结构力学考研 剪力和弯矩方程精讲
剪力和弯矩的推论
剪力和弯矩的推论剪力和弯矩是结构力学中的重要概念，它们在工程设计和结构分析中起着关键的作用。
本文将从理论推论的角度探讨剪力和弯矩的相关性，以及它们在实际工程中的应用。
我们来了解一下剪力和弯矩的概念。
剪力是指作用在结构横截面上的垂直力，其作用方向沿结构的纵轴。
弯矩则是指作用在结构横截面上的力矩，其作用方向垂直于结构的纵轴。
在结构力学中，剪力和弯矩是由外部载荷引起的内力，它们对结构的稳定性和强度具有重要影响。
在推论剪力和弯矩的关系时，我们可以利用梁的受力平衡条件和材料力学的基本原理。
根据受力平衡条件，梁受到的外力和内力之和必须为零。
根据材料力学的基本原理，梁内部的应力和应变之间存在一定的线性关系。
通过这些理论基础，我们可以得出剪力和弯矩之间的推论。
剪力和弯矩之间存在一种直接的关系，即剪力和弯矩是相互依存的。
在梁上施加一个剪力，会导致梁产生弯曲变形，从而产生一个弯矩。
反过来，如果在梁上施加一个弯矩，也会导致梁产生剪切变形，从而产生一个剪力。
因此，剪力和弯矩是紧密联系的，它们是由同一个外部载荷引起的。
剪力和弯矩的大小和分布与梁的几何形状、材料性质以及受力状态有关。
例如，当梁的截面形状发生变化时，剪力和弯矩的大小和分布也会发生变化。
当梁的截面形状对称时，剪力和弯矩的分布也是对称的。
当梁的材料性质不均匀时，剪力和弯矩的分布也会随之变化。
当梁处于不同的受力状态时，剪力和弯矩的大小和分布也会不同。
剪力和弯矩的推论在实际工程中具有重要应用价值。
首先，通过分析剪力和弯矩的大小和分布，可以确定梁的受力状态和变形情况，从而评估梁的强度和稳定性。
其次，剪力和弯矩的大小和分布可以用来设计梁的截面形状和尺寸，以满足结构设计的要求。
此外，剪力和弯矩的推论还可以用来分析和设计其他类型的结构，如框架结构、板壳结构等。
剪力和弯矩是结构力学中的重要概念，它们之间存在着紧密的关系。
剪力和弯矩的大小和分布与梁的几何形状、材料性质以及受力状态密切相关。
剪力和弯矩的计算方法
剪力和弯矩的计算方法剪力和弯矩是结构力学中常常涉及的两个基本力，它们的计算方法对于结构的稳定性和安全性起着至关重要的作用。
下面将从理论和实践两个方面来进行介绍。
一、剪力的计算方法剪力是在结构受到垂直于其长度方向的力作用时，沿垂直于该方向的截面上所产生的力，与切割结构的效果类似。
剪力的大小通常用V表示，其计算公式为：V= Q/ A其中Q为截面上的剪力量，A为截面面积。
为方便计算，常常将结构截面分成若干个小区域，对每个小区域的剪力进行单独计算，最终将结果相加即得到整个截面的剪力大小。
除了常规的截面切割法外，使用变形体积法和转角法也可以计算剪力，不过较为复杂，适用范围有限，因此在工程实践中应用较少。
二、弯矩的计算方法弯矩是结构在受到作用力后，由于材料弯曲而在一截面上产生的力矩，又称扭矩。
弯矩的大小用M表示，其计算公式为：M= Q * D其中Q为剪力力矩，D为受力部件距离截面的距离。
同样，为方便计算，常常将结构截面分成若干个小区域，对每个小区域的弯矩进行单独计算，最终将结果相加即得到整个截面的弯矩大小。
除了常规的静力学计算外，使用变形法和位移法也可以计算弯矩，不过同样较为复杂。
三、结构剪力弯矩的计算原理剪力和弯矩的计算实际上是一种力学计算，通过结构的平衡方程等理论来求解，具体的计算过程需要根据结构的不同特点和受力情况来进行处理。
通常情况下，计算剪力和弯矩的第一步是确定受力情况，包括作用力大小、方向和作用点的位置，以及结构的支撑和固定状态等因素。
在确定受力情况后，根据结构力学的基本原理，可以列出相应的平衡方程或变形方程，进而计算出截面上的剪力和弯矩大小。
通过对结构的剪力和弯矩进行计算，可以帮助我们了解一些结构的基本性质和特点，例如承载能力、稳定性和刚度等。
同时，在实际应用中，我们也需要根据剪力和弯矩的计算结果来进行结构的设计和优化。
四、工程实践中的剪力和弯矩计算在工程实践中，我们通常使用一些专业软件和工具来辅助计算结构的剪力和弯矩，例如有限元分析软件、强度计算软件、计算器和电脑程序等等。
简单剪力和弯矩的计算公式
简单剪力和弯矩的计算公式在工程力学中，剪力和弯矩是两个非常重要的概念，它们在结构设计和分析中起着至关重要的作用。
剪力是指作用在梁或构件上的横向力，而弯矩则是指作用在梁或构件上的扭转力。
在工程实践中，我们经常需要计算剪力和弯矩的数值，以便确定结构的受力情况和设计合适的结构尺寸。
在本文中，我们将介绍简单剪力和弯矩的计算公式，帮助读者更好地理解这两个概念。
1. 剪力的计算公式。
剪力是指作用在梁或构件上的横向力，它可以通过以下公式进行计算：V = dM/dx。
其中，V表示剪力的大小，M表示弯矩，x表示距离。
这个公式表明，剪力的大小与弯矩的变化率成正比，当弯矩发生变化时，剪力也会随之发生变化。
这个公式可以帮助我们在实际工程中计算剪力的大小，从而确定结构的受力情况。
