平面直角坐标系典例解析

平面直角坐标系典例解析

一、在平面直角坐标系中确定点的位置：

例1、 已知点A （0，3），B （－1，1），C （－3，2），D （－2，0），E （－3，－2），F （－1，－1），G （0，－3），H （1，－1），I （3，－2），J （2，0），K （（3，2），L （1，1）.

（1）请在如图所示的平面直角坐标系中，分别描出上述各点，并顺次连结； （2）试求（1）中连线围成图形的面积.

分析：第（1）小题，依据点的横、纵坐标的定义，分别描出各点并依次连结；第（2）小题，图形被坐标轴平均分成四部分，故只要查出一个象限中图形围起的小正方形的个数，就可求得答案.

解：（1）如右图所示，

（2）∵第一象限中图形围起的小正方形个数为（4－2×

21－2×21）+（3－2×2

1

）=4，∴第一象限中图形围起的小正方形的总面积为12×4=4.

∵图形被坐标轴平均分成四部分，∴图形的总面积为4×4=16.

点拨：结合点的坐标与图形中线段长度的意义，合理分割图形、找准小正方形的个数是解答第（2）小题的关键.

二、根据条件判断点所属象限：

例2、已知（a －2）2+(b+3)2=0，试判断点M （－a ，－b

1

）所在的象限. 分析：由（a －2）2+(b+3)2=0，得a=2，b=－3，所以点M （－2，－3

1

）在第三象限.

解：由（a －2）2+(b+3)2=0，得a=2，b=－3，∴－a=－2，－b 1=－3

1

，即点M 的坐标

为（－2，－31），又∵－2<0，－31<0，∴点M （－a ，－b

1

）在第三象限.

三、平移在平面直角坐标系中的应用：

例3、如图，三角形A 1B 1C 1是由三角形ABC 平移后得到的，三角形ABC 中任意一点M （x 0，y 0）经平移后对应点为M 1（x 0－5，y 0－3），求A 1、B 1、C 1、的坐标，并求出三角形A 1B 1C 1的面积.

y

x

C(6，4)

F

E

A1

M1（

x0-5，y0-3)M （x0，y0）

C1

B1

B （1，2）-2

-175

4

21-5-3-2-17

6

5

4321O -4D

86A(3，6)3

分析：观察两个三角形的平移过程，由M （x 0，y 0）和M 1（x 0－5，y 0－3）可知：三角形A 1B 1C 1是由三角形ABC 先向下平移3个单位长度，再左平移5个单位长度，即可求出A 1、B 1、C 1、的坐标，而三角形A 1B 1C 1的面积可以看做是一个长方形的面积减去一些小三角形的面积.

解：由M （x 0，y 0）和M 1（x 0－5，y 0－3）可知：三角形A 1B 1C 1是由三角形ABC 先向下平移3个单位长度，再左平移5个单位长度，相应地，三角形A 1B 1C 1的各个顶点坐标，也是由三角形ABC 各个顶点坐标先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，即三角形A 1B 1C 1的各个顶点坐标分别为：A 1（－2，3）、B 1（－4，－1）、C 1（1，1）.从三角形A 1B 1C 1的各个顶点构造一个长方形B 1DEF ，则三角形A 1B 1C 1的面积=长方形B 1DEF －三角形A 1B 1D 的面积－三角形A 1C 1E 的面积－三角形B 1C 1F 的面积=5×4－21×2×4－2

1

×2×3－

2

1

×2×5=8. 点拨：用坐标表示平移：①平移规律：

②一个图形进行平移，这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化；反过来，如

果图形上的点的坐标发生变化，那么这个图形进行了平移；③平移特征：一个图形平移前后大小、形状完全相同，只是位置不同.同时，还要知道：在坐标系中求一个图形的面积，一般要把它转化为一些能用面积公式表达的图形的和与差来求解，如在本题中所求的三角形面积可以看做一个长方形的面积减去一些小三角形的面积来求解.

A ′（x+a ，y ）或（x -a ，y ）

B ′（x ，y+b ）或（x ，y -b ）

向右或向左平移

a 个单位

向上或向下平移

b 个单位

点A （x ，y ）

中考中的坐标与位置

点的坐标是确定坐标平面内点的位置的一种简便有效的方法之一，在实际生活、生产中具有广泛的应用，点的坐标与点的位置关系是中考常见的考点之一，主要有以下三种题型：

一、由点的坐标确定点的位置

由点P （a ，b ）的坐标确定点P 的位置的方法是：过x 轴上表示数a 的点A （a ，0）画ｘ轴的垂线，再过ｙ轴上表示数b 的点B （0，b ）画y 轴的垂线，两垂线的交点就是点P 的位置．

例1（陕西省）如图1，在直角坐标系中，

（1）描出下列各点，并将这些点用线段依次连接起来．

（－5，0），（－5，4），（－8，7），（－5，6），（－2，8），（－5，4）； （2）把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案．

分析：（1）过横轴上的点（－5，0）画横轴的垂线，过纵轴上的点（0，4）画纵轴的垂线，两垂线的交点就是（－5，4）的位置，其它各点类似可描；连线时注意按照题目给出的点的顺序进行．

（2）先确定各点平移后的对应点的位置，再依次连线． 二、由点的位置确定点的坐标

由点P 位置确定点P 的坐标的方法是：过点P 画x 轴

的垂线，垂足A 在x 轴上所表示数a 就是的点P 的横坐标；

-10 -9–8-7–6–5–4–3–2–1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 9 8 7 6 5

4 3 2

1 y

图1

· · · · · · ·

·

· ·

图2

Ｏ ｘ

ｙ

B(0,5)

A(3,5)

C(0,2)