函数与方程、零点

函数与方程

一、考点聚焦

1．函数零点的概念

对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点：

（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。 （2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。 （3）一般我们只讨论函数的实数零点。 （4）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。 2、函数零点的判断

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<∙b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

但要注意：如果函数)(x f y =在],[b a 上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(<∙b f a f

3．函数零点与方程的根的关系

根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。 4．函数零点具有的性质

注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程0)(=x f 没有实数根，则函数)(x f 没有零点。

5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。

用二分法求函数零点近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在的区间。

6．用二分法求函数零点的近似值的探究

在应用二分法求函数的变号零点的近似值0x 时，从精确度出发，确定需经过多次取区间],[b a 的中点找到零点的近似值，使其达到精确度的要求。

注意：这里指的精确度是指区间],[b a 的长度。

二、点击考点

［考题1］若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，则二次函数ax bx x g -=2)(的零点是

。

［考题2］求函数673+-=x x y 的零点。

［考题3］若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0(

C ．),0(+∞

D ．∅

［考题

4］无论m 取哪个实数值，函数

)2

3

(}23{2--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．不确定

［考点

5］设函数

⎩⎨

⎧>≤++=,

0,3,

0,)(2x x c bx x x f 若

2)2(),0()4(-=-=-f f f ，

则函数x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

［考点6］已知2>a ，且函数13

1)(23

+-=

ax x x f 在区间)2,0(上是减函数，则方程013

1

23=+-ax x 在区间)2,0(上的实根个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

［考题7］函数x

x x f 2

ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1(

B ．)3,2(

C ．)1

,1(e

和)4,3( D ．),(+∞e

故选B 。

［考题9］已知)1)(1(+-=x x x y 的图象如图所示，因考虑01.0)1)(1()(++-=x x x x f ，则方程式0)(=x f （ ）

A ．有三个实根

B ．当1-

C ．当01<<-x 时，恰有一实根

D ．当1>x 时，恰有一实根

三、夯实双基

1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）

2．已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点

B ．有两个零点

C ．有一个或两个零点

D ．无零点 3．已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表（ ）

x

1 2 3 4 5 6 )(x f

123.56

21.45

－7.82 11.57 53.76 －126.49

函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

4．下列方程在区间)1,0(内存在实数解的是（ ） A ．012=-+x x B ．032=-+x x C ．012=-x

D ．02

1

2=+

x x 5．下面关于二分法的叙述正确的是（ ） A ．用二分法可求函数的所有零点近似解

B ．用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一位数字

C ．二分法根本无规律可循，无法在计算机上进行

D ．只在求函数的零点时，才用二分法

6．若函数)(x f 的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<∙∙>f f f f ，则下列命题正确的是（ ）

A ．函数)(x f 在区间)1,0(内有零点

B ．函数)(x f 在区间)2,1(内有零点

C ．函数)(x f 在区间)2,0(内有零点

D ．函数)(x f 在区间)4,0(内有零点

7．函数1)(23+--=x x x x f 在]2,0[上（ ） A ．有三个零点

B ．有两个零点

C ．有一个零点

D ．没有零点

8．已知方程x x -=-521，则该方程的解会落在区间（ ）内。 A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

9．二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象开口向下，对称轴为1=x ，在图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标)3,2(1∈x ，则有（ ）

A ．0>abc

B ．0<++c b a

C ．b c a <-

D ．c b 23>

10．根据下表，能够判断方程)()(x g x f =有实数解的区间是