第三节 立体表面交线的投影
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第三章 立体及其表面交线的投影
1．当圆柱直径相等且轴线正交时，相贯线为椭圆。 若椭圆平面垂直于某一投影面，则相贯线在该投影 面上的投影积聚为直线
单击立体模型区可观看三维动画
2．具有公共轴线的回转体相交，或当回转 体轴线通过球心时，其相贯线为垂直于轴 线的圆。
例2：补全主视图
●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ● ● ●
●
●
★ 外形交线
二、回转体的截交线
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ⒈ 求截交线的方法：
求截平面与回转体表面的共有点。
⒉ 求截交线的步骤： 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明 确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。
一、平面体表面的截交线
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
k
k
圆的半径？
k
辅助圆法
3.4 平面与立体表面相交——截交线
用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的性质：
单击立体模型区可观看三维动画
2．具有公共轴线的回转体相交，或当回转 体轴线通过球心时，其相贯线为垂直于轴 线的圆。
例2：补全主视图
●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ● ● ●
●
●
★ 外形交线
二、回转体的截交线
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ⒈ 求截交线的方法：
求截平面与回转体表面的共有点。
⒉ 求截交线的步骤： 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明 确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。
一、平面体表面的截交线
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
k
k
圆的半径？
k
辅助圆法
3.4 平面与立体表面相交——截交线
用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的性质：
第三章立体表面交线投影3-3
学习内容教学方法任务实施（一）相贯线的性质1、相贯线的概念两个基本体相交（或称相贯），表面产生的交线称为相贯线。
本节只讨论最为常见的两个曲面立体相交的问题。
2、相贯线的性质：（1）相贯线是两个曲面立体表面的共有线，也是两个曲面立体表面的分界线。
相贯线上的点是两个曲面立体表面的共有点。
（2）两个曲面立体的相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。
求两个曲面立体相贯线的实质就是求它们表面的共有点。
作图时，依次求出特殊点和一般点，判别其可见性，然后将各点光滑连接起来，即得相贯线。
（二）相贯线的画法两个相交的曲面立体中，如果其中一个是柱面立体（常见的是圆柱面），且其轴线垂直于某投影面时，相贯线在该投影面上的投影一定积聚在柱面投影上，相贯线的其余投影可用表面取点法求出。
1、讲解例题（例3－8）如图3－21（a）所示，求正交两圆柱体的相贯线。
分析：两圆柱体的轴线正交，且分别垂直于水平面和侧面。
相贯线在水平面上的投影积聚在小圆柱水平投影的圆周上，在侧面上的投影积聚在大圆柱侧面投影的圆周上,故只需求作相贯线的正面投影。
出示模型辅助讲解。
a）立体图（b）3－21正交两圆柱的相贯线讲授法演示法任务实施边画图边讲解作图方法与步骤。
2、相贯线的近似画法相贯线的作图步骤较多，如对相贯线的准确性无特殊要求，当两圆柱垂直正交且直径有相差时，可采用圆弧代替相贯线的近似画法。
如图3－22所示，垂直正交两圆柱的相贯线可用大圆柱的D/2为半径作圆弧来代替。
图3-22 相贯线的近似画法3、两圆柱正交的类型两圆柱正交有三种情况：（1）两外圆柱面相交；（2）外圆柱面与内圆柱面相交；（3）两内圆柱面相交。
这三种情况的相交形式虽然不同，但相贯线的性质和形状一样，求法也是一样的。
如图3－23所示。
出示模型辅助讲解。
（a）两外圆柱面相交（b）外圆柱面与内圆柱面相交讲授法演示法（c）两内圆柱面相交图3－23两正交圆柱相交的三种情况（三）相贯线的特殊情况两曲面立体相交，其相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况下也可能是平面曲线或直线。
第3章 基本立体及其表面交线的投影
3.4.5 相贯线的特殊情况
1. 具有公共回转轴的两回转体相贯——相贯线为垂直于公共 回转轴线的圆
