4 弹性力学的几个基本概念：应变

应力的方向和正负 应力的方向和正
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后， 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
在一点附近， 在一点附近，沿三个 材料力学定义剪应力 坐标方向切出三个面. 以使物体顺时针旋转 坐标方向切出三个面 为正， 为正， 注意： 注意：平面以其外法 线来定义方向的。 线来定义方向的。 因而是反对称的 因而是反对称的
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力( 单位面积的内力称为应力 stress ) 。
设想将物体切开， 设想将物体切开，分开两部分 的相互作用可以用力来表示。 的相互作用可以用力来表示。 力随位置而变化。 力随位置而变化。 取微小面积， 取微小面积，将作用力除以面 积，在面积趋于零即趋于一点 时的极限，就是该点处应力。 时的极限，就是该点处应力。
应力张量的概念 中心点 C 力矩平衡
x
两个坐标面上应力知 道后， 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
σ x , σ y ,τ xy
以平面问题说明
应力张量的概念
l = cos( n , x ) 两个坐标面上应力知 道后，cos( n , y ) 道后= 其它任一方向 m ， 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
应力的方向和正负 应力的方向和正
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力( 单位面积的内力称为应力 stress ) 。
正应力与面外法向一致 为正， 为正，即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴 一致时， 一致时，剪应力与坐标 轴一致为正；反之亦然 轴一致为正；
弹性力学的平面问题
平面应力问题： 很薄的等厚薄板 受力情况： 只在板边上受平行 于板面且不沿厚度 变化的面力和约束
物理方程：广义虎克（胡克） 物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比： 力与变形成正比：刚度 正应力与正应变成正比： 正应力与正应变成正比：杨氏模量 E 侧向变形， 侧向变形，泊松效应 µ
弹性体的变形
UA VA VB UB
PA 的伸长量UA PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 弹性体的变形: 正应变 normal strain
∂u ∂v ε x = ,ε y = ∂y ∂x UA
VA VB UB
PA 的伸长量UA PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 弹性体的变形: 剪应变 shear strain
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力( stress 。 单位面积的内力称为应力 Normal)stress
Shear stress 应力在作用截面的法线方向和 切线方向上的两个分量，分别 切线方向上的两个分量， 称为正应力σ和剪应力 。 称为正应力 和剪应力τ。 和剪应力 一点处的正应力和剪应力， 一点处的正应力和剪应力，其 大小和方向随选用截面而变化。 大小和方向随选用截面而变化。 以杆件单向拉伸为例说明。 以杆件单向拉伸为例说明。
物理方程：广义虎克（胡克） 物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比： 力与变形成正比：刚度 正应力与正应变成正比： 正应力与正应变成正比：杨氏模量 E 侧向变形， 侧向变形，泊松效应 µ
弹性力学的平面问题
一切弹性体的空间的，三维的。 那为什么要考虑平面问题？ 空间问题比较困难，平面问题比较简单 先做简单的事情，积累经验 对有些特定的物体，将其间化为平面问题， 可能更能体现物体的受力和变形特征。 模型应尽可能简单，简单到不失真为止； 模型应尽可能简单，简单到不失真为止； 模型应尽可能复杂，复杂到能解决为止； 模型应尽可能复杂，复杂到能解决为止；
力与变形成正比： 力与变形成正比：刚度 正应力与正应变成正比： 正应力与正应变成正比：杨氏模量 E 侧向变形， 侧向变形，泊松效应 µ
平面应变的虎克定律
εz = 0 σz ≠ 0
虎 克 定 律 平面应变 平面应力
物理方程：广义虎克（胡克） 物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比： 力与变形成正比：刚度 作业： 作业： 正应力与正应变成正比： 以应变表示应力 正应力与正应变成正比：杨氏模量 E 侧向变形， 侧向变形，泊松效应 µ 的本构关系
应力张量的概念：主应力和应力主向 主应力和应力主向 某一方向剪应力为零
应力张量的概念：主应力和应力主向 主应力和应力主向
Mohr 圆的应用
应力张量的概念：正应力、剪应力的极值 正应力、 正应力
选取坐标轴为应力主向
