函数的零点与方程的解教学讲义

函数的零点与方程的解教学讲义

必备知识·探新知

基础知识

知识点1 函数的零点

(1)函数f (x )的零点是使f (x )＝0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．

思考1：(1)函数的零点是点吗？

(2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )＝0根的个数有什么关系？ 提示：(1)不是，是使f (x )＝0的实数x ，是方程f (x )＝0的根． (2)相等．

知识点2 函数的零点存在定理

(1)条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是__连续不断的曲线__，f (a )f (b )<0；

(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．

思考2：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？

(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．

(2)不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1,1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0.

基础自测

1．函数f (x )＝4x －6的零点是( C ) A ．2

3

B ．(3

2，0)

C ．3

2

D ．－32

[解析] 令4x －6＝0，得x ＝32，∴函数f (x )＝4x －6的零点是3

2

.

2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( B )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

[解析] f (1)＝－1＋log 21＝－1，f (2)＝log 22＝1，∴f (1)·f (2)<0，故选B ． 3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( B ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1

D ．a ≥1

[解析] 函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋a ＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a ＜0，得a ＞1.

4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数有__2__个零点．

[解析] 令ax 2＋bx ＋c ＝0，Δ＝b 2－4ac ，∵a ·c <0，∴b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等实根，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ·c <0)有2个零点． 5．求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2－5x －6； (2)f (x )＝x 3－7x ＋6； (3)f (x )＝(1

2)x －4；

(4)f (x )＝ln x －1.

[解析] (1)令x 2－5x －6＝0，得(x －6)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝6，∴函数f (x )的零点为－1,6. (2)令x 3－7x ＋6＝0，得x 3－x －6x ＋6＝0， ∴x (x ＋1)(x －1)－6(x －1)＝0，

∴(x －1)(x 2＋x －6)＝0，∴(x －1)(x ＋3)(x －2)＝0， ∴x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数f (x )的零点为－3,1,2.

(3)令(12)x －4＝0，得(1

2)x ＝4，∴x ＝－2.

∴函数f (x )的零点为－2.

(4)令ln x －1＝0，得ln x ＝1，∴x ＝e. ∴函数f (x )的零点为e.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一求函数的零点(方程的根)

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；

(2)f(x)＝(x－1)(x2－4x＋3)

x－3；

(3)f(x)＝4x＋5；

(4)f(x)＝log3(x＋1)．

[分析]求函数的零点，就是求相应方程的实数根．[解析](1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，

所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.

(2)令(x－1)(x2－4x＋3)

x－3

＝0，解得x＝1，

所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.

(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．

(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.

[归纳提升] 1.正确理解函数的零点：

(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数零点的求法：

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【对点练习】❶(1)求下列函数的零点：

①f(x)＝x2－2x－3零点为__3，－1__；

②g(x)＝lg x＋2零点为__1

100__.

(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__－6__.

[解析](1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，