初中数学三角函数难题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
三角函数大题专项(含答案)
三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x ＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。
初中三角函数练习试题和答案解析
初中三角函数练习题及答案一精心选一选1、在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值与余弦值都 A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定12、在Rt △ABC 中,∠C=900,BC=4,sinA=54,则AC=A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角,且sinA=31,则A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31,则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中,∠A ：∠B ：∠C=1：1：2,则a ：b ：c=A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：226、在Rt △ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点-sin60°,cos60°关于y 轴对称的点的坐标是A ．32,12B ．-32,12C ．-32,-12D ．-12,-329．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,•若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地A 350m B100 m C150m D 3100m11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒,图145︒30︒BAD C向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45︒,则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距 ．A30海里 B40海里 C50海里 D60海里 二细心填一填1．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____． 2．在△ABC 中,若BC=2,AB=7,AC=3,则cosA=________． 3．在△ABC 中,AB=2,AC=2,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______．4．如图,如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B,且BP=2,那么PP ＇的长为____________． 不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-,cos15°=624+5．如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个4错误!单位,到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为___________结果保留根号．7．求值：sin 260°+cos 260°=___________．8．在直角三角形ABC 中,∠A=090,BC=13,AB=12,那么tan B =___________． 9．根据图中所给的数据,求得避雷针CD 的长约为_______m 结果精确的到0.01m ．可用计算器求,也可用下列参考数据求：sin43°≈,sin40°≈,cos43°≈,cos40°≈,tan43°≈,tan40°≈10．如图,自动扶梯AB 段的长度为20米,倾斜角A 为α,高度BC 为___________米结果用含α的三角比表示． 第6题图 xO A y B北甲北 乙第5题图αBCD第4题图1 211．如图2所示,太阳光线与地面成60°角,一棵倾斜的大树与地面成30°角,•这时测得大树在地面上的影子约为10米,则大树的高约为________米．•保留两个有效数字,2≈,3≈三、认真答一答1,计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒ 分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解;注意分母有理化,3 如图1,在∆ABC 中,AD 是BC 边上的高,tan cos B DAC =∠; 1求证：AC ＝BD2若sinC BC ==121312，,求AD 的长;图1分析：由于AD 是BC 边上的高,则有Rt ADB ∆和Rt ADC ∆,这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解;4如图2,已知∆ABC 中∠=∠C Rt ,AC m BAC =∠=，α,求∆ABC 的面积用α的三角函数及m 表示图2分析：要求∆ABC 的面积,由图只需求出BC;解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解.5. 甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.6. 从A 处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B 处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高.分析:求CD,可解Rt ΔBCD 或Rt ΔACD.但由条件Rt ΔBCD 和Rt ΔACD 不可解,但AB=100若设CD 为x,我们将AC 和BC 都用含x 的代数式表示再解方程即可.7、如图,一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD ,斜坡BC 的坡度为3:2=ι,路基高AE 为3m,底CD 宽12m,求路基顶AB 的宽B ADCE300 450ArE D BCAH8.九年级1班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度3m CD =,标杆与旗杆的水平距离15m BD =,人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =,人与标杆CD 的水平距离2m DF =,求旗杆AB 的高度．9.如图3,沿AC 方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同时施工;从AC 上的一点B,取∠=︒=ABD BD 145500，米,∠=︒D 55;要使A 、C 、E 成一直S 线,那么开挖点E 离点D 的距离是多少图3分析：在Rt BED ∆中可用三角函数求得DE 长;10 如图8-5,一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C 灯塔B 距离A 处较近,两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点,观测到灯塔B 恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里／时,又知在灯塔C 周围海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险分析：本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．