相贯线
相贯线
相贯线
图 具有公共回转轴的两回转体相贯
2. 轴线相互平行的两圆柱相贯，或共锥顶的两圆锥相贯—— 相贯线为直线
3. 具有公共内切球的两曲面立体相贯——相贯线为椭圆
图 轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯
– 截交线的形状取决于立体的形状、截平面与立体的相 对位置。
• 求法： – 棱线法：求各棱线与截平面的交点； – 棱面法：求棱面与平面的交线
截平面 截断面 截交线
截交的基本概念
例题2：求正四棱锥的截交线及其形体的投影
s'
s''
Pv
s
步骤：
（1）分析正四棱锥在三 面投影体系中的摆放位置 和投影方式；
方法2：本例题，通过求过△SAD平面上过点E的SE线
求得。
s'
s"
e" f" c' d" a"c" b"
s c
b
§3.1.2 平面立体截交线的投影
• 定义：立体被一个平面所截的交线称为截交线。 • 截交线的性质：
– 截交线是立体和截平面的共有线； – 一定是封闭的多边形，每一边代表截平面与立体上一
个表面的交线；
（2）分析截平面P的形 状以及与立体得位置关系 ，判定截交线的形式和走 向；
（3）利用棱线法求截交线。 交点为特殊位置平面P与四条 棱线的交点；V面投影已知；
（4）按照顺序连接同面投影 ，得截交线
s'
Pv
4'
2'3'
工程制图第03章基本立体及其表面交线的投影
4）因侧表面AA1BB1的W投影为可见，故k″也为可见。
a′
c′ b′
c〞 a〞 b〞
C V
A
W B
C1
K
B1
A1
bb1
aa1 k
H
k′
a1′
(c1′ )
c (c1 )
k〞
b1′
c1〞 a1〞 Y2 b1〞
Y2
a (a1) k
b (b1)
例2 在三棱柱表面上有点M，已知点M 的H 投影m，求作 它的另外两投影m′、m〞。
b1′
c1〞 a1〞 Y3 b1〞
c (c1 )
m
a (a1)
b (b1)
Y3
正六棱柱由顶面、底面和六个 侧面组成。
其中顶面和底面是互相平行的 正六边形，六个侧面都是相同 的长方形并与顶面、底面相垂 直。
六个侧面中每相邻两个侧面相 交产生一条交线，称为棱线。
六个侧面形成互相平行且垂直 于顶面和底面的六条棱线。
左右
Z
左右
a′
上
下
c′ b′
c〞 a〞 b〞 上 下
a1′
(c1′ )
b1′ c1〞 a1〞
X
O
后
c (c1)
前
a (a1)
b (b1)
左右
YH
b1〞
YW
2) 投影图之间的位置关系
H投影反映物体前、后和左、右的位置关系； 投影规律适用于 V投影反映物体上、下和左、右的位置关系； 所有物体的投影
W投影反映物体上、下和前、后的位置关系。
求出辅助线SD的H、W投影sd、s″d″，则点Ｋ的H、W投影k、k″ 必在sd、s″d″上。
s′
V S
a′
c′ b′
c〞 a〞 b〞
C V
A
W B
C1
K
B1
A1
bb1
aa1 k
H
k′
a1′
(c1′ )
c (c1 )
k〞
b1′
c1〞 a1〞 Y2 b1〞
Y2
a (a1) k
b (b1)
例2 在三棱柱表面上有点M，已知点M 的H 投影m，求作 它的另外两投影m′、m〞。
b1′
c1〞 a1〞 Y3 b1〞
c (c1 )
m
a (a1)
b (b1)
Y3
正六棱柱由顶面、底面和六个 侧面组成。
其中顶面和底面是互相平行的 正六边形，六个侧面都是相同 的长方形并与顶面、底面相垂 直。
六个侧面中每相邻两个侧面相 交产生一条交线，称为棱线。
六个侧面形成互相平行且垂直 于顶面和底面的六条棱线。
左右
Z
左右
a′
上
下
c′ b′
c〞 a〞 b〞 上 下
a1′
(c1′ )
b1′ c1〞 a1〞
X
O
后
c (c1)
前
a (a1)
b (b1)
左右
YH
b1〞
YW
2) 投影图之间的位置关系
H投影反映物体前、后和左、右的位置关系； 投影规律适用于 V投影反映物体上、下和左、右的位置关系； 所有物体的投影
W投影反映物体上、下和前、后的位置关系。
求出辅助线SD的H、W投影sd、s″d″，则点Ｋ的H、W投影k、k″ 必在sd、s″d″上。
s′
V S
第三章 立体的投影及表面交线PPT课件
(3')1'
3"
1"
2' (4') 5'
(4) 3
4"
2" 5"
Ⅲ
ⅣⅠ ⅡⅤ
1 (2) 5
图4-10 圆柱体开出一方槽的投影
32
③判断可见性，连线、加深
(3')1' 2' (4') 5'
(4) 3
3"
1"
4"
2" 5"
Ⅲ
ⅣⅠ ⅡⅤ
1 (2) 5
图4-12 圆柱体开出一方槽的投影
33
④检查、完成。
4״
7 ׳5 ׳6׳
5״ 6״
7״
5 7
6
3 1
2 4
19
我们采用的是 哪种解题方法？
积聚法！
20
例2：补全被截切六棱柱的水平投影和侧面投影
1’ 2’(3’)
4’(5’) 6’(7’)
1”
3”
2”
5”
4”
6”
7”
注意：
6
要逐个截平面分析和绘
制截交线。当平面体只有局
7
部被截切时，先假想为整体
常
平面
见 基本体
的
基