2. 弯矩的计算公式。
弯矩是指作用在梁或构件上的扭转力，它可以通过以下公式进行计算：M = F d。
其中，M表示弯矩的大小，F表示作用在梁或构件上的力，d表示力的作用距离。
这个公式表明，弯矩的大小与作用力的大小和作用距离成正比，当作用力或作用距离发生变化时，弯矩也会随之发生变化。
这个公式可以帮助我们在实际工程中计算弯矩的大小，从而确定结构的受力情况。
3. 剪力和弯矩的关系。
剪力和弯矩是结构受力分析中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系。
在梁或构件上受到外力作用时，会产生剪力和弯矩。
剪力是作用在梁或构件上的横向力，而弯矩则是作用在梁或构件上的扭转力。
在实际工程中，我们需要通过计算剪力和弯矩的大小，来确定结构的受力情况和设计合适的结构尺寸。
4. 计算实例。
为了更好地理解剪力和弯矩的计算公式，我们可以通过一个简单的实例来进行说明。
假设有一根长度为2m的梁，受到作用力为10N的力，作用点距离梁的左端点1m处。
我们可以通过以下步骤来计算剪力和弯矩的大小：首先，根据弯矩的计算公式，可以得到弯矩的大小为：M = F d = 10N 1m = 10Nm。
然后，根据剪力的计算公式，可以得到剪力的大小为：V = dM/dx = d(10N)/dx = 10N。
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
弯矩、剪力讲座
讲座：弯矩、剪力
静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁。
这三种梁的支座反力和弯矩、剪力只要建立平衡方程，就可以求解。
图1.5.1左右两列分别是简支梁在均布荷载和集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.2左右两列分别是简支梁在2个对称集中荷载作用和一个非居中集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.3左右两列分别是悬臂梁在均布荷载作用和一个端点集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.4左右两列分别是外伸梁在集中荷载均布荷载作用和均布荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
从图1.5.1～图1.5.4，我们看到，正确的弯矩图和正确的剪力图之间有如下对应关系：每个区段从左到右，弯矩下坡，剪力为正；弯矩上坡，剪力为负；弯矩为水平线时，对应区段的剪力为零；在均布荷载作用下，剪力为零所对应的截面，弯矩最大；在集中荷载作用下，弯矩最大值一般在集中荷载作用点，该点的剪力有突变，突变的绝对值之和等于集中荷载的大小。
如果不满足这个对应关系，那么弯矩图和剪力图必有一个画错了，或者两个全不对。
多跨连续梁是超静定梁，单单用平衡方程不能求解，还需要“变形协调条件”才能解联立方程进行求解。
图1.5.5是某多跨连续梁在均布荷载力作用下的变形简图、受力钢筋配置区域和弯矩图示意图。
负弯矩表示截面的上翼缘受拉、下翼缘受压；正弯矩表示截面下翼缘
受拉、上翼缘受压；反弯点截面，该点弯矩等于零，在这个截面，上
下截面既不受压，也不受拉。
剪力与弯矩的计算方法
剪力与弯矩的计算方法剪力和弯矩是结构力学中的两个重要概念，用于分析和设计各种结构的力学性能。
剪力是指一个物体内部的力以及其对物体发生剪切效应的能力，而弯矩是指力对物体产生弯曲效应的能力。
本文将详细介绍剪力和弯矩的计算方法。
剪力的计算方法主要有以下几种：(1)等静力法在静力平衡条件下，根据受力平衡原理，可以通过绘制受力图和力矩图来求取剪力。
这种方法通常适用于静定结构，如简支梁等。
(2)受力平衡法根据力学平衡原理，在平衡状态下，一个物体被外力作用后，必然存在一个与之等大、方向相反的剪力作用于物体上。
因此，可以通过受力平衡方程来计算剪力。
比如在简支梁上施加一个集中力，可以通过受力平衡方程ΣF=0来计算剪力。
(3)能量法通过能量原理，将结构变形的能量表达式与外力对结构所做的功相等，可以计算剪力。
这种方法适用于非静定结构，如连续梁等。
(4)曲线剪力法根据剪力图上各点的斜率可以计算出剪力的大小。
首先，通过画出剪力图，然后根据图像上各点的斜率计算出剪力的值。
这种方法适用于简支梁等。
弯矩的计算方法有以下几种：(1)受力平衡法根据结构的受力平衡条件，可以利用力矩平衡方程来计算弯矩。
在平衡状态下，对于一个物体的每一个截面，受力平衡方程ΣM=0成立，其中M为弯矩。
(2)曲线弯矩法对于弯曲构件，如梁和板，曲线弯矩法是一种直观而有效的计算方法。
通过绘制结构的弯矩图，可以根据图像上各点的斜率来计算各点的弯矩。
(3)分割区间法对于复杂的结构和非均布荷载，在一些情况下，可以将结构分割成多个简单部分，再分别计算每个部分的弯矩。
