绝对值应用(分类讨论)(北师版)(含答案)

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阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用

【解】当 x ≥3时，原式＝( x －1)＋( x －3)＝2 x －4；
当1＜ x ＜3时，原式＝( x －1)＋(3－ x )＝2；
当 x ≤1时，原式＝(1－ x )＋(3－ x )＝4－2 x .
【点拨】
要去掉两个绝对值的符号，就要同时确定两个绝对值
里的式子的正负号，可以使用零点分段法，用分类讨论的

a ， b 为正， c 为负.
｜｜
＋1＋(－1)＋(－1)＝0；
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＋

｜｜
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＋

｜｜
＝1
阶段拔尖专训
(3)当 a ， b ， c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设 a
为正， b ， c 为负.

｜｜
＋

｜｜
＋

｜｜
＋

｜｜
＝1
＋(－1)＋(－1)＋1＝0；
－3
2 之间的距离；｜ x ＋3｜表示 x 与
之间的距离；
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阶段拔尖专训
(3)当｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5时， x 可取整数 2(答案不
不唯一) .(写出一个符合条件的整数 x 即可)
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【点拨】
因为｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5表示数轴上有理数 x 所
对应的点到2和－3所对应的点的距离之和为5，所以 x 在－
思想方法来解.
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七年级数学上册难点突破04绝对值试题含解析新版北师大版

专题04 绝对值【专题说明】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【知识点总结】一、绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a |.要点诠释:（1）绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有:（2）绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大；离原点的距离越近,绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0．二、有理数的大小比较1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b ．2.法则比较法:两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号同为正号:绝对值大的数大同为负号:绝对值大的反而小两数异号正数大于负数 (0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩要点诠释:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小:（3）判定两数的大小．3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a －b ＞0,则a ＞b ；若a －b ＝0,则a ＝b ；若a －b ＜0,a ＜b ；反之成立．4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >；若1a b =,则a b =；若1a b<,则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反．5. 倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小.【精典例题】一、绝对值的概念1、求下列各数的绝对值．112-,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】方法1:因为112-到原点距离是112个单位长度,所以111122-=．因为－0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|－0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|＝0．因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度,所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭．方法2:因为1102-<,所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭．因为－0.3＜0,所以|－0.3|＝－(－0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身,所以|0|＝0因为1302⎛⎫-->⎪⎝⎭,所以113322⎛⎫--=⎪⎝⎭【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．2、已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是________．【答案】2009或－2009【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离是2009的点有两个,从原点向左侧移动2009个单位长度,得到表示数－2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度,得到表示数2009的点．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.3、计算:（1）145--（2）|－4|+|3|+|0| （3）－|+(－8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,(2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7,(3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解,一种是利用绝对值的代数意义求解,后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．4、如果|x|＝6,|y|＝4,且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6,4和－4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6,所以x＝6或x＝－6；因为|y|＝4,所以y＝4或y＝－4；由于x＜y,故x只能是－6,因此x＝－6,y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.此外,此题x＝－6,y＝±4,就是x＝－6,y＝4或x＝－6,y＝－4.二、比较大小1、比较下列有理数大小:(1)－1和0； (2)－2和|－3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ；（4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数,即－1＜0；(2)先化简|－3|＝3,负数小于正数,所以－2＜3,即－2＜|－3|；(3)先化简1133⎛⎫--= ⎪⎝⎭,1122-=,1123>,即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭． (4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这是两个负数比较大小:因为11-=,0.10.1-=,而10.1>, 所以10.1-<-,即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简,再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．2、比较下列每组数的大小:(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较．【答案与解析】 (1)化简得:－(－5)＝5,－|－5|＝－5．因为正数大于一切负数,所以－(－5)＞－|－5|．(2)化简得:－(+3)＝－3．因为负数小于零,所以－(+3)＜0．(3)化简得:3344--=-．这是两个负数比较大小,因为44165520-==,33154420-==,且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得:－|－3.14|＝－3.14,这是两个负数比较大小,因为 |－π|＝π,|－3.14|＝3.14,而π＞3.14,所以－π＜－|－3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．三、绝对值非负性的应用1、已知|2－m|+|n－3|＝0,试求m－2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知,｜2－m｜≥0,｜n－3｜≥0,而它们的和为0．所以｜2－m｜＝0,|n－3|＝0．因此,2－m＝0,n－3＝0,所以m＝2,n＝3．【答案与解析】因为|2－m|+|n－3|＝0且|2－m|≥0,|n－3|≥0所以|2－m|＝0,|n－3|＝0即2－m＝0,n－3＝0所以m＝2,n＝3故m－2n＝2－2×3＝－4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|＝0时,则a＝b＝…＝m＝0．2、已知a、b为有理数,且满足:12,则a=_______,b=________．【答案与解析】由,,,可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0．几个非负数的和为0,则每一个数均为0．四、含有字母的绝对值的化简1、把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．【答案与解析】(1)∵ a≥4,∴a－4≥0,∴ |a－4|＝a－4．(2)∵ b＞5,∴ 5－b＜0,∴ |5－b|＝－(5－b)＝b－5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况,再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.五、绝对值的实际应用1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位:克):－25,+10,－20,+30,+15,－40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜,所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小,越接近标准.。

绝对值应用(绝对值的几何意义)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：绝对值的几何意义：①表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离．②表示在数轴上____________________________对应点之间的距离．③表示____________________________对应点之间的距离．绝对值应用（绝对值的几何意义）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知，则a，b的值分别为( )A.a=3，b=5B.a=-3，b=5C.a=3，b=-5D.a=-3，b=-5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性2.若，则ab=( )A.0B.3C.-3D.±3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性3.若与互为相反数，则a+b=( )A.-1B.1C.5D.-5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性4.若x为有理数，则的最小值为( )C.3D.5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义5.若x为有理数，则的最小值为( )A.1B.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义6.若x为有理数，则的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义7.若x为有理数，则的最小值为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义8.当x=____时，有最_____值，是_____．( )A.0，小，6B.0，大，6C.0，小，0D.0，大，0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值9.当x=____时，有最_____值，是_____．( )A.4，小，3B.4，大，-3C.4，小，-3D.0，大，3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值10.当x=____时，有最_____值是_____．( )A.0，小，0B.0，小，3C.0，大，0D.0，大，3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值。

七年级数学寒假专题-绝对值北师大版

七年级寒假专题：绝对值北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题一：绝对值二. 重点、难点：绝对值是中学数学的重要概念，有理数加减法是整式和其它运算的基础，它们是教学的重点，也是难点，如何突破这个难点，降低有理数的教学难度，提高有理数教学的效率，是我们面对的不得不深入思考的问题。

在教学有理数概念时，通过分析有理数的结构，明确有理数是由符号和绝对值组成的，从而引出绝对值概念，这样把有理数的绝对值与小学学习的数统一起来，以利于知识的迁移，也为突出符号教学开了头。

数轴通过分析把一个数用数轴上的点表示，明确一个数的符号决定表示该数的点在原点的哪一边，绝对值决定表示该数的点到原点的距离。

因此，我们说，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，有了绝对值概念，就可以用绝对值概念定义相反数即符号相反，绝对值相等的两个数（规定0的相反数为0），这比“只有符号不同的两个数互为相反数”更明确，清楚。

有理数的减法是转化为加法来计算的，实际上有理数的加法和减法本质上没有区别，都是代数和，因此，我们可以把加减法放在一起学习。

首先在学习相反数时，符号化简，“同号得正，异号得负”化简符号后，归纳出有理数加减法法则：两个有理数相加减，化简符号后，同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数的和为零。

