第四章 公钥密码体制
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1
基本思想
数论简介 RSA算法 椭圆曲线密码体制
2
3 4
4.1基本思想
1.背景
对称密钥编码所面临的难题
密钥分配：通信密钥太多，管理和分发困难。 数字签名和认证。
密码体制上的突破
Diffie & Hellman, “New Direction in Cryptography”, 1976。 首次公开提出了“公开密钥密码编码学”的概念。
gcd( a, b) gcd(b, a modb) 据： 。
描述如下：
a, b Z ， （1）输入 a 和 b ，其中， a, b 0 ，a b ；
（2）如果 b 0 则依次完成： r a modb, a b, b r ，否则返回 a； （3）输出gcd(a, b) r 。
{
q←r1/r2; r ←r1-q*r2; r1 ←r2;r2 ←r; t ←t1-q*t2; t1 ←t2;t2 ←t;
} 如果(r1=1)，那么b-1 ←t1
用扩展的欧几里德算法求乘法逆元
gcd(11111,12345)
12345=1*11111+1234 11111=9*1234+5 1234=246*5+4 5=1*4+1 4=4*1+0
78 ≡49 ≡11mod 19
则a+b≡a1+b1(mod n)，ab≡a1b1(mod n)
Fermat定理
若p素数，a是整数且不能被p整除，则: ap-1 1 mod p 推论: p素数，a是任意整数，则: ap a mod p 例：计算718 mod 19
a=7, p=19
72=49≡11mod19
74 ≡121 ≡7mod 19
这是一个与对称密码编码截然不同的方案。
提出公开密钥的理论时，其实用性并没有又得到证明：
当时还未发现满足公开密钥编码理论的算法； 直到 1978 年，RSA 算法的提出。
2.基本特征
加密和解密使用两个不同的密钥
公钥PK：公开，用于加密，私钥SK：保密，用作解密
密钥
一个密钥加密的数据只能用另一个密钥解密
被称为单向函数。 f ( x)
常用单项函数
大整数分解（简称IFP）； 离散对数问题（简称DLP）；
多项式求根
菲-赫尔曼问题 二次剩余问题
单向陷门函数
对于一个单向函数 f ( x) ，如果其逆函数 f 1 ( y) 在已知某些
辅助信息的情况下容易求解得出，则称该单向函数 f ( x) 为
a f( n ) 1 mod n
等价形式：
a
f ( n) +1
a mod n
欧拉定理推论： 有两个素数 p 和 q, 令 n = pq , 对任意整数 t 和a (0<a<n), 有下列等式成立：
a tφ(n) +1 = a mod n
其中：φ(n) = (p-1)(q-1)。
4.同余式性质
（1）a≡b(mod n) iff a mod n=b mod n。 （2）反身性：a≡a(mod n)。 （3）对称性：如果a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)。
（4）传递性：如果a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，
则a≡c(mod n)。
（5）如果a ≡a1(mod n)，b=b1(mod n)，
同余式 ：设n是一个正整数，a, b Z 如果 a mod n b mod n， 则称a和b模n同余，记作：a b(modn) ，称整数n为同余模。
加法逆元：设a Z n ，如果存在 x Z n 满足 x a 0(modn)，则称 x是a的模n加法逆元。
乘法逆元：设 a Z n ，如果存在 x Z n 满足 ax 1(modn) ，则称
定义：如果整数p(p>1)只能被1或者它本身整除，而不能被其他整
数整除，则其为素数，否则为合数。 素数定理：
设 ( x)是小于x的素数的个数,则 x ( x) ( x) , 且当x , 1 x ln x ln x
在各种应用中，我们需要大的素数 ,如100位的素数
素数是构成整数的因子，每一个整数都是由一个或几个素数的不
公钥密码学要解决的问题
公钥密码学的概念是为了解决传统密码中最 困难的两个问题而提出的：
（1）密钥分配问题 （2）数字签名问题
4.公钥密码算法基础
单向函数
对于一个函数
f ( x，如果对于其定义域上的任意 ) x， f ( x)都容易计算，同时，
1 都是不可行的，则 f ( y)
对于其值域中几乎所有的取值 y ，计算其逆函数 函数
时间复杂度为 O((lgn) )。
2
用欧几里德算法求最大公约数。
求：gcd(482,1180)
1180=2*482+216
482=2*216+50
216=4*50+16
50=3*16+2 16=8*2+0