本
几
曲面
何 基本体
体
6
一、平面基本体
1.棱柱
⑴ 棱柱的组成
A
由两个底面和几个侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
(B)
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图 ⑶ 棱先画柱反面映上底面取形点状的视图。
机械制图3_立体表面交线的投影作图
例2、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的 水平投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
（32）依确次定连截接交各线点与的转水向平轮投廓影线。的交点。
2’
2’
1’
3 5’6’’
4’
1’
3 5’6’’
4’
64
1
2
53
平面与球相交
64
1
2
53
2 4
3 1
2’
3 5’ ’ 4’
6’ 1’
2’
3’ 5’ 4’ 1’ 6’
两个侧平面截圆球的截交线的投 影，在侧视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4 组合的截交线
首先分析其由哪些基本回转体组成以及它们的连
接关系，然后分别求出这些基本体的截交线，并
依次将其连接。
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
●
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截
交线的另外两个投影。
• 用辅助平面法。 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、 大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影 的特点，从而选择适当的方法作图。
3、作图步骤
（1）先作出特殊点的投影。 （2）求作一般点 （3）光滑连接各点
回转体相贯的三种基本形式
两外表面相贯
外表面与内表面相贯
64
64
1
2
1
2
53
53
平面与球相交
2 4
3 1
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●●
●
●●
●
●
3-4相贯线的投影作图
第三章 立体表面交线的投影作图
§3－3 相贯线的投影作图
01 预习检测
什么是相贯线？ 两回转体相交，常见的是圆柱与圆柱相交、圆锥与 圆柱相交以及圆柱与圆球相交，其交线称为交 *二、圆锥与圆柱相交 三、相贯线的特殊情况 四、综合举例
02 新课讲授 一、圆柱与圆柱相交
相交两圆锥共顶的相贯线——直线
03 巩固提高
四、综合举例 【例3－12】已知相贯体的俯、左视图，求作主视图。
图3－32 已知俯、左 视图，求作主视图
04 评价总结
在实例中，我们可看出无论是相贯还是穿孔， 相贯线的形式是一样的，求法也是一样的。
• 本节课的重点：两圆柱表面相交其交线的求法。 • 本节课的难点：相贯线上共有点的确定。
【例3－10】两个直径不等的圆柱正交，求作相贯 线的投影。
解题步骤
02 新课讲授
圆柱穿孔后相贯线的投影
02 新课讲授
两圆柱正交时相贯线的变化
02 新课讲授
国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即以圆 弧代替非圆曲线。当轴线垂直相交且平行于正面的两个不等径圆柱 相交时，相贯线的正面投影以大圆柱的半径为半径画圆弧即可。
02 新课讲授 *二、圆锥与圆柱相交
【例3－11】求作圆台和圆柱轴线正交的相贯线投影。
解题步骤
02 新课讲授
三、相贯线的特殊情况
1．相贯线为平面曲线
同轴回转体的相贯线——圆
02 新课讲授
两回转体公切于一个球面的相贯线——椭圆
02 新课讲授
2．相贯线为直线
相交两圆柱轴线平行的相贯线——直线
02 新课讲授
05 任务布置
【例3－13】求作半球与两个圆柱三体相交的相贯线的投影。
§3－3 相贯线的投影作图
01 预习检测
什么是相贯线？ 两回转体相交，常见的是圆柱与圆柱相交、圆锥与 圆柱相交以及圆柱与圆球相交，其交线称为交 *二、圆锥与圆柱相交 三、相贯线的特殊情况 四、综合举例
02 新课讲授 一、圆柱与圆柱相交
相交两圆锥共顶的相贯线——直线
03 巩固提高
四、综合举例 【例3－12】已知相贯体的俯、左视图，求作主视图。
图3－32 已知俯、左 视图，求作主视图
04 评价总结
在实例中，我们可看出无论是相贯还是穿孔， 相贯线的形式是一样的，求法也是一样的。
• 本节课的重点：两圆柱表面相交其交线的求法。 • 本节课的难点：相贯线上共有点的确定。
【例3－10】两个直径不等的圆柱正交，求作相贯 线的投影。
解题步骤
02 新课讲授
圆柱穿孔后相贯线的投影
02 新课讲授
两圆柱正交时相贯线的变化
02 新课讲授
国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即以圆 弧代替非圆曲线。当轴线垂直相交且平行于正面的两个不等径圆柱 相交时，相贯线的正面投影以大圆柱的半径为半径画圆弧即可。