一个数与零相加仍得这个数。

注意，无论加减，化简符号后看成是省略了加号只剩下符号和绝对值的式子。

如－3＋（＋2）化简为－3＋2看成是－3与＋2的和，省略了加号，读作－3加＋2或－3与＋2的和。

再如，－3－（＋2）化简为－3－2，看成是－3与－2的和，省略了加号，读作－3加－2或－3与－2的和。

这样，计算－3－2就是同号相加，取相同的符号“－”，并把绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）相加即3＋2＝5，结果是－5。

计算－3＋2是异号相减，取绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）大的符号“－”并用较大的绝对值减较小的绝对值即3－2＝1，结果是－1。

绝对值应用(分类讨论)(含答案)

绝对值应用（分类讨论）一、单选题(共10道，每道10分)1.若，则的值为( )A.4B.-4或4C.-4D.0答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值2.若，则的值为( )A.1B.±1C.±7D.1或7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值3.若，则( )A.4B.8C.4或8D.4或-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值4.若，，则( )A.8B.±8C.8或-2D.±2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值5.若，，则( )A.-3B.-3或7C.3或-7D.±3或±7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值6.已知，，且ab<0，则a+b的值为( )A.±3B.±13C.3或-13D.-3或13答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值7.若，，且x＞y，则x-y的值为( )A.3或11B.3或11或-7C.3或11或1D.3或-7或1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值8.已知，，且，则的值为( )A.±3B.-3或-7C.-3或7D.或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值9.已知a，b为有理数，且ab>0，则的值为( )A.-3或1B.-3或-1C.3或1D.3或-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值10.若，则的取值共有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值。

北师大数学七年级上册第二章绝对值

第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．推而广之：代数式的几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离．例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2．一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3．乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4．绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】因为|﹣2|=2例题2、已知一个数的绝对值是4，则这个数是．【答案】 ±4【解析】绝对值是4的数有两个，4或﹣4．例题3、设a 是实数，则|a|﹣a 的值（） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数【答案】 B【解析】（1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0；（2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0．故选B ．例题4、当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______．【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1，则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________．【答案】 3【解析】可通过数轴画出得a d -=3例题2、（1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”）（2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】（1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125；（2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1．随练2、探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系．（3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围．【答案】（1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】（1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）．（3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值，于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值，于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值，于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题（一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即．（3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++．（二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。

北师大数学初一上绝对值问题专题分类整理

含绝对值的一次方程1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．直接求解1、方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.2、解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-43、解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.4、方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.4、±107、2或05、已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.5、0或-16、已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.6、.57、若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)7、D8、解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.8、(1)x=3或x=13; (2)x=9或x=-37; (3)x=-43或x=2; (4)提示:分x<-1、-1≤x<12 、 •12≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x ≤2的x 值都是方程的解. 9、方程5665-=+x x 的解是．(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．讨论解的个数情况1、适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a 的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a 表示-7到1之间的偶数.注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．2、方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)2、B讨论解是否存在的情况1、已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.2、使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在2、D3、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)3、A4、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.4、当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).5、当a 满足什么条件时,关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a 有一解?有无数多个解?无解?5、提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.6、已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．创新拓展题1、已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)1、提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.2、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.2、(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