11、如图,A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处,以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动,距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域;问A 城是否会受到这次台风的影响为什么若A 城受到这次台风的影响,那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长图8-4EA C BD北东12. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得,从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器;1请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案;具体要求如下：测量数据尽可能少,在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上如果测A 、D 间距离,用m 表示；如果测D 、C 间距离,用n 表示；如果测角,用α、β、γ表示;2根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG 用字母表示,测倾器高度忽略不计;13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行;为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问1需要几小时才能追上点B 为追上时的位置2确定巡逻艇的追赶方向精确到01.︒如图 4图4参考数据：sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，分析：1由图可知∆ABO 是直角三角形,于是由勾股定理可求;2利用三角函数的概念即求;14. 公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠=︒QPN 30,点A 处有一所中学,AP=160m,一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶,假设拖拉机行驶时,周围100m 以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响如果不受影响,请说明理由；如果受影响,会受影响几分钟NP A Q M.15、如图,在某建筑物AC 上,挂着“多彩云南”的宣传条幅BC,小明站在点F 处,看条幅顶端B,测的仰角为︒30,再往条幅方向前行20米到达点E 处,看到条幅顶端B,测的仰角为︒60,求宣传条幅BC 的长,小明的身高不计,结果精确到0.1米16、一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈217、如图,一条小船从港口A 出发,沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处,然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里结果精确到1海里 友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈,cos 400.7660≈,tan 400.8391≈,3 1.732≈．A BC北东P 北403018、如图10,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,从地面C 处的雷达站测得AC 的距离是6km ,仰角是43．1s 后,火箭到达B 点,此时测得BC 的距离是6.13km ,仰角为45.54,解答下列问题：1火箭到达B 点时距离发射点有多远精确到0.01km2火箭从A 点到B 点的平均速度是多少精确到0.1km/s19、经过江汉平原的沪蓉上海—成都高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①,一测量员在江岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向,测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处,测得68=∠ACB .1求所测之处江的宽度.48.268tan ,37.068cos ,93.068sin ≈≈≈； 2除1的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②中画出图形.20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米,现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC 杆子的底端分别为D,C,且∠DAB=66. 5°．1求点D 与点C 的高度差DH ；2求所用不锈钢材料的总长度l 即AD+AB+BC,结果精确到0.1米．参考数据：°≈,°≈,°≈答案一、选择题1——5、CAADB 6——12、BCABDAB 二、填空题图10ABOCCB图①图②1,352, 3,30°点拨：过点C 作AB 的垂线CE,构造直角三角形,利用勾股定理CE4连结PP ＇,过点B 作BD ⊥PP ＇,因为∠PBP ＇=30°,所以∠PBD=15°,利用sin15°=,先求出PD,乘以2即得PP ＇5．48点拨：根据两直线平行,内错角相等判断6．0,4+B 作BC ⊥AO,利用勾股定理或三角函数可分别求得AC 与OC的长7．1点拨：根据公式sin 2α+cos 2α=18．125点拨：先根据勾股定理求得AC=5,再根据tan ACB AB =求出结果 9．点拨：利用正切函数分别求了BD,BC 的长 10．20sin α点拨：根据sin BCAB α=,求得sin BC AB =•α11．35三,解答题可求得 1． -1； 2． 43．解：1在Rt ABD ∆中,有tan B AD BD=, Rt ADC ∆中,有cos ∠=DAC ADACtan cos B DACAD BD ADACAC BD =∠∴==，故 2由sinC AD AC ==1213；可设AD x AC BD x ===1213， 由勾股定理求得DC x =5, BC BD DC x =∴+==121812即x =23 ∴=⨯=AD 122384．