02 新课讲授 *二、圆锥与圆柱相交
【例3－11】求作圆台和圆柱轴线正交的相贯线投影。
解题步骤
02 新课讲授
三、相贯线的特殊情况
1．相贯线为平面曲线
同轴回转体的相贯线——圆
02 新课讲授
两回转体公切于一个球面的相贯线——椭圆
02 新课讲授
2．相贯线为直线
相交两圆柱轴线平行的相贯线——直线
02 新课讲授
05 任务布置
【例3－13】求作半球与两个圆柱三体相交的相贯线的投影。
第三章 立体的投影及立体表面的交线
例2 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。 此种截交线为一椭 圆。由于圆锥前后对称，故 椭圆也前后对称。椭圆的长 轴为截平面与圆锥前后对称 面的交线——正平线，椭圆 的短轴是垂直与长轴的正垂 线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线 平面与圆锥相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
2.棱柱表面上的取点
二、棱锥
1.棱锥的投影
2.棱锥表面上取点
方法1：
方法2：
3－2 曲面立体的投影
一、圆柱体
1.形成原因和投影分析
圆柱体的投影
2.圆柱体面上取点
二、圆锥体
1. 形成原因和投影分析
2. 圆锥面上的取点
例题
方法1：直素线法
方 法2：辅助纬圆法
过点A在锥面上做一水平辅助圆，该圆与圆锥的轴线垂直，称 此圆为纬圆。
第三章 立体的投影及立体表面的交线
3－1 平面立体的投影 3－2 曲面立体的投影 3－3 平面与立体的截交线 3－4 相贯体的投影
3－1 平面立体的投影
画平面立体的投 影就是画出组成平面 立体各表面及各棱线 的投影，并将可见的 棱线的投影画成粗实 线，不可见的棱线的 投影画成虚线。
一、棱柱
1.棱柱的投影
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平 投影和侧面投影。 s” s’ Pv 3’ (1) 求Pv与s’a’、s’b’、s’c’ 3” 2’ 2” 的交点1’、2’、3’为截平 面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、 1’ Ⅲ的正面投影。 1”
a’
b’
c’
c”
a”
b”
(2) 根据线上取点的方法， 求出1、2、3和1”、2”、 3”。
制图基础-第3节立体的三视图
例:圆锥被正平面截切，补全主视图。
3′
●
● 4′
●
5′
●
●
1′
2′
1●
●
4
3
●
●
●
52
3
●
●
4 (5 )
●
1 (2 )
截交线的空 间形状？ 截交线的投 影特性？
Ⅲ Ⅳ ⅤⅡ
Ⅰ
3.平面与圆球相交
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线 的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
作图的关键是确定截交圆弧的半 径，可根据截平面位置确定。
1、通槽的水平投影作图：过槽 底部作辅助水平面，水平投影为 圆，并在圆周上截取与正面投影 相对应的前后两段圆弧。
2、通槽侧面投影的作图：两侧平 面距球心等远，两圆弧的半径相 等，两段圆弧的侧面投影重合。
四、两回转体表面的相交
两回转体的相交叫相贯， 相交两立体的表面交线叫相 贯线。
已知：正面投影上的n' 、m'
的投影，求其它两面的投影。
分析：m'为可见，在前半圆 柱面上，n' 为不可见，在后半 圆柱面上。其水平投影积聚在 圆周上，先求出m、n，再求m"、 n"。
2.圆锥 圆锥是由圆锥面和底面所围成的立体。圆锥面 是一直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。
母线
回转轴
（1）投影分析
截平面为平 行面，在所平 行的投影面上 的投影为截交 线圆的实形。
截平面为垂直面，在所垂 直的投影面上，截交线的投影 为直线。在其它投影面上截交 线的投影为椭圆。
例：求作带切口槽的半球三视图。
分析：半球的通槽由三个平面构成， 一个水平面和两个侧平面截切圆球， 它们与球面的截交线都是分别平行 于投影面的圆弧。
第3章 立体及交线的投影x1.ppt
两个基本体相交,其表面交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面 立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回 转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面 曲线或直线。
2 积聚性法求相贯线
两回转体相贯,其中一个是圆柱,且圆柱轴线垂直于某投影面 时,则该圆柱在此投影面上的投影积聚为圆,故可利用积聚性投影 和在已知曲面上取点的方法求得相贯线的投影.