所以gcd(482,1180)=2
扩展的欧几里德算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b。求解一组p，q，使得
单向陷门函数。
构造公钥密码系统的关键是如何在求解某个单向函数的逆函 数的NP完全问题中设置合理的“陷门”。
单向函数举例
例1：y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 例2：设n是两个大素数p和q的乘积，b是一个正整数，对
x∈Zn ，令 f(x)≡xb(mod n)，即 f(x) 等于被n除所得的余数，
缺点：公共密钥系统的主要弱点是加密和解密速度慢。
实际应用中的加密方式
混合加密技术
对称密码体制：密钥分发困难
公钥体制：加解密效率低
将对称加密算法的数据处理速度和公钥算法对密钥的保
密功能相结合
利用对称加密算法加密传输数据
利用非对称加密算法交换会话密钥
实际应用中的加密方式
举例：假设Alice与Bob进行保密通信，过程如下：
数为k=2,求明文m=30 所对应的密文 （2） 如果用相同的k=2 加密另外一个明文m，加密后的密文为 C= （49，13），求m 4、椭圆曲线y2mod p=(x3+ax+b)mod p，其中a=1, b=1, p=23。取 曲线上的P=(3,10), Q=(9,7)，分别计算P+Q和2P
主要内容
密 文 传 输 因特网
Alice Bob
Bob的公钥
Bob私钥
会话密钥
对称密码和公钥密码
对称密码
一般要求 ① 加密和解密使用相同的密钥 ② 收发双方必须共享密钥
公钥密码
一般要求 ① 同一算法用于加密和解密，但加 密和解密使用不同密钥 ② 发送方拥有加密或解密密钥，而 接收方拥有另一密钥
安全性要求
① 密钥必须是保密的 ② 若没有其他信息，则解密消息是 不 可能或至少是不可行的 ③ 知道算法和若干密文不足以确定 密钥
安全性要求
① 两个密钥之一必须是保密的 ② 若没有其他信息，则解密消息是 不可能或至少是不可行的 ③ 知道算法和其中一个密钥以及若 密文干不足以确定另一密钥
有关公钥密码的几种常见误解
从密码分析的角度看，公钥密码比传统密码更安全。 公钥密码是一种通用的方法，传统密码已经过时。 传统密码中与密钥分配中心的握手是一件异常麻烦的事情， 与之相比，用公钥密码实现密钥分配则非常简单。
p* a+q * b = Gcd(a, b)。
原理：
Gcd(a, b) = Gcd(b,a%b)
所以p * a+q * b = Gcd(a, b) = Gcd(b,a%b) = p * b + q * a % b
= p * b +q * (a – a / b * b) = q * a + (p – a / b*q) * b
x是a的模n乘法逆元，记为 a-1 (mod n)。
整除：设整数a和b，如果存在整数k，使b=ak，则说b能被a整
除，记作：a|b。例：3|15，-15|60
整除性质：
对所有整数a≠0， a|0、 a|a成立 对任意整数b， 1|b成立
2.欧几里德（Euclidean）算法
一个用于计算两个整数的最大公因子的有效算法 ，算法依
Alice
加密
因特网
Bຫໍສະໝຸດ Baidub私钥
解密
Bob的公钥
Bob
3.优点
密钥管理
加密密钥是公开的；
解密密钥需要妥善保存； 在当今具有用户量大、消息发送方与接收方具有明显的信息不对称
特点的应用环境中表现出了令人乐观的前景。
新用户的增加只需要产生一对公共/私有密钥。
数字签名和认证
只有解密密钥能解密，只有正确的接收者才拥有解密密钥。
4.2 数论简介
1. 数论相关术语
最大公因子：任意有限个整数 a1 , a2 , , an 的公因子中的最大
gcd( a1 , a2 , , an ) 。 一个。必然存在并且惟一，记为
最小公倍数：任意有限个整数 a1 , a2 , , an的公倍数中的最小
一个 。必然存在并且惟一，记为 lcm(a1 , a2 , , an ) 。
11111x(mod12345)=1
扩展欧几里德算法求乘法逆元11-1mod26
q
2 2 1 3
r1
26 11 4
r2
11 4 3
r
4 3 1 0
t1
0 1 -2
t2
1 -2 5
t
-2 5 -7 26
3
1
1
0
5
-7
-7
26
所以，11的乘法逆元是（-7）mod26=19
素数(prime number)
欧拉函数φ(n)：表示小于 n 且与 n 互素(包括公因子1)的
正整数的个数；
欧拉函数的性质：
对任意素数 p，有 对任意两个素数
φ(p) = p – 1；
p、q，则对 n = pq 有：
φ(n) = φ(pq) = φ(p)φ(q) = (p–1)(q–1)
欧拉定理