解：由tan ∠=BAC BCAC∴=∠=∠=∴=∴=⋅=⋅=BC AC BAC AC m BAC BC m S AC BC m m m ABC tan tan tan tan ，αααα∆12121225解过D 做DE ⊥AB 于E∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° BC=45在Rt ΔACB 中,BCAB tgACB =)(4545米=⋅=∴ tg BC AB在Rt ΔADE 中,∠ADE=30°DEAE tgADE =315334530=⋅=⋅=∴tg DE AE )(31545米-=-=∴AE AB CD答:甲楼高45米,乙楼高31545-米. 6 解:设CD=x在Rt ΔBCD 中,CD BCctgDBC =∴BC=x 用x 表示BC 在Rt ΔACD 中,CDACctgDAC = x ctgDAC CD AC 3=⋅=∴∵AC-BC=100 1003=-x x 100)13(=-x ∴)13(50+=x 答:铁塔高)13(50+米. 7、解：过B 作BF ⊥CD,垂足为FBF AE =∴ 在等腰梯形ABCD 中 AD=BC D C ∠=∠ 3:2=iBC AE=3m ∴DE=4.5mAD=BC,D C ∠=∠,︒=∠=∠90DEA CFB ∴∆BCF ≅∆ADE ∴CF=DE=4.5m ∴EF=3m300450Ar E D BC︒=∠=∠90AEF BFE∴BF ∴∴3m CD FB ⊥AB FB ⊥CD AB∴∥CGE AHE∴△∽△CG EG AH EH∴=CD EF FD AH FD BD -=+3 1.62215AH -∴=+11.9AH ∴=11.9 1.613.5(m)AB AH HB AH EF ∴=+=+=+=∠=︒∠=︒∴∠=︒ABD D BED 1455590，，Rt BED ∆ cos cos D DEBDDE BD D =∴=⋅， BD =500∠=︒D 55︒=∴55cos 500DE 716284AD =⨯=∵cos24°15′=ADAB, ∴2830.71cos 24150.9118AD AB ==≈'︒海里.AC=AB+BC=+12=海里. 在Rt△ACE 中,sin24°15′=CEAC, ∴CE=AC·sin24°15′=×=海里. ∵＜,∴有触礁危险;答案有触礁危险,不能继续航行; 11、1过A 作AC ⊥BF,垂足为C︒=∠∴︒=∠30601ABC在RT ∆ABC 中 AB=300km响城会受到这次台风的影A kmAC ABC ∴=∴︒=∠150302AHh hkm kmt h km v km DE kmCD kmad km AC AD AE E ，BF km AD D ，BF 1071071007107100750200,150200==∴==∴=∴==== 使上取在使上取在答：A 城遭遇这次台风影响10个小时;12 解：1在A 处放置测倾器,测得点H 的仰角为α 在B 处放置测倾器,测得点H 的仰角为β（）在中，2Rt HAI AI HI DI HI AI DI m ∆==-=tan tan αβHI m=-tan tan tan tan αββαHG HI IG mn =+=-+tan tan tan tan αββα13解：设需要t 小时才能追上; 则AB t OB t ==2426，1在Rt AOB ∆中, OB OA AB 222=+,∴=+()()261024222t t则t =1负值舍去故需要1小时才能追上; 2在Rt AOB ∆中sin .∠==≈AOB AB OB tt242609231 ∴∠=︒AOB 674. 即巡逻艇沿北偏东674.︒方向追赶; 14 解：1008030sin 1<=︒=∆AP AP APB Rt 中，）在（ ∴会影响N（）在中（米）2100806022Rt ABD BD ∆=-=6023610006022⨯⨯=∴.（分钟）分钟15 解： ∵∠BFC =︒30,∠BEC =︒60,∠BCF =︒90 ∴∠EBF =∠EBC =︒30 ∴BE = EF = 20 在Rt⊿BCE 中, )(3.17232060sin m BE BC ≈⨯=︒⋅= 答：宣传条幅BC 的长是17.3米;16 解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD． 设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°． 在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°．∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近17 解：过B 点作BE AP ⊥,垂足为点E ；过C 点分别作CD AP ⊥, CF BE ⊥,垂足分别为点D F ，,则四边形CDEF 为矩形． CD EF DE CF ∴==，,…………………………3分30QBC ∠=,60CBF ∴∠=．2040AB BAD =∠=，,B CDAFP 北4030cos 40200.766015.3AE AB ∴=⨯≈≈； sin 40200.642812.85612.9BE AB =⨯=≈≈． 1060BC CBF =∠=，,sin 60100.8668.668.7CF BC ∴=⨯=≈≈； cos60100.55BF BC ==⨯=．12.957.9CD EF BE BF ∴==-=-=． 8.7DE CF =≈,15.38.724.0AD DE AE ∴=++=≈．∴由勾股定理,得222224.07.9638.4125AC AD CD =++=≈≈．即此时小船距港口A 约25海里 18 解1在Rt OCB △中,sin 45.54OBCB=1分 6.13sin 45.54 4.375OB =⨯≈km 3分火箭到达B 点时距发射点约4.38km 4分 2在Rt OCA △中,sin 43OACA=1分 6sin 43 4.09(km)OA =⨯= 3分()(4.38 4.09)10.3(km /s)v OB OA t =-÷=-÷≈ 5分答：火箭从A 点到B 点的平均速度约为0.3km/s 19解：1在BAC Rt ∆中,68=∠ACB , ∴24848.210068tan =⨯≈⋅=AC AB 米答：所测之处江的宽度约为248米……………………………………………………3分 2从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识 来解决问题的,只要正确即可得分 20 解：1DH=×34=米．2过B 作BM ⊥AH 于M,则四边形BCHM 是矩形． MH=BC=1 ∴AM=AH -MH=1+一l=． 在RtAMB 中,∵∠A=° ∴AB=1.23.0cos66.50.40AM ≈=︒米．∴S=AD+AB+BC ≈1++1=米．答：点D 与点C 的高度差DH 为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米。
【中考冲刺】初三数学培优专题 12 三角函数(含答案)(难)
三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系． （1）平方关系：1cos sin 22=+αα； （2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =； （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形， 关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．（河北省竞赛试题）解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ． 求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）图2图1F EAE AABCDDC BDC B解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10． （1）求△ANE 的面积； （2）求ENB ∠sin 的值．解题思路：将31tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02=++q px x 的两个根． （1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？