3.2 立体表面的交线
3.2.1 平面立体的截交线 3.2.2 相贯线
截交线的概念
截交线
截平面
截切基本体的平面称为截平面，平面与立体相交在立体表面 产生交线称为截交线。
截交线的性质：1）是截平面和立体表面的共有线，截交线 上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又 在立体表面上。2）由于任何立体都有一定的空间范围，所 以截交线一定是封闭的线条，通常是一个平面多边形或平面 曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形。
s’
3 2 1
a’
a 1
b’
s3 2
b
y
s
3 2
1
c’ a(c) y
b
c
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
A B
例2 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
解题步骤
1 分析 截交线
4'
4"
的正面投影已知
，水平投影和侧
面投影未知；
1' a'
a1
4
2'
2 求出截交线上
(3‘ b'c' c"
3" y
1" 2" a" y
2 积聚性法求相贯线
两回转体相贯,其中一个是圆柱,且圆柱轴线垂直于某投影面 时,则该圆柱在此投影面上的投影积聚为圆,故可利用积聚性投影 和在已知曲面上取点的方法求得相贯线的投影.
3.2 立体表面的交线
3.2.1 平面立体的截交线 3.2.2 相贯线
截交线的概念
截交线
截平面
截切基本体的平面称为截平面，平面与立体相交在立体表面 产生交线称为截交线。
截交线的性质：1）是截平面和立体表面的共有线，截交线 上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又 在立体表面上。2）由于任何立体都有一定的空间范围，所 以截交线一定是封闭的线条，通常是一个平面多边形或平面 曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形。
s’
3 2 1
a’
a 1
b’
s3 2
b
y
s
3 2
1
c’ a(c) y
b
c
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
A B
例2 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
解题步骤
1 分析 截交线
4'
4"
的正面投影已知
，水平投影和侧
面投影未知；
1' a'
a1
4
2'
2 求出截交线上
(3‘ b'c' c"
3" y
1" 2" a" y
第四章 立体的投影
（6）根据三等关系作立体的其他两面投影。
第一节 平面立体的投影
例4-1 作四棱台的正投影图，如图4-5所示。
图4-5
四棱台的投影
第一节 平面立体的投影
解：(1)分析 1)四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、
右两棱面为正垂面。 2)上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投 影积聚为直线。 4)左、右两棱面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾 斜，投影为缩小的类似形。 5)四根斜棱线都是一般位臵直线，其投影都不反映实长。 (2)作图
方法来帮助求解。这种方法是先过已知点在立体表面作一辅助直线，求出 辅助直线的另两面投影，再依据点的“从属性”，求出点的各面投影。
例：在三棱锥的SAB棱面上给出了点M的正面投影m’，又在SBC棱面上给
出了点N的水平投影n。求点M的水平投影和N点的正面投影。
第一节 平面立体的投影
例：如图，已知三棱锥的三面投影及其表面上的线段EF的投影ef，求出线 段的其他投影。
当点位于立体表面的某条 棱线上时，那么点的投影 必定在棱线的投影上。即 可利用线上点的“从属性” 求解。
图4-6 三棱柱表面上定点
第一节 平面立体的投影
2.积聚性法：当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时， 那么点的投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。 例：如图，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点M，N的正面投 影 ，求出另外两面投影。
(1) 圆锥的投影特点
轮廓线的投影
(2) 圆锥可见性的判别—V面 曲面的可见 性的判断。
后半面 不可见
前半面 可见
(3) 圆锥可见性的判别—W面 曲面的可见 性的判断。
右半面 不可见 左半面 可见
03 基本立体及其表面交线的投影
X
后 前
a (a1)
c (c1 )
b (b1)
左
右
YH
1、度量关系：长对正、高平齐、宽相等。 2、位置关系：如图。
六棱 柱
空间分析
V YW
W
作图时，先画反映特征的水平投影，再 按投影规律完成其它两个投影。
a’’
六棱柱表面求点？
( b’ ) a’
b’’
b’’
b
作图分析:
b
a
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接 求出a和a``。 (2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性 求出b,再根据YH=YW,由b和b`求出b``。
一、利用积聚性求相贯线
柱柱相贯 两圆柱的轴线分别垂直于不同的投影面时，相交的两圆 柱的表面相对于投影面有积聚性。
我们只讨论: 两轴线垂直相交的两圆柱的相贯线.
