平面直角坐标系典例解析

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专题06 《平面直角坐标系》(解析版)七年级下学期数学(人教版)

专题06 平面直角坐标系考点一、平面直角坐标系例1、（2020·山东威海市·中考真题）如图①，某广场地面是用A．B．C三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：m n位置恰第一行的第一块（A型）地砖记作(1,1)，第二块（B型）地时记作(2,1)…若(,)好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条是__________．【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．【详解】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n 同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．考点二、坐标方法的简单应用例2、（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点A ，B 的坐标分别为，(4,0)，把OAB ∆沿x 轴向右平移得到CDE ∆，如果点D 的坐标为，则点E 的坐标为__________．【答案】(7,0)【分析】根据B 点横坐标与A 点横坐标之差和E 点横坐标与D 点横坐标之差相等即可求解．【详解】解：由题意知：A 、B 两点之间的横坐标差为：431-=，由平移性质可知：E 、D 两点横坐标之差与B 、A 两点横坐标之差相等，设E 点横坐标为a ，则a -6=1，∴a=7，∴E 点坐标为(7,0) ．故答案为：(7,0) ．【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.达标检测1．点(﹣4，2)所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．【详解】解：点（-4，2）所在的象限是第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．已知点P 的坐标为(3,4)--，则点P 到y 的距离为（）A ．3-B ．3C ．4D ．4-【答案】B【分析】根据点到y 轴的距离等于横坐标的长度解答．【详解】解：∴点P 的坐标为（-3，-4），∴点P 到y 轴的距离为3．故选：B ．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（）A ．(0,3)B ．(2,1)-C ．(1,2)-D ．(1,1)-- 【答案】D【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、(0，3)在y 轴上，故本选项不符合题意；B 、(−2，1)在第二象限，故本选项不符合题意；C 、(1，−2)在第四象限，故本选项不符合题意；D 、(-1，-1)在第三象限，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．下列语句正确的是（）A ．在平面直角坐标系中，(3,5)-与(5,3)-表示两个不同的点B ．平行于x 轴的直线上所有点的横坐标都相同、C ．若点(,)P a b 在y 轴上，则0b =D ．点(3,4)P -到x 轴的距离为3【答案】A【分析】根据平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点逐一判断即可得.【详解】A.在平面直角坐标系中， (−3，5) 与 (5，−3) 表示两个不同的点，此选项正确；B.平行于 x 轴的直线上所有点的纵坐标都相同，此选项错误；C.若点 P (a ，b ) 在 y 轴上，则a =0 ，此选项错误；D.点 P (−3，4) 到 x 轴的距离为4，此选项错误；故选：A.【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点.5．将点A （2，1）向下平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是（）A ．（0，1）B ．（2，﹣1）C ．（4，1）D ．（2，3）【答案】B【分析】让点A 的横坐标不变，纵坐标减2即可得到平移后点A ′的坐标．【详解】解：将点A （2，1）向下平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是（2，1-2），即（2，-1）．故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，关键是要熟记：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．6．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD∴AC，∴∴1=∴A=40°∴港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．7．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5）B．（0，﹣3）C．（﹣2，5）D．（5，﹣3）【答案】B【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可．【详解】解：∴点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，∴x﹣3＝﹣3，y+5＝2，解得x＝0，y＝﹣3，所以，点A的坐标是（0，﹣3）．故选：B．【点睛】本题考查了坐标平移变化规律；明白向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加是关键．8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（3，2），（﹣3，0），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（2，1）D．（2，0）【答案】B【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．【详解】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可建立直角坐标系，如图所示：故棋子“炮”的点的坐标为：(0，2)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置建立直角坐标系是解题关键． 9．在直角坐标系中，点P （m ，2—2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P 点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据m +2-2m =0计算m 的值，后判定横坐标，纵坐标的正负求解即可【详解】∴点P （m ，2—2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，∴m +2-2m =0，∴m =2，∴2-2m =-2，∴点P 位于第四象限，故选D【点睛】本题考查了坐标与象限的关系，利用相反数的性质构造等式计算m 的值是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,1M ，()1,1N -，平移线段MN ，使点M 落在点()1,2M '-处，则点N 对应的点N '的坐标为（）A ．()2,0-B ．()0,2-C ．()1,1-D ．()3,1--【答案】A【分析】根据()2,1M 平移后得到()1,2M '-，确定其平移规律是向左平移3个单位，后向上平移1个单位，根据规律确定点N 的平移坐标即可．【详解】∴()2,1M 平移后得到()1,2M '-，∴其平移规律是向左平移3个单位，后向上平移1个单位，∴()1,1N -，∴平移后的坐标为（1-3，-1+1）即()2,0-，故选A ．【点睛】本题考查了坐标系中点的坐标平移，准确确定平移方向和平移距离，并熟记左减右加，上加下减的计算法则是解题的关键．二、填空题11．己知(82,1)P m m -+点在x 轴上，则点P 的坐标为___．【答案】(10,0)【分析】根据x 轴上点的横坐标为0列方程求出m 的值，然后求解即可．【详解】解：点(82,1)P m m -+在x 轴上，10m ∴+=，解得1m =-，828210m ∴-=+=，∴点P 的坐标为(10,0)．故答案为：(10,0)．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的横坐标为0是解题的关键．12．如图，点A 在射线OX 上，2OA =．若将OA 绕点O 按逆时针方向旋转30到OB ，那么点B 的位置可以用()2,30︒表示．若将OB 延长到C ，使5OC =，再将OC 按逆时针方向继续旋转45︒到OD ，那么点D 的位置可以用____表示．【答案】（5，75°）【分析】直接利用已知点的意义，进而得出点D 的位置表示方法．【详解】解：如图所示：由题意可得：OD =OC =5，∴AOD =75°，故点D 的位置可以用：（5，75°）表示．故答案为：（5，75°）．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出坐标的意义是解题关键．13．已知点()2,3A --，将点A 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A '，则A '的坐标为_________．【答案】()2,3【分析】根据平移规律左减右加，上加下减，进行平移计算即可；【详解】∴()2,3A --，向右平移4个单位长度，向上平移6个单位长度∴()24,36A '-+-+∴()2,3A '故答案为：()2,3【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的平移变化，熟悉掌握坐标的变化规律是解题的关键．14．平面直角坐标系中，点(P 到x 轴的距离是_________．【答案】2【分析】根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．【详解】解：点P （2）到x 轴的距离是|2|=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了点的坐标，利用点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值是解题关键．15．把点(2,3)-的向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的点的坐标为________．【答案】（-5，7）【分析】根据点的平移方法可得把点（-2，3）的横坐标减3，纵坐标加4，然后计算即可．【详解】解：点（-2，3）向上平移4个单位长度单位再向左平移3个单位长度所到达点的坐标为（-2-3，3+4），即（-5，7），故答案为：（-5，7）．【点睛】此题主要考查了点的平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．16．全英羽毛球公开赛混双决赛，中国组合鲁恺/ 黄雅琼，对阵马来西亚里约奥运亚军陈炳顺/吴柳萤，鲁恺/黄雅琼两名小将的完美配合结果获胜．如图是羽毛球场地示意图，x轴平行场地的中线，y轴平行场地的球网线，设定鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，－1），则坐标原点为__________．【答案】O1【分析】根据黄雅琼的位置即可确定坐标原点的位置．【详解】∴鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，−1），∴坐标原点为O1，故答案为：O1．【点睛】本题考查了坐标确定位置的知识，解题的关键是能够了解（0，−1）在坐标原点的下面一个单位，17．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步沿x轴向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度：当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度：当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度，当走完第6步时，棋子所处位置的坐标是，当走完第7步时，棋子所处位置的坐标是，当走完第2021步时，棋子所处位置的坐标是．【答案】A 6（6，2），A 7（7，2），（2021，673）【分析】设走完第n 步，棋子的坐标用A n 来表示．列出部分A 点坐标，发现规律“A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）”，根据该规律即可解决问题．【详解】解：设走完第n 步，棋子的坐标用A n 来表示．观察，发现规律：A 0（0，0），A 1（1，0），A 2（3，0），A 3（3，1），A 4（4，1），A 5（6，1），A 6（6，2），A 7（7，2），…， …，∴A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）． ∴2021=673×3+2， ∴A 2021（2021，673）．故答案为：A 6（6，2），A 7（7，2），（2021，673）．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据棋子的运动情况，罗列出部分A 点的坐标，根据坐标的变化发现规律是关键．18．如图，四边形AOBC 是正方形，曲线123CPP P ⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧1CP ，弧12PP ，弧23P P ，弧34P P 的圆心依次按点A ，O ，B ，C 循环，点A 的坐标为()2,0，按此规律进行下去，则点2021P 的坐标为______．【答案】()4044,0 【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解【详解】解：由题意可知：正方形的边长为2，∴A（2，0），B（0，2），C（2，2），P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，-12）…可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，P在x轴正半轴，2021÷4=505……1，故点2021OP的长度为2021×2+2=4044，即：P2021的坐标是（4044，0），故答案为：（4044，0）．【点睛】本题考查了直角坐标系内点的坐标运动变化规律，解题的关键是理解A点的坐标除符合变化之外，还由旋转半径确定，而且每旋转一次半径增加2．三、解答题19．在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．（-5，0），（-4，3），（-3，0），（-2，3），（-1，0），（-5，0）【答案】见解析【分析】将坐标表示的点分别在坐标系中标出来，然后用线段依次连接起来即可．【详解】解：如图所示：本题考查了平面直角坐标系中的作图，正确地将点在坐标系中标出来是解题的关键．20．如图所示，在平面直角坐标系中点()30A -,，()5,0B ，()3,4C ，()2,3D -．（1）求四边形ABCD 的面积（2）点P 为y 轴上一点，且ABP △的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，求点P 的坐标．