（江苏省竞赛试题）解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法． C【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：nn n c b a <+．（福建省竞赛试题）解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A 级1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，43sin =∠CBD ，则AE ＝ ．2．已知00900≤≤α，则ααsin sin 45+-=y 的最大值是 ，最小值是 ．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程 2)1(5)1(322=+-+xx x x 的一个较大的根，则CD ＝ ． 东第5题图第1题图第3题图BACAO4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为 ． （哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东600距离500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ） A ．250mB ．3250mC ．33500mD ．2250m6．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝300，D 是AC 的中点，则DBC ∠cot 的值是（ ） A ．3B ．32C ．23D ．43 （大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） （黄冈市中考试题） A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里8．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（ ） A ．36B ．35C ．34D ．33第7题图第6题图第8题图东北BA OA9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB ＝150厘米，∠BAC ＝300，另一根辅助支架DE ＝76厘米，∠CED ＝600． （1）求垂直支架CD 的长度（结果保留根号）；（2）求水箱半径OD 的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：73.13,41.12≈≈）．（扬州市中考试题）图2图1A10．若α为锐角，求证：4cos sin 1cos 1sin 1>⋅++αααα． （宁波市竞赛试题）11．如图，已知AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝900, ∠CBD ＝300，求AC 的长．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝1．若AD ，BD 的长是关于x 的方程 02=++q px x 的两根，且2tan tan =-B A ，求p ，q 的值并解此二次方程．ABDCB 级1．若0300<<θ，且31sin +=km θ（k 为常数，k ＜0），则m 的取值范围是 ． 2．设00450<<α，1673cos sin =⋅αα，则=αsin ． （武汉市选拔赛试题） 3．已知在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，且2tan ,135sin ==B A ，AB ＝29cm ，则△ABC 的面积等于 ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ． （全国初中数学联赛试题） 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CAB ＝300，AD 平分∠CAB ，则CDACCD AB -的值为（ ） A ．3B ．33C ．33-D ．326-（湖北省选拔赛试题）第4题图第5题图NBAB AMD6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD 上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（ ） （天津市竞赛试题） A ．23B ．2C ．25D ．3 7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CBD ＝300，则DCAD＝（ ） A ．33 B ．22 C ．12- D ．13-（山东省竞赛试题）第7题图第6题图BA BDE8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD ，BE 和一段水平天台DE 构成．已知天桥高度BC ＝4. 8米，引桥水平跨度AC ＝8米． （1）求水平天台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比．（参考数据：取75.037tan ,80.037cos ,60.037sin 0===） （长沙市中考试题）NA9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c ＝35．若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积．（武汉市中考试题）10．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且BEG ∠与CFH ∠都是锐角．已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ． （1）求证：klS2sin =θ； （2）试用S l k ,,来表示正方形ABCD 的面积．（全国初中数学联赛试题）EGHF11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝900，BC ＝CD ＝10，54sin C ． (1) 求梯形ABCD 的面积；（2）点E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ，求△EFC 面积的最大值，并说明此时E ，F 的位置．（济宁市中考试题）BCADEF12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为300，此时，求：（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？（山东省竞赛试题）三角函数例1 AC 2－BC 2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB 2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，得∠B ＝90°，故原式＝(19921993)2.例2 AD ＝227m ，BC ＝146m . 解法一:延长AD ，BC 交于点E ，如图1. 在Rt △ABE 中，AB ＝200m ，∠A ＝60°，∴BE ＝AB ·tanA ＝200 3 (m )，AE ＝AB cos 60°＝2000.5＝400(m ). 