弹性力学的基本概念和基本假设

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弹性力学的几个基本概念：应变

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弹性力学的基本概念
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01 添加目录标题
03 应变
05 弹性常数
02 弹性力学简介 04 应力 06 弹性力学的应用
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弹性力学简介
弹性力学的研究对象和意义
研究对象：弹性力学主要研究弹性体在外力作用下的变形、应力、应变等物理量
意义：弹性力学是工程力学的一个重要分支广泛应用于建筑、机械、航空航天等领域对于提高工程结构的安全性、可靠性和稳定性具有重要意义
弹性常数
弹性常数的定义和物理意义
弹性常数：描述材料弹性特性的物理量
弹性模量：描述材料抵抗形变的能力
泊松比：描述材料在受力时体ห้องสมุดไป่ตู้变化的程度
剪切模量：描述材料抵抗剪切变形的能力
体积模量：描述材料抵抗体积变化的能力
弹性常数的物理意义：通过弹性常数可以了解材料的弹性特性为工程设计和材料选择提供依据。
弹性力学在材料科学中的应用
材料力学性能测试：通过弹性力学原理测试材料的强度、刚度、韧性等力学性能。材料设计：根据弹性力学原理设计材料的形状、尺寸和结构以满足特定的力学性能要求。
材料优化：通过弹性力学原理优化材料的制造工艺和材料成分以提高材料的力学性能。
材料失效分析：通过弹性力学原理分析材料失效的原因为改进材料提供依据。
应力与应变的关系
应力：物体受到外力作用时单位面积上所承受的力
应变：物体在外力作用下产生的形变
胡克定律：应力与应变成正比即应力=应变*弹性模量
弹性模量：衡量材料弹性大小的物理量与材料的性质有关
泊松比：描述材料在受力时横向应变与纵向应变之比与材料的性质有关

