工程制图-立体投影及表面交线

4.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边 形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的 问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线 与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
（2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓 转向点、曲线特征点和结合点四种。
（３） 根据需要求出若干个一般点。
（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并 擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。
例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。
(1) 圆柱的投影
(2)
圆柱表面上取点 ( )
c”
(D)
C B
A
2. 圆 锥
圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它 相交的轴线旋转而成。
(1) 圆锥的投影
(2) 圆锥表面上取点
辅助素线法
辅助圆法
3. 圆 球
球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线 旋转而成。
(1) 圆球的投影
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线
截平面垂直于轴线， 交线为 圆
截平面倾斜于轴线， 交线为 椭圆
平面与圆柱的截交线
两条平行直线
垂直于轴线的圆
椭 圆
例4 求斜切圆柱的截交线
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆；
1' 5‘6' 3‘(4‘) 7'8' 2' 8 2 8" 4" 6"
2 "
4 "3 " 5 "
4 求一般点Ⅳ、Ⅴ；
2
4 5 3
1
5 顺次连接各点，并判别 可见性； 6 整理轮廓线。
4.3.3
相贯线的特殊情况
两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线， 但特殊情况下可能是平面曲线或直线。
两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆
1’ 2’(3’) 6’
1”
3”
4’(5’) 5” 6” 4”
2”
5
3
6 1 2 4
3. 平面与圆球相交
平面与圆球相交,截交线为 圆， 其投影为直线、圆或椭圆
例11
已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。
例12
求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。
例13
分析并想象出圆球穿孔后的投影
4.3
例7
求作物体相贯线的投影
本章小结
1.掌握立体的投影特性和作图方法及立体 表面上取点、取线的方法。 2.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球 相交，求表面交线的方法； 掌握截交线的性 质及求截交线的方法； 3.掌握两回转体表面相交时相贯线的性质 及用表面取点法、辅助平面法求两回转体相贯 线的原理、作图方法；掌握相贯可见性的判别 方法;了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。
圆
两条相交直线
椭圆
抛物线
双曲线
例8
已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影均为椭圆； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 3 求出一般点Ⅴ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
例9
求正平面与圆锥的截交线。
立体与立体相交
4.3.1 概 述 4.3.2 求作两曲面立体的相贯线 4.3.3 相贯线的特殊情况 4.1.1 组合相贯线
4.3.1 概 述
立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲 面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两 回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平 面曲线或直线。
例5
求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
例6
求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
y
c'
d e a g c h f b
y
2. 辅助平面法
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面 与两立体表面交线的投影为直线或圆。
例3
求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。
1'
1"
4'
3' 5'
PV2 PV1 PV3
2"
y y
4" PW2
PW1 3" PW3
5"
2'
2 5
1 4
y
3
y
例4 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。 PV QV a’ a” PW QW
3
y
4 整理轮廓线。
a
1 4
s
2
b
y
例3
求立体截切后的投影
6
6 5
3
（5）
1 2
4
4
1 2
（3）
Ⅵ Ⅴ
3 5 1 2 4 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4.2.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和 直线所围成的平面图形或多边形。
1. 平面与圆柱相交
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
df h b g a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
1" 5"
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ；
3 求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
Ⅵ
Ⅰ
4
6 1
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
两圆锥共锥顶相贯线 为相交两直线
两圆柱轴线平行相贯线 为平行两直线
4.3.4
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
第4章 立体的投影及表面交线
4.1 基本体的投影
4.2 平面与立体相交 4.3 立体与立体相交
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4.1 基本体的投影
4.1.1 三面投影与三视图 4定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
4.1.1 三面投影与三视图
Z
主视图
3
2 a
4.1.3 曲面立体
圆柱
圆锥
圆球
表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立 体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成， 运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素 线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。
1. 圆 柱
圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直 线绕与它相平行的轴线旋转而成。
a " b "
a' d' c' e'
b'
d" e" c"
y
y
a c
b
y d
e
y
圆柱表面交线的三种情况
两外表面相交
外表面与内表面相交
两内表面相交
两正交圆柱相贯线的变化趋势
例2
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 e' a' g' h' d' f' b' d" e“(f “) a“(b“) g“(h“) c“
求圆柱与圆锥斜交的相贯线
解题步骤
1 分析 圆 柱与圆锥轴 线斜交，相 贯线的三个 投影均未知 ，可利用辅 助球面法求 共有点；
步骤1
2 '
3 ' 1 '
2 " 3 " 1 "
作图步骤 2 求特殊点Ⅰ、Ⅱ，其 中Ⅱ点也是最大辅助球 面上的点 3 求小辅助球面上的点Ⅲ