然后将这些部分的弯矩加和，得到整个结构的弯矩。
(4)截面性质法通过计算结构截面的几何参数和受力情况，利用截面的本构关系，可以计算出截面的弯矩。
这种方法适用于各种结构，如梁、柱、悬臂梁等。
总之，剪力和弯矩的计算方法多种多样，选择合适的计算方法需要根据具体情况和结构类型来进行选择。
同时，计算过程中需要注意受力平衡、力矩平衡等基本原理，以及结构的变形特点，以保证计算结果的准确性和可靠性。
一端固定一端简支梁的剪力弯矩
一端固定一端简支梁的剪力弯矩分析1. 概述一端固定一端简支梁是一种常见的结构形式，其在工程实践中有着广泛的应用。
在设计和分析这类结构时，剪力和弯矩是两个重要的力学参数。
本文将围绕一端固定一端简支梁的剪力和弯矩进行分析，探讨其计算方法和影响因素。
2. 剪力和弯矩的概念剪力是作用在材料截面上的内部力，其方向垂直于截面，并且是相对于截面平面的切向力。
而弯矩则是由外部载荷引起的梁内部产生的弯曲应变所引起的一对力矩。
在一端固定一端简支梁中，由于支座的不同，剪力和弯矩分布会发生较大变化。
3. 一端固定一端简支梁的剪力分析一端固定一端简支梁的剪力分布是受到梁的载荷、支座约束条件和跨度等因素共同影响的。
在进行剪力分析时，需要考虑梁在不同截面上的内力平衡条件，通过叠加法或图解法来得到剪力图。
应注意在临界截面处的剪力计算，以保证计算结果的准确性。
4. 一端固定一端简支梁的弯矩分析一端固定一端简支梁在弯矩分析时需要考虑的因素包括梁的截面性质、外部载荷、支座约束条件等。
弯矩分布图能够直观地反映出梁在不同位置上的受力情况。
在进行弯矩计算时，常常采用梁的弯矩方程或图解法来求取各处的弯矩数值。
5. 影响因素分析一端固定一端简支梁的剪力和弯矩分布受到多种因素的影响，如梁的跨度、截面惯性矩、外部载荷分布等。
在实际工程中，需要综合考虑这些因素，对梁的受力情况进行准确的分析和计算。
6. 结论一端固定一端简支梁是一种常见的结构形式，其剪力和弯矩分布具有一定的特点，在工程设计和分析中具有重要的意义。
通过本文的剖析，我们对一端固定一端简支梁的剪力和弯矩分析有了更深入的了解，这对于工程实践具有一定的指导意义。
在今后的工作中，我们将进一步深入研究这一问题，并探索更加精确的计算方法和分析技术。
通过以上分析，我们可以看出，一端固定一端简支梁的剪力和弯矩分布具有其独特的特点，其分析需要考虑多种因素的综合作用。
在实际工程中，我们需要充分理解这些分布规律，以保证结构的安全可靠。
剪力方程和弯矩方程
剪力方程和弯矩方程
剪力方程和弯矩方程是结构工程中用于描述杆件（梁或桁架等）内部受力分布的重要方程。
这些方程通常用于分析和设计结构，以确保其在承受外部荷载时的稳定性和安全性。
剪力方程（Shear Force Equation）：
剪力是指垂直于杆件轴线的内力，它的方向可能是沿着杆件的纵轴。
剪力方程描述了沿杆件长度的剪力分布。
在梁的自由体图上，剪力方程可以表示为：
[ V(x) = -\frac{dM(x)}{dx} + C_1 ]
其中：
* ( V(x) ) 是距离( x ) 处的剪力；
* ( M(x) ) 是距离( x ) 处的弯矩；
* ( C_1 ) 是积分常数，代表剪力图的初值。
弯矩方程（Bending Moment Equation）：
弯矩是指垂直于杆件轴线的内力，使得结构产生弯曲形状。
弯矩方程描述了沿杆件长度的弯矩分布。
在梁的自由体图上，弯矩方程可以表示为：
[ M(x) = -\int V(x) ,dx + C_2 ]
其中：
* ( M(x) ) 是距离( x ) 处的弯矩；
* ( V(x) ) 是距离( x ) 处的剪力；
* ( C_2 ) 是积分常数，代表弯矩图的初值。
这两个方程通常结合着使用，通过它们可以分析梁在不同位置的受力情况。
在设计和分析中，工程师通常会应用这些方程，考虑梁的几何形状、材料特性和外部荷载，以确定梁在不同截面的受力状态。
材料力学课件：剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一 种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在
FQ－x和M－x坐标系中首先标出剪力方程和
弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩 值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩 方程的类型，绘制出相应的图线，便得到 所需要的剪力图与弯矩图。
ΣMC=0: (M+dM) +q dx ·dx /2 -M- FQ dx=0
剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系的证明
q
y
Mz(x)
O
Mz(x)+d Mz(x)