弹性力学知识点总结

弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。

以下是对弹性力学主要知识点的总结。

一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。

2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。

3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。

4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。

5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。

二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。

2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。

3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。

三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。

2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。

3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。

四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。

通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。

五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。

对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。

六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。

2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。

七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。

极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。

八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。

2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。

结构力学中的弹性理论分析

结构力学中的弹性理论分析弹性力学是力学的一个重要分支，研究的是物体在受力作用下的变形及其对应的应力分布。

弹性力学在工程学、地质学、物理学、地球物理学等领域都有着广泛的应用。

其中，弹性理论是一种重要的理论分析方法，可用于研究各种结构的受力情况和变形规律。

一、弹性理论的基本假设弹性理论的基本假设是：物体在作用力的作用下，其材料内部存在一种弹性应变能，当作用力消失时，这种应变能将物体恢复到原来的形状和尺寸。

弹性理论假设物体内部的弹性应变能只由物体的应变状态所决定，与作用力的历史无关。

这种假设在实际问题中具有很大的适用范围。

二、弹性理论的基本方程弹性理论的基本方程是：应力-应变关系、平衡方程和边界条件。

（1）应力-应变关系应力-应变关系是弹性理论的基本方程之一，它描述了物体中的应力与应变之间的关系。

杨氏模量、泊松比和切变模量是弹性体特性的重要参数，它们与应力、应变的关系描述了物体的本质特性。

（2）平衡方程平衡方程是弹性理论的基本方程之一，它表述了物体受到的力与物体本身所受的内力之和为零。

平衡方程可用来分析物体的力学平衡状态。

（3）边界条件边界条件是弹性理论的基本方程之一，它描述了边界上的应力和位移情况。

确定合理的边界条件是解决实际问题的关键之一。

三、弹性理论在工程中的应用弹性理论在工程领域中应用广泛。

在力学中，弹性力学是力学的一个重要分支，通过弹性理论的基本方程对实际工程问题进行分析，可以确定各种结构在受力和变形作用下的响应及其特征。

常见的工程问题都有基于弹性理论的解决方法，如梁的挠曲、拉伸、扭曲等问题，还有薄板、圆筒等结构的问题。

在实际工程中，可能会出现一些非常规形状的结构，这时弹性力学的理论可衍生出其相应的基本方程，用于分析这些结构的强度和变形行为。

此外，弹性理论在非线性动力分析和接触问题的研究中也有一定的应用。

总体来说，弹性理论在工程中是必不可少的。

弹性力学基本概念和考点汇总

弹性力学基本概念和考点汇总弹性力学是研究物体在受力作用下的形变和应力的学科。

它是物理学和工程学中的一门重要课程，被广泛应用于材料力学、结构设计和工程力学等领域。

在学习弹性力学的过程中，有一些基本概念和考点是必须要掌握的。

1.弹性形变和塑性形变：弹性形变是指物体在受到外力作用后，恢复到原始形状的形变。

而塑性形变是指物体在受到外力作用后，不能完全恢复到原始形状的形变。

2.弹性力学中的基本假设：在弹性力学中，通常做出两个基本假设。

第一个是小变形假设，即物体在受力作用下发生的形变是很小的；第二个是线弹性假设，即物体的应力和应变之间的关系是线性的。

3.弹性势能和应变能：弹性势能是指物体在受力过程中，由于形变而储存的能量。

而应变能是指物体在受力过程中，由于形变而转换成的能量。

4. Hooke定律：Hooke定律是指物体在小变形范围内，应力和应变之间的关系是线性的。

它可以表示为应力等于弹性模量乘以应变。

5.弯曲力学：弯曲力学是研究杆件在受到弯曲力作用下的形变和应力分布。

在弯曲力学中，有一些重要的概念和公式，如弯曲应力、弯曲应变、弯矩和弯曲方程等。

6.薄壁压力容器：薄壁压力容器是指在薄壁条件下，承受内外压力作用的容器。

在薄壁压力容器的分析中，常常需要考虑切应力和平均应力的计算。

7.稳定性分析：稳定性分析是指对于一个受到外力作用的物体，判断其是否处于稳定平衡状态的分析。

在稳定性分析中，需要考虑物体的刚度、屈曲和挠度等因素。

8.复合材料力学：复合材料是由两种或两种以上不同材料组成的材料。

在复合材料力学中，需要考虑不同材料的力学性能和界面效应等因素。

9.动力学分析：动力学分析是研究物体在受到外力作用下的运动状态和运动规律。

在动力学分析中，需要考虑物体的质量、加速度和作用力等因素。

以上是弹性力学中的一些基本概念和考点的汇总。

掌握这些基本概念和考点可以帮助我们理解弹性力学的基本原理和应用，进而应用于实际问题的分析和解决。

弹性力学教案设计方案模板

一、教学目标1. 知识目标：（1）使学生掌握弹性力学的基本概念、基本假设和基本理论；（2）使学生了解弹性力学在工程实际中的应用；（3）使学生具备运用弹性力学解决实际问题的能力。

2. 能力目标：（1）培养学生分析问题和解决问题的能力；（2）培养学生运用数学工具进行力学计算的能力；（3）培养学生进行实验和科学研究的能力。

3. 情感目标：（1）激发学生对弹性力学的兴趣，培养学生热爱科学、追求真理的精神；（2）培养学生严谨求实、团结协作的科研态度；（3）培养学生关注工程实际问题，为社会作出贡献的责任感。

二、教学内容1. 弹性力学的基本假设和基本概念；2. 应力的张量表达和性质；3. 二维应力状态分析；4. 材料力学性能和弹性常数；5. 弹性力学基本方程；6. 杆件、板壳、梁等结构在弹性力学下的分析。

三、教学方法1. 讲授法：系统讲解弹性力学的基本理论、方法和应用；2. 讨论法：引导学生讨论弹性力学在实际工程中的应用，提高学生的实践能力；3. 案例分析法：通过实际案例分析，使学生了解弹性力学在工程中的应用；4. 实验法：通过实验验证弹性力学的基本理论和公式，培养学生的实验技能。

四、教学过程1. 导入新课：介绍弹性力学的起源、发展及其在工程实际中的应用，激发学生的学习兴趣。

2. 讲授基本概念和理论：（1）弹性力学的基本假设和基本概念；（2）应力的张量表达和性质；（3）二维应力状态分析。

3. 讲解材料力学性能和弹性常数：（1）材料的应力-应变关系；（2）弹性常数及其计算。

4. 讲授弹性力学基本方程：（1）平衡方程；（2）几何方程；（3）物理方程。

5. 分析杆件、板壳、梁等结构在弹性力学下的分析：（1）杆件的弯曲；（2）板壳的弯曲；（3）梁的弯曲。

6. 案例分析：（1）讨论弹性力学在工程实际中的应用；（2）分析实际工程中的弹性力学问题。

7. 实验演示：（1）验证弹性力学的基本理论和公式；（2）培养学生的实验技能。

弹性力学

1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁动力学，非连续体力学包括原子级、波动方程、量子力学。

