④A ：B ：C = 4：5：6 A 、0B 、1C 、2D 、35、在△ABC 中；已知 45,2,===B cm b xcm a ；如果利用正弦定理解三角形有两解；则x 的取值范围是（） A 、222<<xB 、222≤<xC 、2>xD 、2<x6、在△ABC 中；已知 120,30,10===B A a ；则=∆S 。

高三数学解斜三角形试题

高三数学解斜三角形试题1.设的内角所对边的长分别是，且（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据，则有，再由正、余弦定理.可以求得.（2）由余弦定理可以求出，而，所以.故.（1）因为，所以，由正、余弦定理得.因为，所以.由余弦定理得.由于，所以.故.【考点】1.正、余弦定理；2.三角函数恒等变形.2.如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知，，（千米），（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B点出发到达C点）【答案】能够.【解析】由于小王和小李攀登的速度为每小时1200米，因此两小时能爬2400米，从而如果山路的长不大于2400米，则就能够，如果的长大于2400米，就不能，故下面主要就是计算的长，实质就是计算的长，而可在中解决，在中有（千米），再看，由已知可求得它的三个角大小，又有（千米），可解出，这样就可能得到，也即.试题解析：由知，由正弦定理得，所以，．（4分）在中，由余弦定理得：，即，即，解得（千米），（10分）（千米），（12分）由于，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．（14分）【考点】解三角形.3.某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角（从正北方向顺时针转到方向所成的角）是，距离是3km；从到，方位角是110°，距离是3km；从到，方位角是140°，距离是（）km.试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.【答案】【解析】根据题意画出示意图.在三角形ABC中，由已知可解得AC.同时计算角ACB，根据圆角可得.在三角形ADC中可解得AD.及为所求的结论.本小题关键角ACD的大小易出错，这也是难点.试题解析：示意图，如图所示，4分连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°由余弦定理可得7分在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=3+9.由余弦定理得AD===(km).10分由正弦定理得sin∠CAD=12分∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°,13分所以，从A到D的方位角是125°，距离为km.14分【考点】1.解三角形的知识.2.方位角的概念.3.余弦定理的应用.4.已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()．A．b＝a3B．b＝a3＋C．(b－a3) ＝0D．|b－a3|＋＝0【答案】C【解析】若A为直角，则A，B两点的纵坐标相等，可得b＝a3；若B为直角，则kOA ·kAB＝－1，可得b－a3－＝0，若O为直角顶点显然不合题意，故选C.5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且。

高一数学解斜三角形试题

高一数学解斜三角形试题1.在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= ．【答案】9【解析】如图将AD延长到M,使AM=2AD=7,连接BM,CM则四边形ABMC是平行四边形,由平行四边形的性质可知:.【考点】解三角形.2.在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，且，求：（1）的度数；（2）边的长度．【答案】(1),(2)【解析】解题思路：（1）利用三角形三角和定理求角C;(2)根据方程的根与系数的关系求两根之和与积；利用余弦定理求边c．规律总结：解三角形问题，要分析题意，寻找边角关系，选择合适的定理．注意点：在利用余弦定理求解时，要注意利用“整体思想”，减少计算量．试题解析：（1）,;故．是方程的两根，，由余弦定理，得，．【考点】1．三角形三角和定理；2．方程的根与系数的关系；3．余弦定理．3.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.4.中，若，则的面积为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】，即的面积为,故选B【考点】本题考查了三角形面积的求解点评：熟练掌握三角形中的面积公式及其变形是解决此类问题的关键，属基础题5.已知在中，角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若的外接圆半径为2，求的面积．【答案】（1）当时，当时，（2）当时，，当时，【解析】（1）△ABC中，∵∴，∴ 3分∵，∴，又∵，即∴或 6分∵A+B+C=∴当时，当时， 8分（2）∵，∴ 10分当时， 12分当时，综上所述：当时，，当时， 14分【考点】本题考查了正余弦定理的综合运用点评：正、余弦定理是解斜三解形强有力的工具，在求解三角形的时候，问题涉及三角形的若干几何量，解题时要注意边与角的互化.一般地，已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形6.在中，分别为内角所对的边长，，，，求：（1）角的大小；（2）边上的高。

高中数学 第五节 解斜三角形习题

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