立体及其表面交线的投影知识

如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
1.2 棱锥
1. 棱锥的投影
圆柱表面上的点
在图3-3(b)中，圆柱面上有两点M和N，已知其正 投影m′和n′，求另外两投影。由于点N在圆柱的转向轮 廓线上，其另外两投影可直接求出；而点M可利用圆 柱面有积聚性的投影，先求出点M的水平投影m，再由 m和m′求出m″。点M在圆柱面的右半部分，故其侧面 投影m″不可见。
2.2 圆锥 1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而
立体及其表面交线的投影
1 平面立体 2回转体 3截交线 4相贯线
1 平面立体
1.1 棱柱 1. 棱柱的投影 如图3-1(a)所示的正六棱柱，其顶面、底面均为水
平面，它们的水平投影反映实形，正面和侧面投影积 聚为一直线。棱柱有六个侧面，前后为正平面，其正 面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。 棱柱的其他四个侧面均为铅垂面，水平投影积聚为直 线，正面投影和侧面投影为类似形。
2.3 圆球 1. 圆球面的形成 圆球面是由一圆母线以它的直径为回转轴旋转形成
的。
2. 圆球的投影 圆球面的三个投影是圆球上平行于相应投影面的三 个不同位置的最大轮廓圆。正面投影的轮廓圆是前、后 两半球面的可见与不可见的分界线；水平投影的轮廓圆 是上、下两半球面的可见与不可见的分界线；侧面投影 的轮廓圆是左、右两半球面的可见与不可见的分界线。 如图3-5所示。
2回转体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的回转体 有圆柱、圆锥和圆球等。
2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
成的。圆柱体由圆柱面和顶面、底面组成。 2. 圆柱的投影 圆柱的顶面、底面是水平面，正面和侧面投影积
作图时，先画出棱锥底面的各个投影，再作出锥 顶的各个投影，然后连接各棱线，并判别可见性。
2. 棱锥表面上的点 如果点在棱线上，则可利用点在直线上，其投影 必定在该直线的同面投影上求得。如果点所在的平面 具有积聚性，则可利用积聚性直接求得。如果点所在 的平面为一般位置平面，可通过在该平面上作辅助线 的方法求得。
图3-1 正六棱柱
图3-1 正六棱柱
直棱柱的投影特点：一个投影为多边形，反映棱 柱的形状特征，另外两个投影是由矩形（实线和虚线） 组成的矩形线框。
作图时，先画反映棱柱形状特征的投影——多边形， 再根据棱柱的高作出其他两个投影。
2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。
2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
图3-4 圆锥
例如，已知棱锥表面上M点的正面投影m′，求水平、 侧面投影m、m″。由于m′是可见的，因此该点在一般 位置平面——棱面SAB上，可过锥顶S和M点作一辅助线 SⅡ，然后，在s2上求出M点的水平投影m，再根据m、 m′求出m″。又例如，已知N点的水平投影n，由于n是 可见的，因此，N点在侧垂面△SAC上，n″必定在s″a″ （c″）上，由n、n″可求出（n′），如图3-2(b)所示。
图3-4 圆锥
圆锥表面上的点
转向轮廓线上的点由于位置特殊，作图较为简单。 如图3-4(b)所示，在最左素线SA上的一点M，只要已 知其一个投影（如已知m′），其他两个投影（m、m″） 即可直接求出。但是在圆锥面上的点K，只能用间接 的方法——作辅助线，才能由一已知投影求出另外两个 投影。
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点K的其他 两个投影。可用辅助圆法作图，即过点K在锥面上作一 水平辅助纬圆，该圆与圆锥的轴线垂直，点K的投影必 在纬圆的同பைடு நூலகம்投影上。作图时，先过k′作平行于X轴的 直线，它是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求出k″。因 点K在锥面的右半部，所以k″不可见。
如图3-2(a)所示的正三棱锥，锥顶为S，其底面 △ABC为水平面，水平投影△abc反映实形。棱面 △SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各个投影均 为类似形，棱面△SAC为侧垂面，其侧面投影s″a″（c″） 积聚为一直线。
图3-2 正三棱锥
图3-2 正三棱锥
棱锥的投影特点：一个投影为由三角形组成的多 边形线框，外形轮廓反映底面实形，另外两个投影为 由三角形（实线和虚线）组成的三角形线框。
图3-5 圆球
图3-5 圆球
圆球表面上的点
已知圆球面上点A、B、C的正面投影a′、b′、c′，求 各点的其他投影，如图3-5(b)所示。因a′为可见，且在平 行于正面的最大圆上，故其水平投影a在水平对称中心线 上，侧面投影a″在垂直对称中心线上；b′为不可见，且在 垂直对称中心线上，故点B在平行于侧面的最大圆的后半 部，可由b′先求出b″，最后求出b。以上两点均为特殊位 置点，可直接作图求出其另外两投影。由于点c在球面上 不处于特殊位置，故需作辅助纬圆求解。
聚为一直线，由于圆柱的轴线垂直于水平面，圆柱面 的所有素线都垂直于水平面，故其水平投影积聚为圆， 如图3-3所示。
图3-3 圆柱
图3-3 圆柱
在圆柱的正面投影中，矩形的两条竖线分别是圆 柱的最左、最右素线的投影，即圆柱面前后分界线 （转向轮廓线）的投影。它们把圆柱面分为前后两半， 圆柱面投影前半部可见，后半部不可见，这两条素线 是可见与不可见的分界线。在圆柱的侧面投影中，矩 形的两条竖线分别是圆柱的最前、最后素线的投影， 即圆柱面左右分界线（转向轮廓线）的投影。矩形的 两条水平线，分别是圆柱顶面和底面的积聚性投影。