高中数学 第五节 解斜三角形习题

第五节解斜三角形

【例1】根据下列条件，解三角形ABC （

1）已知 30,8,4===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知2,2,30===c b B ，求A 、C 、a ； （3）已知 45,9,6===B c b ，求C 、a 、A

【例2】解答下列各题：

（1）已知在△ABC 中，)15(4,4,18+===b a A ，求另一边及另两个角。

（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、

c ，且10=c ，又知34

cos cos ==a b B A ，求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。

【例3】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果)(2

2

b a +·

)sin(·)()sin(22B A b a B A +-=-，且B A ≠，求证：△ABC 是直角三角形。

【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证明：C B A c

b a sin )

sin(222-=-

【例5】已知，钝角三角形ABC 中，4,1,52,90=+=-=>c x b x a B ，求x 的取值范围。

【例6】在△ABC ，如果b

a

B A =--cos 1cos 1，试判定△AB

C 的形状。

【例7】如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在河的这边测定,2

3

km CD = 30,60,45ACB DCB ADC ADB ∠=∠=∠=∠=，求A 、B 两点的距离。

【例8】如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东45°，航行30海里后，C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

双基训练

1、满足条件 45,23,4===A b a 的△ABC 的个数是（ ） A 、一个

B 、两个

C 、无数个

D 、不存在

2、在△ABC 中， 30,15,5===A b a ，则c 等于（ ） A 、52

B 、5

C 、52或5

D 、以上都不对

3、若B b A a cos cos =，则△ABC 一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形

4、在△ABC 中，其周长为7.5cm ，且A sin ：B sin ：C sin =4：5：6，则下列成立的个数是（ ） ①a ：b ：4=c ：5：6

②a ：b ：2=c ：5：6 ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④A ：B ：C = 4：5：6 A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

5、在△ABC 中，已知 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、222<

B 、222≤

C 、2>x

D 、2

6、在△ABC 中，已知 120,30,10===B A a ，则=∆S 。

7、设A 是△ABC 中的最小角，且1

1

cos +-=a a A ，则a 的取值范围是 。 8、在ABC ∆中，5,10

922cos 2==+=c c c b A ，求△ABC 的内切圆的半径长。

9、在△ABC 中，已知bc a c b c b a 3)()(=-+++，且C B A cos sin 2sin =，试确定 △ABC 的形状。

10、已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD=DA =4，求四边形

ABCD 的面积。

知识升华

1、在△ABC 中，A =60°，1=b ，3=∆ABC S ，则C B A c

b a sin sin sin ++++等于（ ）

A 、

3

3

8 B 、

3

39

2 C 、

3

3

26 D 、32

2、在△ABC 中，a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为4

2

22c b a -+，则角C 等

于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°

3、已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，而2R 是△ABC 外接圆的直径，给定下列四个命题： （1）Rc C Rb B Ra A 2sin ,2sin ,2sin === （2）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== （3）R C c R B b R A a 2sin ,2sin ,2sin === （4）C B A c b a sin :sin :sin ::= 其中正确命题的个数是 A 、1 B 、2

C 、3

D 、4

4、在ABC 中，a 、b 、c 为角A 、B 、C 的三对边，若∠C =60° ，则c

b a

c a b ++

+的值为（ ） A 、

2

1

B 、

2

2 C 、1 D 、2

5、在半径为R 的圆内接四边形ABCD 中，下面四个结论中不正确的是（ ） A 、BC AB BC AB AC ·2222++= B 、D BC AB BC AB AC cos ||||22

2

2

++= C 、C AD AB AD AB BD cos ||·||2222++=

D 、A CD CB CD CB C AD AB AD AB cos ·||2cos ||||22222-+=-+

6、在△ABC 中，已知5

3

sin ,135cos ==

B A ，则

C cos 的值为（ ） A 、6516 B 、65

56 C 、65566516或 D 、6516

-

7、在△ABC 中，A 、B 、C 三个角的对边分别为a 、b 、c ，若 40,2

1

,1=∠==C c a ，

则符合题意的b 的值有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、0个

8、有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 km 。

9、隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，同时，测得 45,30,45,70=∠=∠=∠=∠ADB ADC BCD ACB ，A 、B 、C 、D 在同一平面内，则两目标A 、B 之间的距离为 。

10、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南

θ)10

2

(cos =

θ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大。问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

11、如图，在△ABC 中任取一点O ，用C B A S S S ,,分别表示△BOC ，△COA ，△AOB

的面积。

12、半圆O 的直径长为2，A 为直径延长线上的一点，OA =2，B 为半圆周上动点，

以AB 为边，向外作等边三角形ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？并求这个最大面积。