北师七年级上册绝对值有关分类讨论

一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．73．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 25．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣ 2 D．﹣2或 46．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 2的值为（）2，则 x +cdx﹣A ．15B ．20 C．﹣20D． 20 或﹣ 20二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为n，则m+n＝．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示的有理数是．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点 3 个单位长度，点B 到点 A 的距离为 2 个单位长度，则点B 对应的数为．第1页（共 14页）14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于2，则（2018 2018 2 ）﹣（﹣ ab）+c＝．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝ a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，试求的值．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．第2页（共 14页）18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．第3页（共 14页）参考答案与试题解析一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数【解答】解：若 m≥ 0，则 |m|﹣ m＝0，若m＜ 0，则 |m|﹣ m＝﹣ m﹣ m＝﹣ 2m＞ 0，即 |m|﹣ m≥ 0，故选： B．2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：① a、 b、 c 三个数都是正数时，a＞ 0， ab＞0， ac＞ 0， bc＞ 0，原式＝ 1+1+1+1＝ 4；②a、 b、 c 中有两个正数时，设为 a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝ 1+1﹣ 1﹣1＝0；设为 a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝ 1﹣ 1+1﹣1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1+1＝﹣ 2；③a、b、c 有一个正数时，设为 a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0，第4页（共 14页）则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1+1﹣ 1＝﹣ 2；设为 a＜ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1+1 ﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；④ a、 b、 c 三个数都是负数时，即a＜0， b＜ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＞ 0， bc＞0，原式＝﹣ 1+1+1+1＝ 2．综上所述，的可能值的个数为4．故选： A．3．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．【解答】解： A．若 |a|＝ a，则 a 为正数或0，故结论不成立；B．若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 互为相反数或相等，故结论成立；C．若 |a|＞ a，则 a 为正数，故结论不成立；D ．若 |a|＞ |b|，若 a， b 均为负数，则a＜b，故结论不成立；故选： B．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 2【解答】解：∵ |a|＝ 5， |b|＝ 7，∴ a＝± 5， b＝± 7第5页（共 14页）∵a+b＞0，∴ a＝± 5． b＝ 7，当a＝5， b＝ 7 时， a﹣ b＝﹣ 2；当a＝﹣ 5， b＝ 7 时， a﹣b＝﹣12；故 a﹣b 的值为 2 或﹣ 12．故选： B．5．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣2 D．﹣2或 4【解答】解：∵ AB＝ |3﹣（﹣ 1）|＝ 4，点 P 到 A、B 两点的距离之和为设点 P 表示的数为 x，∴点 P 在点 A 的左边时，﹣ 1﹣ x+3﹣ x＝6，解得： x＝﹣ 2，点P 在点 B 的右边时， x﹣ 3+x﹣（﹣ 1）＝6，解得： x＝ 4，综上所述，点P 表示的数是﹣ 2 或 4．故选： D．6．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 22，则 x +cdx﹣6，的值为（）A ．15B ．20 C．﹣ 20 D． 20 或﹣ 20【解答】解：根据题意知a+b＝ 0，cd＝ 1， x＝± 2，则原式＝（± 2）4+1×（± 2）2﹣＝ 16+4＝ 20，故选： B．二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝ 7 ．【解答】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1 或﹣1．第6页（共 14页）又＝ 1，则其中必有两个1 和一个﹣ 1，即 a， b，c 中两正一负．则＝﹣ 1，则 6﹣＝ 6﹣（﹣ 1）＝ 7．故答案为： 7．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝﹣．【解答】解：∵由题意可知： 3a﹣ b＜ 0， a+2b＞ 0， a＜0，∴b﹣ 3a﹣（ a+2b）＝﹣ a．整理得：﹣ b＝ 3a．∴．故答案为：﹣．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为± 3 ．【解答】解：∵ |a|＝ m+1，|b|＝ m+4，∴a＝±（ m+1）， b＝±（ m+4）当 a＝m+1，b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |m+1﹣ m﹣ 4|＝ 3|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∵m＞ 0∴2m+5 ＞ 0∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|当a＝m+1，b＝﹣ m﹣ 4 时|a﹣ b|＝ |m+1+ m+4|＝ 2m+5|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当a＝﹣ m﹣1， b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1﹣m﹣ 4|＝ |﹣ 2m﹣5|＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当 a＝﹣ m﹣1， b＝﹣ m﹣4 时第7页（共 14页）|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1+m+4|＝ 3∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|∴a＝m+1 ，b＝﹣ m﹣ 4 或 a＝﹣ m﹣ 1， b＝ m+4∴a+b＝m+1﹣ m﹣ 4＝﹣ 3或a+b＝﹣ m﹣ 1+ m+4 ＝ 3故答案为：± 3．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为 n，则 m+n＝0 ．【解答】解：∵ a， b， c 都不等于 0，∴有以下情况：①a， b， c 都大于 0，原式＝ 1+1+1+1 ＝ 4；② a， b， c 都小于 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1﹣ 1＝﹣ 4；③a， b， c，一负两正，不妨设 a＜ 0， b＞ 0， c＞0，原式＝﹣ 1+1+1﹣ 1＝ 0；④a， b， c，一正两负，不妨设 a＞ 0， b＜ 0， c＜0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝ 0；∴ m＝ 4， n＝﹣ 4，∴ m+n＝ 4﹣4＝ 0．故答案为： 0．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是 1 ．【解答】解：①当 x， y 中有二正，＝1+1﹣ 1＝1；②当 x， y 中有一负一正，＝1﹣ 1+1＝1；③当 x， y 中有二负，＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．故代数式的最大值是1．故答案为： 1．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示第8页（共 14页）的有理数是﹣6或4 ．【解答】解：﹣ 1﹣ 5＝﹣ 6，或﹣ 1+5＝4．故点 N 表示的有理数是﹣6或 4．故答案为：﹣ 6或 4．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点3 个单位长度，点 B 到点 A 的距离为2 个单位长度，则点 B 对应的数为﹣1或﹣5 ．【解答】解：∵在数轴上，点 A 所表示的数为﹣ 3，∴到点 A 的距离等于 2 个单位长度的点所表示的数是：﹣3+2＝﹣ 1 或﹣ 3﹣ 2＝﹣5．故答案为：﹣ 1或﹣5．14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于 2，则（2018 2018 2）﹣（﹣ ab）+c＝ 3 ．【解答】解：由题意知x+y＝ 0， ab＝1， c＝ 2 或 c＝﹣ 2，则 c2＝ 4，2018 2018所以原式＝ 0 ﹣（﹣ 1）+4＝ 0﹣ 1+4＝ 3，故答案为： 3．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．【解答】解：（ 1）∵ ab＞0， a+b＜ 0，∴a＜ 0， b＜ 0∴＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；（ 2）当 a、 b、 c 同正时，＝ 1+1+1＝3；当 a、b、 c 两正一负时，＝ 1+1﹣ 1＝1；当 a、b、 c 一正两负时，＝﹣ 1﹣1+1＝﹣1；当 a、b、 c 同负时，＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；（3）∵ a+b+c＝ 0，∴b+c＝﹣ a， a+c＝﹣ b， a+b＝﹣ c∴＝+ ﹣＝﹣﹣+又∵ abc＜ 0，∴当 c＜0， a＞ 0， b＞ 0 时，原式＝﹣﹣+＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；当 c＞ 0， a 或 b 为负时，原式＝﹣﹣+＝ 1﹣ 1+1＝ 1．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数 a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数 a、 b 均不等于零，试求的值．【解答】解：（ 1）当 a＝5 时，＝ 1；（ 2）当 a＝﹣ 2 时，＝﹣ 1；（ 3）若有理数a 不等于零，当a＞0 时，＝ 1，当 a＜ 0 时，＝﹣ 1；（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，当a， b 是同正数，＝ 2，当 a，b 是同负数，＝﹣ 2，当 a，b 是异号，＝ 0．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．【解答】解：∵ a、 b、 c 是三个非零有理数，∴＝1＝1 或﹣ 1，═ 1 或﹣ 1，＝1 或﹣ 1，当a、b、 c 都是正数，原式＝ 1+1+1＝ 3；当a、b、 c 只有两个正数，原式＝ 1+1﹣ 1＝ 1；当a、b、 c 只有一个正数，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 1；当 a、b、 c 都是负数，原式＝﹣1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3．∴x＝ 3， y＝﹣ 3，∴x÷（﹣ 4y）＝ 3÷ 12＝．18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．【解答】解：（ 2）①当 a，b， c 都为正数时： x＝+﹣＝ 1+1﹣ 1＝1．②当 a，b 为正， c 为负时： x＝+ ﹣＝1+1+1 ＝3．当 a，c 为正， b 为负时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣1．当 b，c 为正， a 为负时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1﹣1＝﹣ 1．③当 a，b 为负， c 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．当 a，c 为负， b 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1+1 ＝1．当 b，c 为负， a 为正时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1+1＝1．④当 a，b， c 都为负数时：x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1+1＝﹣ 1．综上所述 x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．（3）∵ a， b， c 均不为零，且 a+b+c＝0，∴ a， b， c 为两正一负或两负一正．∴ ①当 a， b， c 为两正一负时：+ + ＝﹣﹣﹣＝﹣ 1﹣ 1+1 ＝﹣1．②当 a，b， c 为两负一正时：+ + ＝﹣﹣﹣＝ 1+1 ﹣ 1＝ 1．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）如图所示：由数轴可知 |c|＞ a＞b；（ 2）由数轴可知：b+c＜ 0， c﹣ 1＜ 0， b﹣ a＜ 0，则n＝ |b+c|﹣ |c﹣ 1|﹣ |b﹣ a|＝﹣ b﹣ c+c﹣ 1+b﹣ a＝﹣ 1﹣ a，即a+n＝﹣ 1，∴1﹣ 2017?（ n+a）2018＝1﹣ 2017×（﹣ 1）2018＝1﹣ 2017＝﹣ 2016；（3）① 当点 M 在 AB 的右侧时，设点 M 对应的数为 x，∵点 A 对应的数是，点 B 对应的数是点﹣ 2，∴B M ＝x+2， AM＝ x﹣，∵B M ＝3AM ，∴x+2 ＝3（ x﹣），x+2 ＝ 3x﹣，x＝；②当点 M在AB的上时，此时， BM ＝ x+2，AM ＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴x+2 ＝3（﹣ x）x+2 ＝﹣ 3x，x＝；③当点 M 在 AB 的左侧时，此时， BM ＝﹣ 2﹣ x， AM＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴﹣ 2﹣ x＝ 3（﹣ x）﹣ 2﹣ x＝﹣ 3x，x＝与 M 对应的数是负数相矛盾，所以 AB 的左侧不存在这样的点M 因此点 M 对应的有理数是或．。

专题2.9 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】(举一反三)7年级上册(北师大版)(学生版)