【答案】（1）23；（2）90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或90,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，分别计算AF 、DF 、BE 的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得32ADF S =△，4BCE S =△，352CEFD S =梯形即可解题；（2）设()0,P b ，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．【详解】解：（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，因为()30A -，，()B 5，0，()34C ，，()23D -，，所以1AF =，34DF CE ==，25BE EF ==，所以131322ADF S =⨯⨯=△，所以12442BCE S =⨯⨯=△，所以()353452CEFD S =+⨯=梯形，所以33542322ABCD S ++==四边形．（2）设()0P b ，则有123=22ABP ABCD S S =△四边形即11238222AB OP b ⨯⨯=⨯⨯=解得：23||8b = 所以238b =± 所以点P 的坐标为904⎛⎫ ⎪⎝⎭，或904⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．在平面直角坐标系中，完成以下问题：（1）请在坐标系中标出点(3,2)A 、(2,3)B -；（2）若直线l 经过点B 且//l y 轴．点C 是直线l 上的一个动点，请画出当线段AC 最短时的简单图形，此时点C 的坐标为；（3）线段AC 最短时的依据为．【答案】（1）见详解；（2）画图见详解，C （﹣2,2）；（3）点到直线的距离垂线段最短【分析】(1)根据点坐标的定义直接在坐标系中标出点即可；（2）根据点到直线的距离垂线段最短即可判断点C 的坐标；（3）依据点到直线的距离垂线段最短．【详解】(1)A,B 两点如下图；（2）AC 最短时的图形如下图所示，此时C 点坐标为：（﹣2,2）；（3）点到直线的距离垂线段最短．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标问题，及对点到直线的距离垂线段最短的理解与应用，解题关键在于理解应用点到直线的距离垂线段最短．22．如图，在直角坐标系中，已知A （﹣1，4），B （﹣2，1），C （﹣4，1），将ABC 向右平移3个单位再向下平移2个单位得到111A B C △，点A 、B 、C 的对应点分别是点A 1、B 1、C 1．（1）画出111A B C △；（2）直接写出点A 1、B 1、C 1的坐标；（3）直接写出111A B C △的面积．【答案】（1）见解析；（2）A 1（2，2），B 1（1，﹣1），C 1（﹣1，﹣1）；（3）3．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，画出图形即可；（2）利用（1）中图形，利用平移的性质得出对应点坐标；（3）利用三角形面积公式可得出答案．【详解】解：（1）如图所示：111A B C △，即为所求；（2）由平移的性质结合图形可得：A 1（2，2），B 1（1，﹣1），C 1（﹣1，﹣1）；（3）111A B C △的面积为：12×2×3＝3．【点睛】本题考查的是平移的性质，图形与坐标，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 23．在边长为的方格纸中有一个ABC ．（1）作出ABC 的高CD ，并求出ABC 面积；（2）将ABC 向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △；（3）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段．【答案】（1）8，画图见解析；（2）画图见解析；（3）11//A B AB ，11A B AB =．【分析】（1）直接作高，得到高的长度，利用三角形面积公式计算即可.（2）图形的平移关键是点的平移.按平移的法则确定了A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1位置，连接即可得到111A B C △；（3）根据平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等，举例即可. 【详解】（1）1144822ABC S AB CD =⨯⨯=⨯⨯=△．如图所示：（2）先将点A ，B ，C 分别向上平移3个单位，再向左平移2个单位确定点1A ，1B ，1C ，再连接11A B ，11B C ，11AC ，此时111A B C △即为所求．（3）11//A B AB ，11//AC AC ，11//B C BC ．三组线段任写一组．【点睛】本题主要考查了图形的平移，图形的平移实质是点的平移，正确的确定对应点的位置是正确作图的关键，同时平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等这一平移性质的运用.24．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，点O ，A 的坐标分别为()0,0，()02,，将线段OA 沿x 轴方向向右平移，得到线段CB ，点O 的对应点C 的坐标为3,0，连接AB ．点P 是y 轴上一动点．（1）请你直接写出点B 的坐标____________．（2）如图1，当点P 在线段OA 上时（不与点O 、A 重合），分别连接BP ，CP ．猜想BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）①如图2，当点P 在点A 上方时，猜想BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系，并说明理由．②如图3，当点P 在y 轴的负半轴上时，请你直接写出BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系．【答案】（1）()3,2；（2）BPC ABP OCP ∠=∠+∠，理由见解析；（3）（3）①BPC OCP ABP ∠=∠-∠，理由见解析；②BPC ABP OCP ∠=∠-∠．【分析】（1）根据平移的规律即可求解；（2）过点P 作//PD AB ，得到BPD ABP ∠=∠，再证明//PD OC ，得到CPD PCO ∠=∠，即可得到BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；（3）①过点P 作//PE AB ，得到BPE ABP ∠=∠，再证明//PE OC ，得到EPC OCP ∠=∠，即可证明BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；②过点P 作//PF AB ，得到BPF ABP ∠=∠，再证明//PF OC ，得到FPC OCP ∠=∠，即可证明BPC FPB FPC ABP OCP ∠=∠-∠=∠-∠．【详解】解:（1）∴线段OA 沿x 轴方向向右平移，得到线段CB ，点O 的对应点为C 坐标为（3,0）， ∴点A （0,2）的对应点B 的坐标为（3,2），故答案为：()3,2；（2）BPC ABP OCP ∠=∠+∠，理由如下：如图1，过点P 作//PD AB ， ∴BPD ABP ∠=∠，由平移可知，//AB OC ，又//PD AB ， ∴//PD OC ， ∴CPD PCO ∠=∠，∴BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；∠=∠-∠，理由如下：（3）①BPC OCP ABPPE AB，如图2，过点P作//∠=∠，∴BPE ABPAB OC，又∴//PE OC，∴//∠=∠，∴EPC OCP∠=∠-∠=∠-∠．∴BPC EPC EPB OCP ABP∠=∠-∠，理由如下：②BPC ABP OCPPF AB，如图3，过点P作//∠=∠，∴BPF ABPAB OC，又∴//PF OC，∴//∠=∠，∴FPC OCP∠=∠-∠=∠-∠．∴BPC FPB FPC ABP OCP 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中平移的规律、平行线的性质与判定等知识，熟知相关知识点并根据题意灵活应用是解题关键．25．在平面直角坐标系xOy 中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．第一组：()3,3A -、()4,3C ；第二组：()2,1D --、()2,1E -．（1）直接写出线段AC 与线段DE 的位置关系；（2）在（1）的条件下，线段AC ，DE 分别与y 轴交于点B ，F ．若点M 为射线OB 上一动点（不与点O ，B 重合）．①当点M 在线段OB 上运动时，连接AM 、DM ，补全图形，用等式表示CAM ∠、AMD ∠、MDE ∠之间的数量关系，并证明．②当ACM △与DEM △面积相等时，求点M 的坐标．【答案】（1）线段AC 与线段DE 的位置关系；AC∥DE ，证明见详解；（2）AMD ∠=CAM∠+MDE ∠，证明见详解；（3）M （0，1711）．【分析】（1）AC∥DE ，由()3,3A -、()4,3C 两点纵坐标相同，-3≠4，可得AC∥x 轴，由()2,1D --、()2,1E -两点纵坐标相同，-2≠2，可得DE∥x 轴，利用平行同一直线两直线平行可得AC∥DE ；（2）AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠，过M 作MN∥AC ，内错角相等得∴CAM =∴AMN ，由AC∥DE ，可得MN∥DE ，内错角相等∴NMD =∴MDE ，可证AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠；（3）由AC ∴y 轴于B ，DE ∴y 轴于F ，求出B （0，3），F （0，-1），,可确BF =4，设OM =m ，MB =3-m ，MF =4-（3-m ）=m +1，AC =7，DE =4，用含m 的式子表示S ∴ACM =()1732m ⨯⨯-，S ∴DEM =()1412m ⨯⨯+，当ACM △与DEM △面积相等时，可列方程()()1173=4122m m ⨯⨯-⨯⨯+，解之即可．【详解】解：（1）直接写出线段AC 与线段DE 的位置关系；AC∥DE∴()3,3A -、()4,3C 两点纵坐标相同，-3≠4∴AC∥x 轴，∴()2,1D --、()2,1E -两点纵坐标相同，-2≠2∴DE∥x 轴，∴AC∥DE ，（2）AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠过M 作MN∥AC ，∴∴CAM =∴AMN ，∴AC∥DE ，∴MN∥DE ，∴∴NMD =∴MDE ，∴∴AMD =∴AMN +∴NMD =∴CAM +∴MDE ，∴AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠，（3）∴AC ∴y 轴于B ，DE ∴y 轴于F ，∴B （0，3），F （0，-1），,∴BF =OB +OF =3+1=4，设OM =m ，∴MB =3-m ，MF =4-（3-m ）=m +1，∴AC =4-（-3）=7，DE =2-(-2)=4，S ∴ACM =()117322AC MB m ⨯⋅=⨯⨯-，S ∴DEM =()114122DE MF m ⨯⋅=⨯⨯+，当ACM △与DEM △面积相等时，即()()1173=4122m m ⨯⨯-⨯⨯+，整理得21744m m -=+，解得1711m =， ∴M （0，1711）．【点睛】本题考查画图，平行线的判定与性质，角的互相关系，三角形面积，一元一次方程，掌握画图技巧，平行线的判定与性质，角的和差关系，三角形面积求法，一元一次方程的解法是解题关键．26．已知，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，点A (a ，b )+|b ﹣3|＝0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．（1）a ＝，b ＝，点C 坐标为；（2）如图1，点D (m ，n )是射线CB 上一个动点．①连接OD ，利用OBC ，OBD ，OCD 的面积关系，可以得到m 、n 满足一个固定的关系式，请写出这个关系式：；②过点A 作直线1⊥x 轴，在l 上取点M ，使得MA ＝2，若CDM 的面积为4，请直接写出点D 的坐标．（3）如图2，以OB 为边作⊥BOG ＝⊥AOB ，交线段BC 于点G ，E 是线段OB 上一动点，连接CE 交OG 于点F ，当点E 在线段OB 上运动过程中，OFC FCG OEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值．【答案】（1）6，3，（0，-3）；（2）①m -2n ＝6；②（2，-2）或（4，-1）；（3）不变，理由见解析【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．（2）①如图1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ，利用面积法求解即可．②如图11-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，CM ，CM '．分两种情形：当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -，根据4CDM CTD MTD CTD S S S S ∆∆∆∆=+-=，构建方程求解，当点M '在点A 的右侧时，同法可得．（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2．利用平行线的性质，三角形的外角的性质证明即可．【详解】解：（1）|3|0b -=，60a ∴-=，30b -=，6a ∴=，3b =，3AB OC ==，且C 在y 轴负半轴上，(0,3)C ∴-，故答案为：6，3，(0,3)-．（2）①如图1-1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ．AB x ⊥轴于点B ，且点A ，D ，C 三点的坐标分别为：(6,3)，(,)m n ，(0,3)-， 6OB ∴=，3OC =，MD n =-，ND m =，192BOC S OB OC ∆∴=⨯=，又BOC BOD COD S S S ∆∆∆=+1122OB MD OC ND =⨯+⨯ 116()322n m =⨯⨯-+⨯⨯ 332m n =-， ∴3392m n -=，26m n ∴-=， m ∴、n 满足的关系式为26m n -=．故答案为：26m n -=．②如图12-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，DM ，CM '．当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -，4CDM CTD MTD CTD S S S S ∆∆∆∆=+-=， ∴11164(33)4642222m m ⨯⨯+⨯⨯-+-⨯⨯=，解得2m =，(2,2)D ∴-，当点M '在点A 的右侧时，同法可得(4,1)D -，综上所述，满足条件的点D 的坐标为(2,2)-或(4,)1-．故答案为：(2,2)-或(4,)1-．（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2．理由如下：线段OC 是由线段AB 平移得到，//BC OA ∴，AOB OBC ∴∠=∠，又BOG AOB ∠=∠，BOG OBC ∴∠=∠，根据三角形外角性质，可得2OGC OBC ∠=∠，OFC FCG OGC ∠=∠+∠，22OFC FCG FCG OBC ∴∠+∠=∠+∠2()FCG OBC =∠+∠2OEC =∠， ∴22OFC FCG OEC OEC OEC∠+∠∠==∠∠．【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．。