x
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
FQ
x
dx
FQ +dFQ
ΣMC=0:
(M+dM) +q dx ·dx /2 -M- FQ dx=0
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩
图
剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪 力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的 方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；
建立FQ－x和M－x坐标系，并将控制面上的剪
如果一段梁上作用有均布载荷，即q＝常数，这一段 梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函
数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线 。
弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载荷集度q的正负有 关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正 方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向 与M坐标正方向一致。
弯矩剪力计算公式
弯矩剪力计算公式弯矩和剪力是结构力学中重要的概念，在结构设计和分析中起到关键作用。
这两个力的计算公式是基于结构的力平衡和变形原理得出的。
下面将分别介绍弯矩和剪力的计算公式。
1.弯矩的计算公式弯矩是指结构在受到外力作用时，各截面产生的内力矩。
它的大小可以通过力的平衡和力矩平衡原理进行计算。
在悬臂梁（一侧固定，一侧自由悬挂的梁）上，如果只考虑一个力作用在梁上，则弯矩的计算公式为：M=F×d其中，M是弯矩，F是作用在梁上的力的大小，d是力作用点距离梁根部的距离。
这个公式适用于一侧固定，一侧自由悬挂的梁，在实际工程中应用较广。
在梁上有多个力作用时，可以根据力的平衡和力矩平衡原理，将弯矩计算为各个力的矩和：M=Σ(F×d)其中，Σ表示对所有力进行求和，F是力的大小，d是力的作用点距离梁根部的距离。
通过将每一个力的矩相加，可以得到梁上的总弯矩。
此外，在连续梁等复杂结构中，弯矩的计算需要考虑力的分布和梁的弯矩图形状，可以使用微元法或数值法进行近似计算。
2.剪力的计算公式剪力是结构内的力，用来抵抗结构中部分截面相对于另一部分截面的水平移动或者垂直位移。
剪力可以通过力的平衡得到。
在一个梁上，假设有一个力作用于梁上，则剪力的计算公式为：V=F其中，V是剪力的大小，F是作用于梁上的力的大小。
这个公式适用于简单的梁结构，只需要考虑一侧的力。
在复杂的结构中，剪力的计算需要考虑力的分布和截面的剪力图形状。
对于连续梁等复杂结构，可以使用微元法或数值法进行近似计算。
此时，剪力的计算公式可能会包括积分等数学运算。
总结起来，弯矩和剪力是结构设计和分析中重要的概念，通过力的平衡和力矩平衡原理可以得出相应的计算公式。
这些公式适用于简单的梁结构，而在复杂的结构中，计算公式可能需要包含积分等数学运算。
需要根据具体的工程问题和实际情况来选择合适的计算方法和公式。
剪力和弯矩方向
剪力和弯矩方向剪力和弯矩是结构力学中两个重要的力学概念。
它们描述了结构体系在受力时的行为和响应。
剪力和弯矩的方向是决定结构受力情况的关键因素之一。
首先，让我们来了解剪力的概念。
剪力是指作用在结构体系中横向截面上的力，它沿着截面平面的方向产生应力。
剪力的方向垂直于截面的法线方向，并且沿着截面平面的方向引起结构体系的剪切变形。
当外部力在结构体系上施加剪力时，结构的某个部位会受到剪切应力的作用，从而导致结构的变形和位移。
剪力的方向通常用正负号来表示，正方向表示力的作用方向，负方向表示力的相反方向。
例如，如果一个剪力向右作用在结构上，则可以用正号表示，如果向左作用，则可以用负号表示。
剪力的大小用力的单位（如牛顿或磅力）来表示。
接下来，让我们来了解弯矩的概念。
弯矩是指作用在结构体系中横向截面上的力对截面产生的扭转效果。
它由外部力和结构的几何特性共同决定。
弯矩的方向沿着截面的法线方向，它引起结构体系的弯曲变形。
当外部力在结构体系上施加弯矩时，结构的某个部位会受到弯曲应力的作用，从而导致结构的变形和位移。
与剪力一样，弯矩的方向也可以用正负号来表示。
正方向表示力的作用方向，负方向表示力的相反方向。
例如，如果一个弯矩引起结构的上部向下位移，则可以用正号表示，如果引起结构的上部向上位移，则可以用负号表示。
弯矩的大小用力乘以长度的单位（如牛顿·米或磅力·英尺）来表示。
