人教A版数学必修一1.3.1(1)函数的单调性

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人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件

例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取，且；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间利用定义确定或证明函数在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置：课本P39 A组第1、2、3题课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ；例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性思考2：函数
的单调区间是什么？

人教版高中数学必修1(A版) 1.3.1 函数的基本性质-单调性与最值 PPT课件

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课后思考:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,那么在区间D的子区间(即区间D的子集)上是否具有相同的单调性?
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二、自主学习
自学辅导教材50页§1.3.1 时间20分钟（完成所有探究与练习）集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
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yx
2
f (x1 )
O
x1
x
函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上,随着x的增大,相应的f(x)值也随着增大在区间(-∞,0)上,随着x的增大,相应的f(x) 值反而随着减小.
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三、教师点拨
如何利用函数解析式y=f(x)描述 “随着x的增大，相应的f（x）随着减小”，“随着x的增大，相应的f （x）也随着增大”？
标题
§1.3.1函数的基本性质—单调性
§1.3.1函数的基本性质——单调性
一、问题情景二、自主学习三、教师点拨四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
大家是否记得这样精彩的瞬间：烟花在绽放的刹那、高台跳水运动员纵身起跳至入水的一瞬、陨星划过长空坠落的时刻，上述场景多么美丽壮观啊！让我们闭上眼睛想一想：烟花绽放后的轨迹、运动员跳入水中的过程的身影、陨星坠落的弧线，这些曲线有的上升、有的下降，这与我们研究的函数的单调性有关．
自变量的值x x2 , 当x1 x 2时,都有f x1 f x2 1,

高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时函数的最值课件新人教A版必修1

(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多少？
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值定义函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值几何函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的意义纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，，解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．

函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT

探索点三函数单调性的应用【例 3】【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为(- ∞,-3].
(2) 已知 y=f(x) 在定义域 (-1,1) 上是减函数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版一（册20优19 秀）课高件中数学必修第一册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其中 y=f(x) 在区间 [-5,-2],[1,3] 上是增函数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.

高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时函数的单调性

x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1

2019-2020学年高中人教A版数学必修1课件：1-3-1-1 函数的单调性

期日：点十二分。
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数 y ＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为 y＝1x(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
第十三页，编辑于星期日：点十二分。
象是上升的还是下降的：_上__升__的___. ②在区间__(－__∞__，__＋__∞__)__上，随着 x 的增大，f(x)的值
__增__大____，在此区间上函数是增函数还是减函数：_增___函__数__.
第九页，编辑于星期日：点十二分。
(3)已知函数 f(x)＝－2x＋1 的图象如图 2 所示，①从左
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋ ∞)．
第二十一页，编辑于星期日：点十二分。
拓展提升常用画图象求单调区间
(1)对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kx单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性 (区间)．
第三十八页，编辑于星期日：点十二分。
3．函数 y＝f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)，
则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．又∵已知 f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴1－a≥4，即 a≤－3. ∴所求实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．

人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值

k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1，则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．

高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质

②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“ 对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有 ”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞ f(x2)．
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
证明：设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．

人教版高中数学必修一《1.3.1 函数的单调性》教学设计

1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念、函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要让学生掌握函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。

如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。

同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。

所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。

二、教学目标设置:（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。

（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。

(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:学生在初中只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

人教A版必修一1.3.1单调性与最大(小)值课件(1)

大，f(x)的值随着 __减__小____ ．
3．f(x) = x2
①在区间 _______, 0_____ 上，f(x)的值随
着x的增大而 __减_少_____ ．
② 在区间 ___0_,________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 __增__大____ ．
（一）函数单调性定义二.新课教学
四.作业布置书面作业：课本P32 练习：2、3
（书上完成）
P39习题1．3（A组）第3 1- 2题．
1 x1
1 x2
x2 x1 , x1 x2
注意变形程度
由
x ,x 12
(0,
),
得x x 12
0,
由x 1
x ,得 x -x
2
12
0
,
于是
f(x )-f(x )
1
2
0
(定号)
即 f(x ) 1
f(x ) 2
f(x)
1 x
在(0,
)上是减函数。
（判断结论）
三.归纳小结 1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论 2、直接利用初等函数的单调区间。
画出下列函数的图象，视察其变化规律：
1．f(x) = 2x+1 ① 从左至右图象上升还是降落__上__升__?
②在区间 ______,______ 上，随着x的增大，
f(x)的值随着 __增_大_____ ．
2．f(x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是降落 _降__落___?