专题2.9 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】【北师大版】【题型1 利用绝对值性质化简或求值】 (1)【题型2 根据绝对值的非负性求值】 (1)【题型3 根据绝对值的定义判断正误】 (2)【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】 (2)类型问题】 (3)【题型5 绝对值中的分类讨论之a|a|【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 (3)【题型7 绝对值中的最值问题】 (4)【题型1 利用绝对值性质化简或求值】【例1】（2022•博湖县校级期中）已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．【变式1-1】如图表示在数轴上四个点p，q，r，s位置关系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|＝．【变式1-2】已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d ＝．【变式1-3】化简：（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【例2】（2022春•诸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．【变式2-1】（2022秋•梅州校级月考）若|x﹣2|+|y+3|＝0，计算：（1）x，y的值．（2）求|x|+|y|的值．x的值．【变式2-2】（2022秋•南江县校级期中）已知|﹣x+7|与|﹣2y﹣1|互为相反数，求2y−278．（船营区校级期中）（1）已知|x﹣5|＝3，求x的值；（2）已知n＝4，且|x﹣5|+|y﹣2n|＝0，求x﹣y+8的值．【变式2-3】（2022•涞水县期末）已知x为实数，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一个确定的常数，则这个常数是（）A．5B．10C．15D．75【题型3 根据绝对值的定义判断正误】【例3】（2022春•肇源县期末）下面四个式子中，正确的是（）A．若a≠b，那么a2≠b2B．若a＞|b|，那么a2＞b2C．若|a|＞|b|，那么a＞b D．若a2＞b2那么a＞b【变式3-1】（2022秋•全椒县期中）已知a|a|+b|b|=0，有以下结论：①a，b一定互为相反数；②ab＜0；③a+b＜0；④ab|ab|=−1其中正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）【变式3-2】（2022秋•和平区期中）设y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值【变式3-3】（2022秋•青山区期中）若a，b为有理数，下列判断：（1）若|a|＝b，则一定有a＝b；（2）若|a|＞|b|，则一定有a＞b；（3）若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|；（4）若|a|＝b，则一定有a2＝（﹣b）2．其中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（4）【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】【例4】（2022秋•海淀区校级期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是．【变式4-1】（长春期中）如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a≥0C．a≤0D．a＜0【变式4-2】（2022•吉首市校级月考）若m是有理数，则|m|+m的值（）A．不可能是正数B．一定是正数C．不可能是负数D．可能是正数，也可能是负数【变式4-3】（2022秋•长沙校级期中）（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或＝连接）①|﹣2|+|3||﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3||﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0||﹣2+0|；（2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系；（3）根据上述结论，求当|x|+2015＝|x﹣2015|时，x的取值范围．【题型5 绝对值中的分类讨论之a|a|类型问题】【例5】（2022秋•江阳区校级期中）有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1|−13|b﹣a﹣1|（3）若c•（a2+1）＜0，且c+b＞0，求|c+1|c+1+|c−1|c−1−|a−b+c|a−b+c的值．【变式5-1】（2022秋•顺平县期中）设a、b、c、d为有理数，且|abcd|abcd =1，则|a|a+|b|b+|c|c+|d|d的值为．【变式5-2】（2022秋•鄂州校级月考）若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，则|a−1|a−1−|b+2|b+2+|a+b|a+b的值是．【变式5-3】（2022秋•西城区校级期中）有理数a，b，c均不为0，且a+b+c＝0．设x=||a|b+c +|b|c+a+|c|a+b|，试求代数式x19+99x+2000之值．【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【例6】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式6-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式6-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【变式6-3】（2022秋•顺平县期中）已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，则|a+d|＝．【题型7 绝对值中的最值问题】【例7】（2022秋•鼓楼区校级月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z 的最大值和最小值【变式7-1】当|x﹣2|+|x﹣3|的值最小时，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的值最大是，最小是．【变式7-2】（2022秋•海安市月考）阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道|x|={x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x ＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通过以上阅读，请你解决问题：（1）|x﹣3|+|x+4|的零点值是；（2）化简代数式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值为，此时x的取值范围为．【变式7-3】（2022秋•泉州期末）四个数分别是a，b，c，d，满足|a﹣b|+|c﹣d|=1n|a﹣d|，（n≥3且为正整数，a＜b＜c＜d）．（1）若n＝3．①当d﹣a＝6时，求c﹣b的值；②对于给定的有理数e（b＜e＜c），满足|b﹣e|=49|a﹣d|，请用含b，c的代数式表示e；（2）若e=12|b﹣c|，f=12|a﹣d|，且|e﹣f|＞110|a﹣d|，试求n的最大值．2023 举一反三。

北师大版七年级数学上册绝对值的应用专题训练题及答案

北师大版七年级数学上册绝对值的应用专题训练题及答案专题训练(一)绝对值的应用类型1利用绝对值比较大小1．比较下面各对数的大小：(1)－0.1与－0.2；(2)－45与－5 6 .2．比较下面各对数的大小：(1)－821与－|－1 7 |；(2)－20142015与－2015 2016.类型2巧用绝对值的性质求字母的值3．已知|x－3|＋|y－5|＝0，求x＋y的值．4．已知|x－2|和|y－3|互为相反数，求x＋y的值．类型3绝对值在生活中的应用5．司机小李某天下午的营运全是在南北走向的鼓楼大街进行的．假定向南为正，向北为负，他这天下午行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋14，－11，＋10，＋4，－26.若汽车耗油量为0.1L/km，这天下午汽车共耗油多少升？6．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表：做乒乓李明张兵王敏余佳赵平蔡伟球的同学检测结果＋0.031－0.017＋0.023－0.021＋0.022－0.011(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？(2)指出哪个同学做的乒乓球质量最好，哪个同学做的乒乓球质量较差？(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；(4)用学过的绝对值知识来说明以上问题．参考答案1．(1)因为|－0.1|＝0.1，|－0.2|＝0.2，且0.1＜0.2，所以－0.1＞－0.2.(2)因为|－45|＝45＝2430，|－56|＝56＝2530，且2430<2530，所以－45>－56.2.(1)化简－|－17|＝－17，这是两个负数比较大小．因为|－821|＝821，|－17|＝17＝321，且821＞17，所以－821＜－|－17|.(2)因为|－20142015|＝20142015，|－20152016|＝20152016，且20142015＜20152016，所以－20142015＞－20152016.3.由|x －3|＋|y －5|＝0，得x －3＝0，y －5＝0.解得x ＝3，y ＝5.所以x ＋y ＝3＋5＝8.4.根据题意，得|x －2|＋|y －3|＝0.所以x ＝2，y ＝3.所以x ＋y ＝5.5.总耗油量为：0.1×(|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|＋4|＋|－26|)＝8.3(L)．6.(1)张兵、蔡伟．(2)蔡伟，李明．(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．(4)这是绝对值在实际生活中的应用，对误差来说绝对值越小越好．。

北师大版七年级数学上册专题小卷(3)绝对值的应用课件

易错警示忽视特殊情况出错本题易出现的错误是认为x一定是负数,忽视可能等于0.
2.(2024甘肃张掖甘州中学期末,11,★★☆)若3<x<6,则化简|6-x|+|3-x|的结果为 ( B )
A.9-2x
B.3
C.2x-9
D.-3
因为3<x<6,所以|6-x|+|3-x|=6-x+(x-3)=6-x+x-3=3.故选B.
符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7,这样的整数是
.
(3)对于有理数x,|x+6|+|x-3|是否有最小值?如果有,写出最小值;如果没有,说明理由.
(1)7. (2)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2. 提示:令x+5=0,解得x=-5.令x-2=0,解得x=2. 当x<-5时,原式去绝对值可得-(x+5)-(x-2)=7, 解得x=-5(舍去). 当-5<x<2时,原式去绝对值可得(x+5)-(x-2)=7, 变形得7=7, 所以整数x=-4,-3,-2,-1,0,1. 当x>2时,原式去绝对值得(x+5)+(x-2)=7,解得x=2(舍去).
16.(★★☆)为体现社会对教师的尊重,教师节这天上午,出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师.如果规定向东为正,向西为负,小王的行程如下(单位:千米):+15,-4,+13,-10,-12,+3,-13, -17. (1)若出租车每行驶100千米耗油10升,则这天上午出租车共耗油多少升? (2)如果每升汽油8元,则出租车司机小王今天上午的油费是多少元?
|a-b|,即|5-3|表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.