剪力和弯矩的方向是由外部力和结构的几何形状决定的。
在实际工程中，剪力和弯矩的方向对于结构的设计和分析至关重要。
通过分析结构受力情况，我们可以确定结构的强度和稳定性，并采取适当的措施来确保结构的安全性。
总结起来，剪力是作用在结构体系中横向截面上的力，其方向垂直于截面的法线方向；弯矩是作用在结构体系中横向截面上的力对截面产生的扭转效果，其方向沿着截面的法线方向。
剪力和弯矩的方向由外部力和结构的几何形状决定，在结构的设计和分析中起着重要的作用。
第3节 剪力图和弯矩图
第三节 剪力图和弯矩图
一、剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁 轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标 x 表示梁截 面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解析 表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
FQ FQ (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪 力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和 弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
二、利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作剪力图
和弯矩图
dFQ (x) dx
q(x)
剪力、弯矩与载荷 集度的微分关系
dM (x) dx
FQ
(x)
剪力图和弯矩图 的特点和规律
d2M (x) d2x
q(x)
1. q = 0的梁段：∵ dFQ / dx 0 ，∴ FQ为常数，剪力 图为水平直线；而 dM (x) / dx FQ 为常数，则 M (x) 是
n
FA
b l
F
MA (Fi ) 0 FB l F a 0
i1
2）求剪力方程和弯矩方程
FB
a l
F
C截面作用有集中力，AC 梁段和BC梁段的剪 力方程表达式不一样，需分段建立方程。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
分段建立方程：
AC段
FQ
(x)
b l
F
(0 x a)
x
M
(
x)
FA
x
b l
Fx
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
2）作剪力图和弯矩图
剪力图中AC段的为一 水平线，CB段是斜直线，
x
如图b)所示；弯矩图中AC
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力在结构力学中，简支梁、悬臂梁和外伸梁是常见的梁结构形式，它们在工程中有着广泛的应用。
要理解和设计这些梁结构，就必须清楚地了解它们所承受的弯矩和剪力的分布规律及计算方法。
首先，我们来看看简支梁。
简支梁是指梁的两端分别由铰支座支撑，其一端可以自由转动，另一端可以水平移动但不能竖向移动。
当简支梁上承受均布荷载时，其弯矩呈抛物线分布。
在梁的跨中，弯矩达到最大值，其值为qL²/8（其中q 为均布荷载，L 为梁的跨度）。
而剪力则是线性分布的，在梁的两端支座处，剪力达到最大值，其值分别为 ±qL/2。
如果简支梁上承受集中荷载，那么在集中荷载作用点处，弯矩会发生突变。
比如，一个集中力P 作用在简支梁跨中时，跨中弯矩为PL/4。
接下来，我们说说悬臂梁。
悬臂梁是一端固定，另一端自由的梁结构。
当悬臂梁承受均布荷载时，弯矩沿梁长线性增加，在自由端达到最大值，其值为 qL²/2。
剪力则保持不变，等于均布荷载 q 乘以梁的长度L。
若是悬臂梁上有集中荷载作用，在集中荷载作用点处，弯矩也会发生突变。
例如，一个集中力 P 作用在悬臂梁自由端时，自由端的弯矩为 PL。
最后，再讲讲外伸梁。
外伸梁是在简支梁的基础上，一端或两端伸出支座之外的梁结构。
外伸梁的弯矩和剪力分布比较复杂，要根据具体的荷载情况和外伸长度来确定。
但总体来说，外伸部分的弯矩和剪力与简支部分是相互影响的。
在实际工程中，准确计算这三种梁的弯矩和剪力至关重要。
因为弯矩和剪力直接关系到梁的强度和稳定性，如果计算不准确，可能会导致梁的破坏，从而影响整个结构的安全性。
例如，在建筑结构中，梁要承受楼板传来的荷载。
如果梁的弯矩和剪力计算错误，可能会导致梁在使用过程中出现裂缝、变形甚至断裂。
在桥梁工程中，桥梁的主梁通常也是以梁的形式存在。
如果对弯矩和剪力估计不足，可能会使桥梁在车辆荷载作用下发生过大的变形，影响行车安全和桥梁的使用寿命。
结构力学考研 剪力和弯矩方程精讲