人教A版高中数学必修一 1.3.1函数的单调性教案

1.3.1函数的单调性一、教学目标：1.知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念。

初步掌握利用图像和定义判断、证明函数单调性的方法。

2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力。

3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.二．重点难点重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。

难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。

三、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．四、教学过程（1）情景导入观察与思考；1.说出上述情境中图像的变化规律。

2.描述上述情境中气温或记忆保持量随时间变化规律。

（2）探究新知；问题1：观察下列函数的图象，回答当自变量x 的值增加时，函数值f (x )是如何变化的？(1)()1f x x =+2(2)()f x x =问题2：你能根据自己的理解说说什么是递增什么是递减?问题3：你能借助数学符号，将上述“函数值随着自变量增大逐渐增大”描述出来吗？当x 增大时 f(x)随着增大，即：当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)。

增函数的定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。

概念辨析()上递增。

，在区间则函数满足]31[)(),3()1()(1-<-x f f f x f()()()()()()()()()[]212,23,99100,1,100f x f f f f f f f x <<<若满足则在上递增。

()()[)[]()[]上递增。

在区间则上递增，和在区间函数3,03,22,03x f x f问题4：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生讨论、回答）师生共同得出：定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数。

高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法）师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）

⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。

2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

人教A版高中数学必修一1.3.1+函数的单调性和最大小值+教案

函数单调性与最大(小)值（第一课时）一、二、教材分析:《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，也了解了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数单调性的定义，对于函数单调性的判断也主要根据图像观察得到，而本小节内容，正是对初中有关内容的一个深化和提高，给出了具体的函数在某个区间上是增函数还是减函数的定义，并明确指出函数的单调性是相对于那个区间的，还介绍了判断函数单调性的两种方法，做到将图像与定义证明结合在一起的思想。

函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。

这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。

首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。

这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。

二、学情分析:学生已经学习了函数的概念、定义域和值域，因此他们具有了一定的抽象概括、类比归纳，符号表达的能力，在此基础上进一步研究函数的性质，对于他们来说不是太难。

但由于函数的图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本次教学时，要充分使用信息技术创设教学情境，这样有利于学生更好地观察和探究函数的单调性、最值等性质，同时还要特别注意让学生经历这些概念形成的过程。

三、教学目标:1、知识与技能：理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。

掌握函数增减性的证明：掌握判断简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。

2、过程与方法：能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。

通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。

3、情感态度与价值观：借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。

人教版高中数学必修1(A版) 1.3.1函数的单调性 PPT课件

V2 V1 k V1V2 由V1 ,V2 (0, ), 得VV 1 2 0;
第二步:作差第三步:变形
由V1 V2 , 得V2 V1 0. 又k 0, 于是p(V1 ) p(V2 ) 0
即
第四步:判断 p(V1) p(V2 ) k 所以,函数p ,V (0, )是减函数. V 第五步 :结论也就是说,当体积V 减小时, 压强p增大 .
怎么办呢?
回答几个问题吧!
k 1. p (k是常数)是函数吗 ? V k 2.你能画出p (k是常数)的图象吗? V k 3.能过图象观察函数p (k是常数)是否 V 具有单调性 ? 你能作出猜想吗 ? 4.如果具有单调性, 你能用单调性的定义加以证明吗?
证明 : 根据函数单调性的定义, 设V1,V2是定义域(0, )上的任意两个实数, 且V1 V2 , 则 k k 第一步:设值 p(V1 ) p(V2 ) V1 V2
思考：类比上面的结论, 对于函数y x , 我们能得到怎样的结论呢?
2
函数y x 是增函数?减函数?
2
y
函数y x2在区间(0, )上是增函数! 函数y x 在区间(,0]上是减函数!
2
f ( x)
O O
x
y x2
结合下面的函数的图象, 你能给增函数
下一个严格的定义吗?
当x1 0时, y1 0;
3
所以, f ( x) x 3x是减函数!
当x1 0时, y1 0;
当x2 2时, y2 2; 由此可以推断 : 当x增大时, y随之增大.
3
显然0 2,0 2.
所以, f ( x) x 3x是增函数!