2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。

3、弹性力学的基本假定为：假设物体是连续的、假设物体是匀质的和各项同性的、假设物体是完全弹性的、假设物体的变形是很少的、和假设物体内无初应力。

4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。

5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数弹性模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。

6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。

7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。

8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，压缩时为负，与正应力的正负号规定相适应。

10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。

11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。

与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。

应力及其分量的量纲是L-1 MT-2 。

12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9 个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立3个方程。

13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立 6个方程。

14、物理方程表示应力与应变的关系，即为胡克定律，其中弹性常数E和μ分别表示材料的弹性模量和泊松比，物理方程组共包含6个方程。

弹性力学理论基础

2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力物体受外力作用后，在其内部将要产生应力。六面体称为微元体：从物体中取出一个无限小的平行六面体，它的棱边平行于坐标轴。将微元体每一个面上的应力分解成为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的体积的中心。

弹性力学教案.doc

弹性⼒学教案.doc弹性⼒学教案第⼀章绪论（4学时）介绍弹性⼒学研究的内容、基本概念和基本假设。

1、主要内容：第⼀节弹性⼒学的内容第⼆节弹性⼒学的基本概念第三节弹性⼒学的基本假设2、本章重点：弹性⼒学的基本概念。

3、本章难点：弹性⼒学的基本概念。

4、本章教学要求：理解弹性⼒学的基本假设、基本概念。

5、教学组织：弹性⼒学是在学习了理论⼒学、材料⼒学等课程的基础上开设的专业课程。

学⽣已经建⽴了关于应⼒、应变、位移的概念。

⽽且能够⽤材料⼒学的⽅法对杆件进⾏应⼒计算；并进⼀步对其进⾏强度、刚度和稳定性的分析。

在本章第⼀节的教学中，要明确弹性⼒学、材料⼒学和结构⼒学在研究对象上的分⼯的不同；在研究⽅法上的不同；及其不同的原因。

并且让学⽣初步了解弹性⼒学的研究⽅法。

在本章第⼆节的教学中，要进⼀步深⼊研究作⽤在弹性体上的⼒。

明确内⼒与外⼒、体⼒与⾯⼒、应⼒⽮量与应⼒张量等概念及其表达⽅式。

在本章第三节的教学中，研究弹性⼒学的基本假设。

通过基本假设的讲解，让学⽣明⽩合理的科学假设在科学研究中的必要性和重要性。

要启发学⽣理解弹性⼒学的各个假设及其限定的缘由。

第⼆章弹性⼒学平⾯问题的基本理论（14学时）本章研究平⾯问题的基本⽅程、边界条件及其解法。

1、主要内容：第⼀节平⾯问题第⼆节平衡微分⽅程第三节斜截⾯上的应⼒、主应⼒第四节⼏何⽅程、刚体位移第五节斜截⾯上的应变及位移第六节物理⽅程第七节边界条件第⼋节圣维南原理第九节按位移求解的平⾯问题第⼗节按应⼒求解的平⾯问题、相容⽅程第⼗⼀节常体⼒情况下的简化第⼗⼆节应⼒函数、逆解法与半逆解法2、本章重点：平⾯问题的基本⽅程、应⼒函数及边界条件。