如a 和 n 是互素的整数，则有：
同次幂相乘得来的。
互
(1) d整除m和n，即d|m，d|n; (2) 若d’|m且d ’|n，则d ’|d。
素
设m，n是两个整数，如果正整数d满足：
则称 d 是 m 与 n 的最大公因数，记为d = (m，n)。若(m， n)=1，则称 m 与 n 互素。
3.欧拉函数
欧拉函数（Euler’s totient function）
公钥密码技术
1
习 题
1、设n=91，e=5,根据RSA算法加密明文m=3，计算出密文。给
出计算详细步骤。
2、设n=35，e=5, 试设计一个具体的RSA公开密码体制, 并求密 文c=10的原文。
习 题
3、在ElGamal 密码体制中，设素数p=71，本原根g=7
（1）如果接收方 B 的公开钥是yB = 3 ，发送方A 选择的随机整
等价于求解二元一次不定
方程11111x+12345y=1
的整数解
1=5-1*4=5-1*(1234-246*5)=247*5-1*1234 =247*(11111 - 9*1234) -1*1234 =247*11111 - 2224*1234 =247*11111 - 2224*(12345 -1*11111) =2471*11111 - 2224*12345
这样它就将 a b 的线性组合就化简为 b 与 a % b 的线性组合。 a b 都在减小，当 b 减小到 0 时，我们就可以得出 p = 1 ,q = 0
然后递归回去就可以求出 最终的 p ,q 了
扩展的欧几里德算法
(s*n)+(b*t)=gcd(n,b)，如果b的乘法逆存在，则gcd(n,b)=1 r1←n;r2←b; t1←0;t2←1; 如果r2>0
人们认为 f(x) 是一个从Zn到Zn的单向函数
5.公钥算法的特点
公开密钥算法设计需要有以下基本要求：
加密与解密由不同的密钥完成；
知道加密算法，从加密密钥得到解密密钥在计算上是不可行的；
两个密钥中任何一个都可以作为加密而另一个用作解密。
6.公钥密码算法
除RSA算法以外，建立在不同计算问题上的其他公钥密码算法 有：
基于因子分解问题的Rabin算法； 椭圆曲线公钥算法； 基于有限域中离散对数难题的ElGamal公钥密码算法 基于代数编码系统的McEliece公钥密码算法； 基于“子集和”难题的Merkle-Hellman Knapsack（背包）公钥密码算
法；
目前被认为安全的Knapsack型公钥密码算法Chor-Rivest。
基本思想
数论简介 RSA算法 椭圆曲线密码体制
2
3 4
4.1基本思想
1.背景
对称密钥编码所面临的难题
密钥分配：通信密钥太多，管理和分发困难。 数字签名和认证。
密码体制上的突破
Diffie & Hellman, “New Direction in Cryptography”, 1976。 首次公开提出了“公开密钥密码编码学”的概念。
gcd( a, b) gcd(b, a modb) 据： 。
描述如下：
a, b Z ， （1）输入 a 和 b ，其中， a, b 0 ，a b ；
（2）如果 b 0 则依次完成： r a modb, a b, b r ，否则返回 a； （3）输出gcd(a, b) r 。
{
q←r1/r2; r ←r1-q*r2; r1 ←r2;r2 ←r; t ←t1-q*t2; t1 ←t2;t2 ←t;
} 如果(r1=1)，那么b-1 ←t1
用扩展的欧几里德算法求乘法逆元
gcd(11111,12345)
12345=1*11111+1234 11111=9*1234+5 1234=246*5+4 5=1*4+1 4=4*1+0
78 ≡49 ≡11mod 19
则a+b≡a1+b1(mod n)，ab≡a1b1(mod n)
Fermat定理
若p素数，a是整数且不能被p整除，则: ap-1 1 mod p 推论: p素数，a是任意整数，则: ap a mod p 例：计算718 mod 19
a=7, p=19
72=49≡11mod19
74 ≡121 ≡7mod 19
这是一个与对称密码编码截然不同的方案。
提出公开密钥的理论时，其实用性并没有又得到证明：
当时还未发现满足公开密钥编码理论的算法； 直到 1978 年，RSA 算法的提出。
2.基本特征
加密和解密使用两个不同的密钥
公钥PK：公开，用于加密，私钥SK：保密，用作解密
密钥
一个密钥加密的数据只能用另一个密钥解密
被称为单向函数。 f ( x)
常用单项函数
大整数分解（简称IFP）； 离散对数问题（简称DLP）；
多项式求根
菲-赫尔曼问题 二次剩余问题
单向陷门函数
对于一个单向函数 f ( x) ，如果其逆函数 f 1 ( y) 在已知某些
辅助信息的情况下容易求解得出，则称该单向函数 f ( x) 为