专题03 平面直角坐标系(专题详解)(解析版)

专题03 平面直角坐标系专题03 平面直角坐标系 (1)7.1 平面直角坐标系 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 有序数对 (2)知识点2 平面直角坐标系 (2)知识点3 点的坐标特点 (3)二、典型题型 (6)题型1 有序数对 (6)题型2 平面直角坐标系的概念 (6)题型3 点的坐标的特征 (6)一、点的位置与坐标 (7)二、点的坐标与距离 (8)三、点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想） (8)四、点的坐标与图形的面积 (9)（1）知坐标，求面积 (9)（2）知面积，求坐标（方程思想） (10)（3）分类讨论 (12)三、难点题型 (14)题型1 确定点所在的象限 (14)题型2 点到坐标轴的距离 (14)题型3 探究平面直角坐标系坐标的变化规律 (15)7.2 坐标系的简单运用 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 用坐标表示地理位置 (17)知识点2 用坐标表示平移 (18)二、典型题型 (20)题型1 用坐标表示地理位置 (20)题型2 用坐标表示平移 (21)一、点的平移 (21)（1）已知点和平移方式，求对应点 (21)（2）已知点和对应点，求平移方式 (21)二、图形的平移 (22)三、难点题型 (23)题型1 动点问题 (23)7.1 平面直角坐标系知识框架{基础知识点{有序数对平面直角坐标系点的坐标的特点典型题型{ 有序数对平面直角坐标系的概念点的坐标的特征{ 点的位置与坐标点的坐标与距离点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想）点的坐标与图形的面积{知坐标，求面积知面积，求坐标（方程思想）分类讨论难点题型{确定点所在的象限点到坐标轴的距离探究平面直角坐标系坐标的变化规律一、基础知识点知识点1 有序数对1）我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，用于表示平面中某一确定位置的，叫作有序数对，记作（a ，b ）注：①（a ，b ）与（b ，a ）表达的含义不同，注意有序数对的顺序②在表达有序数对时，一般行在前，列在后。

(完整版)：平面直角坐标系经典例题解析

【平面直角坐标系重点考点例析】考点一:平面直角坐标系中点的特征例1 在平面直角坐标系中,点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是．思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．解:由第一象限点的坐标的特点可得:20 mm>⎧⎨->⎩,解得:m＞2．故答案为：m＞2．点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题,解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标,横坐标为正,纵坐标为正．例1 如果m是任意实数，则点P（m-4，m+1)一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限思路分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标,然后根据各象限的点的坐标特征解答．解：∵（m+1)-(m-4)=m+1-m+4=5，∴点P的纵坐标一定大于横坐标，∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标，∴点P一定不在第四象限．故选D．点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（—，+）;第三象限(-,—)；第四象限(+，-）．例2 如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（)A．（2,0) B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1）分析：利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2,物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答．解答：解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1:2，由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1,物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8,在BC边相遇；②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2,物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16,在DE边相遇;③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12,物体乙行的路程为12×3×=24,在A点相遇；…此时甲乙回到原出发点,则每相遇三次，两点回到出发点,∵2012÷3=670…2，故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点,即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16,在DE边相遇;此时相遇点的坐标为：（﹣1,﹣1)，故选：D．点评：此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．例2 如图，动点P从(0，3)出发,沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时,点P的坐标为（）A．（1，4) B．（5，0）C．（6,4) D．（8,3)思路分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．解:如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）,∵2013÷6=335…3，∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹,点P的坐标为（8，3）．故选D．点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形,观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．对应训练2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2）,D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1,﹣2）D ． (1，﹣2）分析：根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长,然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度,从而确定答案．解答：解：∵A(1，1）,B （﹣1,1)，C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2），∴AB=1﹣（﹣1)=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣(﹣2)=3, ∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为2+3+2+3=10， 2012÷10=201…2,∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置, 即点B 的位置,点的坐标为(﹣1，1）．故选B ．点评：本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD 一周的长度,从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （-3，5）关于y 轴的对称点的坐标为（） A ．（—3，—5) B ．（3，5) C ．（3．—5） D ．(5，—3）答：B考点二：函数的概念及函数自变量的取值范围例3 在函数1x y x+=中，自变量x 的取值范围是．思路分析:本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义,被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x 的取值范围．解：根据题意得：x+1≥0且x≠0 解得：x≥-1且x≠0．例3 函数y=31x x +-中自变量x 的取值范围是（）思路分析:根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解．解:根据题意得，x+3≥0且x —1≠0，解得x≥—3且x≠1．故选D ．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．对应训练 3．函数2y x =+中自变量x 的取值范围是（）A ．x ＞—2B ．x≥2 C．x≠—2 D ．x≥-2 3．A考点三：函数图象的运用例4 一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S （米）与散步时间t （分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（）A ．从家出发,到了一家书店，看了一会儿书就回家了B ．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了C ．从家出发,一直散步（没有停留),然后回家了D ．从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段,18分钟后开始返回思路分析：根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加,意味着有停留,与x 轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．解:A 、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了,图象为梯形，错误；B 、从家出发,到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段,然后回家了,描述不准确，错误；C 、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；D 、从家出发，散了一会儿步,到了一家书店，看了一会儿书,继续向前走了一段，18分钟后开始返回从家出发,符合图象的特点，正确．故选D ．点评:考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．例5 如图，ABCD 的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD 的顶点上,它们的各边与ABCD 的各边分别平行，且与ABCD 相似．若小平行四边形的一边长为x ，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y ，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．思路分析：根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形的面积,再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y 与x 之间的函数关系式，然后根据二次函数图象解答．解：∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD 的顶点上，∴阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积， ∵小平行四边形与ABCD 相似,∴2()328y x =, 整理得212y x =,又0＜x≤8，纵观各选项，只有D 选项图象符合y 与x 之间的函数关系的大致图象．故选D ．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键．例8已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A（11，0），点B（0，6），点P为BC 边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标;(Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t 的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标(直接写出结果即可）．考点：翻折变换(折叠问题）;坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（Ⅰ）根据题意得,∠OBP=90°，OB=6,在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案;（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E,易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与m= 16t2-116t+6，即可求得t的值．点评:此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．对应训练4．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断,下列说法正确的是（）A．甲队率先到达终点B．甲队比乙队多走了200米路程C．乙队比甲队少用0。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象知识点汇总及典例分析

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为；关于y 轴对称的点的坐标为；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围：（1）使解析式（2）实际问题具有意义3.函数的表示方法；（1）（2）（3）三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是（），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线；若两直线垂直，则。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝或或（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为。

【例题精讲】例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ．例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

专题12 平面直角坐标系篇(解析版)

专题12 平面直角坐标系考点一：平面直角坐标系之坐标特点1. 有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对。

表示为()ba，，可以用来表示位置。

2. 平面直角坐标系各部分的坐标特点：①x轴上的所有点的坐标可表示为()0，x。

②y轴上的所有点的坐标可表示为()y，0。

③第一象限内的所有点的坐标横纵坐标都是正数。

即（﹢，﹢）。

④第二象限内的所有点的坐标横坐标是负数，纵坐标是正数。

即（﹣，﹢）。

⑤第三象限内的所有点的坐标横纵坐标都是负数。

即（﹣，﹣）。

⑥第四象限内的所有点的坐标横坐标是正数，纵坐标是负数。

即（﹢，﹣）。

3. 点到坐标轴的距离：点()ba，到横坐标的距离等于纵坐标的绝对值。

即b。

点()ba，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值。

即a。

1．（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是（）A．狐狸B．猫C．蜜蜂D．牛【分析】根据点的坐标解决此题．【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）．∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，3），表示T．∴此时，表示的动物是猫．故选：B．2．（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），建立适当的平面直角坐标系，即可解答．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：∴教学楼的坐标是（2，2），故选：D．3．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC ∥y轴，由此即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x轴，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，∵点C（3，﹣1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），故选：D．4．（2022•宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（）A．（1，3）B．（3，4）C．（4，2）D．（2，4）【分析】直接利用点的坐标特点得出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置．【解答】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（4，2）．故选：C．5．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．故选：B．6．（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，∴P点在第二象限．故选：B．7．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．故选：B．8．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A 点位置．【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴点A （﹣1，﹣2）在第三象限，故选：C ．9．（2022•河池）如果点P （m ，1+2m ）在第三象限内，那么m 的取值范围是（）A ．﹣21＜m ＜0B ．m ＞﹣21C ．m ＜0D ．m ＜﹣21【分析】根据点P 在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m 的范围．【解答】解：根据题意得，解①得m ＜0，解②得m ＜．则不等式组的解集是m ＜﹣．故选：D ．10．（2022•兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是．【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；【解答】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．11．（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第象限．【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围，得到1＜m+2＜2，进而得到点Q所在的象限．【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴，∴﹣1＜m＜0，∴1＜m+2＜2，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，故答案为：二．12．（2022•鄂州）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是．【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案．【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为．【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），故答案为：（4，1）．考点二：平面直角坐标系之坐标变换1. 平行于x 轴（垂直于y 轴）的直线上的点的坐标：纵坐标相等。