例24. 试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。
分析：两个圆柱体的圆柱面 分别在俯视图和左视图上具 有积聚性，因此，它们的相 贯线投影也分别处于这两个 积聚圆上，找出这两个投影， 其主视图投影就很容易求出 了。
第三章
基本立体及其表面交线的投影
§3.1 平面立体的投影 §3.2 曲面立体的投影
§3.3 平面立体的截交线
§3.4 回转体的截交线
§3.5 回转体的相贯线
常 见 的 基 本 立 体
平 面 平面+平面 立 体
棱柱
棱锥
圆柱 曲 面 立 体
曲面+平面
圆锥
曲面+曲面
圆球
圆环
画立体的投影图时，规定： 可见的轮廓线画粗实线, 不可见的轮廓线画细虚线。
立体的投影及其表面交线
详细描述
辅助面法是一种常用的绘制立体投影的方法。通过选择与立体相切的辅助面，将立体置于辅助面上， 根据辅助面上的投影，再结合辅助面的位置和形状，绘制出立体表面交线。这种方法适用于具有复杂 形状的立体，特别是难以用坐标系法绘制的立体。
综合法
总结词
结合坐标系法和辅助面法，根据立体的 特点和需求，选择最合适的方法绘制立 体投影。
建筑设计
在建筑设计中，设计师可以使用立体投影法来展示建筑物的外观、内部结构和空间布局。这种方法有助于评估建筑设 计的可行性和美观性，并提供更好的建筑设计方案。
景观设计
在景观设计中，设计师可以使用立体投影法来展示景观的布局和设计效果。这种方法有助于评估景观设 计的可行性和美观性，并提供更好的景观设计方案。
建筑设计
在建筑设计中，通过正投影可以将建筑物的三维形态准确地表现在 二维图纸上，方便施工和规划。
动画制作
在动画制作中，通过中心投影可以得到逼真的立体效果，使动画更 加生动和真实。
02
立体的投影
正投影
01
02
03
定义
正投影是指平行投影光线 与投影面垂直时的投影方 式。
特点
正投影能够真实地反映物 体的形状和大小，且投影 图形相对简单。
这种方法有助于工程师和制造商更好地理解产品的工作原理和构造。
产品设计
外观设计
在产品设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品的外观和形状。这种方法有助于评 估产品的美观性和功能性，并在早期阶段发现潜在的问题和改进点。
结构设计
设计师可以使用立体投影法来展示产品的内部结构和组件关系。这种方法有助于优化产品 的结构和功能，提高产品的稳定性和可靠性。
人机交互设计
在人机交互设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品与人之间的交互方式和效果。 这种方法有助于评估产品的易用性和用户体验，并提供更好的交互设计方案。
辅助面法是一种常用的绘制立体投影的方法。通过选择与立体相切的辅助面，将立体置于辅助面上， 根据辅助面上的投影，再结合辅助面的位置和形状，绘制出立体表面交线。这种方法适用于具有复杂 形状的立体，特别是难以用坐标系法绘制的立体。
综合法
总结词
结合坐标系法和辅助面法，根据立体的 特点和需求，选择最合适的方法绘制立 体投影。
建筑设计
在建筑设计中，设计师可以使用立体投影法来展示建筑物的外观、内部结构和空间布局。这种方法有助于评估建筑设 计的可行性和美观性，并提供更好的建筑设计方案。
景观设计
在景观设计中，设计师可以使用立体投影法来展示景观的布局和设计效果。这种方法有助于评估景观设 计的可行性和美观性，并提供更好的景观设计方案。
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在建筑设计中，通过正投影可以将建筑物的三维形态准确地表现在 二维图纸上，方便施工和规划。
动画制作
在动画制作中，通过中心投影可以得到逼真的立体效果，使动画更 加生动和真实。
02
立体的投影
正投影
01
02
03
定义
正投影是指平行投影光线 与投影面垂直时的投影方 式。
特点
正投影能够真实地反映物 体的形状和大小，且投影 图形相对简单。
这种方法有助于工程师和制造商更好地理解产品的工作原理和构造。
产品设计
外观设计
在产品设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品的外观和形状。这种方法有助于评 估产品的美观性和功能性，并在早期阶段发现潜在的问题和改进点。
结构设计
设计师可以使用立体投影法来展示产品的内部结构和组件关系。这种方法有助于优化产品 的结构和功能，提高产品的稳定性和可靠性。
人机交互设计
在人机交互设计中，设计师可以使用立体投影法来展示产品与人之间的交互方式和效果。 这种方法有助于评估产品的易用性和用户体验，并提供更好的交互设计方案。
立体及其表面交线的投影知识.pptx
立体及其表面交线的投影 图3-5 圆球
立体及其表面交线的投影 图3-5 圆球
立体及其表面交线的投影
圆球表面上的点
已知圆球面上点A、B、C的正面投影a′、b′、c′，求 各点的其他投影，如图3-5(b)所示。因a′为可见，且在平 行于正面的最大圆上，故其水平投影a在水平对称中心线 上，侧面投影a″在垂直对称中心线上；b′为不可见，且在 垂直对称中心线上，故点B在平行于侧面的最大圆的后半 部，可由b′先求出b″，最后求出b。以上两点均为特殊位 置点，可直接作图求出其另外两投影。由于点c在球面上 不处于特殊位置，故需作辅助纬圆求解。
立体及其表面交线的投影
圆柱表面上的点
在图3-3(b)中，圆柱面上有两点M和N，已知其正 投影m′和n′，求另外两投影。由于点N在圆柱的转向轮 廓线上，其另外两投影可直接求出；而点M可利用圆 柱面有积聚性的投影，先求出点M的水平投影m，再由 m和m′求出m″。点M在圆柱面的右半部分，故其侧面 投影m″不可见。
立体及其表面交线的投影
2.2 圆锥 1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而
成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。
2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
立体及其表面交线的投影
作图： 先画出完整圆柱体的三视图，再按凹槽和切口的 宽度（左右方向）和深度依次画出正面投影和水平投 影，最后求出侧面投影。由于圆柱最前、最后素线的 上端被切去一段，使侧面投影的轮廓线向中心“退 缩”，呈“凸”字形。圆柱底部被切去的部分是左右 两边，最前、最后素线完整（图3-8(b)）。
现代工程制图基础教学课件第3章 立体及其表面交线的投影
轴线的水平投影
投影特点:
1) 轴线的水平投影积聚为一点 （对称中心线的交点）。
2) 圆母线的水平投影成为直线， 延长后通过轴线的有积聚性的水 平投影。
3) 圆心O 旋转成的水平圆的水 平投影，用点画线表示。
4) 正面投影中，上、下两条水 平线是圆母线上最高点C 和最低点 D 旋转形成的纬圆的正面投影。
交线 情况
截平面垂直于 轴线(θ=90°)， 交线为圆
截平面倾斜 于轴线，且θ ＞ 90°,交线为椭圆
截平面倾斜 于轴线，且θ =α，交线为抛 物线
截平面倾斜于 轴线,且θ ＜α，或 平行于轴线 (θ=0°),交线为 双曲线
第3章 立体及其表面交线的投影
截平面通过 锥顶，交线为通 过锥顶的两条相 交直线