a f( n ) 1 mod n
等价形式：
a
f ( n) +1
a mod n
欧拉定理推论： 有两个素数 p 和 q, 令 n = pq , 对任意整数 t 和a (0<a<n), 有下列等式成立：
a tφ(n) +1 = a mod n
其中：φ(n) = (p-1)(q-1)。
4.同余式性质
（1）a≡b(mod n) iff a mod n=b mod n。 （2）反身性：a≡a(mod n)。 （3）对称性：如果a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)。
（4）传递性：如果a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，
则a≡c(mod n)。
（5）如果a ≡a1(mod n)，b=b1(mod n)，
同余式 ：设n是一个正整数，a, b Z 如果 a mod n b mod n， 则称a和b模n同余，记作：a b(modn) ，称整数n为同余模。
加法逆元：设a Z n ，如果存在 x Z n 满足 x a 0(modn)，则称 x是a的模n加法逆元。
乘法逆元：设 a Z n ，如果存在 x Z n 满足 ax 1(modn) ，则称
定义：如果整数p(p>1)只能被1或者它本身整除，而不能被其他整
数整除，则其为素数，否则为合数。 素数定理：
设 ( x)是小于x的素数的个数,则 x ( x) ( x) , 且当x , 1 x ln x ln x
在各种应用中，我们需要大的素数 ,如100位的素数
素数是构成整数的因子，每一个整数都是由一个或几个素数的不
公钥密码学要解决的问题
公钥密码学的概念是为了解决传统密码中最 困难的两个问题而提出的：
（1）密钥分配问题 （2）数字签名问题
4.公钥密码算法基础
单向函数
对于一个函数
f ( x，如果对于其定义域上的任意 ) x， f ( x)都容易计算，同时，
1 都是不可行的，则 f ( y)
对于其值域中几乎所有的取值 y ，计算其逆函数 函数
时间复杂度为 O((lgn) )。
2
用欧几里德算法求最大公约数。
求：gcd(482,1180)
1180=2*482+216
482=2*216+50
216=4*50+16
50=3*16+2 16=8*2+0
所以gcd(482,1180)=2
扩展的欧几里德算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b。求解一组p，q，使得
单向陷门函数。
构造公钥密码系统的关键是如何在求解某个单向函数的逆函 数的NP完全问题中设置合理的“陷门”。
单向函数举例
例1：y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 例2：设n是两个大素数p和q的乘积，b是一个正整数，对
x∈Zn ，令 f(x)≡xb(mod n)，即 f(x) 等于被n除所得的余数，
缺点：公共密钥系统的主要弱点是加密和解密速度慢。
实际应用中的加密方式
混合加密技术
对称密码体制：密钥分发困难
公钥体制：加解密效率低
将对称加密算法的数据处理速度和公钥算法对密钥的保
密功能相结合
利用对称加密算法加密传输数据
利用非对称加密算法交换会话密钥
实际应用中的加密方式
举例：假设Alice与Bob进行保密通信，过程如下：
数为k=2,求明文m=30 所对应的密文 （2） 如果用相同的k=2 加密另外一个明文m，加密后的密文为 C= （49，13），求m 4、椭圆曲线y2mod p=(x3+ax+b)mod p，其中a=1, b=1, p=23。取 曲线上的P=(3,10), Q=(9,7)，分别计算P+Q和2P
主要内容
密 文 传 输 因特网
Alice Bob
Bob的公钥
Bob私钥
会话密钥
对称密码和公钥密码
对称密码
一般要求 ① 加密和解密使用相同的密钥 ② 收发双方必须共享密钥
公钥密码
一般要求 ① 同一算法用于加密和解密，但加 密和解密使用不同密钥 ② 发送方拥有加密或解密密钥，而 接收方拥有另一密钥
安全性要求
① 密钥必须是保密的 ② 若没有其他信息，则解密消息是 不 可能或至少是不可行的 ③ 知道算法和若干密文不足以确定 密钥
安全性要求
① 两个密钥之一必须是保密的 ② 若没有其他信息，则解密消息是 不可能或至少是不可行的 ③ 知道算法和其中一个密钥以及若 密文干不足以确定另一密钥
有关公钥密码的几种常见误解
从密码分析的角度看，公钥密码比传统密码更安全。 公钥密码是一种通用的方法，传统密码已经过时。 传统密码中与密钥分配中心的握手是一件异常麻烦的事情， 与之相比，用公钥密码实现密钥分配则非常简单。
p* a+q * b = Gcd(a, b)。
原理：