人教版初中数学平面直角坐标系典型例题及答题技巧

人教版初中数学平面直角坐标系典型例题及答题技巧单选题1、在平面直角坐标系中，将点A（−1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（−4，−2）B．（2，2）C．（−2，2）D．（2，−2）答案：D解析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解：点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），故答案为D2、下面四个点位于第四象限的是（）A．(−1,2)B．(−2,−2)C．(2,5)D．(6,−2)答案：D解析：根据直角坐标系中，不同象限内点的坐标特点，依次对四个选项进行判断即可求解．A．(−1,2)，因为-1<0，2>0，所以(−1,2)在第二象限，故A不符合题意B．(−2,−2)，因为-2<0，所以(−2,−2)在第三象限，故B不符合题意C．(2,5)，因为2>0，5>0，所以(2,5)在第一象限，故C不符合题意D．(6,−2)，因为6>0，-2<0，所以(6,−2)在第四象限，故D符合题意故选：D小提示：本题考查了直角坐标系中不同象限内点的坐标特点，第四象限内的点，横坐标大于零，纵坐标小于零．3、以下能够准确表示宣城市政府地理位置的是（）A．离上海市282千米B．在上海市南偏西80°C．在上海市南偏西282千米D．东经30.8°，北纬118°答案：D解析：根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．解：能够准确表示宣城市政府地理位置的是：东经30.8°，北纬118°．故选：D．小提示：本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．4、在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）答案：A解析：点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．5、某班级第3组第4排的位置可以用数对(3，4)表示，则数对(1，2)表示的位置是( )A．第2组第1排B．第1组第1排C．第1组第2排D．第2组第2排答案：C解析：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小.故某班级第3组第4排位置可以用数对(3,4)表示,则数对(1,2)表示的位置是第1组第2排，故选C.6、在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）答案：B解析：解：∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，∴（2，3）、（-2，3）、（-2，-3）、（2，-3）中只有（-2，3）在第二象限．故选：B．7、如图，若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为( )A．(2，3)B．(0，3)C．(3，2)D．(2，2)答案：D解析：解：若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为(2，2)．故选D．8、如图，若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为( )A．(2，3)B．(0，3)C．(3，2)D．(2，2)答案：D解析：解：若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为(2，2)．故选D．填空题9、对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x∗y=ax +by．若1∗(−1)=2，则(−2)∗2的值是__．答案：-1解析：根据新定义的运算法则即可求出答案．∵1*（-1）=2，∴a1+b−1=2，即a-b=2∴原式=a−2+b2=−12（a-b）=-1故答案为-1.小提示：本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想.10、在平面直角坐标系中，将点A(−1,−2)向右平移7个单位长度，得到点B，则点B的坐标为__________．答案：（6，-2）解析：根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（-1+7，-2），进而可得答案．解：将点A（-1，-2）向右平移了7个单位长度得到点B，则点B的坐标为（-1+7，-2），即（6，-2），所以答案是：（6，-2）．小提示：此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．11、观察下列各式：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．答案：√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)解析：观察分析可得√1+13=(1+1)√11+2，√2+14=(2+1)√12+2，√3+15=(3+1)√13+2，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)解：根据题意得：√1+13=(1+1)√11+2，√2+14=(2+1)√12+2，√3+15=(3+1)√13+2，……，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)．所以答案是：√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)小提示：本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．12、若点A(m+3,m−3)在x轴上，则m=__________．答案：3解析：由题意直接根据x轴上的点的纵坐标为0列出方程求解即可．∵点A(m+3,m−3)在x轴上，∴m－3=0，∴m=3．所以答案是：3．小提示：本题考查点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．13、如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1 km.甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是___．答案：(10，8√3)解析：根据题意建立如图所示的直角坐标系，则OA=2，AB=16，∠ABC=30°，所以AC=8，BC=8√3，则OC=OA+AC=10，所以B（10，8√3），故答案为（10，8√3）.解答题14、适当建立直角坐标系，描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），并用线段顺次连接各点．（1）看图案像什么？（2）作如下变化：纵坐标不变，横坐标减2，并顺次连接各点，所得的图案与原来相比有什么变化？答案：（1）“鱼”；（2）向左平移2个单位.解析：(1)描点根据顺序连线即可．(2)根据平移前后图形的形状和大小没有变化可以知道,图案大小形状没有变化,位置向左平移两个单位．解:(1)像“鱼”．(2)纵坐标不变，横坐标减2，即向左平移两个单位，根据平移前后图形的形状和大小没有变化可以知道，图案大小形状没有变化，位置向左平移两个单位．小提示：本题考查直角坐标系中描点，平移作图，细心画图即可．15、如图，方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度，A、B均为格点．（1）在图中建立直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（3，3）和（﹣1，0）；（2）在（1）中x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形（其中AB为腰）？若存在，请直接写出所有满足条件的点C的坐标．答案：（1）答案见解析；（2）存在，点C的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．解析：（1）根据点B（-1，0），判断x轴经过点B，且B右侧的点就是原点，建立坐标系即可；（2）分情形求解即可．（1）∵点B（-1，0），∴x轴经过点B，且B右侧的点就是原点，建立坐标系如图1所示；（2）存在，点C的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．理由如下：∵A（3,3），B（-1,0），∴AB=√(3−(−1))2+(3−0)2=5，当AB为等腰三角形的腰时，（1）以B为圆心，以BA=5为半径画弧，角x轴于两点，原点左边的C1，右边为C2，∵AB=5，点B（-1,0）,∴C1(-6，0)，C2（4,0）；（2）以A为圆心，以AB=5为半径画弧，角x轴于一点，原点的右边为C3，∵AB=5，点A到x轴的距离为3，（-1,0）,∴等腰三角形AB C3的底边长为2√52−32=8，∴C3（7，0）；综上所述，存在，点C的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．小提示：本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键．。

第7章《平面直角坐标系》知识点及考点典例

第七章《平面直角坐标系》知识点及考点典例一、重点知识回顾：1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的_________就组成了平面直角坐标系。

坐标平面被x 轴和y 轴分割而成第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于____________。

2、点的坐标的概念平面内点的坐标是________________，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

3、各象限内点的坐标的特征4、坐标轴上的点的特征点P (x ，y )在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P (x ，y )在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P (x ，y )既在x 轴上又在y 轴上⇔x ，y 同时为___，即点P 坐标为________.5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P (x ，y )在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y _____________.点P (x ，y )在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y ______________.6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征平行于x 轴的直线上的各点的______坐标相同。

平行于y 轴的直线上的各点的______坐标相同。

7、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔_____坐标相等，_____坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔_____坐标相等，_____坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数8、点到坐标轴及原点的距离（1）点P (x ，y )到x 轴的距离等于________.（2）点P (x ，y )到y 轴的距离等于________.（3）点P (x ，y )到原点的距离等于_________.4、6、7、8可记忆为：① x 轴上的点的y 坐标等于0，y 轴上的点的x 坐标等于0；② 关于x 轴对称的点只变y 坐标，关于y 轴对称的点只变x 坐标，关于原点对称的点x 、y 坐标都变；③ 到x 轴的距离等于y 坐标的绝对值，到y 轴的距离等于x 坐标的绝对值。

平面直角坐标系复习讲义(知识点+典型例题)

D、第四象限.
【例 3】点 P（m，1）在第二象限内，则点 Q（-m，0）在（）
A．x 轴正半轴上 B．x 轴负半轴上 C．y 轴正半轴上 D．y 轴负半轴上
【例 4】（1）在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，则 a＝，点的坐标为
。
（2）当 b=______时,点 B(-3,|b-1|)在第二、四象限角平分线上.
电量为 8 千瓦时，则应交电费 4.4 元；④若所交电费为 2.75 元，则用电量为 6 千瓦时，其中正确的有（）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【例 7】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故障，他只好停下来修车．车修好后，因怕
耽误上课，故加快速度继续匀速行驶赶往学校．如图是行驶路程 S（米）与时间 t（分）的函数图象，那么符合小明骑
D．．
11、星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
2
2
巩固练习
5
1、下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（）
A．
B．
C．
D．
2、下列平面直角坐标系中的图象，不能表示 y 是 x 的函数的是（）
A．
B．
C．
D．
3、下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（）
A．|y|=x﹣1 B．y=
C．y=2x﹣7 D．y=x2
4、下列四个关系式：（1）y=x；（2） y x2 ；（3） y x3 ；（4） y x ，其中 y 不是 x 的函数的是（）
．
【例 8】在坐标系内，点 P（2，－2）和点 Q（2，4）之间的距离等于

新人教版七年级数学下册《平面直角坐标系》知识点概述及实例

新人教版七年级数学下册《平面直角坐标系》知识点概述及实例1. 平面直角坐标系概述平面直角坐标系是解决平面上点的位置关系问题的一种工具。

它由横轴（x轴）和纵轴（y轴）组成，两条轴相互垂直，且通过原点。

在平面直角坐标系中，每个点可以用一个有序数对表示，即(x, y)，其中x代表横坐标，y代表纵坐标。

平面直角坐标系有助于求解图形的性质和方程的解等问题。

2. 平面直角坐标系的基本概念- 原点：平面直角坐标系的交点，用O表示。

- 横轴：平行于x轴的直线。

- 纵轴：平行于y轴的直线。

- 横坐标：表示点在横轴上的位置，用x表示。

- 纵坐标：表示点在纵轴上的位置，用y表示。

3. 平面直角坐标系的象限平面直角坐标系将平面分为四个象限，以原点为中心，顺时针分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

每个象限有其特点和性质。

4. 平面直角坐标系中的图形平面直角坐标系可以用来描述和研究各种图形，如直线、圆、抛物线等。

通过确定图形上的点的坐标，可以进一步研究图形的性质和方程的解等问题。

5. 平面直角坐标系举例以下是一些示例，帮助理解和应用平面直角坐标系：- 示例1：图形A的两个顶点分别为(-2, 3)和(4, -1)，求图形A 的边长和对角线长度。

- 示例2：有一条直线L过点(-3, 2)和(1, 6)，求直线L的斜率和方程。

- 示例3：给定圆心坐标为(1, -2)且半径为3的圆C，求圆C上一点的坐标。

- 示例4：已知抛物线的顶点为(0, 4)且对称轴为y轴，求抛物线的方程。

以上是对新人教版七年级数学下册《平面直角坐标系》知识点的概述及实例介绍。

通过深入理解和应用平面直角坐标系，可以更好地解决与图形和方程有关的问题。

专题11 平面直角坐标系(归纳与讲解)(解析版)

专题11平面直角坐标系【专题目录】技巧1：点的坐标变化规律探究问题技巧2：巧用坐标求图形的面积技巧3：活用有序数对表示点的位置技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【题型】一、用有序数对表示位置【题型】二、求点的坐标【题型】三、距离与点坐标的关系【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征【题型】六、点的坐标的规律探索【题型】七、函数图象的应用【考纲要求】1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.【考点总结】一、平面直角坐标系【考点总结】二、函数有关的概念及图象【注意】1、坐标轴上的点不属于任何象限点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。