第3章 立体及其表面交线的投影
3.1 平面立体的投影及其与平面相交 3.2 曲面立体的投影及其与平面相交 3.3 相贯线
第3章 立体及其表面交线的投影
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3.1 平面立体的投影及其与平面相交
3.1.1 平面立体的投影 3.1.2 平面与平面立体相交
第3章 立体及其表面交线的投影
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基本立体可分为
作截交线的步骤：
1) 求特殊点
转向轮廓线上的点
特殊点是一些能确定截交线形状和范围的点，包括 截交线在对称轴上的顶点
2) 求一般点
极限位置点
为了能光滑地作出截交线的投影，还需在特殊点之间再作一些中间点。
3) 判别可见性并光滑连线
第3章 立体及其表面交线的投影
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平面与圆柱面的交线有三种情况：
s
●
s●
s
注意：转向轮廓素线的投影与可见性的判断
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找出特殊点
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二.圆锥的截交线
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例 求作正垂面与圆锥的交线
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第四章 立体截切及相贯的投影
§4－1平面体的截切
平面与立体、立体与立体两处相交形成不同 的表面交线，可分为两大类： 截 交:平面与立体相交，截去立体的一部分。
截交线——截平面与立体表面的交线。 相 贯:两立体相交。 相贯线——立体与立体表面的交线。
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求一般点
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连接各点
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例:补画圆锥被侧平面截切的侧面投影
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第一步
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第一步
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第二步
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解题过程：
d' (e') p' a' b' c' a" b" e" d" c" p'
a
e
b c
d
b)
作左视图
c)
加深、整理
图2.30
求直线AB与三棱锥表面的交点
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例：补全三棱锥被正垂面截切的水平与侧面 投影
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例1:正垂面截切圆球
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求特殊点
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求特殊点
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求特殊点
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求特殊点
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求一般点
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单一平面与平面立体的截交线
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单一平面与平面立体的截交线
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单一平面与平面立体的截交线
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[例3] 如图a所示，补画出左视图。
p'
• 空间分析：
a)
题图
第三步
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第四步
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例:补全下列物体的H投影,补画侧面投影
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求水平面截交线
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求正垂面1截交线
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求正垂面2的截交线
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[例]已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和俯 视图，试画出其左视图。
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例:补画出下列物体的H投影
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分析截平面，截交线
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作图过程
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作图结果
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S [例]四棱锥被正垂面 P切割，求其截交线的投影 S 3 3 四边形 线 2 4 (4) 2 面 交 1 1 点 法
● ● ● ●
1) 空间分析 4●
1
●
3 S
3) 求截交线 检查:尤其注意检查 截交线投影的相仿性 4) 补全棱线的投影
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§4－2曲面体的截切
曲面立体截交线通常是一条封闭的曲线，
或曲线和直线围成的平面图形或多边形。
截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，
截交线上的点都是它们的共有点。