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
弯曲内力
东 财
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例题2—画剪力图和弯矩图
已知外伸梁，M=3kN.m，q=3kN/m，a=2m
解：
求A、B处支反力
M B (F) 0， FAy 3a M 3qa a / 2 0
弯曲内力
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续例2—弯矩图
AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M CB：q<0,抛物 线,FQ=0,MB=6.04KN.m BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m
弯曲内力
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弯曲内力
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剪力和弯矩方程概念
如图，取任一截面m-m， 距离A端x 则m-m截面内力为
qL FQ ( x ) FA qx qx 2
(0≤x≤L) ——剪力方程
x qL q 2 M( x ) FA x qx x x 2 2 2
(0≤x≤L) ——弯矩方程
弯曲内力
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剪力图画法
据剪力方程和弯矩方 程可画内力图
剪力方程
qL FQ ( x ) FA qx qx 2
A点：x=0，FQA=qL/2 中点：x=L/2，FQ=0
剪力方程_弯矩方程法
剪力图、弯矩图
定义 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况 用图形表示出来，这种图形分别称为剪 力图和弯矩图。 作图时，取梁轴方向为横坐标，表 示各截面的位置；纵坐标表示相应位置 上各截面的内力（剪力或弯矩）。通常 把正值画在横坐标的上方，负值画在下 边。
剪力图、弯矩图（续）
基本方法
画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：
微分关系法剪力弯矩方程法剪力弯矩方程法?剪力弯矩方程取梁的一端为坐标原点若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置则各横截面上的剪力和弯矩可以表示x为的函数即q?上述函数表达式称为梁的
剪力方程、弯矩方程法
绘制剪力图、弯矩图
基础教学部 力学教研室
剪力图、弯矩图
一般情况下，梁横截面上的剪力和 弯矩随截面位置不同而变化，而最大剪 力和最大弯矩所在的截面往往是梁的危 险截面。因此，在进行梁的设计时，就 需要知道内力沿梁的变化规律，以便根 据最大剪力和最大弯矩进行梁的强度计 算。
3．绘Q、M图
①Q 图： AC 段内，剪力方程是 x 的一次函数，剪力 图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值 : QA 右 =3ql/8 ，Qc左=-ql/8，分别以a、c标在坐标中 ，连接a、c的直线即为该段的剪力图。
CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面 的内力值，例如QB左=-ql/8，连一水平线即为该段剪 力图。
梁AB的剪力图如图b所示。
②M图：AC段内，弯矩方程是x的二次函数，表 明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩： MA=0，MC=ql2/16，分别以a、c标在坐标中。 由剪力图知在d点处Q=0，该处弯矩取得极值。 令剪力方程Q1(x)=0，解得x=3l/8，求得 M1(3l/8)=9ql2/128.以d点标在坐标中。 据a、d 、c三点绘出该段的弯矩图。
剪力与弯矩的计算方法
kN
0
：
求得 3-3 截面的弯矩 3 为负值，表示所假设 3 的方向与实际方向相反。 由上面例题看出，截面上的剪力和弯矩与梁上外力之间存在着下列关系： ①、梁内任一横截面上的剪力 的代数和。
FS ，在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力
②、梁内任一横截面上的弯矩 M ，在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力 对该截面形心力矩的代数和。 从上面例题看出，剪力和弯矩的正负号还可以由外力方向直接来确定： ①、截面左侧向上的外力与截面右侧向下的外力引起该截面的剪力为正，反之为负。 ②、截面左侧与截面右侧向上的外力引起该截面上的弯矩为正，反之为负。 当取左段进行分析时，任意截面的剪力等于所有向上的载荷减去所有向下的载荷，即：