3、本章难点：平⾯问题的基本⽅程及边界条件的确定。

4、本章教学要求：掌握弹性⼒学平⾯问题的基本⽅程和应⼒边界条件；理解圣维南原理及相容⽅程的意义。

掌握按应⼒求解弹性⼒学问题的基本⽅程和概念；掌握按位移求解弹性⼒学问题的基本⽅程和概念。

第2章弹性力学的基本知识

（2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。
（3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。
(4)完全弹性假设:胡可定律
（5）几何假设——小变形假设：变形产生的位移与物体的尺寸相比 ,是微小的。
关于外力、应力、应变和位移的定义
1.外力
体力（定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。有限元分析也使用集中力这一概念。
以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变ε和切（剪）应变 γ 来表示。正应变εx ，εy ， εz 以伸长为正。
切应变γxy , γyz ,γzx 以直角减小为正, 用弧度表示。正应变和切应变都是无因次的量应变列阵 x y z xy yz zx
Tຫໍສະໝຸດ 4. 位移材力研究方法
也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材力解法只能适用于杆件形状的结构。
★ 弹塑性力学研究问题的基本方法
在受力物体内任取一点（单元体）为研究对象。
写成矩阵形式:
ε=
σ
ε=φσ 显然: φ=D-1
三、平衡方程
弹性体中任一点满足平衡方程, 在给定边界上满足应力边界条件。
弹力的研究方法
在体积V内由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；由微分线段上应变与位移的几何关系，建立几何方程；由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程；在边界 S 面上
x
二、物理方程
若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料力学胡克定律:

弹性力学的几个基本概念应变

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应力张量的概念中心点 C 力矩平衡
两个坐标面上应力知道后，其它任一方向上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
x
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x , y , xy
以平面问题说明
应力张量的概念
两l个坐c标os面n(,上应x)力知
道m后，c其o它sn任,(一y方) 向
上应力可以求出来。
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应力张量的概念：主应力和应力主向某一方向剪应力为零
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复习：弹性力学的内容和方法
• 弹性力学问题，通常是已知物体的形状、大小和弹性常数，物体边界受力或约束情况，而物体内部的受力、物体的变形或位移则是需要求解的未知量。
• 考虑静力学建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。
模型应尽可能简单，简单到不失真为止；模型应尽可能复杂，复杂到能解决为止；
实用文档
弹性力学的平面问题
平面应力问题：很薄的等厚薄板受力情况：只在板边上受平行于板面且不沿厚度变化的面力和约束
实用文档
弹性力学的平面问题
平面应变问题：很长的柱形体，截面形状受力等都不沿长度变化，
位移仅在横截面内，按说应称为平面位移问题。现在说平面应变问题，是将错就错
高速旋转的物体可能因离心力作用而发生破坏。不过，体积力一般可不考虑表面力是作用在物体表面的力，如流体压力和接触力。表面力的单位：N/m 2 = Pa
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弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力，单位面积的内力称为应力。
设想将物体切开，分开两部分的相互作用可以用力来表示。力随位置而变化。

弹性力学复习第一～四章总结

n max 1 2 n n min 2
最大最小切应力在与主应力成450的斜面上。
§2-3
平衡微分方程
平面问题的基本方程
x yx fx 0 x y
y y xy x
一、平面应力问题的基本方程
fy 0
运用基本假定: 几何方程
平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何方程完全相同。作代换
E E , 2 1 1
正负号。
§2-7
圣维南原理及其应用
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。利用圣维南原理，可为简化边界上的应力条件提供极大的方便
圣维南原理的应用
fy
§2-2
平面问题中一点的应力状态
一、任一面上的正应力σn和切应力分量τn
二、P点的主应力
若某一面上的τn ＝0，该面为应力主面，σn＝ σ即为主应力，该斜面的法线方向即为P点的一个应力主向。
得：
过P点任意两个相互垂直的面上的正应力之和始终保持不变，等于两个主应力之和。
三、主应力的方向
第1章
关键概念
绪论
正面，负面，面力，体力，应力、应变、弹性、弹性体、均匀性假设、连续性假设、各向同性假设、线弹性假设，小变形条件
本章重点
1、弹性力学研究的内容 2、弹性力学的基本量 3、弹性力学的基本假设 4、各个基本假定在建立弹性力学基本方程时的用途

弹性力学总结与温习思虑题(土木)

用）
概念题；
简单叙述、计算、证明题；
分析计算题。
各章节的复习思考题
第一章绪论
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。（从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）
（2）《弹性力学》中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作
用是什么？举例说明哪些使用了这些基本假定？
（16）何为逆解法？何为半逆解法？
第三章平面问题的直角坐标解答
（1）直角坐标解答适用于什么（2）情用况应？力函数法求解弹性力学问题的基（3）本常步体骤力？下应力函数与应力分量间的（直角坐标）
关系如何？
第四章平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状（？圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平
x4
2
4
x 2y 2
4
y 4
0
4 0
(2-27)
（2）然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
(2-26)
（3）再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
h
下侧：
2
h xy 2
dx
y0
F1
y = l N 2ql
反力：Q F1 M F1l
x xh 0
2
xy x h q 2
M
Q
N
(a)
h
2 h
y
dx