第03讲绝对值(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级上册

第03讲绝对值1.掌握绝对值的定义及其性质；2.掌握正数、负数、0的绝对值的算法；3.灵活应用绝对值比较大小；4.灵活掌握绝对值在解题中的应用；5.掌握非负数的应用.知识点01绝对值的定义（1）一般地，数轴上表示数a 的点与的距离叫做数a 的绝对值，记作.【答案】原点；a知识点02绝对值的性质正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是.即当a>0时，a 是它的；当a<0时，a 是它的；当a =0时，a 是.【答案】本身；相反数；0【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.②若a a =，那么a 就是非负数；若a a -=，那么a 就是非正数.【答案】正数和0知识点03绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若0=+b a ，则00==b a 且．题型01相反数的定义题型02化简多重符号题型03判断是否互为相反数【典例3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）下列各组数中互为相反数的是（）题型04相反数的应用【典例4】（2023·浙江·七年级假期作业）已知23x +与5-互为相反数，则x 等于______．【答案】1【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可．【详解】∵23x +与5-互为相反数，∴()2350x ++-=解得1x =．故答案为：1．【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．【变式1】（2023秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知4a +与2互为相反数，那么=a ___________．【答案】6-【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵4a +与2互为相反数，∴420a ++=，∴6a =-，故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）若a 、b 互为相反数，则a +b +2的值为______．【答案】2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知0a b +=，将其代入即可求得结果．【详解】解：∵a 、b 互为相反数，∴0a b +=，∴2022a b ++=+=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路．题型05绝对值的意义【典例5】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，数轴上点,,,A B C D 分别对应实数a b c d ,,,，下列各式的值A．a B．bA．点A与点B之间C的右边题型06求一个数的绝对值题型07化简绝对值化简：a a b b c ++--【答案】22b c+(1)填空：A ，B 之间的距离为______，B ，(2)化简：22a b c b c a +--+-．题型08绝对值非负性的应用题型09有理数大小比较题型10绝对值方程x=-．x=或26【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是 3.14-；⑤一个数和它的相反数不可能相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或更多【答案】B【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可．【详解】解：3-和3+互为相反数，则①正确；只有符号不同的两个数互为相反数，②错误；0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误；π的相反数是π-，④错误；0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键．解得12x =或6x =-.故答案为12或6-.【点睛】本题考查了绝对值方程，根据绝对值的性质把原方程化为两个一元一次方程是解题的关键.12．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图，数轴上有三个点A 、B 、C ，若点A 、B 表示的数互为相反数．（1）图中点C 表示的数是___________；（2）若点D 在数轴上，且3CD =，则点D 表示的数为_____________．【答案】12-或4【分析】（1）根据A 、B 表示的数互为相反数，得到AB 的中点即为原点的位置，进而得到点C 表示的数即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式，即可得到点D 表示的数．【详解】解：（1）∵点A 、B 表示的数互为相反数，则：AB 的中点即为原点的位置，如图所示：∴点C 表示的数为：1；故答案为：1；（2）由（1）知，点C 表示的数为：1，∵3CD =∴当D 在点C 左侧时，点D 表示的数为：132-=-；当D 在点C 右侧时，点D 表示的数为：134+=；综上：点D 表示的数为2-或4；故答案为：2-或4．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．解题的关键是根据题意，确定数轴上原点的位置．∴()6 1.5034--<-<<<--．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，数轴，把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多11【详解】解：∵，(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；（2）解：根据数轴位置关系，可得：0a >、0b c +<、。

七级数学上册 2.3《绝对值》测试(含解析)(新版)北师大版

绝对值测试时间：60分钟总分： 100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.，则a一定是A. 负数B. 正数C. 零或负数D. 非负数2.若，则的取值不可能是A. 0B. 1C. 2D.3.实数a、b在数轴上的位置如图，则等于A. 2aB. 2bC.D.4.若，，则为A. B. C. 和 D.和5.若a、b都是不为零的数，则的结果为A. 3或B. 3或C. 或1D. 3或或16.的绝对值是A. 5B.C.D.7.如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是A. M或RB. N或PC. M或ND. P或R8.的绝对值是A. B. 6 C. D.9.的绝对值是A. B. 2 C. D.10.若a为有理数，且满足，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知，则 ______ ， ______ ．12.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______ ．13.______．14.若，，则 ______ ， ______ ．15.绝对值等于它本身的数是______和______．16.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______ ．17.已知，，，，化简 ______ ．18.若，则m、n之间的关系为______ ．19.如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则______．20.如果，则______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图：化简：22.如果a，b互为倒数，c，d互为相反数，且m的绝对值是1，求代数式的值．23.已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：．24.若，，且，求的值．已知，计算的值．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.a的相反数为b，c的倒数d，m的绝对值为6，试求的值．26.已知有理数，，且，，求的值．答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. D5. B6. B7. A8. B9. B10. D11. ；12.13. 414. 4或或14或；或4或或1415. 0；正数16.17.18. 或19. 020.21. 解：根据题意得：，且，，，，，则原式．22. 解：根据题意得：，，或，当时，原式；当时，原式．23. 解：根据数轴上点的位置得：，，，，则原式．24. 解：根据题意得：，；，，则或；，，，，则．25. 解：、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是6，、，，当时，；当时，．26. 解：，，，．，，，或，．又，，．．【解析】1. 解：的相反数是，且，一定是负数或零．故选C．根据绝对值的定义，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．本题主要考查了绝对值的定义，属于基础题型注意不要忽略零．2. 解：分3种情况：两个数都是正数；，两个数都是负数；，其中一个数是正数另一个是负数，所以，原式．的取值不可能是1．故选B．由于m、n为非零的有理数，根据有理数的分类，m、n的值可以是正数，也可以是负数那么分三种情况分别讨论：两个数都是正数；两个数都是负数；其中一个数是正数另一个是负数，针对每一种情况，根据绝对值的定义，先去掉绝对值的符号，再计算即可．此题主要考查了绝对值的定义及有理数的加法法则由于m、n为非零的有理数，则有3种情况要考虑到，用到了分类讨论的思想．3. 解：根据数轴上点的位置得：，且，，，则原式．故选A．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．此题考查了整式的加减，绝对值，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. 解：，，，；，；，；，；则或2或或16．故选：D．根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可确定出的值．此题考查了有理数的减法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 解：当，时则；；当，时；当，时；故选B．可从a、b同号，a、b异号，分类讨论得出结论．本题考查了绝对值的意义及分式的化简正数和0的绝对值是它本身，负数和0的绝对值是它的相反数互为相反数除外的两个数的商为1，相同两个数除外的商为1．6. 解：的绝对值是，故选：B．根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得一个数的绝对值．本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．7. 解：，，；当原点在N或P点时，，又因为，所以，原点不可能在N或P点；综上所述，此原点应是在M或R点．故选A．先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点．主要考查了数轴的定义和绝对值的意义解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．8. 解：的绝对值是6．故选：B．根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．9. 解：的绝对值是：2．故选：B．直接利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．10. 解：，，，即a为负数或0．故选D．根据绝对值的性质即可得到，从而得到答案．本题考查了绝对值的性质：若，则；若，；若，．11. 【分析】由非负数的性质可知，本题主要考查的是非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．【解答】解：，，，解得：，．故答案为：；．12. 解：从数轴可知：，，，故答案为：．根据数轴得出，，求出，再去掉绝对值符号合并同类项即可．本题考查了整式的加减，数轴的应用，注意：整式的加法实质就是合并同类项．13. 解：．因为，由绝对值的性质，可得的值．本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．14. 解：，，；，；，；，；则或或14或．或4或或14．故答案为：4或或14或；或4或或14．根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可确定出，的值．此题考查了有理数的减法，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15. 解：绝对值等于它本身的数是0和正数．故答案为0，正数．根据绝对值的性质解答一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．此题考查了绝对值的性质，同时要明确绝对值的定义：数轴上的点到原点距离叫表示该点的数的绝对值．16. 解：由图可知，，，所以，，，所以，，，．故答案为：．根据数轴判断出a、b的正负情况并确定出和的正负情况，再根据绝对值的本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，准确识图并判断出a、b的正负情况以及大小范围是解题的关键．17. 解：，，，为非正数，b为非正数，c为非负数，，，，则原式，故答案为：根据题意，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．此题考查了有理数的减法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．18. 解：，或．或．故答案为：或．根据绝对值的性质回答即可．本题主要考查的是绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．19. 解：根据数轴图可知：、、，．根据数轴的意义，、、，结合绝对值的性质化简给出的式子．此题把数轴的意义和绝对值的性质结合求解．注意借助数轴化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．20. 解：，则．故答案为．根据负数的绝对值是它的相反数可得所求的绝对值．考查绝对值的意义；用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．21. 根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22. 利用倒数，相反数以及绝对值的代数意义求出ab，，m的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．23. 根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24. 根据a小于b，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可确定出的值；利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25. 由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是6得出、，，代入计算即可，注意讨论．本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算，掌握互为相反数的两数和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键．26. 依据有理数的乘法法则可知a、b异号，然后依据有理数的加法法则可知正数的绝对值较大，故此可确定出a、b的值，然后代入求解即可．本题主要考查的是绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则，求得a、b的值是解题的关键．。

