人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习

∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是 15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
10．如图，在扇形 OAB 中， AOB 120 ，点 P 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A 、 B 重合）， C 、 D 分别是弦 AP ， BP 的中点．若 CD 3 3 ，则扇形 AOB 的面积为（ ）
A．12
B． 2
C． 4
D． 24
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作 OH⊥AB 于 H．利用三角形中位线定理求出 AB 的长，解直角三角形求出 OB 即可
解决问题．
【详解】
解：如图作 OH⊥AB 于 H．
∵C、D 分别是弦 AP、BP 的中点． ∴CD 是△APB 的中位线，
∴AB＝2CD＝ 6 3 ，
A．2＋ 3
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
B．2 3
C．3＋ 3
设 AC=x，在 Rt△ABC 中，∠ABC=30°，即可得 AB=2x，BC= 3 x，
所以 BD=BA=2x，即可得 CD= 3 x+2x=（ 3 +2）x，
在 Rt△ACD 中，tan∠DAC= CD ( 3 2)x 3 2 ，
A．asinα+asinβ
B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ
D．
a tan
a tan
【答案】C 【解析】
【分析】
在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中，由三角函数得出 BC＝atanα，BD＝atanβ，得出 CD＝BC+BD＝
atanα+atanβ 即可．
【详解】
在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中，AB＝a，tanα＝ BC ，tanβ＝ BD ，
7．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需 求，游客可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道 BC 的坡度（或 坡比）为 i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠D＝36°，（其中点 A、B、C、D 均在同一 平面内）则垂直升降电梯 AB 的高度约为（ ）米．（精确到 0.1 米，参考数据： tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
【答案】A 【解析】 设 MN=xm， 在 Rt△BMN 中,∵∠MBN=45∘， ∴BN=MN=x，
在 Rt△AMN 中,tan∠MAN= MN ， AN
∴tan30∘= x =3√3， 16 x
解得：x=8( 3 +1)， 则建筑物 MN 的高度等于 8( 3 +1)m；
故选 A. 点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的长.
定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．
12．已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面积为 60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为 θ，则 sinθ 的值为（ ）
A． 3 13
【答案】C 【解析】 【分析】
B． 5 13
C． 5 12
D． 12 13
先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式 S 1 lr 可 2
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法 是：如图： （1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D； （3）连接 BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
由作法得 CA＝CB＝CD＝AB，故 B 正确；
∴点 B 在以 AD 为直径的圆上，
∴∠ABD＝90°，故 A 正确；
∴点 C 是△ABD 的外心，
在 Rt△ABC 中，sin∠D＝ AB ＝ 1 ， AD 2
∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sinA＝ 3 ，故 C 正确；cosD＝ 3 ，故 D 错误，
6．如图，从点 A 看一山坡上的电线杆 PQ ，观测点 P 的仰角是 45，向前走 6m 到达 B 点， 测得顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60 和 30 ，则该电线杆 PQ 的高度（ ）
A． 6 2 3
B． 6 3
C．10 3
D．8 3
【答案】A
【解析】
【分析】
延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设 PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用 x
AB
AB
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ， 故选 C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出 BC 和 BD 是解题的关键．
2．如图，△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则∠A 的正切值等 于（ ）
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝ 3 3 ，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在 Rt△AOH 中，sin∠AOH＝ AH ， AO
AH ∴AO＝ sin AOH
3
3 3
6，
2
∴扇形 AOB 的面积为： 120 62 12 ， 360
故选：A．
【点睛】 本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
A． 1 2
B． 2
C．1
D． 2
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，
∴在 Rt△ABC 中，BC= AC = sin B
2 AC，
∴sin∠B•sadA= AC BC 1, BC AC
A．5.6
B．6.9
C．11.4
D．13.9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得 CE，BE 的长，根据正切函数，可得 AE 的长，再根据线段的和差，可
得答案．
【详解】
解:如图,延长 DC、AB 交于点 E，
，
由斜坡轨道 BC 的坡度（或坡比）为 i＝1：2，得 BE：CE＝1：2． 设 BE＝xm，CE＝2xm． 在 Rt△BCE 中，由勾股定理，得 BE2+CE2＝BC2， 即 x2+（2x）2＝（12 ）2， 解得 x＝12， BE＝12m，CE＝24m， DE＝DC+CE＝8+24＝32m， 由 tan36°≈0.73，得
11．如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 （）
，堤高 BC=10m，则坡面 AB 的长度是
A．15m
B．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】Βιβλιοθήκη C．20mD．解:∵Rt△ABC 中，BC=10m，tanA=
，
∴AC= = =
m．
∴AB=
m．
故选 C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股
∵AB=AE-BE=6 米，
则 x- 3 x=6， 3
解得：x=9+3 3 ．
则 BE=3 3 +3．
在直角△BEQ 中，QE= 3 BE= 3 （3 3 +3）=3+ 3 ．
3
3
∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（3+ 3 ）=6+2 3 ．
答：电线杆 PQ 的高度是（6+2 3 ）米．
故选：A． 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα= 3 ， AB 3 ， 5 AC 5
∴AC= 5 4 20 ．
3
3
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记
各性质并求出 BC 是解题的关键．
9．在半径为1的 O 中，弦 AB 、 AC 的长度分别是 3 ， 2 ，则 BAC 为（ ）度．
表示出 AE 和 BE，列出方程求得 x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则
问题求解．
【详解】
解：延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设 PE=x．
在直角△APE 中，∠A=45°，
AE=PE=x； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30°
在直角△BPE 中，BE= 3 PE= 3 x， 33
A． 3 5
【答案】C 【解析】
B． 4 5
C． 3 4
D． 4 3
试题分析：如答图，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 OB，OC， ∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得 BD=4.
∵∠A= 1 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. 2
∴tanA=tan∠BOD= BD 4 . OD 3
故选 D．
5
A．3
B． 16
C． 20
D． 16
3
3
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠
ACD，然后求出 AC．