第一章弹性动力学基础

第一章弹性动力学基础§1.1 弹性动力学的基本概念与基本假设1.1.1 连续介质的概念力学系统最基本的概念是连续介质。

物体从宏观上看是稠密的，无间隙的，我们称之为连续介质。

固体、液体、气体等各种形态的物体一般地都可认为是连续介质。

严格地说，从微观角度看，这种假设并不成立。

但研究物体的运动规律和变形规律等力学行为是它的外部现象，并不涉及它的内部分子结构，连续介质假设已有足够的精确度。

描述一个物体须确定它的构形。

物体在三维欧几里德空间内占据的一般是一个有界区域，它的内部区域用V 来表示，它的边界用表示。

连续介质可由V S S +给出其构形。

连续介质内任意点P 的位置由欧几里德空间中的三个坐标给出，即),,(x x x 321),,()(321x x x P x P i =S V +∈连续介质进行力学分析时，取其微体作为基本元件。

微体是在各个方向上取微分长度的微小物体。

这种基元在宏观上是无限小，在微观上是无限大。

它们的集合是稠密的，无间隙的，构成了连续介质。

1.1.2 基本假设弹性动力学是在更普遍的意义上研究线性动力学系统的力学行为。

它的理论基础是建立在连续介质力学的基础之上。

连续介质的基本假设有：（1）连续性假设。

这是连续介质的基本属性，是几何变形方面的假设。

物体在任一瞬时的构形都是稠密的、无间隙的。

这一点在 1.1.1节已作了阐述。

（2）均匀性假设。

均匀性是指连续介质各处力学性能都相同，是物理方面的假设。

金属材料在宏观上是满足均匀性假设的，而且还具有各向同性性质，即在连续介质同一地点不同方向上力学性能皆相同。

新材料的出现，如复合材料等多相材料，缺乏这种均匀性，更没有各向同性性。

在这种情况下一般仍假设宏观上的均匀性，但须引入各向异性的概念。

在本课程内不作特殊的说明时，认为均匀性假设是成立的。

（3）线性化假设。

力学现象本质是非线性的，不论几何上、物理上，以至边界上都存在着非线性因素。

工程上大量问题都作线性化假设。

弹性力学基本概念和考点

基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。

（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。

（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。

同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。

这时，二z =0, Z =0,・zy =0，由切应力互等，二Z =0, * =0,・yz =0，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即匚x,二y, xy二yx，所以这种问题称为平面应力问题。

设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，z^0, z^0，根据切应力互等，任=0,『=0。

由胡克定律，ZX =0, zy =0，又由于z方向的位移w处处为零，即；z = 0。

因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即；x, ；y, xy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。

（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。

（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。

（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。

这种问题称为空间轴对称问题。

平衡微分方程:（记:u（记）（1）平面问题的平衡微分方程;（2）平面问题的平衡微分方程（极坐标）；——L+ - +—!-- +&P P P CT ptp^2!^ + cP P1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

弹性力学理论

u 位移分量： v x 应变分量： y xy
1、平衡微分方程：
x yx x y X 0 y xy Y 0 x y
2、几何方程：
正应变：线段的每单位长度的伸缩。
x y z
xy yz
剪应变：线段之间夹角的改变量称为剪应变。
zx
x x a
xy
x y z xy yz zx
称作应变列阵
1
1
1
1 1
0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
1 2 2 (1 )
0 0 0 0
1 2 2 (1 )
0 0
0
x y z xy yz 1 2 zx 2 (1 ) 0 0 0 0 0
y
t 2 t 2
o x
z
y 、 xy ，不为零的应力分量为 x 、
它们仅仅是x、y两个坐标的函数。
工程中，受拉力作用的薄板、链条的平面链板、内燃机中的连杆以及齿宽较小的直齿圆柱齿轮的轮齿等均可看做平面应力问题。
图1-11 平面应力问题实例
（二）平面应变问题
（1）几何条件：结构是长柱体，长度方向的尺寸大于横截面的尺寸。（2）载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力。
y z x y xy yz zx
x

z xy yz zx
T
应力分量的矩阵称为应力列阵
3、应变：物体的形状改变为长度的改变和角度的改变。其变形的大小可以用微元体棱边的长度和它们之间角度的变化来描述。