在Rt △CDE 中，CD ＝100m . ∠E ＝90°－∠A ＝30°，∴CE ＝2CD＝200(m . ∵cot ∠E ＝DECD ，DE ＝CD ·cot 30°＝100 3 (m )，∴AD＝AE －DE ＝400－1003≈227(m )，BC ＝BE －CE ＝2003－200≈146(m ). 解法二:如图2，过点D 作矩形ABEF . 设AD ＝x . 在Rt △AFD 中，∠DAF ＝90°－60°＝30°，∴DF ＝12AD ＝12x ，AF ＝32x ，在Rt △CED中，∠CDE ＝30°，∴CE ＝12CD ＝50(m )，DE ＝32CD ＝503(m )，∵DE ＋DF ＝AB . ∴503＋12x ＝200，解得x ＝400－100 3. ∴AD ＝400－1003≈227(m ). ∵BC ＋CE ＝AF ，∴BC ＝AF －CE ＝32(400－1003)－50＝2003－200≈146(m ).例3 ⑴103 ⑵35 提示：tan ∠AEN ＝tan ∠EAB ＝EBAB.例4 ⑴设DE ＝x (海里)，则客轮从A 点出发到相遇之处E 点的距离为2x 海里. 若2x <200，则x <100，即DE <12AB ，而从D 点出发，货轮到相遇点E 处的最短距离是100海里，所以x ≥100，即2x ≥200，故相遇处E 点应在CB 上，选B . ⑵设货轮从出发点D 到两船相遇处E 共航行了x 海里，如图，过D 作DF ⊥CB 于F ，连DE ，则DE ＝x ，AB ＋BE ＝2x ，DF＝100，EF ＝300－2x ，由x 2＝1002＋(300－2x )2，得x ＝200－10063(海里).例5 ⑴p ，q 应满足以下条件：⎩⎪⎨⎪⎧△＝p 2－4q ≥0sinA ＋sinB ＝－p sinA ·sinB ＝q0＜sinA ＜10＜sinB ＜1sin 2A ＋cos 2A ＝1. 由此推得⎩⎨⎧p <00<q ≤12p 2－2q ＝1 ,⑵先设方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根为α，β，若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ≥0 ①0＜α＜1，0＜β＜1②α2＋β2＝1 ③，则α，β必定是直角三角形的两个锐角的正弦;若α，β不满足条件①②③式中任何一个，则结论是否定的.例6 设α为直角三角形一锐角，则sinα＝a c ，cosα＝bc . ∵0<sinα<1，0<cosα<1∴当n ≥3时，sin n α<sin 2α，a bA 级1. 9 2. 5 1 提示：用换元法. 3. 43－213 4. 116 5. A 6.B 7. A 8. B 9. ⑴在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76. ∵sin ∠CED ＝DC DE，∴DC ＝DE ·sin ∠CED ＝383(厘米). 故垂直支架CD 的长度为383厘米.⑵设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383＋x )厘米，AO ＝(150＋x )厘米. ∵Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°，∴AO ＝2OC ，即150＋x ＝2(383＋x ），解得x ＝150－763≈18. 52≈18. 5(厘米). 故水箱半径OD 的长度为18. 5厘米.10. (1sinα－1)＋(1cosα－1)＋(1sinαcosα－2)＝1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋1－2si nαcosαsinαcosα，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于是有1－ sinα>0,1－ cosα>0,∴1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋(sinα－cosα)2sinαcosα>0，即1sinα＋1cosα＋1sinαcosα>4. 11. 过C 作CE ∥AB 交BD 于E ，设AC ＝x ，则CB ＝21x -，CE ＝BC ·tan ∠CBE ＝213x -. 由△DCE ∽△DAB ，得CD CE AD AB =，即21113x x -=+，化简得（x ＋2）（x 3－2）＝0，解得x ＝32，即AC ＝32. 12. P ＝－22，q ＝1，x 1,2＝21±. 提示：tan A －tan B ＝()CD CD CD BD AD AD BD AD BD -=-⋅. B 级1. 1163m k k <<-2. 743. 145cm 24. 13提示：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连接TO ，则△BAM ∽△TOB . 5. B 6. D 7. D8. （1）如图，延长线段BE ，与AC 相交于点F ，∴DE ＝AF ，∠BFC ＝∠A ＝37°. 在Rt △BCF 中，tan ∠BFC ＝BF CF ，∴CF ＝ 4.8 6.4tan 370.75BC ==︒（米），∴DE ＝AF ＝AC －CF ＝8－6. 4＝1. 6（米）. 故水平平台DE 的长度为1. 6米. （2）延长线段DE ，交BC 于点G . ∵DG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠C ＝90°，∴四边形MNCG 是矩形，∴CG ＝MN ＝3（米）. ∵BC ＝4. 8（米），∴BG ＝BC －CG ＝1. 8（米）. ∵DG ∥AC ，∴ 1.834.88BE BG BF CB ===，∴53EF BE =，而AD ＝EF ，故53AD BE =.9. 18 提示：222a b c +=，3sin 5A =. 10. 提示：（1）S =S △EFG ＋S △FGH ＝1sin 2EG FH θ⋅. （2）过E ，F ，G ，H 分别作正方形ABCD 的垂线，得矩形PQRT . 设ABCD 的边长为a ，PQ ＝b ，QR ＝c ，则22b k a =-，22c l a =-. 由S △AEH ＝S △THE ，S △BEF ＝S △PEF ，S △GFC ＝S △QFG ，S △DGH ＝S △RGH ，得S ABCD第8题图＋S PQRT ＝2S EFGH ，∴a 2＋bc ＝2S ，即22a S =. ∴222222(4)4k l S a k l S +-=-，由（1）知22sin S kl S θ=>，∴2224k l kl S +≥>. 故22222244k l S a k l S -=+-. 11. （1）S 梯形ABCD ＝56. （2）E ，F 分别是BC ，DC 的中点，设运动时间为x 秒，则S △EFC ＝22224(5)1055x x x -+=--+，当x ＝5时，S △EFC 面积最大，最大值为10. 12. （1）折冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度. 设CE ⊥AB 于点E ，则∠AEC ＝90°，∠ACE ＝30°，EC ＝20米，∴AE ＝EC tan ∠ACE ＝20tan30°≈11. 6（米），CD ＝EB ＝AB －AE ＝4. 4（米）.（2）设点A 的影子落在地面上某点C ，则∠ACB ＝30°，AB ＝16米，∴BC ＝AB cot30°≈27. 7（米），故要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27. 7米.。