2、确定出数自变量力的取值范围的方法（1）整式：取全体实数（2）有分母：取值使分母不为零（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0 （4）有很多情况：取它们的公共部分（5）在实际问题中：取值要符合实际意义【技巧归纳】技巧1：点的坐标变化规律探究问题【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2 019秒时，点P 的坐标是( )(第1题)A ．(2 018，0)B ．(2 019，－1)C ．(2 019，1)D ．(2 020，0)2．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P 的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P 的坐标是________．3．如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x 轴或y 轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________； (2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x ，y)，其中x ，y 均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的( )A ．(16，22)B ．(－15，－22)C ．(15，－22)D ．(16，－22) 【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 018的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则点A 4的坐标是________，点B 4的坐标是________；(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB 进行n(n 为正整数)次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________．参考答案1．B 点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为12×2π×1＝π，因为点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，所以点P 1秒走12个半圆．当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，－1)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)； ….因为2 019÷4＝504……3，所以第2 019秒时，点P 的坐标是(2 019，－1)． 2．(2 017，1)；(2 018，0) 3．(1)6分钟 (2)(44，7)4．C 点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：正方形在第四象限的顶点因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025，所以数2 025对应的坐标为(22，－22)．所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．5．D 点拨：设P 1(x ，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，所以x2＝1，y ＋22＝－1，解得x ＝2，y ＝－4，所以P 1(2，－4)．同理可得P 2(－4，2)，P 3(4，0)，P 4(－2，－2)，P 5(0，0)，P 6(0，2)，P 7(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P 2 018的坐标是(－4，2)．故选D . 6．(1)(16，3)；(32，0)(2)(2n ，3)；(2n ＋1，0) 技巧2：巧用坐标求图形的面积【类型】一、直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC 的面积．【类型】二、利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD 的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．【类型】三、利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C点坐标为(－4，4)，所以三角形ABC 的AB 边上的高为4. 又由题易知AB ＝6，所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.2．解：如图所示．过点D 作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S 三角形C DE ＝12×(2＋6)×3－12×1×2＝11.3．解：方法一：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12·AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18.方法二：如图，过点B 作EF ∥x 轴，并分别过点A 和点C 作EF 的垂线，垂足分别为点E ，F.易知AE ＝4，BE ＝4，BF ＝2，CF ＝7，EF ＝6，所以S 三角形ABC ＝S 梯形AEFC －S 三角形ABE －S 三角形BFC ＝12(AE ＋CF)·EF －12AE·BE －12BF·CF ＝12×(4＋7)×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法三：如图，过点A 作DE ∥y 轴，并分别过点C 和点B 作DE 的垂线，垂足分别为点D ，E. 易知AE ＝4，BE ＝4，AD ＝3，CD ＝6，DE ＝7，所以S 三角形ABC ＝S 梯形BEDC －S 三角形ABE －S 三角形ADC＝12(BE ＋CD)·DE －12AE·BE －12AD·CD ＝12×(4＋6)×7－12×4×4－12×3×6＝18.4．解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，且BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S 四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100.点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法． 5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·|m|＝12，即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限．当点C 在第一象限时，m ＞0，则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，所以点C 的坐标为(－4，4)．又易知AB ＝6，所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.(2)由题意可知AB ＝6.因为点C 在第四象限，|x|＝3，所以x ＝3.因为S 三角形ABC ＝12×6×|y|＝9，所以|y|＝3.所以y ＝－3.所以点C 的坐标为(3，－3)．技巧3：活用有序数对表示点的位置【类型】一、利用有序数对表示座位号1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？【类型】二、利用有序数对表示棋子位置2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？【类型】三、利用有序数对表示地理位置3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？【类型】四、利用有序数对表示运动路径4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)参考答案1．解：张敏同学的座位可以表示为(3，3)，石玲同学的座位可以表示为(4，5)．2．解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子，因为若甲不先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则下一步不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．3．解：(1)湖心岛的位置可表示为(2.5，5)；光岳楼的位置可表示为(4，4)；山陕会馆的位置可表示为(7，3)．(2)不是同一个位置，因为前面一个数字代表横向，后一个数字代表纵向，交换数字的位置后，就会表示不同的位置．4．解：(1)学校和小芸家的位置分别可表示为(8，6)，(3，3)．(2)答案不唯一，如：①(5，4)→(5，5)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)；②(5，4)→(6，4)→(7，4)→(8，4)→(8，5)→(8，6)；③(5，4)→(6，4)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)．技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【类型】一、象限内的点的坐标1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限D．不能确定2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．【类型】二、坐标轴上的点的坐标3．若点M的坐标为(－a2，|b|＋1)，则下列说法中正确的是()A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，(1)点P在第二、四象限的角平分线上？(2)点P在第一、三象限的角平分线上？6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为() A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．【类型】五、关于坐标轴对称的点9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是()A．(－4，3)B．(3，－4)C．(－3，－4) D．(3，4)10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．【类型】六、关于特殊直线对称的点12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为()A．(3，5)，(5，3)B．(5，3)，(－5，－3)C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3) 13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．参考答案1．B2．m＞2点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.3．C点拨：由－a2可确定a＝0，所以－a2＝0. 又|b|＋1＞0，所以点M(－a2，|b|＋1)在y轴正半轴上．4．(0，－8)5．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，解得m＝2.所以当m＝2时，点P在第二、四象限的角平分线上．(2)根据题意，得2m－5＝m－1，解得m＝4.所以当m＝4时，点P在第一、三象限的角平分线上．点拨：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．7．C点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限，故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.8．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|x|＝5，|y|＝2，所以x＝±5，y＝±2.所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．9．C10.－611.－2；312．B点拨：任意点A(a，b)关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b，a)，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(－b，－a)．13．(9，4－m)；17点拨：点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)，关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．【题型讲解】【题型】一、用有序数对表示位置例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．【题型】二、求点的坐标例2、如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：①O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，①OD ＝6，①四边形OBCD 是正方形，①OB ①BC ，OB =BC =6 ①C 点的坐标为：()6,6，故选：D ．【题型】三、距离与点坐标的关系例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（） A ．(3,4)- B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C 【解析】由题意，得 x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3），故选C ．【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标例4、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( ) A ．(2，2) B ．(－2，－2) C ．(2，2)或(－2，－2) D ．(－2，2)或(2，－2)【答案】C 【解析】已知点M 在第一、三象限的角平分线上，点M 到x 轴的距离为2，所以点M 到y 轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M 的坐标为（2，2）；点M 在第三象限时，点M 的坐标为（-2，-2）．所以，点M 的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C ．【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征例5、已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ①y 轴，则a 的值是（） A ．1 B ．3C ．﹣1D ．5【答案】B 【详解】解：①AB①y 轴，①点A 横坐标与点A 横坐标相同，为1，可得：a -2=1，a=3 故选：B ．【题型】六、点的坐标的规律探索例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标．【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0，故选C ．【题型】七、函数图象的应用例7、如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．【答案】C【分析】利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．【详解】本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．平面直角坐标系（达标训练）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A (a ，2)在第二象限内，则a 的取值可以是（） A ．1 B ．-3C ．4D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限的坐标特征判断即可；【详解】解：①点A (a ，2)在第二象限内， ①a ＜0， A ．不符合题意；B ．符合题意；C ．不符合题意；D ．不符合题意；故选： B ．【点睛】本题考查了象限的坐标特征，掌握第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数是解题关键． 2．若点(),1A a a -在x 轴上，则点()1,2B a a +-在第（）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由点A 在x 轴上求得a 的值，进而求得点B 坐标，进而得到答案．【详解】解：点(),1A a a -在x 轴上， 10a ∴-=，即1a =，则点B 坐标为()2,1-， ∴点B 在第四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋①的位置用有序数对(−3，0)表示，则白棋①的位置可用有序数对表示为（）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】C【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋①的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋①的坐标为（-2，1）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD①AC，①①1=①A=40°①港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（）A ．修车花了25分钟B ．小明家距离学校1000米C ．修好车后骑行的速度是200米/分钟D ．修好车后花了15分钟到达学校【答案】C【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程．【详解】解：A ．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B ．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意；C ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意；D ．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键．二、填空题6．已知点()29,62A m m --在第三象限．则m 的取值范围是______．【答案】3<m <4.5【分析】在第三象限内的点的横纵坐标均为负数，列式求值即可．【详解】解：①点A （2m −9,6−2m ）在第三象限， ①2m −9＜0且6−2m ＜0， ①3＜m ＜4.5，故答案为： 3＜m ＜4.5【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M （－2，2）、N （1，－1），则A 、B 、C 三个点中为坐标系原点的是____．【答案】A【分析】利用平移规律，从M（-2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可得A是坐标原点.【详解】解：①M（－2，2）,①A是坐标原点.故答案为A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用平移逆向推理是解题关键.三、解答题8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．表1探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？【答案】(1)作图见解析(2)在同一直线上．函数表达式为：66y x =+ (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．（3）根据（2）中的表达式可求出当9x =时，精密电子秤的读数．（4）根据（2）中的表达式可求出当72y =时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间．（1）解：如图所示（2）解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．设一次函数表达式为：y kx b =+将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得6218b k b =⎧⎨+=⎩解得66a b =⎧⎨=⎩∴函数表达式为：66y x =+（3）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当9x =时，60y =∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．（4）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当72y =时，11x =起始时间是上午7:30∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．平面直角坐标系（提升测评）一、单选题1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(1,1)-，点B 的坐标为(2,0)，则点C 的坐标为（）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(1,2)--D ．(1,1)-【答案】A【分析】利用已知点A 、B 的坐标确定平面直角坐标系，进而可得答案．【详解】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系， ①点C 的坐标为（1，﹣2）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，属于基本题型，正确得出原点位置是解题关键． 2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（）A ．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)B ．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)C ．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)D ．以上都不对【答案】A【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A ．【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走，故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d ，存活率为h ．如图，在平面直角坐标系中画出点（d ，h ），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A （d 1，h 1）、B （d 2，h 2）、C （d 3，h 3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（）A ．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种B ．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种C ．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种D ．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种【答案】B【分析】根据图象，比较A 、B 、C 三点的存活率和树冠直径即可得出答案．【详解】根据题意和图象可得，213h h h >>，231d d d >>， ①乙树种是最优的，①甲树种的存活率略高于丙树种，基本相等，但丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径， ①丙树种优于甲树种，①乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种，故选：B ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解题的关键．4．点A 在第二象限，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，则点A 的坐标为（） A ．()5,3- B ．()3,5-C ．()5,3-D ．()3,5-【答案】A【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．【详解】解：①点A 在第二象限， ①点的横坐标为负数，纵坐标为正数，①点距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度， ①点的坐标为（-5，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．5．如图，雷达探测器发现了A ，B ，C ，D ，E ，F 六个目标．目标C ，F 的位置分别表示为C （6，120°），F （5，210°），按照此方法表示目标A ，B ，D ，E 的位置时，其中表示正确的是（）A ．A （4，30°）B ．B （1，90°）C ．D （ 4，240°） D ．E （3，60°）【答案】C【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标A （5，30°），B （2，90°），D （4，240°），E （3，300°），即可判断．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，由题意可知A 、B 、D 、E 的坐标可表示为：A （5，30°），故A 不正确；B （2，90°），故B 不正确；D （4，240°），故C 正确；E （3，300°），故D 不正确．故选择：C ．【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C 、F 两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，。