23 绝对值-2021-2022学年七年级数学上(北师大版)(解析版)

2.3 绝对值【典例1】．2||3-的相反数是（）．A．32B．23-C．32-D．23【答案】B【分析】利用相反数的定义，先列式，再化简绝对值即可．【解析】−2-3的相反=-2-3=-23．故选择：B．【点睛】本题考查相反数与绝对值问题，掌握相反数与绝对值概念是关键．【典例2】．下列各组数中，互为相反数是（）A．2||3-与23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B．2||3-与3||2--C．2||3-与23⎛⎫+- ⎪⎝⎭D．3||2-与2||3-【答案】C【分析】根据绝对值与相反数的定义进行解答．【解析】解：A.2||3-=23，23⎛⎫-- ⎪⎝⎭=23，两数相等，不互为相反数，此选项不符合；B.2||3-=23，3||2--=32-，两数不互为相反数，此选项不符合；C.2||3-=23，23⎛⎫+- ⎪⎝⎭=23-，两数互为相反数，选项符合；D.2||3-=23，3||2-=32，两数不互为相反数，此选项不符合；故选：C．典例解读【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，相反数定义，关键是正确理解绝对值的性质与相反数的定义．【典例3】．数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数是（）A．3B．3-C．3±D．6【答案】C【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值，即数轴上表示这个数的点到原点的距离．【解析】解：根据绝对值的意义得：数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的有理数，即绝对值是3的数，是±3．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的几何意义和数轴，注意两种情况是解答此题的关键．-，0，1.7这4个数中绝对值最大的数是（）【典例4】．在5-，3A．5-B．3-C．0D．1.7【答案】A【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可.【解析】解：|- 5|=5，|- 3|=3，|0|=0，|1.7|=1.7，∵5>3>1.7>0，∵绝对值最大的数为-5，故选: A.【点睛】本题考查的是绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【典例5】．如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（）A．a＝b B．a＝﹣bC．相等或互为相反数D．a、b均为0【答案】C【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解析】解：根据绝对值性质可知，若|a |＝|b |，则a 与b 相等或互为相反数．故选：C ．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的定义和性质是解题的关键．【典例6】．已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b --+的结果为（）A ．0B ．2b -C ．22b a -D ．2a -【答案】D【分析】观察a 、b 在数轴上的位置，判断a -b 与a +b 的正负后，再化简．【解析】解：由数轴知：b ＞0，a ＜0，|b |＞|a |，∵a -b ＜0，a +b ＞0．∵|a -b |-|a +b |=-（a -b ）-（a +b ）=-a +b -a -b =-2a ．故选：D ．【点睛】本题考查了数轴上点的特点、绝对值的化简．解决本题的关键是根据数轴上点的位置，判断a -b 与a +b 的正负．【典例7】．下列判断正确的是（）A ．若a b =,则a b =B ．若a b =,则=-a bC ．若a b =,则a b =D ．若=-a b ,则a b ≠ 【答案】C【分析】根据绝对值的意义即可判断．【解析】解：若|a|=|b|，则a=±b ，故选项A ，B 错误；若a=b ，则|a|=|b|，故选项C 正确;若a=-b ，则|a|=|b|，故选项D 错误.故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的意义，含字母的绝对值问题，也可采用“特值法”．【典例8】．若代数式37x -和613x +互为相反数，则x 的值为（）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-【答案】B【分析】利用相反数性质列出方程，求出方程的解即可得到x 的值．【解析】解：根据题意得：3x -7+6x +13=0，移项合并得：9x =-6，解得：x =23-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【典例9】．已知,a b 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式12a b a b +--++的结果是（）A ．1B ．23b +C ．23a -D ．1-【答案】B【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．【解析】由数轴可知b ＜−1，1＜a ＜2，且|a|＞|b|，∵a ＋b ＞0，a -1＞0，b+2＞0则|a ＋b|−|a−1|＋|b ＋2|＝a ＋b−（a−1）＋（b ＋2）＝a ＋b−a ＋1＋b ＋2＝2b ＋3．故选：B ．【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．【典例10】．设a，b，c为不为零的实数，那么ba cxa b c=++的不同的取值共有（）A．6种B．5种C．4种D．3种【答案】C【解析】分析：根据绝对值的定义，分情况讨论，从而得出不同的取值的种数．详解：∵当a>0，b>0，c>0时，原式=1+1+1=3；∵当a>0，b>0，c<0时，原式=1+1−1=1；∵当a>0，b<0，c>0时，原式=1−1+1=1；∵当a>0，b<0，c<0时，原式=1−1−1=−1；∵当a<0，b>0，c>0时，原式=−1+1+1=1；∵当a<0，b>0，c<0时，原式=−1+1−1=−1；∵当a<0，b<0，c>0时，原式=−1−1+1=−1；∵当a<0，b<0，c<0时，原式=−1−1−1=−3.∵ba cxa b c=++的不同的取值共有4种.点睛：本题考查了绝对值的意义.一、绝对值1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．教材知识链接（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．二、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小．如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3．作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4．求商法(有理数的乘除法会学)：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．5．倒数比较法(有理数的乘除法会学)：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．一、单选题1．32-的绝对值等于（）A．23-B．32C．32-D．23【答案】B【分析】根据绝对值的意义可直接进行求解．【解析】解：32-的绝对值等于32；故选B．1ab>a b>1ab=a b=1ab<a b<综合提升变式练【点睛】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键．2．﹣2，﹣1，0，13四个数中，绝对值最小的数是（） A ．13 B ．﹣2 C ．0 D ．﹣1【答案】C【解析】解：|﹣2|=2，|﹣1|=1，|0|=0，1133=，绝对值最小的数是0．故选C ． 3．如图，数轴上点A 表示数a ，则|a |是（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】A【解析】∵A 点在﹣2处，∵数轴上A 点表示的数a =﹣2，|a |=|﹣2|=2，故选A ．4．下列语句正确的是（）A ．一个数的绝对值一定是正数B ．a -一定是负数C ．若a a =，则a 一定是非负数D ．若a a =-，则a 一定是负数【答案】C【分析】根据绝对值、正数、负数的定义逐项判定即可．【解析】解：A. 0的绝对值为0，故选项A 不符合题意；B. 当a 为负数时，a -为正数，故选项B 不符合题意；C. 若a a =，则a 一定是非负数，符合题意；D. 若a a =-，当a 为0时也成立，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了绝对值、正数、负数的定义，掌握“非”和0的意义成为解答本题的关键．5．下列说法正确的是（）∵0是绝对值最小的有理数；∵相反数大于本身的数是负数∵数轴上原点两侧的数互为相反数；∵两个数比较，绝对值大的反而小A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵∵∵【答案】A【分析】根据绝对值的意义对∵∵进行判断；根据相反数的定义对∵∵进行判断．【解析】解：0是绝对值最小的有理数，所以∵正确；相反数大于本身的数是负数，所以∵正确；数轴上在原点两侧且到原点的距离相等的数互为相反数，所以∵错误；两个负数比较，绝对值大的反而小，所以∵错误．故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值：若0a >，则||a a =；若0a =，则||0a =；若0a <，则||a a =-．也考查了相反数． 6．若|x|=7，|y|=9，x ＞y ，则x y -为（）A ．2±B ．2和16C ．2-和16-D ．2±和16± 【答案】B【分析】根据|x|=7，|y|=9，x ＞y 确定x 、y 的值，代入计算即可．【解析】∵|x|=7，|y|=9∵7,9x y =±=±又x ＞y∵7,9x y ==-或7,9x y =-=-∵x y -=16或2故选：B本题考查的是绝对值，掌握绝对值的定义并能根据条件求出x 、y 的值是关键．7．若|1||2|0x y -++=，则关于x ，y 的取值，下列说法正确的是（）A ．1x =,2y =-B ．1x =-，2y =-C ．1x =，2y =D ．1x =-，2y =【答案】A【解析】【分析】根据非负数性质可得|1|0;|2|0x y -≥+≥,x -1=0;y+2=0.【解析】因为|1||2|0x y -++=所以x -1=0;y+2=0所以，x=1,y=-2故选：A【点睛】考核知识点：绝对值.利用非负数性质求解是关键.8．设有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示，化简a b a b a --+-的结果是（）A ．2a b -+B ．2a b --C ．a -D ．b 【答案】C【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并同类项即可得出结论．【解析】解：根据数轴上点的位置得：a<0<b ，a b <∵a -b<0∵a+b ＞0，∵原式=−（a -b ）-(a+b)−(-a)=−a+b -a -b+a= −a故选C ．此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.9．若x 为整数，且满足|2||4|6x x -++=，则满足条件的x 的值有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D【分析】根据数轴的性质可得|2||4|x x -++表示x 到2和-4的距离之和，故可求出整数x 的值．【解析】∵|2||4|6x x -++=∵x 到2和-4的距离之和为6故x 的值在-4到2之间的整数，即-4，-3，-2，-1,0,1,2故选D ．【点睛】此题主要考查数轴的性质应用，解题的关键是熟知数轴上两点的距离公式．10．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。