初中三角函数专项练习题与答案
（一）精心选一选（共３６分）1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定2、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=54，则AC=（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）5、 A 、74 B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（，12）B ．（-，12）C ．（-，-12）D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米10．王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）（A）350m（B）100 m（C）150m（D）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）细心填一填（共３３分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB= ，B=30°，则∠BAC的度数是______．图19．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为_______m （结果精确的到0.01m ）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图，太线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，• 这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米。
初中数学三角函数难题解题技巧,中考数学三角函数典型题型归纳与答案解析
【例2】某片绿地形〉图所示，其中匕4=60°,AB±BC f AD'CD,ng二200/n,CZ?=100/n.求8C的长.（精确到Is.73^1.732）解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破环匕4所以连结NC不 行.延长和8C交于一点£（如图1）,这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊街&；或过点Q作矩形ABEF（如图2）来求解.【例3】如图,已知正方形49口）中，£为8匚上一点.将正方形折叠起来，使京N和点£重合，折痕为M/V.若tanQ£N=?,£?C+（T=10.（1）求以他的面积；（2）求sin ZENB的值.解题思踣：将tan A4£V=|与DC Q=10结合起来，可求出相关线段的长，为解朝铺平道路.【例4】如图，容轮沿折线K—8—C从4出发经8田到C匀速航行，货轮从的中点Q出发沿某一方向匀i:线航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折度4—8—C上 的桌点£处，已知4g=8C=2O0海里，^ABC=90°,客?觥麋的2倍，(1)选择：两船相遇之处£点()〜/ZA.在象础上//ZB.在线段8C上c—-----------pnC.可以在线段上，也可以在线段8C上(2)求货轮从出发到两船相遥共航行了多少海里？(结果保留根号)(南宗市中考试题)解题思85:对于(2),过。
作DF'CB于£设DE=X,建立关于x的方程.【例5］若直角三角形的两个洗角A, B的正弦是方程x2+px+g=0的两个根.(1)那么，实数们g应海足哪些条｛牛？(2)如果日，q满足这些条件，方程/+哗+。
二0的两个根是否等于直角三角形的两个说角凡〃的正弦？(江苏肯竟葡国解题思路：解本例的关健是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综舍运用一元:次三角函数的知识与方法.【例6】设子，b,(■是直角三角形的三边，。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（）A．1 B．C． D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．3．观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．4．有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上）．5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA= ．7．如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=度．8．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣；因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣；猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于．9．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C= ．10．在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A= ．11．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）12．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B 的大小．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M 从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．15．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．16．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（）A．1 B．C． D．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，∴∠ADB=60°．∴sin∠ADB=sin60°=．故选C．2．（2013•崇明县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．【解答】解：∵∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，∵将△BCD沿着直线BD折叠，∴C1点恰好在斜边AB上，∴∠DC1A=90°，∴∠ADC1=∠ABC，∵AB=5，AC=4，∴sin∠ADC1=．故答案为：．3．（2012•衡阳）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= 1 ．【解答】解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．4．（2010•防城港）有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是①④（注：把所有正确命题的序号都填上）．