平面直角坐标系中的全等三角形(供参考)

平面直角坐标系中的全等三角形一、典例精析例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2),以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足条件的C 的坐标可以是。

例2在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个三角形未知顶点的坐标（要有过程）例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线 43-=x y 经过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线也经过A 点．(1) 求点A 的坐标和k 的值；(2)若点P 为x 轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q ，使得△P A 是点A 为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．二、课堂练习 1．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）．（1）求证：h 1＝h 3；正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝( h 1＋h 2)2＋h 12；（2）设（3）若 3 2h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况． 2．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b2=ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式；A●●B O ● A B O PC y x A B O P y x 备用图 x k y =CA DB h 1 h 2 h 3l 1l 2 l 3 l 42．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系XOY 中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x 轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P 。

北师大版八年级数学上册_平面直角坐标系要点及典例

平面直角坐标系平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具．要掌握以下几点：1．坐标平面内的点和有序实数对一一对应已知点P(x，y)，它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A(3，2)和B(2，3)表示两个不同的点．对于坐标平面内的任意一点P，存在唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内有唯一的P点和它对应．这里，(x，y)称为点P的坐标，x是横坐标，y是纵坐标，x写在前，y写在后．2．特殊点的坐标x轴上点的纵坐标为零，即(x，0)，如果某点的坐标为(x，0)，则它在x轴上．y轴上点的横坐标为零，即(0，y)，如果某点的坐标为(0，y)，则它在y轴上．第一、三象限角平分线上点的横坐标和纵坐标相等，即(x，x)，如果点的坐标为(x，x)，则它必定在一、三象限角平分线上．第二、四象限角平分线上点的横坐标和纵坐标互为相反数，即(x，－x)，如果点的坐标为(x，－x)，则它在二、四象限角平分线上．原点的坐标是(0，0)，反之，坐标是(0，0)的点是原点．3．对称点关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数．如果一个点的坐标为(a ，b )，那么这个点关于x 轴、y 轴、原点的对称点分别是(a ，－b )，(－a ，b )，(－a ，－b )．它的逆命题亦成立．4．点P (x ，y )到两坐标轴的距离点P(x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别是|y |和|x |．点P(x ，y )．（由勾股定理可证）例1 已知点A 和点B (a ，－b )关于y 轴对称，求点A 关于原点的对称点C 的坐标．解因为点A 和点B (a ，－b )关于y 轴对称，则A 点的坐标为(－a ，－b )．因为C 点和A 点关于原点对称，所以，C 点的坐标为(a ，b )．例2 若点(5－a ，a －3)在第一、三象限角平分线上，求a 的值．解 ∵点(5－a ，a －3)在一、三象限角平分线上．∴ 5－a ＝a －3，得a ＝4．例3 已知点P 到x 轴和y 轴的距离分别是3，4．求P 点的坐标．解设P 点的坐标为(x ，y )，依题意，得||4,|| 3.x y =⎧⎨=⎩ 解得 4,3.x y =⎧⎨=⎩ 4,3.x y =⎧⎨=-⎩ 4,3.x y =-⎧⎨=⎩ 4,3.x y =-⎧⎨=-⎩则满足条件的点有P 1(4，3)，P 2(4，－3)，P 3(－4， 3)， P 4(－4，－3)．例4 点P (x ，y )在第四象限内，且|x |＝2，|y | ＝5，P 点关于原点的对称点的坐标是_______．解 ∵|x |＝2．∴ x1＝2，x2＝－2．∵ |y|＝5，∴ y1＝5，y2＝－5．∵点P(x，y)在第四象限，∴x＞0，y＜0，∴点P的坐标为(2，－5)．则P点关于原点对称点的坐标为(－2，5)．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解5---平面直角坐标系(解析版)

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题05 平面直角坐标系【思维导图】【知识要点】知识点一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。

【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。

平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。

两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。

平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。

坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。

象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。

按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序数对A(a ，b)叫做点A 的坐标，记作A(a ，b)。

知识点二点的坐标的有关性质（考点）性质一各象限内点的坐标的符号特征性质二坐标轴上的点的坐标特征 1.x 轴上的点，纵坐标等于0； 2.y 轴上的点，横坐标等于0； 3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；象限横坐标x 纵坐标y 第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上性质四与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；n ；性质五点到坐标轴距离在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b aXXXY性质六平面直角坐标系内平移变化性质七对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；P （b a ,）abxy OXyPP mm -nOXyP1Pnn -mO小结：【考查题型】考查题型一用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．X-A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）【答案】C【详解】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）.故选C.变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话：小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了” 小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…” 根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( ) A ．先向北直走700米，再向西走100米 B ．先向北直走100米，再向西走700米 C ．先向北直走300米，再向西走400米 D ．先向北直走400米，再向西走300米【答案】A【分析】根据对话画出图形即可得出答案．【详解】解：如图所示：从邮局出发走到小军家应：向北直走700米，再向西直走100米．故选：A ．考查题型二求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：∵O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，∴OD ＝6，∵四边形OBCD 是正方形，∴OB ⊥BC ，OB =BC =6 ∴C 点的坐标为：()6,6，故选：D ．变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（） A ．()4,5- B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-【答案】D【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可. 【详解】设点M 的坐标为（x ，y ）， ∵点M 到x 轴的距离为4， ∴4y =， ∴4y =±，∵点M 到y 轴的距离为5，x=，∴5x=±，∴5∵点M在第四象限内，∴x=5，y=-4，即点M的坐标为（5，-4）故选：D.4,0，点C的坐标变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为() 4,4，点D在y轴上，则点B的坐标为（）为()A．(4,2)B．(2,8)C．(8,4)D．(8,2)【答案】D【分析】根据菱形的性质得出D的坐标（0，2），进而得出点B的坐标即可．【详解】连接AC，BD，AC、BD交于点E，∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，AC＝4，∴ED＝OA＝EB＝4，AC＝2EA＝4，∴BD＝8，OD＝EA＝2∴点B 坐标为（8，2），故选：D ．变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（） A ．()4,0 B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-【答案】A【分析】根据点P 在x 轴上，即y=0，可得出m 的值，从而得出点P 的坐标．【详解】解：∵点2,24()P m m +-在x 轴上， ∴240m -=， ∴2m =；∴2224m +=+=， ∴点P 为：（4，0）；故选：A ．变式2-4．（2021·广西一模）点M （3，1）关于y 轴的对称点的坐标为（） A ．（﹣3，1） B ．（3，﹣1）C ．（﹣3．﹣1）D ．（1，3）【答案】A【分析】根据关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】点M （3，1）关于y 轴的对称点的坐标为（﹣3，1），故选：A ．考查题型三点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律.典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2021的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【答案】A【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2021÷4＝504…3，A2021在x轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．【详解】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2021÷4＝504 (3)∴A2021在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2021的横坐标为﹣（2021﹣3）×12＝﹣1008．∴A2021的坐标为（﹣1008，0）．故选A．变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A，第二次移动到点2A……第n次移动到点n A，则点2019A的坐标是（）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C 【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标．【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0，故选C ．变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()600,0 C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1200,0【答案】B 【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上，由点A ，B 的坐标利用勾股定理可求出AB 的长，进而可得出点C 2的横坐标，同理可得出点C 4，C 6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上．∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，∴，∴点C 2的横坐标为4+5+3=12=2×6，同理，可得出：点C 4的横坐标为4×6，点C 6的横坐标为6×6，…， ∴点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)， ∴点C 100的横坐标为100×6=600， ∴点C 100的坐标为(600，0)．故选：B ．考查题型四判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可．以．是（） A ．1B ．32-C ．43D ．4或-4 【答案】B【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．【详解】解：∵点(,2)A a 是第二象限内的点，∴0a <，四个选项中符合题意的数是32-，故选：B变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．【详解】∵x 2＋2＞0，∴点P （x 2＋2，−3）所在的象限是第四象限．故选：D ．变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据点(,)A a b -在第三象限，可得0a <，0b -<，进而判定出点B 横纵坐标的正负，即可解决．【详解】解：∵点(,)A a b -在第三象限，∴0a <，0b -<，∴0b >，∴0ab ->，∴点B 在第一象限，故选：A ．变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b -【答案】B 【分析】根据0,0a b ab +>>，得出0,0a b >>，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．【详解】∵0,0a b ab +>>∴0,0a b >>选项Ａ：(),a b 在第一象限选项Ｂ：(),a b -在第二象限选项Ｃ：(),a b --在第三象限选项Ｄ：(),a b -在第四象限小手盖住的点位于第二象限故选：B考查题型五点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)【答案】B【解析】由点P(a−4,a)在y 轴上，得a−4=0，解得a=4，P 的坐标为(0,4)，故选B.2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（） A ．（0，﹣4） B ．（4，0） C ．（0，﹣2） D ．（2，0）【答案】D【详解】解：∵点P （m+3，m+1）在x 轴上，∴y ＝0，∴m+1＝0，解得：m ＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P 的坐标为（2，0）．故选：D ．3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（）A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)-【答案】A【详解】解：点224P m m +（，﹣）在x 轴上，240m ∴﹣＝，m＝，解得：2∴+＝，24m4,0．则点P的坐标是：()故选：A．4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【答案】A【详解】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，则m＝() A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．0【答案】A【详解】由P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，得m+1＝0．解得：m＝﹣1，故选：A．2.象限角的平分线上的点的坐标1.已知点A（-3+a，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________ 【答案】-2【详解】∵点A在第二象限角平分线上∴它的横纵坐标互为相反数则-3+a+2a+9=0解得a=-22．（2018·广西中考模拟）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N 的坐标是( )A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)【答案】C【解析】已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．5【答案】B【详解】解：∵AB∥y轴，∴点A横坐标与点A横坐标相同，为1，可得：a -2=1，a=3故选：B．2．（2018·天津中考模拟）如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（）A．横坐标相等B．纵坐标相等C．横坐标的绝对值相等D．纵坐标的绝对值相等【答案】A【解析】试题解析：∵直线AB平行于y轴，∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等.故选A.3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且B到y轴的距离等于4，那么点B是坐标是（）A．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B．（4，2）或（﹣4，2）C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）【答案】A【详解】∵A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴B的纵坐标y＝﹣2，∵“B到y轴的距离等于4”，∴B的横坐标为4或﹣4．所以点B的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选A．4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣1，1）C．（5，1）或（﹣1，1）D．（2，4）或（2，﹣2）【答案】C【详解】∵AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1）∴点B的坐标为（5，1）或（﹣1，1）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M（﹣1，3），N（﹣3，3），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（）A．相交，相交B．平行，平行C．垂直，平行D．平行，垂直【答案】D【详解】由题可知，M、N两点的纵坐标相等，所以直线MN与x轴平行，与y轴垂直相交.故选:D.4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为( )A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5【答案】A【解析】∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．2．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C【解析】由题意，得x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3），故选C ．3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（）A ．（﹣3，4）B ．（ 3，﹣4）C ．（﹣4，3）D ．（ 4，﹣3）【答案】C【详解】由点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，得|y|=3，|x|=4．由P 是第二象限的点，得x=-4，y=3．即点P 的坐标是（-4，3），故选C．4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( )A．3 B．－3 C．4 D．－4【答案】C【详解】∵|4|=4，∴点P（-3，4）到x轴距离为4．故选C．5.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】A【解析】已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为()A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)【答案】A【详解】∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．故选A．3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5) B．(－8，5) C．(－8，－1) D．(2，－1)【答案】D【解析】解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC 平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）【答案】C【解析】因为4-0=4，10-6=4，所以由点A到点A1的平移是向右平移4个单位，再向上平移4个单位，则点B 的对应点1B的坐标为（1，1）故选C.5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5) C．(1,-3) D．(-5,5)【答案】B将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标(1,5).故选B.6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【答案】A【解析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．2．（2021·山东中考模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a>【答案】C【详解】依题意得P点在第三象限，∴，解得：a＜﹣1．故选C．3．（2014·广西中考真题）已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【答案】B关于x 轴对称的两个点的特点是，x 相同即横坐标，y 相反即纵坐标相反，故a=2014，b=-2013，故a+b=14．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（） A ．a 1<- B ．31a 2-<< C ．3a 12-<< D ．3a 2>【答案】B【解析】∵点P （a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，∴点P 在第四象限。