Gcd(a, b) = Gcd(b,a%b)
所以p * a+q * b = Gcd(a, b) = Gcd(b,a%b) = p * b + q * a % b
= p * b +q * (a – a / b * b) = q * a + (p – a / b*q) * b
x是a的模n乘法逆元，记为 a-1 (mod n)。
整除：设整数a和b，如果存在整数k，使b=ak，则说b能被a整
除，记作：a|b。例：3|15，-15|60
整除性质：
对所有整数a≠0， a|0、 a|a成立 对任意整数b， 1|b成立
2.欧几里德（Euclidean）算法
一个用于计算两个整数的最大公因子的有效算法 ，算法依
Alice
加密
因特网
Bຫໍສະໝຸດ Baidub私钥
解密
Bob的公钥
Bob
3.优点
密钥管理
加密密钥是公开的；
解密密钥需要妥善保存； 在当今具有用户量大、消息发送方与接收方具有明显的信息不对称
特点的应用环境中表现出了令人乐观的前景。
新用户的增加只需要产生一对公共/私有密钥。
数字签名和认证
只有解密密钥能解密，只有正确的接收者才拥有解密密钥。
4.2 数论简介
1. 数论相关术语
最大公因子：任意有限个整数 a1 , a2 , , an 的公因子中的最大
gcd( a1 , a2 , , an ) 。 一个。必然存在并且惟一，记为
最小公倍数：任意有限个整数 a1 , a2 , , an的公倍数中的最小
一个 。必然存在并且惟一，记为 lcm(a1 , a2 , , an ) 。
11111x(mod12345)=1
扩展欧几里德算法求乘法逆元11-1mod26
q
2 2 1 3
r1
26 11 4
r2
11 4 3
r
4 3 1 0
t1
0 1 -2
t2
1 -2 5
t
-2 5 -7 26
3
1
1
0
5
-7
-7
26
所以，11的乘法逆元是（-7）mod26=19
素数(prime number)
欧拉函数φ(n)：表示小于 n 且与 n 互素(包括公因子1)的
正整数的个数；
欧拉函数的性质：
对任意素数 p，有 对任意两个素数
φ(p) = p – 1；
p、q，则对 n = pq 有：
φ(n) = φ(pq) = φ(p)φ(q) = (p–1)(q–1)
欧拉定理
如a 和 n 是互素的整数，则有：
同次幂相乘得来的。
互
(1) d整除m和n，即d|m，d|n; (2) 若d’|m且d ’|n，则d ’|d。
素
设m，n是两个整数，如果正整数d满足：
则称 d 是 m 与 n 的最大公因数，记为d = (m，n)。若(m， n)=1，则称 m 与 n 互素。
3.欧拉函数
欧拉函数（Euler’s totient function）
公钥密码技术
1
习 题
1、设n=91，e=5,根据RSA算法加密明文m=3，计算出密文。给
出计算详细步骤。
2、设n=35，e=5, 试设计一个具体的RSA公开密码体制, 并求密 文c=10的原文。
习 题
3、在ElGamal 密码体制中，设素数p=71，本原根g=7
（1）如果接收方 B 的公开钥是yB = 3 ，发送方A 选择的随机整
等价于求解二元一次不定
方程11111x+12345y=1
的整数解
1=5-1*4=5-1*(1234-246*5)=247*5-1*1234 =247*(11111 - 9*1234) -1*1234 =247*11111 - 2224*1234 =247*11111 - 2224*(12345 -1*11111) =2471*11111 - 2224*12345
这样它就将 a b 的线性组合就化简为 b 与 a % b 的线性组合。 a b 都在减小，当 b 减小到 0 时，我们就可以得出 p = 1 ,q = 0
然后递归回去就可以求出 最终的 p ,q 了
扩展的欧几里德算法
(s*n)+(b*t)=gcd(n,b)，如果b的乘法逆存在，则gcd(n,b)=1 r1←n;r2←b; t1←0;t2←1; 如果r2>0
人们认为 f(x) 是一个从Zn到Zn的单向函数
5.公钥算法的特点
公开密钥算法设计需要有以下基本要求：
加密与解密由不同的密钥完成；
知道加密算法，从加密密钥得到解密密钥在计算上是不可行的；
两个密钥中任何一个都可以作为加密而另一个用作解密。
6.公钥密码算法
除RSA算法以外，建立在不同计算问题上的其他公钥密码算法 有：
基于因子分解问题的Rabin算法； 椭圆曲线公钥算法； 基于有限域中离散对数难题的ElGamal公钥密码算法 基于代数编码系统的McEliece公钥密码算法； 基于“子集和”难题的Merkle-Hellman Knapsack（背包）公钥密码算
法；
目前被认为安全的Knapsack型公钥密码算法Chor-Rivest。