根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平” ，计算梁的内力的步骤为： ①、 首先根据静力平衡方程求支座反力 和
FAy
和
FBy
， 为推导计算的一般过程， 暂且用
FAy
代替。 ②、用截面假想沿 m m 处把梁切开为左、右两段，如图 7-8b、7-8c 所示，取左段梁 为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。从图 7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力
FS
如果取右段进行分析时，则有： S ， （也即 S ） ； 当取左段（或右段）进行分析时，任意截面的弯矩等于所有产生向上的线位移的力对该 点之矩减去所有产生向下的线位移的力对该点之矩，即：
F
F
（7-1）
M
利用式 、 可以直接写出指定截面的剪力和弯矩。 四、计算剪力、弯矩的简便方法 利用上面的关系，可以直接根据作用在梁上的外力计算出任意截面的剪力、弯矩，从而 省去取脱离体列平衡方程的步骤，使计算过程简化。 例 7-2 计算图 7-11 所示梁 1-1 和 2-2 截上的内力。 解：①、求支座反力由梁的整体平衡方程:
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剪力和弯矩方程概念
如图，取任一截面m-m， 距离A端x 则m-m截面内力为
qL FQ ( x ) FA qx qx 2
(0≤x≤L) ——剪力方程
x qL q 2 M( x ) FA x qx x x 2 2 2
(0≤x≤L) ——弯矩方程
弯曲内力
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剪力图画法
据剪力方程和弯矩方 程可画内力图
剪力方程
qL FQ ( x ) FA qx qx 2
A点：x=0，FQA=qL/2 中点：x=L/2，FQ=0
B点：x=L，FQB=-qL/2
续例2—剪力图和弯矩图
从图上可以很清楚地 看出三者之间的微分 关系
弯曲内力
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例题
例题3 画出简支梁受集中力作用的剪力图和弯矩图 例题4 画出简支梁受集中力偶作用的剪力图和弯矩图
例题5 画出悬臂梁受均布载荷和集中力作用的剪力图和弯矩图
弯曲内力
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续例2—弯矩图
AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M CB：q<0,抛物 线,FQ=0,MB=6.04KN.m BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m
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弯曲内力
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弯矩图画法
弯矩方程
x qL q 2 M( x ) FA x qx x x 2 2 2
A点：x=0，MA=0
中点：x=L/2，M=qL2/8
B点：x=L，MB=0
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剪力、弯矩图
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弯曲内力
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例题2—画剪力图和弯矩图
已知外伸梁，M=3kN.m，q=3kN/m，a=2m
解：
求A、B处支反力
M B (F) 0， FAy 3a M 3qa a / 2 0
FAy=3.5kN；
Fy 0, FBy FAy 3qa 0
FBy=14.5KN
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续例2—剪力图
如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN
例题6 画出简支梁受均布载荷作用的剪力图和弯矩图
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小 结
1.平面弯曲的概念 2.剪力和弯矩符号的规定 3.利用三者的微分关系画内力图
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