专题07 平面直角坐标系(解析版)

专题07 平面直角坐标系知识点1：认识平面直角坐标系1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个象限内。

知识点2：坐标方法的简单应用1.用坐标表示地理位置；2.用坐标表示平移。

1.平面直角坐标系中各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0。

2.平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。

3．平面直角坐标系中对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。

4．平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。

如果点P(a，b) 在一、三象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ；如果点P(a，b) 在二、四象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即a = －b 。

平面直角坐标系典例分析

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平面直角坐标系典例分析
作者：陈德前
来源：《中学生数理化·七年级数学人教版》2017年第04期
平面直角坐标系的建立。

揭示了数量的变化与位置的变化之间的联系。

使坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

同学们要能根据象限内的点、坐标轴上的点、对称点的特征去解决有关的问题。

一、根据点的坐标判定点所在的象限
例1 （2016年大连）在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（）。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：根據各象限内点的坐标符号特征解答即可。

点（1，5）所在的象限是第一象限，故选A。

点评：四个象限内点的坐标符号特征分别是：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。

二、根据点的坐标特征确定字母的取值范围
例2 （1）（2016年荆门）在平面直角坐标系中，若点A（a，-b）在第一象限内，则点B （a，b）所在的象限是（）。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（2）（2016年临夏）已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（-m，-m+1）在（）。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限。

平面直角坐标系典例解析

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练平面直角坐标系◆知识讲解①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；②点P（a，b）到x轴的距离为│b│，•到y轴距离为│a③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P•在第一象限⇔a>0且b>0，P在第二象限⇔a<0，b>0，P在第三象限⇔a<0，b<0，P在第四象限⇔a>0，b<0；④点P（a，b）：若点P在x轴上⇔a为任意实数，b=0；P在y轴上⇔a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=0；P在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b；⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称⇔x1=x2，y1=－y2；A、B关于的y轴对称⇔x1=－x2，y1=y2；A，B关于原点对称⇔x1=－x2，y1=－y2；AB∥x轴⇔y1=y2且x1≠x2；AB∥y轴⇔x1=x2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．◆例题解析例1已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值．（1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；（3）AB∥x轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；（2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；（3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．【解答】（1）当点A（a，－5），B（8，b）关于y轴对称时有：85A BA Bx x ay y b=-=-⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩（2）当点A（a，－5），B（8，b）关于原点对称时有85A BA Bx x ay y b=-=-⎧⎧∴⎨⎨=-=⎩⎩（3）当AB∥x轴时，有85A BA Bx x ay y b≠≠⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：x A=y B且x A=y B即a=－5，•b=8．【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．例2 如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的内心的坐标．【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．【解答】∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）．设Rt△ABO内切圆的半径为r，则由S△ABO=12×6×8=24，S△ABO =12r（AB+OA+OB）=•12r，知r=2，而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）．【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．◆强化训练一、填空题1．（2006，诸暨）已知A，B，C，D点的坐标如图1所示，E是图中两条虚线的交点，若△ABC和△ADE 相似，则E点的坐标为_______．图1 图2 图32．已知点A（m2+1，n2－2）与点B（2m，4n+6）关于原点对称，则A关于x•轴的对称点的坐标为_____，B关于y轴的对称点的坐标为______．3．（2006，苏州）在图2的直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A•点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为_______平方单位．4．在直角坐标系中，已知点A（－5，0），B（－5，－5），∠OAB=90°，•有直角三角形与Rt△ABO 全等并以BA为公共边，则这个三角形未知顶点的坐标是_______．5．已知m为整数，且点（12－4m，19－3m）在第二象限，则m2+2005的值为______．6．如图3所示，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2），（－2，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），•则右图案中右眼的坐标是_______． 7．（2006，绍兴）如图4所示，将边长为1•的正方形OAPB •沿x •轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2006的位置，则P 2006的横坐标x 2006=_______．图4 图5 图68．（2008，潍坊）如图5所示，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A ，1），若将△OAB 逆时针旋转60°后，B 到到达B ′点，则B ′点的坐标是_______．二、选择题9．（2008，贵阳）对任意实数x ，点P （x ，x 2－2x ）一定不在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．图6是中国象棋棋盘的一部分，若○帅在点（1，－1）上，○车在点（3，－1）上，•则○马在点（） A ．（－1，1） B ．（－1，2） C ．（－2，1） D ．（－2，2）11．已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0），A （－1，1），B （－1，0），•将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135°，则点A ，B 的对应点A ，B 的坐标分别是（）A 2，2）B ，0），（2，2）C ．（02）D ，2） 12．已知点A （2a+3b ，－2）和点B （8，3a+2b ）关于x 轴对称，那么a+b=（） A ．2 B ．－2 C ．0 D ．413．若点A （－2，n ）在x 轴上，则点B （n －1，n+1）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．如图7所示，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标是（）A ．（3，7）B ．（5，3）C ．（7，3）D ．（8，2）图7 图815．（2008，济南）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（）A．（－2，1）B．（2，1）C．（2，－1）D．（－2，－1）16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），•请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个三、解答题17．（2008，河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），•点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，•求点C的坐标．18．（2006，晋江）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，•点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（s）；①当t=5时，求出点P的坐标；②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t•的取值范围）．19．（2006，泰州）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，•OA=6，OC=10．（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G•∥A′O交E′F于T 点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在图的条件下，设T（x，y）：①探求：y与x之间的函数关系式；②指出变量x的取值范围．20．（2005，南京市）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P•与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段PQ的中点．如图5－14所示，在直角坐标系，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，•…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知P1的坐标是（1，1），试写出点P2，P7，P100的坐标．21．（2005，沈阳市）如图所示，在方格纸（每个小方格都是边长为1•个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，•以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．（1）如果A，D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B，点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移，旋转或轴对称等知识，•说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．22．（2005，苏州市）如图a所示，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），•现将△COD沿OD 翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图b所示，若翻折后点F落在OA边上，求点D，E的坐标；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的关系式．(a) (b)答案1．（4，－3）2．由m2+1+2m=0，且2m<1，m<0，得m=－1，n2－2+4n+6=0得n=－2即A（2，2），B（－2，－2），∴A关于x轴对称点为（2，－2），B关于y轴对称点为（2，－2）．3．54．画图并讨论得未知点坐标为（0，－5），（－10，0），（－10，－5）．5．由已知得12－4m<0，19－3m>0，∴3<m<613且m为整数，∴m=4，5，6；m2+2005•的值相应为2021，2030，2041．6．（5，4）7．2006 8．（2，32）9．C 10．D 11．B12．由已知得2a+3b=8，3a+2b=2解得a=－2，b=4，∴a+b=2，故选A．13．B 14．C 15．B 16．C17．如图所示，∵四边形OCDB是平行四边形，B（8，0）．∴CD ∥OA ，CD=OB=8．过点M 作MF ⊥CD 于点F ，则CF=12CD=4．过点C 作CE ⊥OA 于点E ． ∵A （10，0），∴OA=10，OM=5． ∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1．连接MC ，则MC=12OA=5．∴在Rt △CMF 中，MF==． ∴点C 的坐标为（1，3）．18．（1）P 点从A 点运动到D 点所需的时间为（3+5+3）÷1s=11s（2）①当t=5时，P 点从A 点运动到BC 上，此时OA=10，AB+BP=5，∴BP=2，过点P 作PE ⊥AD 于点E ，则PE=AB=3，AE=BP=2，∴OD=OA+AE=10+2=12， ∴点P 的坐标为（12，3）；•②分三种情况：当0<t ≤3时，点P 在AB 上运动．此时OA=2t ，AP=t ，∴S=12×2t ×t=t 2．当3<t ≤8时，点P 在BC 上运动，此时OA=2t ． ∴S=12×2t ×3=3t ．当8<t<11时，点P 在CD 上运动，此时OA=2t ，AB+BC+CP=t ． ∴DP=（AB+BC+CD ）－（AB+BC+CP ）=11－t ∴S=12×2t ×（11－t ）=－t 2+11t ． 19．（1）设OE=a ，∵△EOC ≌△EDC ∴OE=DE=a ，OC=CD=10．又AE=6－a ．在Rt △DBC 中，==8 ∴AD=10－8=2．在Rt △DAE 中，AE 2+AD 2=DE 2．即（6－a ）2+22=a 2，∴a=103，∴E （0，103）（2）连接OT，∵△E′OF≌△E′D′F∴∠FE′D′=∠FE′O，E′D=E′O又∵E′T=E′T，∴△E′DT≌△E′OT∴∠E′D′T=∠E′O′T∵∠E′D′T+∠E′D′A′=∠E′OT+∠TOG=90°∴∠E′D′A′=∠TOG又∵A′D′∥OG，A′O∥D′G∠A′OC′=90°=∠D′GO=∠OA′D′∴四边形A′DGO为矩形，∴A′D′=OG∴△A′E′D′≌△OTG，∴A′E′=TG（3）①由（2）知：A′E′=TG=y，OG=A′D′=x, E′O=E′D′=6－y．在Rt△E′A′D′中，x2+y2=（6－y）2∴y=－112x2+3②在（1）的情况下，x取得最大值x=A′E′=6－103=83．在E′点与A′点重合时，x取得最小值，x=6．∴83≤x≤620．P2的坐标是（1，－1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（－1，－3），先找出规律，再写出P100的坐标．21．（1）如图所示．B（－1，－1），C（3，－1）．（2）把“格点△ABC图案”向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度后，•再以点P（11，4）为旋转中心，按顺时针方向旋转180°，即得到“格点四边形图案”．22．（1）由已知得DF=OF=OC=CD=6∴D（6，6），又OA=10．∴DB=4，故DG=GE=EB=DB=4．∴EA=2，即E（10，2）．（2）由题设可知∠CDO=∠ODF，∠BDE=∠GDE，∵∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，∴∠CDO+∠BDE=90°，∵∠COD+∠CDO=90°，∴∠COD=∠BDE，又∵∠OCD=∠DBE=90°∴△COD∽△BDE∴CD COBE BD=，又BE=6－b，BD=10－a∴6610ab a=--，即b=16a2－53a+6．。