绝对值北京课改版七年级数学上册同步练习(解析版)

1.3.2 绝对值基础过关全练知识点1 绝对值的定义、性质及求法1.(2021河南中考)-2的绝对值是( )A.2B.-2C.12D.-122.(2021重庆巴川中学三月模拟)绝对值等于3的数是() A.±3 B.-3 C.+3 D.±133.(教材P12变式题)下列说法正确的是( )A.一个负数的绝对值可以小于0B.一个有理数的绝对值一定是非负数C.绝对值等于本身的数一定是0D.如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等4.绝对值小于2的负整数是 .5.(教材P12变式题)计算:(1)|-5|+|+4|-|-8|+|0|;(2)|-16|+|-12|-|+13|.知识点2 利用绝对值比较两个负数的大小6.下列各数中,小于-2的数是( )A.-5B.-2C.-1D.07.(教材P13变式题)下列大小比较正确的是( )A.-3>0B.|-0.01|<0C.-13>-12D.-3.14<-π 8.在0,2,-7,-5,3中,最小的数的相反数是 ,绝对值最小的数是 .能力提升全练9.(2021湖南永州中考,1,)-|-2 021|的相反数为( )A.-2 021B.2 021C.-12 021 D.12 021 10.(2021山东淄博中考,3,)下表是几种液体在标准大气压下的沸点,则沸点最高的液体是( )液体名称液态氧液态氢液态氮液态氦沸点/ ℃ -183 -253 -196 -268.9A.液态氧B.液态氢C.液态氮D.液态氦11.(2020北京中考,6,)数a 在数轴上的对应点的位置如图所示,若数b 满足-a<b<a,则b 的值可以是( )A.2B.-1C.-2D.-3素养探究全练12.[几何直观]如图,数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c,其中AB=BC,如果|a|>|c|>|b|,那么该数轴的原点O的位置应该在()A.点A的左边B.点A与点B之间C.点B与点C之间D.点B与点C之间或点C的右边答案全解全析基础过关全练1.A 负数的绝对值是它的相反数,故选A.2.A 绝对值等于3的数是±3,故选A.3.B 负数的绝对值是正数,一定大于0,故A 选项错误;负数的绝对值是正数,正数的绝对值是正数,0的绝对值是0,因此一个有理数的绝对值一定大于0或等于0,即一定是非负数,故B 选项正确;绝对值等于本身的数除了0,还有正数,故C 选项错误;两个数的绝对值相等,只能说明在数轴上表示这两个数的点到原点的距离相等,也就是说这两个数可能相等,也可能互为相反数,故D 选项错误.故选B.4.-1解析一个负整数的绝对值小于2,说明这个负整数大于-2且小于0,所以这个负整数只能是-1.5.解析 (1)|-5|+|+4|-|-8|+|0|=5+4-8+0=1.(2)|-16|+|-12|-|+13|=16+12-13=13. 6.A 因为负数小于0,两个负数,绝对值较大的数反而小,且|-5|=5,|-2|=2,|-1|=1,所以-5<-2<-1<0,故选A.7.C 根据“负数<0<正数”可知:-3<0,|-0.01|>0;根据“两个负数,绝对值大的反而小”可知:-13>-12,-3.14>-π,故A 、B 、D 选项错误,C 选项正确.故选C.8.7;0解析易知-7<-5<0<2<3,所以最小的数是-7,-7的相反数是7,绝对值最小的数是0.能力提升全练9.B因为-|-2 021|=-2 021,所以-2 021的相反数为2 021.故选B.10.A因为|-268.9|>|-253|>|-196|>|-183|,所以-268.9<-253<-196<-183,即沸点最高的液体是液态氧.故选A.11.B因为1<a<2,所以-2<-a<-1,因为-a<b<a,所以四个选项中,满足要求的只能是-1.故选B.素养探究全练12.C因为|a|>|c|,所以点A离原点O的距离比点C离原点O的距离远,又AB=BC,所以原点O在点B右侧,又因为|c|>|b|,所以点C离原点O的距离比点B离原点O的距离远, 所以原点O的位置在点B与点C之间,且靠近点B的地方.故选C.。