【解答】解：①因为sin45°=cos45°=，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；③根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=．∴x1+x2+x1x2=，是正数．故此选项错误；④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．故正确的有①④．5．（2011•莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为 5 ．【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．6．（2007•眉山）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA= ．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，∴设BC=3x，则AC=4x，∴AB=5x，∴cosA===．7．（2002•西城区）如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=35 度．【解答】解：∵sin2α十cos235°=1，∴α=35°．8．（2010•湛江）因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣；因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣；猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于﹣．【解答】解：∵当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，∴cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．9．（2013•邵阳模拟）在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C= 105°．【解答】解：∵sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故答案为：105°．10．（2012•海南模拟）在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A= 105°．【解答】解：∵（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，∴tanC﹣1=0，﹣2cosB=0，即tanC=1，cosB=，又∵B、C在同一个三角形中，∴B=30°，C=45°，∴A=180°﹣30°﹣45°=105°．故答案是105°．11．（2011•九江模拟）若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是①②④．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）【解答】解：∵sinα＜sinβ，则α＜β；故此选项正确；②若α+β=90°，则sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，∴故此选项正确；③存在一个角α，sinα=，∴sinα≤1，∴sinα=1.02，故此选项错误；④tanα=．根据对应边之间关系得出，故此选项正确．故答案为：①②④．12．（2008•庆阳）附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．【解答】解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=．证明：（1）∵sinA=，cosA=，a2+b2=c2，∴sin2A+cos2A==1．（2）∵sinA=，cosA=，∴tanA==，=．13．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B 的大小．【解答】解：（1）由题意得，sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣，sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根，∴m=0符合题意；②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0，经检验不是方程4x2﹣1=0的根．综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．14．（2010•密云县）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．【解答】解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．∴KH=AD=3．在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4，BK=AB•cos45°=4=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．又∵∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴，即．解得，．（3）分三种情况讨论：①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t，∴．②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．解法一：由等腰三角形三线合一性质得：EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．在Rt△CEN中，cosC==，又在Rt△DHC中，cosC=，∴．解得t=．解法二：∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC∽△DHC．∴，即．∴t=．③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．解法一：（方法同②中解法一），解得．解法二：∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC．∴，即，∴．综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．15．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==90×=90．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB==30．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．16．（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，（结B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．果保留根号）【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×=10（海里），在Rt△BCD中，BC===20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．。