平面直角坐标系典型例题

平面直角坐标系典型例题例1、如图写出A、B、C、D、E、F、O各点的坐标．分析：求点A的坐标，由点A向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标2就是点A的横坐标；由点A向y 轴作垂线，垂足在y轴上的坐标1就是点A的纵坐标．按横坐标2在前，纵坐标1在后的顺序，用逗号隔开写在小括号内，即可得点A的坐标是（2，1）．同理可得到点B、C、D、E、F、O的坐标．解：点A、B、C、D、E、F、O的坐标分别是说明：点A和点Ｂ的坐标学生有可能会认为是相同的，教师应加以矫正．例2、在平面直角坐标系内描出下列各点，并指出它们所在的象限或坐标轴：分析：根据点A的坐标（3，2）来确定A的位置，先要在x轴上找到表示3的点，过这点作x轴的垂线；再在y轴上找到表示2的点，过该点再y轴的垂线，两垂线的交点为点A．同理可以找到点B、C、D、E、F、G的位置，从而描出各点，再根据它们的位置写出所在象限或坐标轴.解：点A、B、C、D、E、F、G的位置如上图.点A在第一象限，点B在x轴上，点C在第二象限，点D在x轴上，点E在第三象限点F在y轴上，点G在第四象限.说明：x轴、y轴把坐标平面分成四个象限，坐标轴上的点不在任何一个象限内.例3、选择题：（1）点M（5，－6）关于x轴的对称点的坐标是（）．（A）（－6，5）（B）（－5，－6）（C）（5，6）（D）（－5，6）（2）点N（a，-b）关于原点的对称点是坐标是（）.（A）（-a，b）（B）（-a，-b）（C）（a，b）（D）（-b，a）解：（1）把点M（5，-6）和选项中的四个点都描在同一坐标系内，可发现只有点（5，6）和M点关于x轴对称，因此选C．另法：点M（5，-6）在第四象限，和点Ｍ关于x轴对称的点应在第一象限，选项中只有点（5，6）在第一象限，因此选C．方法三：两个点关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，反之也对．在选项中的四个点，只有点（5，6）符合题意．因此选C．（2）两个点关于原点对称，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，反之也对．选项中只有点（-a，b）符合题意，因此选A．另法：或令a＝1，b＝1，则Ｎ点的坐标为（1，－1）在第四象限，和Ｎ关于原点对称的点应在第二象限，其坐标为（-1，1）只有（-a，b）合题意，因此选A．例4、（1）若点A（a，b）在第三象限，则点Q（-a+1，3b-5）在第________象限；（2）若点B（m+4，m-1）在x轴上，则m=_____________.（3）若点C（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第___________象限.（4）若点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，则m=_________.（5）已知点和点关于y轴对称，则a=______，b=________.解：（1）点A（a，b）在第三象限点Q（-a+1，3b-5）在第四象限（2）点B（m+4，m-1）在x轴上（3） xy＞0，同号x+y＜0，均为负.点C在第三象限.（4）点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，（5）点和点关于y轴对称，说明：这组填空题是点的坐标特征的应用，要记住点在四个象限内的符号特征，点在坐标轴上，一，三与二，四象限夹角平分线上的特征；点关于x轴，y轴，原点对称点的特征.例5、如图，的边长，若把它放在直角坐标系内，是AB在x轴上，点C在y轴上，如果A的坐标是（-3，0），求B、C、D的坐标.分析：求点的坐标，应由该点向x轴、y轴作垂线，根据垂足的坐标来定点的坐标.而垂足的坐标应结合的边长来确定，先确定垂足到原点的距离，再根据点的位置来确定坐标的符号.解：设点B坐标为（b，0），标为（1，0）设点C的坐标为（0，c），由OB=1，BC=2，得，于是点C的坐标为设点D的坐标为作轴于，易证即于是，D点坐标为从而点B、C、D的坐标分别为（1，0），和例6、如果点A（0，0），B（3，0），点C在y轴上，且的面积是5，求C点坐标.解：设点C坐标为（0，y），即于是点C的坐标为说明：用点的坐标差的绝对值来表示线段长度的化简过程中，应根据绝对值的意义来决定取正数、负数或者零.如例4中点C（0，c）在原点上方，所以c＞0，于是；点在原点左侧，所以d＜0，于是如果点的位置不确定，无法判断坐标的大小，化简时就应分情况讨论，如例5中点C（0，y）在y轴上，但不知在原点的上方还是下方，不能判断y与0的大小，因此，化简时，得 .。

平面直角坐标系典型例题

平面直角坐标系典型例题例1已知点P(x, y+1)在第二象限，则点Q(-x+2, 2y+3)在第_________ 限.解因为点P(x，y+1)在第二象限，所以x v 0且y+1>0,因此-x+2>0且2y+3=2(y+1)+1 >0.从而知Q(- x+2, 2y+3)在第一象限.点评学习平面直角坐标系首先要掌握不同位置的点的坐标特征•点P坐标为(a, b), P点在x轴上，则b=0；P点在y轴上，则a=0. P点在第一象限，则a>0且b>0；P点在第二象限，则a v 0且b>0；P点在第三象限，则a v0且b v0；P点在第四象限，则a>0且b v 0•若P点在第一、三象限的角平分线上可设为P(a, a)；若P点在第二、四象限的角平分线上可设为P(a, -a).例2已知点A(3a-1 , 2-b)、B(2 a-4 , 2b+5).若A与B关于x轴对称，则a= ____ , b= _ ;若A与B关于y轴对称，则a= ____ , b= __ ;若A与B关于原点对称，贝U a= , b= ______ .- 1 =- 4解若A与B关于渤对称，则口L ' 即12-b = -(2b +5),a=-3, b=-7 .3a - 1 = - (2a - 4)2 - b - 2b + 5,a=1, b=1.若A与B关于原点对称，则J；1[[即12 - b = -(2b + J.Ia=1, b=7.点评平面上不同的两点P(x i, y)、Q(X2, y2).若x i=X2且屮予，贝U P、Q关于x轴对称；若x=-X2且y i=y2，贝U P、Q关于y轴对称；若x=-X2且y i=-y2，贝U p、Q 关于原点中心对称.点P(a, b)关于直线y=x( —、三象限角平分线)对称点的坐标为若A与B关于y轴对称，则Q(b, a).点P(a, b)关于直线y=-x(二、四象限角平分线)对称点的坐标为Q (- b，- a).例3设P(m,m+2)是坐标平面内某一象限的整点(横纵坐标皆为整数的点), 已知点P到x轴的距离与它到y轴的距离之差为2m+2,求点P关于y轴对称的点的坐标.解根据题意知|m+2|-| m|=2m+2. (1)当m>0时，(1)式变为m+2-m=2m+2，得m=0与m>0矛盾，无解.当m v-2时，⑴式变为-m~2-(- m)=2m+2得m=-2与m v-2矛盾，无解.当-2 v m v 0 时(1)式变为m+2-(- m)=2 m+2,即2m+2=2m+2 成立.因为m 为整数得m=-1 .所以P(-1 , 1)关于y轴对称的点的坐标为Q(1 , 1).点评首先要认真审题，仔细阅读原题.P(m, m+2)是坐标平面内某一象限的整点，它的含义是m H 0且m+2工0且m为整数.另外P点到x轴的距离应是| m+2|，同理P点到y轴的距离应是| m|，不能写成m+2与m.同时解题时要进行分类讨论.因为| m+2|与| m|因m不确定而无法去掉绝对值符号进行运算，所以必须分类讨论.如何分类则根据m+2与m的正负来划分讨论区域；m>0, -2 v m v0, m v-2 .分类要做到不重不漏.例4如图13—1，已知ABCD是平行四边形，△ DCE是等边三角形，A 5 0),B (症,0), D(0. 3),求E点的坐标・解根据题意知E点有两种可能，一是在CD的上方，或在CD的下方.坐标为Q(b, a) •点P(a, b)关于直线y=-x(二、四象限角平分线)对称点的坐标为Q(- b，-a).所以若E点在CD的上方，则E 2尿 3 + —X473 即Eg仅9）.若E点在CD的下方，则爲厂,3- —X4 即E（2占，-3）.点评弄清题意，以CD为一边可向两边作等边三角形.另外要加强基础知识的积累，如等边三角形的边长为a,那么高为舟乳面积为爭外接圆半径为£弘内切圆半径为纟盒等要2 43 6牢固拿握.。

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