北师大版七年级上册2.3《绝对值》解答题专题

第1页共10页北师大版七年级上2.3《绝对值》解答题专题1. 指出如图所示的数轴上点A ,B ,C ,D ,E 分别表示的数，然后写出这些数的相反数.2. 出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的.如果规定向东为正，向西为负，那么他这天下午的行车路程如下(单位：km)： 15，-3， 14，-11， 10，-12， 4，-15， 16，-18.如果汽车的耗油量为0.2 L/km ，那么这天下午汽车共耗油多少升？3. 某体育用品公司生产了一批比赛用的篮球，比赛用的篮球质量有严格规定，其中误差是的符合要求，现质检员从中抽取6个篮球进行检查，检查结果如下表：(单位：g).(1)误差是表示什么意义? (2)哪几个篮球符合质量要求? (3)质量最接近标准质量的是几号球?4. 已知与互为相反数，求的值.5. 化简下列各数前面的符号.(1)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .6. 回答下列问题：(1)绝对值等于3的数有几个?是什么? (2)绝对值等于0的数有几个?是什么? (3)有没有绝对值是-2的数?(4)有没有绝对值最小的数?有没有绝对值最大的数?7. 化简下列各数.(1) ； (2) ； (3) ； (4) .8. 写出下列各数的绝对值：6，，，，，100，0.9. 若A,B,C,D分别表示,,,,点F,F分别表示与的相反数,请画出数轴并在数轴上标出A,B,C,D,E,F各点.10. 在数轴上点A表示7,点B,C表示互为相反数的两个数,且C与A之间的距离为2,求：点B,C对应的数是什么?11. 一个数a在数轴上表示的点是A,A在数轴上向左平移了3个单位长度后是点B,点A与点B 表示的数恰好互为相反数,那么数a是多少?并将数a及其相反数在数轴上表示出来.12. 已知a是的相反数,b比最小的正整数大4,c的相反数等于它本身,计算的值是多少?13. 化简：(1);(2).14. 如果,b是相反数为-4的数,求在数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.15. 己知有理数a,b,c满足,计算的值.16. 有一只小昆虫在数轴上爬行，它从原点开始爬.“ ”表示小昆虫沿数轴向右爬，“-”表示小昆虫沿数轴向左爬，总共爬行10次，其数据统计如下(单位：cm)：，，，，，，，，，.如果小昆虫每分钟爬行4cm，则在此爬行过程中它用了多少时间?17. 判断下列说法是否正确.(1)符号相反的两个数互为相反数；(2)符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；(3)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；(4)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远.18. 化简下列各数的符号.(1);(2);(2);(4).19. 已知与-5互为相反数,求x的值.20. 已知数轴上A,B表示的数互为相反数,且A,B两点间的距离为7,求点A,B表示的两数(A在B的左边).21. 若|a|=1,|b|=2, |c|=3,且a<b<c,求a,b,c的值.22. 若m>0,n<0,且|m|>|n|,用“>”把m,-m,n,-n连接起来.(用两种方法解)23. 在活动课上,有6名学生用橡皮泥做了6个球,直径与规定的可以有0.02毫米的误差,超过规定直径的毫米数记为正数,不足的记为负数,检查结果如下表(单位:毫米):(1)请你指出哪些同学做的球是合乎要求的;(2)哪名同学做的球的质量最好?哪名同学做的球的质量最差?(3)请你对6名同学按做的球的质量从好到差排名.第3页共10页24. 根据“对于任意有理数，都有≥0”解答下列问题：(1)当为何值时，有最小值？最小值是多少？(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？25. 在正式的乒乓球比赛中，对使用的乒乓球的质量有严格的规定.下面是4个乒乓球的质量检测结果(正数表示超过标准质量的克数，负数表示低于标准质量的克数)：-0.2， 0.3，-0.3，0.15.请指出哪个乒乓球的质量最接近标准质量，并说明理由.26. 如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：(1)如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？(2)如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是正数还是负数？图中的五个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？27. 已知在数轴上点A,B分别表示数a，b.(1)填写下表：(2)试用含a，b的式子表示A,B两点间的距离；(3)你能说明在数轴上表示的意义吗？(4)若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，的值最小？最小值是多少？28. 根据解答下列各题：(1)当x为何值时,有最小值?最小值是多少?(2)当x为何值时,有最大值?最大值是多少?29. 同学们都知道,|4-(-2)|表示4与-2的差的绝对值,实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;同理|x-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索:(1)|4-(-2)|= ;(2)找出所有符合条件的整数x,使|x-4| |x 2|=6成立.北师大版七年级上2.3《绝对值》解答题专题参考答案1. 【答案】点A表示0；点B表示-1.5；点C表示2.5；点D表示1.5；点E表示-3.这些数的相反数分别是0,1.5,-2.5,-1.5,3.2. 【答案】这天下午，汽车行驶的总路程为(km)；汽车的总耗油量为(L).答：这天下午汽车共耗油23.6 L.3.(1) 【答案】误差是表示的意义是球的质量最多比标准质量多5g，最少比标准质量少5g.(2) 【答案】根据误差要求可得,①②③⑤⑥号球符合质量要求.(3) 【答案】因为在检查结果中, 1的绝对值最小，所以⑤号球的质量最接近标准质量.4. 【答案】由相反数的性质，得.所以根据绝对值的性质，可得且.由，得.由，得.所以.第5页共10页5. 【答案】(1).(2).(3).(4).(5).6. 【答案】(1)绝对值等于3的数有2个，分别是3和-3.(2)绝对值等于0的数只有1个，是0.(3)绝对值没有负数,所以没有绝对值是-2的数.(4)绝对值最小的数是0，没有绝对值最大的数.7. 【答案】(1);(2);(3);(4).8. 【答案】，，，，，，.9. 【答案】先将这些数进行化简,然后再在数轴上标出个点.因为,,,,的相反数是4,的相反数是,所以画出的数轴及各点在数轴上的位置如图.10. 【答案】根据数轴上点的特点及相反数的定义可以解决本题.因为数轴上点A表示7,C与A之间的距离为2,所以数轴上点C表示5或9.因为点B,C表示互为相反数的两个数,所以数轴上点B表示-5或-9.所以点B,C对应的数分别是-5,5或-9,9.第7页共10页11. 【答案】a 的值为1.5,其相反数为-1.5.在数轴上表示如图(2).12. 【答案】由题意,得 , , .所以 .13.(1) 【答案】.(2) 【答案】.14. 【答案】根据有理数的绝对值的定义可得,互为相反数的两数的绝对值相等,由 ,得或 ,由b 是相反数为-4的数,得 ,当 , 时,在数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离为1;当 , 时,在数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离为9.15. 【答案】因为 ,所以 , ,且 ,所以 , , .所以 ,即的值为27.16. 【答案】小昆虫爬行的路程为 (cm)，所用时间为 (分钟)，答：在此爬行过程中它用了5分钟.17. 【答案】(1) 与3是符号相反的两个数，但不互为相反数，故错误. (2)正确.(3) 正数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右，而负数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠左，故错误.(4)正确.18.(1) 【答案】.(2).(2) 【答案】.(4).19. 【答案】可以根据互为相反数的两数符号不同,也可以根据互为相反数的两数之和为0. 方法一：因为5与-5互为相反数,所以,故.方法二：因为与-5互为相反数,所以,故.20. 【答案】点A表示-3.5,点B表示3.5.21. 【答案】因为|a|=1,|b|=2,|c|=3,所以|a|<|b|<|c|.又因为a<b<c,所以a,b,c同为正数,即a=1,b=2,c=3或a为负数,b,c为正数,即a=-1,b=2,c=3.故a=1,b=2,c=3或a=-1,b=2,c=3.22. 【答案】解法一:首先先判断正负.因为m>0,n<0,所以m,-n为正数,-m,n为负数.又因为|m|>|n|,所以|-m|>|n|,|m|>|-n|.所以m>-n>n>-m.解法二:根据数形结合思想,可把m,n,-m,-n在数轴上表示出来,如图所示.因为数轴上表示的有理数,右边的数大于左边的数,所以m>-n>n>-m.23.(1) 【答案】|+0.031|=0.031>0.02,|-0.017|=0.017<0.02,|+0.023|=0.023>0.02,|-0.021|=0.021>0.02,|+0.022|=0.022>0.02,|-0.011|=0.011<0.02,所以张兵和蔡伟做的球是合乎要求的.(2) 【答案】绝对值越小,质量越好.因为0.011<0.017<0.021<0.022<0.023<0.031,所以蔡伟做的球的质量最好,李明做的球的质量最差.(3) 【答案】由第2问可得,这6名同学按做的球的质量从好到差的排名为:蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明.24.(1) 【答案】当时，有最小值，最小值为0.(2) 【答案】当时，有最大值，最大值为5.25. 【答案】因为，，，，所以0.15的绝对值最小，所以质量检测结果为0.15的乒乓球的质量最接近标准质量.26.(1) 【答案】如果点，表示的数互为相反数，那么它们的中点是数轴的原点，那么点表示的数是-1.(2) 【答案】如果点，表示的数互为相反数，那么它们的中点是数轴的原点，则点表示的数是正数，点表示的数的绝对值最小，最小的绝对值为.27.(1) 【答案】(2) 【答案】A，B两点间的距离为.(3) 【答案】可表示3与-6对应的两点之间的距离.(4) 【答案】在数轴上，当点P在-3与4对应的两点之间(包括-3与4对应的两点)时，的值最小，最小值为7.28.(1) 【答案】当时,有最小值,最小值为0.(2) 【答案】当时,有最大值,最大值为3.29.第9页共10页(1) 【答案】6(2) 【答案】设在数轴上-2和4所对应的点分别为A,B,如图所示.根据题意|x-4| |x 2|=6可理解为在数轴上,x所对应的点到-2和4所对应的点A,B的距离和为6,又结合数轴可知A,B两点间的距离为6,所以只要x所对应的点在线段AB上(含A,B两点)都满足|x-4| |x 2|=6,所以符合条件的整数x有:4,3,2,1,0,-1,-2.。