正应力极值： 正应力极值： 剪应力的极值： 剪应力的极值：
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后， 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
虎克定律的弹性常数 结构参数：刚度 单位长度变形与单位面积受力
F/A = E u/L
εx =
侧向变形， 侧向变形， 泊松效应 µ
杨氏模量
σx
E
σx
E
ε z = −µ σx
E
ε y = −µ
物理方程：广义虎克（胡克） 物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比： 力与变形成正比：刚度 侧向变形， 侧向变形，泊松效应 µ
复习： 复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性体的受力 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 各处受力不同， 各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同 位移可直接观测，
复习： 复习：弹性力学的内容和方法
• 弹性力学问题，通常是已知物体的形状、 大小和弹性常数，物体边界受力或约束情 况，而物体内部的受力、物体的变形或位 移则是需要求解的未知量。 • 考虑静力学建立平衡微分方程； 根据微分 线段上形变与位移之间的几何关系，建立 几何方程；根据应力与形变之间的物理关 系，建立物理方程。 • 在物体的边界上，还要建立边界条件。
复习： 复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 理想弹性体：完全弹性、连续、均匀和 理想弹性体：完全弹性、连续、 各向同性这4个基本假定的物体。 各向同性这4个基本假定的物体。 • 弹性力学通常假设物体受力之后的位移和 变形都远小于物体自身尺度， 变形都远小于物体自身尺度，变形之后的 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。 • 有关方程做线性简化，并满足叠加原理。
弹性力学的几个基本概念
悬 臂 梁 • 如何描述弹性体的受力
新课
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 各处受力不同， 各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同 位移可直接观测，
∂v ∂u α= β= ∂x ∂y
∂v ∂u γ = + ∂x ∂y
UA
VA VB UB
PA 的转动量VA PB 的转动量UB
∂u ∂v 弹性体的变形 ε x = ∂x , ε y = ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
UA VA VB UB
刚体移正应变 和 剪应变
∂u ∂v ε x = ,ε y = ∂x ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
3 个应变是有两个位移确定的， 个应变是有两个位移确定的， 因而应变分量不是独立的， 因而应变分量不是独立的，满足关系 ：
∂ γ xy
2
∂ εx ∂ εy = + 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x
2 2
变形协调方程或相容方程
祝大家 学习愉快 万事如意
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
外界作用于物体力称为外力。力的单位 N 外力可以分为体积力和表面力。 体积力有时也称为质量力， 重力和惯性力；体积力的单位 N/m3 高速旋转的物体可能因离心力作用而发生 破坏。不过，体积力一般可不考虑 表面力是作用在物体表面的力， 表面力是作用在物体表面的力，如流体压力 和接触力。表面力的单位： 和接触力。表面力的单位：1 N/m 2 = 1Pa
弹性体的受力： 弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力 ( stress )。 。 应力张量的概念
在一点附近， 在一点附近，沿三个 坐标方向切出三个面. 坐标方向切出三个面 注意： 注意：平面以其法线 来定义方向的。 来定义方向的。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
σ x τ xy τ xz
τ xy τ xz σ y τ yz τ yz σ z
平面应力的Mohr 圆
l = cos( n, x)
m = cos( n, y )
选取坐标轴为应力主向
τ
2α
σ2
(σ1+σ2)/2
σ1
弹性体的变形
• 弹性体受力之后的变形和位移都很小， 悬臂梁 • 可以用变形之前的位置和尺度表示变形之 can 后的位置和尺度。 t i l e v e r • 对于物体中的每一点，都有确定的空间位 置，用坐标表示。 • 物体受力之后，各点都会产生微小的位置 变化，也就是位移。 • 不同的点位移不同，就会引起变形。