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一.圆柱的截交线
求一般点
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连线,整理
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例2
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第二步
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第三步
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第四步
[例3] 补全立体的三视图
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辅助截面 共面
a) 题图
辅助截面
b) 求水平截面与立体的交线
c) 求正垂截面与立体的交线
d) 整理、加深
图 组合截切举例
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§4－3 平面体与平面体相贯
一、概说
两立体表面相交，产生交线，称为相贯线。立体相交的问 题主要就是作出它们的相贯线。 全贯: 一个立体全部贯穿另一个立体 互贯: 两个立体互相贯穿
整理描深
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题1
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题2
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题3
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三.圆球的截交线
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续
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二、作图举例 例1 已知三 棱锥SABC 和三棱柱 DEF 的三投 影，求作它 们的相贯线。
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利用图解展开图进行连 点和区分相贯线各段可见 性的方法: 将棱柱各棱面的展开示 意图竖直地画出，该图是 假定沿棱柱的B 棱剖开后 画出的，所以图中B 棱出 现两次；将棱锥的展开示 意图横着叠画在棱柱的展 开图上。然后把求得的点 画到这个图的棱线和对应 的棱面上。连点时只有位 于同一四边形格子内的点 才能相连。利用该图还能 判别可见性。
一.平面与平面立体截交线的求法：
A.求各棱线与截平面的交点→线面交点法 B.求各棱面与截平面的交线→面面交线法 求截交线的步骤： 1) 间及投影分析 a、截平面与立体的相对位置: —确定截交线的形状。 b、截平面与投影面的相对位置： —确定截交线的投影特性。 2) 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多 边形。
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连线,整理
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截交线的画法
1分析立体 2分析截平面，截交线 3找出特殊点(并编上号)： 极限点（最左、最右、最前、最后、最上、 最下） 转向点（截平面与转向轮廓线的交点） 4找出一般点(并编上号，至少一对)： 5作出这些点的其它两面投影 6顺序相连、分清虚实 7整理转向轮廓线
截平面与体的几个 棱面相交？
采 用 的 是 哪 种 解 题 方 法？
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三.多个平面与平面立体的截交线
求法与单一平面与平面立体的截交 线类似，但要注意截平面互相之间 的交线
《 建 Pv 筑 1 制 图 Qv 4 》 a´ 精 品 课 程4
a
[例2]求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。 S" S
例
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求点
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《 建 筑 制 图 》 精 品 课 程
例
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求点
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连线
《 建 筑 制 图 》 精 品 课 程 平面与球体相交举例
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平面与球体相交模型
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四. 复合回转体截交线
由几个回转体组成的立体，称为复合回转 体 复合回转体的截交线画法 分别画出每个曲面体的截交线
[例1] 补出立体的俯视图
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截交线的性质：
1)截交线既在截平面上，又在立体表面上，是 截平面与立体表面的共有线。 2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。 3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点， 多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。
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二.单一平面与平面立体的截交线
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两个凸多面体相贯，在 一般情况下，相贯线是封 闭的空间折线，也可能是 平面多边形。全贯时，通 常有两条交线；互贯时， 则有一条交线。特殊情况 下交线可能是不封闭的， 求两多面体相贯线的问 题可归结为求直线与平面 的交点和求两平面交线的 问题。 注意:两立体相贯后应把 它们视为一个整体，因而 一立体位于另一立体内的 部分是不存在的，不应画 出。 相贯线不封闭
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例.补全正垂面截切圆柱后的投影
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补画圆柱W投影
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