数论之余数三大定理

第十四章数论之余数三大定理

概念

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(1)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完

(2)当0

全商

三大余数定理

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除

用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

例题

1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。

2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数

之和为2113，则被除数是多少？

5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1

6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？

6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的

商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。

8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部

分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人?

9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。

10. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

11. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

12. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

13. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

14. 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b

⨯。

>，求ab ba

15. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。请问学校共有多少个班？

16. 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是

_________。

17. 2003

2与2

2003的和除以7的余数是________。

18. （真题）在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。这样的数组共有______组。

19. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。

20. 用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么

n=________

21. 分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

22. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》。一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本。这种《成语大词典》的定价是________元。

23. 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克。

24. 求2461135604711⨯⨯÷的余数。

25. 求478296351⨯⨯除以17的余数。

26. 求19973的最后两位数。

27.

"

2"20002222个除以13所得余数是_____.

28. 求89143除以7的余数。

29. 222212320012002+++

++除以7的余数是多少？

30. ()30313130+被13除所得的余数是多少？

31. 已知20082008

200820082008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？

32. 19967

77777⋅⋅⋅个除以41的余数是多少？

33. 1234200512342005+++++除以10所得的余数为多少？

34. 求所有的质数P ，使得241p +与261p +也是质数。

35. 在图表的第二行中，恰好填上8998～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3。

36. 3个三位数乘积的算式234235286abc bca cab ⨯⨯= (其中a b c >>)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc 是多少？

37. （真题）一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a ，2a +，5a +，则这个自然数是多少？

38. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？