人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编

人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编

一、选择题

1．如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 中点，且4AB =，CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，则OD 的最小值为（ ）．

A ．1

B 2

C 21

D ．222

【答案】D

【解析】

【分析】 根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO 最小时，DO 为三角形ABC 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．

【详解】

解：Q CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，

D ∴为ABC ∆的内心，

OD ∴最小时，OD 为ABC ∆的内切圆的半径，

,DO AB ∴⊥

过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F

,DE DF DO ∴==

∴ 四边形DFCE 为正方形，

O Q 为AB 的中点，4,AB =

2,AO BO ∴==

由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======

sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=

222,CE AC AE ∴=-=

Q 四边形DFCE 为正方形，

,CE DE ∴=

222,OD CE ∴==

故选D ．

【点睛】

本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．

2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75

B ．15或30

C ．75或15

D ．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：AD=32AE =， ．

sin ∠3AOD=60°； sin ∠AOE=22

，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C ．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12

MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交

AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

【分析】

设a ＝

12

BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝12

BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·

tanB ＝x·tan α，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12

（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 22

2x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--， ∵

2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，

故选：A ．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识

点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

4．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点

E ，连接AC 交DE 于点

F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，

AB Q 为直径，

90ADB ACB ∴∠=∠=︒，

AD CD =Q ，

DAC DCA ∴∠=∠，

而DCA ABD ∠=∠，

DAC ABD ∴∠=∠，

DE AB ∵⊥，

90ABD BDE ∴∠+∠=︒，

而90ADE BDE ∠+∠=︒，

ABD ADE ∴∠=∠，

ADE DAC ∴∠=∠，

5FD FA ∴==，

在Rt AEF ∆中，3sin 5

EF CAB AF ∠==Q ，

3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，

ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，

ADE DBE ∴∆∆∽，

::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，

16BE ∴=，

41620AB ∴=+=．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

5．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且AB ＝BD ，则tan D 的值为（ ）

A ．3

B ．33

C ．23

D ．23

【答案】D

【解析】

【分析】 设AC ＝m ，解直角三角形求出AB ，BC ，BD 即可解决问题．

【详解】

设AC ＝m ，

在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，

∴AB ＝2AC ＝2m ，BC 33，

∴BD ＝AB ＝2m ，DC ＝3，

∴tan ∠ADC ＝

AC CD 23m m

+＝23 故选：D ．

【点睛】

本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

6．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与